passo ...battito cardiaco ...traffico ...condurre una vita ...forma ...gara ... 1

uali di queste sensazioni ti ispirail termine ?

BelloRipetitivo

SuperficialePiacevoleMonotonoNegativo

SquadratoPositivo 2

Quotidianamente usiamo termini di cui non abbiamo

MAI letto lama sappiamo cosa

significano ( o no? )

3

Sai dare una definizione “precisa” dei seguenti TERMINI:

brutto

bello

malvagio

buono

saggio

4

5

Nelle due diapositive seguenti

? ** ? ** ? **

? ** ? ! **B

A

C

6

E

D

F

7

veniamo

alla

Secondo te, quali figure tra quelle che seguono sono poligoni regolari?

8

9

10

Nella vita quotidiana usiamo tranquillamente, senza conoscerne

la , molti termini!

In matematica, purtroppo ( o per fortuna?) non è così! E’ difficile che si riesca a dimostrare che un poligono è regolare se non si conosce la definizione di poligono regolare! 11

Sei sicuro di ricordare la definizione

corretta di poligono regolare ?

Si No

12

DEFINIZIONE

di

un poligono piano con i lati e gli angoli uguali, ovvero sia equilatero

sia equiangolo.

ECCOLA!

13

Cosa significa che due lati sono uguali uguali ?

che se sovrapposti gli estremi coincidono che hanno la stessa lunghezza che sono paralleli che hanno gli stessi estremi

Cosa significa che due angoli sono uguali uguali ?

che sono simili

che sono complementari

che sono esattamente sovrapponibili

che hanno la stessa ampiezza

ABCD

EFGH 14

ccidenti, sempre problemi

di !

Comunque aver risposto che due lati (segmenti) o due angoli sono uguali se sono sovrapponibili è stata sicuramente un’ottima risposta

Ma non l’unica! 15

Tornando ai poligoni regolari:

esistono poligoni regolari di nn lati, qualunque sia il numero naturale nn, purché nn sia 3.

Infatti per ottenere

un poligono regolare con nn lati

è sufficiente suddividere una circonferenza in n archi uguali,

e poi collegare gli estremi.

16

Ma

come

è possibile

suddividere

una circonferenza

in nn parti

uguali? 17

Con la riga e con il compasso?

1) Segna con una croce i poligoni regolari che ti ricordi di avere disegnato con riga e compasso durante la tua “lunga” carriera scolastica:

quadrato 4 lati ettagono 7 lati

esagono 6 lati ottagono 8 lati

2) Si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari … o no?

18

A B

C D

aPPProposito:

Secondo te

* in una circonferenza

* si possono inscrivere

* solo poligoni regolari?

NONOSISI19

?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!

Gli antichi Greci sapevano che una circonferenza può essere divisa con riga e compasso in 3, 5,15 archi uguali

o in n archi uguali dove n è una potenza del 2 moltiplicata per 3, 5,15 come per esempio, 4=22 6=23 8=2

312=2

23 20=2

25

30=215 ...

?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?

20

21

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Dopo “poco più” di 1500 anni

GAUSS (1777-1855)

offreoffre

la risoluzione completa al problema. 22

Una circonferenza può essere divisa con riga e compasso:

in 3, 5, 15, 257 …

4, 6, 8, 10 12 … parti uguali

MA

NON

in 7, 11, 13, 14, 19, 22 ... parti uguali 23

Da dove arrivano tutti questi numeri? …

Facciamo qualche conto:

220

= 2 224 = 65536

221 = 4 225

= 4294967296

Fanne qualcuno tu!

A: 222

= ? B: 223 = ? 24

La regola di Gauss

Affinché un poligono regolare di n lati sia costruibile con riga e compasso occorre che n sia:

o un numero primo della forma 22h

+1 (primi di Fermat)dove h è un numero naturale.

Es. 220 +1=3, 221

+1=5, 222 +1=17,

223

+1=257, …

Non tutti i numeri del tipo 22h+1 sono primi:

… 225 +1 non è primo, è divisibile per 641!

Non tutti i numeri primi sono del tipo 22h

+1: … 11 non va bene, 13 neppure.

25

o una potenza di 2 eventualmente moltiplicata per numeri del tipo precedente non ripetuti.

Es:4=22, 6=2·3, 8=23, 10=2·5, 12= 22 ·3,

attenzione 18=2·3·3 non va bene

PERCHÉ ?

A: 18 non è primo B: 3 è ripetuto

C: non è una potenza del 226

sappiamo già che se una circonferenza è divisa in n archi uguali (n>2), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare n=6

MA è anche regolare il poligono i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti

n=6 27

I poligoni nello spazio diventano

POLIEDRI.

I poligoni nello spazio diventano

POLIEDRI.E i poligoni regolari

POLIEDRI

REGOLARI

E i poligoni regolari

POLIEDRI

REGOLARI28

SI NO

Un poliedro è qualcosa di questo tipo:

Conoscete, per caso, dei poliedri

regolari ?

29

alcuni !

Prendi il foglio A ed usa gli occhialini

N.B: la lente verde deve essere appoggiata sull’occhio destro.

30

I poliedri regolari che vedi sono:

31

Ma CoS’ è un

POLIEDRO REGOLARE? Sappiamo già che nel piano un poligono

regolare è un poligono con i lati e gli angoli uguali.

Potremmo allora pensare di formulare una definizione analoga nel seguente modo: un è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari tutti uguali i cui angoli solidi sono anch’essi tutti uguali.

32

Già, ma cos’è un ?Lo sai? -No?

Non importa, tanto non ci sogniamo di definirlo;

già è difficile definire un angolo piano, figurati un angolo solido.

33

Un poligono regolare si può sovrapporre a se stesso mediante

un movimento rigido (che non deforma la figura) in modo da

portare… un vertice qualsiasi su un

qualsiasi altro vertice, oppure … un lato qualsiasi su un qualsiasi

altro lato34

Sostanzialmente: in un poligono regolare

ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice

ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato

35

Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni regolari. Nota bene che devono valere

entrambe le proprietà perché il poligono sia regolare.

…Segna a fianco quali proprietà valgono per le seguenti figure geometriche piane:

rettangolo

rombo

qua drato 36

… Dunque un poligono regolare è un poligono che soddisfa le due proprietà precedenti.

Un poliedro regolare si può sovrapporre a se stesso , mediante un movimento rigido (che non deforma la figura), in modo tale da portare:

1) un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, o 2) uno spigolo qualsiasi su un qualsiasi altro spigolo, o 3) una faccia qualsiasi su una qualsiasi altra faccia

37

Sostanzialmente: in un poliedro regolare

ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice

ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato

ogni faccia è indistinguibile da ogni altra faccia

38

39

40

41

42

43

E44

A

B

C

D

.

.È possibile definire gli iperpoliedri o polítopi regolari in uno spazio di dimensione qualsiasi!!!

Ebbene nello spazio di dimensione 4 esistono 6 tipi di iperpoliedri regolari

(tra questi il famoso ipercubo). Ma dalla dimensione 5 in poi esistono solo più 3 tipi! Si tratta dei tre iperpoliedri che

corrispondono al tetraedro, al cubo ed all’ottaedro. In dimensione 4, come abbiamo

già detto, esistono altri tre tipi di iperpoliedri che hanno rispettivamente 24, 120, 600 vertici !

45

L’ipertetraedro, l’ipercubo

in dimensione 4 hanno rispettivamente

5, 16 vertici e

5, 8 facce tridimensionali.

Cerchiamo di capire come sono fatti.46

Per capire meglio, partiamo dal tetraedro e dal cubo di dimensione 3.

Ecco le loro proiezioni sul piano:

tetraedro cubo

le facce sono rispettivamente 4 triangoli equilateri e 6

quadrati. Una delle facce la vedi colorata

47

Ecco le proiezioni sul piano dell’ipertetraedro e dell’ ipercubo di dimensione 4

48

Le facce tridimensionali dell’ipertetraedro sono 5 tetraedri, quelle dell’ ipercubo sono 8 cubi.

Una delle facce la vedi colorata 49

Sai trovare le altre facce?