ParabolaParabola

Dato un punto F del piano

ed una retta d

F

d

si dice parabolaparabola l’insieme dei punti del pianoequidistanti dal punto F e dalla retta d

fuoco F

fuoco F

direttrice

direttrice

Ogni punto è determinato

dall’eguaglianza fra le distanze

punto-retta punto-fuoco

Per ogni punto il valore delle

distanze(=raggio) è diversa,

tranne che . . .

V vertice

F fuoco

Asse disimmetria

L’insieme dei punti

(parabola)• ha un punto particolare detto vertice• è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria

Rappresentazione della parabola nel piano cartesianoRappresentazione della parabola nel piano cartesiano

Se nel piano inseriamo un

sistema di assi cartesiani si ha

la rappresentazione a fianco della

parabola.

Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno

con le sue coordinate,

l’asse di simmetria è una retta parallela

all’asse y.

4 2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

6

8

10

F

V

Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverseper posizione . . .

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. . . e per ampiezza

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I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione.

5 0 5 10

4

2

2

4

6

8

10

F

P

Equazione generica della parabola

Equazione generica della parabola

cbyayx 2

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse x

Per approfondimenti vedere scheda

cbxaxy 2

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse y

Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y

Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c

Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :

y x2 8 x 18

y1 x2

24

1 x

121

y32

9x2 160

3x 192

Esercizio 2

cbxaxy 2

Variazione dei grafici al variare dei coefficientiVariazione dei grafici al variare dei coefficienti

a,b,c R

Esercizio 1

y x2

2 x 1

yx

2

24

x

121

y32

9x

2 25

3x 4

a>0 a<04

4

f x( )

44 x

0

Concavità

Concavità

4

4

f x( )

44 x

0

Si ottengono i grafici

10 5 0 5 10

10

5

5

10

Esercizio 2

10

10

f x( )

g x( )

h x( )

1010 x

10 5 0 5 10

10

5

5

10

Esercizio 1

20

20

f x( )

g x( )

h x( )

p x( )

2020 x

20 10 0 10 20

20

10

10

20

Esercizio 3

y x2 8 x 18

y x2 8 x 18

y x2 5 x 18

y x2 12 x 18

50

20

f x( )

g x( )

h x( )

2020 x

20 10 0 10 20

20

20

40

y x2 8 x 20

y x2 8 x 20

y x2 20

Esercizio 4

VerticeVertice

Al variare di aa e bb varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate :

)a4

ac4b,

a2b

(V2

Per approfondimenti vedere scheda

Al variare di cc varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

5

5

f x( )

g x( )

h x( )

53 x

2 0 2 4

4

2

2

4Esercizio 5

y x2 3 x 2

y x2 3 x

y x2 3 x 2

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con gli assi

8

2

f x( )

g x( )

h x( )

124 x

4 2 0 2 4 6 8 10 12

2

2

4

6

8

Esercizio 6

y 0.25 x2

2 x 3

y 0.25 x2

2 x 4

y 0.25 x2

2 x 6

Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema

Y = 0

cbxaxy 2 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x

0cbxax2

le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema

x = 0

cbxaxy 2 P(0,c)

Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?

La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x

Se b2-4ac= 0

Se b2-4ac< 0

Se b2-4ac> 0

La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x

La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x

3

2

f x( )

93 x

4

2

f x( )

93 x

6

2

f x( )

93 x

La parabola ha il vertice sull’asse y

InoltrInoltree

Se bb=0=0

y=ax2+c

Se b=0 e b=0 e c=0c=0

y=ax2

Se cc=0=0

y=ax2+bx

4

3

f x( )

76 x

4

3

f x( )

76 x

6

3

f x( )

76 x

La parabola passa per l’origine

La parabola ha il vertice nell’origine

FormuleFormule

y=ax2+bx+c

)a4

ac4b,

a2b

(V2

vertice

)a4

)ac4b(1,

a2b

(F2

fuoco

a4)ac4b(1

d2

direttrice

a2b

x equazione

asse di simmetria

Per approfondimenti vedere scheda

4 2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

6

8

10

F

V

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano

42 0 2

4

2

2

4

•Determinare le coordinate del vertice VV

•Determinare l’equazione dell’ asse di simmetriaasse di simmetria

•Determinare le coordinate degli eventuali puntipunti d’intersezione con gli assid’intersezione con gli assi

•Determinare le coordinate di qualche altro puntoqualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria•Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzanocaratterizzano il grafico

V

Parabola : applicazioni e meccanismi

Parabola : applicazioni e meccanismi

• Moto di un proiettile • Fontane• Fuochi artificiali• Ponti sospesi • Proprietà focali della parabola • Specchi ustori • Antenna parabolica• Fari dei porti• Fari auto, flash, proiettori

Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente

tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di

gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

Moto di un proiettileMoto di un proiettile

Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0

Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso.

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Per approfondimenti vedere scheda

v

0

Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.

Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.

Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

Scheda 4 moto di un proiettile

g : accelerazione di gravitàv0 : velocità iniziale,

θ : angolo formato col terreno (alzo)

v

0

Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un

angolo di inclinazione θ

L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così :y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x

2

che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola.

Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).

Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v0x t y = v0y t - 1/2 g t2

v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0

v0y: componente verticale della velocità iniziale v0

L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta

4

0

f x( )

20 x

5

0

f x( )

40 x0 2 4

2

4

10

0

f x( )

100 x

v0y

v0

v0x

g

•Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo

v0x = v0 cos θ v0y = v0 sin θ si ottiene x = (v0 cos θ) t y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2

La funzione che si ottiene eliminando t è y = (tang θ) x -[ g/2 v0

2cos2 θ ] x2

10

0

f x( )

100 x

θ

Gittata

ymax

30°15°

45°60°

75°

• Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittata massima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.

• Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha :

Gittata = v02 sin 2θ /g

•Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà :

ymax= v0 2sin2 θ /g

I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti.

Antenna parabolicaAntenna parabolica

Lo stesso  principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e nei proiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse.

LANTERNA di Genova

fuoco F

Fari dei portiFari dei porti

Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria  (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo.

Colosso di Rodi

Colosso di RodiColosso di Rodi

Moto d’epoca Guzzi Sport14

Ingrandimento della calotta del faro

La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori

Fari auto, flash, proiettori

Fari auto, flash, proiettori

Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana (1730-1805).

FontaneFontane

La Barcaccia - Roma

Fontana di produzione

EurofloraGenova

Fontana di produzione

Proprietà focali della parabolaProprietà focali della parabola

Il fuoco della parabola ha interessanti

proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi.

Un raggio proveniente  secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la

superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.

fuoco F

Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà

usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide). Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari,

cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di

carta o di legno posto nel suo fuoco.Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.

paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione di

una parabola attorno al suo asse

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