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MECCANICA RAZIONALE

LEZIONE 13

modesto.chiappinelli@unipolisi.eu

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Attrito fra due corpi rigidi

Quantità di moto di un sistema

Momento della quantità di moto di un sistema

Energia cinetica di un sistema

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Attrito fra due corpi rigidiVediamo cosa significa dire che un corpo rigido C è in quiete o si muove appoggiato in un punto O

1 ad un altro corpo rigido

C1 in presenza di attrito. Come si è già detto l’attrito è dovuto

a forze, sia normali che tangenti, che si manifestano quando un corpo si muove o tenta di muoversi su un altro. Ebbene, dire che c’è attrito fra C e C

1 significa convenire che C

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esplica su C un sistema di reazioni vincolari equivalente ad una forza di vettore e ad una coppia dimomento La forza

si oppone al moto di strisciamento, e quindi rappresenta l’attrito radente, mentre la coppia si oppone al moto di rotazione, e perciò rappresenta l’attrito volvente.

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Al fine di formulare le leggi dell’attrito in statica ed in dinamica, poniamo

versore parallelo al piano tangente eversore normale.

Osserviamo che nella terminologia della “Meccanica Applicata” la reazione è detta forza normale dicontatto, mentre la reazioneè detta forza d’attrito radente.

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Noi, tuttavia, per semplificare le cose, supporremo sempre di poter trascurare la coppia, limitandoci perciò a considerare soltanto la reazione

Dal canto suo, la coppia di momentoè detta coppia d’attrito di rotolamento, in quanto si oppone al moto di puro rotolamento, mentre quella di momentoè detta coppia di attrito di giro, in quanto sioppone al moto di prillamento attorno alla normale.

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L’attrito in staticaL’equilibrio di è garantito dalle equazioni cardinali

e dalla condizione seguente:

La costanteche è positiva, dipende dalle caratteristiche dei materiali a contatto e si chiama coefficiente d’attrito statico radente.

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L’attrito in dinamica

Durante il moto di

oltre alle equazioni cardinali della dinamica (che vedremopiù innanzi), la reazione deve soddisfare

— nel caso di puro rotolamento, alla condizione

— nel caso di rotolamento e strisciamento, alla condizione

con velocità di trascinamento del punto di contatto .

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Dunque, quando si muove su , occorre distinguere il caso in cui c’è strisciamento dalcaso in cui non c’è. In quest’ultimo caso la relazione che riguarda l’attrito radente non cambia rispetto al caso statico in quanto il punto di contatto O

1 è fermo rispetto a .

Se invece striscia su la relazione statica

è sostituita dalla relazione dinamica

La costante , che è minore di , è detta coefficiente d’attrito dinamico radente.

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Quantità di moto di un sistemaDefinizione Si definisce quantità di moto di un sistema materiale discreto

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Teorema La quantità di moto di un qualunque sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del baricentro qualora vi si attribuisca tutta la massa del sistema, ossia

Vale l’importantissimo

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Dimostrazione Riscriviamo la formula del baricentro,

e deriviamola rispetto al tempo; si ha

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Definizione Si definisce quantità di moto di un sistema materiale rispetto al baricentro la sua quantità di moto rispetto ad una terna

traslante rispetto al sistema fisso

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Indicando tale grandezza con

nel caso di un sistema discreto si ha dunque

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Ebbene, vale ilTeorema La quantità di moto rispetto al baricentro diun qualunque sistema materiale è sempre nulla, cioè

Dimostrazione. Essendo

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Osservazione In realtà il teorema ora dimostrato vale qualunque sia il sistema

La dimostrazione si fa procedendo allo stesso modo, ma con

È facile verificare che il termine

porta un contributo nullo a

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Momento delle quantità di moto di un sistemaDefinizione Si definisce momento delle quantità di moto (o momento angolare) di un sistema materiale discreto

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essendo la velocit`a del punto Ps rispetto ad un

sistema di riferimento Oxyz. Naturalmente la grandezza così definita dipende, oltre che dal polo O

1, dal sistema di

riferimento scelto.Per un corpo continuo C si definisce invece

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Quando il polo O1 è in moto rispetto ad Oxyz, il calcolo di

K(O1) può essere facilitato coinvolgendo il momento

relativo delle quantità di moto rispetto ad O1, vale a dire

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essendo la velocità di P

s rispetto ad una terna traslante

Andiamo a determinare la relazione che esiste tra , che potremo chiamare momento assoluto, e Tenendo conto che per il teorema di composizione delle velocità si ha , siha:

ed essendo

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risulta

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Dunque, i momenti delle quantità di moto assoluto e relativo rispetto al baricentro, o rispetto ad un punto fisso, sono uguali.

Ricaviamo

in alcuni casi semplici, ma di grande utilità ai fini degli esercizi.

Corpo rigido traslante con velocità

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Di conseguenza, grazie alla

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Corpo rigido piano con asse fisso normale.Consideriamo un corpo rigido piano con un assefisso normale al piano del corpo. Sia Oxyz ilsistema di riferimento, con Oxy coincidente colpiano del corpo e Oz asse fisso. Indicato conl’angolo di rotazione del corpo attorno all’asse fisso, si ha

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Ogni punto del corpo descrive una circonferenza di centro O e raggio

Indicato con

il versore tangente a tale circonferenza in

e con il versore normale (diretto verso O), si ha

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e quindi, ricordando la definizione di momento d’inerzia,

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Corpo rigido piano in moto nel suo piano.

Sia Oxyz il sistema di riferimento fisso,con Oxy coincidente col piano del corpo(e del moto) e Gx′y′z′ un sistema traslantebaricentrico, con l’asse z′ paralleload Oz. Il problema ha 3 gradi di libertà

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assumiamo come parametrilagrangiani l’angolo θ di rotazionedel corpo e le coordinate x

G e y

G del

baricentro. Ovviamente

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Per calcolare

possiamo calcolare primae quindi utilizzare la

Essendo

il conto è presto fatto.

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Rispetto al sistema traslante Gx′y′z′ il moto delcorpo è rotatorio con asse fisso. Dunque, per ottenere

si può applicare la

ovviamente tenendo conto che in questo caso l’asse è

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Si ha quindi:

Applicando ora la

si ottiene

Il prodotto vettoriale lo scriviamo sempre come determinate simbolico e svolgiamo il calcolo

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0

0

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Corpo rigido con asse fisso.Sia il sistema di riferimento fisso rispetto al quale vogliamo studiare il moto del corpo rigido, con coincidente con l’asse fisso.

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Sia poi un sistema solidale col corpo con

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L’unico parametro lagrangiano è rappresentato dall’angolo dirotazione θ del corpo, che può essere definito come

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Consideriamo ora un generico punto del corpo e indichiamo con le suecoordinate rispetto alla terna solidale.

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Ebbene, poiché descrive la circonferenza dicentro (proiezione di sull’asse) con velocità angolare , indicati con e iversori tangente e normale a tale circonferenza in , posto si ha

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Osserviamo che la formula

costituisce un caso particolare della

Infatti, se il corpo rigido è piano con asse fisso normale (come nell’esempio considerato in precedenza),utilizzando la

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poiché B′ = C′ = 0, si ottiene . Essendo e C il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse

per cui

la fornisce

ancora la

Nota bene. Le formule

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sono molto utili ai fini degli esercizi. Nella stragrande maggioranza di questi, infatti, i corpi rigidi considerati sonopiani e mobili nel loro piano o con asse fisso. Con le formule suddette è quindi possibile calcolare tutti i momenti delle quantità di moto che servono (per scrivere, come vedremo, la seconda equazione cardinale della dinamica).

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Energia cinetica di un sistemaDefinizione Si definisce energia cinetica di un sistema materiale discreto

rispetto ad un riferimento la grandezza scalare

essendo la velocità di rispetto ad

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Vale il seguente importantissimo

Teorema di Per un qualunque sistema meccanico si ha

Per un corpo continuo si definisce invece

dove

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essendo la velocità del punto rispetto ad unaterna traslante

DimostrazionePoiché si ha

si ha

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Come per il momento delle quantità di moto, prenderemo in considerazione solo casi semplici, ma utili ai fini degli esercizi.

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Corpo rigido con asse fisso.

Siano

l’asse fisso e l’angolo di rotazionedel corpo.

Il generico punto del corpo descrive una circonferenza di centro la proiezionedi sull’asse di rotazione.

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Postosi ha

Calcoliamo ora T rifacendoci alla definizione

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Corpo rigido piano in moto nel suo piano.Sia Oxyz il sistema di riferimento fisso, con Oxycoincidente col piano del corpo (e del moto) eGx′y′z′ un sistema traslante con l’asse z′ paralleloall’asse z.

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Assunti come parametri lagrangianile coordinate del baricentroe l’angolo di rotazione del corpo, osserviamoche si ha

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Applichiamo il teorema di

A tal fine calcoliamo che rappresenta l’energia cineticadel corpo rispetto al sistema

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Esercizio Si consideri il telaio quadrato e si supponga che esso sia posto in un piano verticale Oxy, con l’asse y verticale ascendente, e sia libero di ruotare attorno al suo vertice A, mediante una cerniera liscia.

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Si supponga che esso sia soggetto, oltre al proprio peso, a una forza elastica di costante h agente in C e con centro nella proiezione H di C sull’asse y, e ad una forza

di modulo costante, parallela ed equiversa adagente sul punto B

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Si chiede:1. di determinare le posizioni di equilibrio usando il principio dei lavori virtuali;2. di determinare la reazione vincolare in A all’equilibrio;3. di discutere l’uso dell’energia potenziale per la determinazione delle posizioni diequilibrio e, se possibile, di valutare la stabilità delle posizioni trovate;4. di calcolare l’energia cinetica del sistema;

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Il sistema è a un solo grado di libertà e conviene assumere come parametro lagrangianol’angolo di figura.

Le coordinate dei punti di applicazione delle forze sono:

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Eseguendo le derivate, gli spostamenti virtuali degli stessi sono:

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Infine le forze attive agenti sono:

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Il calcolo del lavoro della sollecitazione attiva è ora immediato e si ottiene:

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Si può verificare per calcolo diretto che il lavoro del carico

è nullo, cosa del resto prevedibile in quanto gli spostamenti virtuali di B sono, necessariamente, perpendicolari alcarico stesso.

Pertanto risulta

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La determinazione delle posizioni di equilibrio richiede la risoluzione dell’equazione, nell’incognita

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Si trova facilmente:

dove, naturalmente, le ultime due posizioni esistono solo se l’argomento dell’arcseno è minore di 1 (se uguale a 1 si ritrova la posizione

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L’annullarsi del lavoro virtuale della forza

consente di usare l’energia potenziale delle altre due forze (palesemente conservative) per la determinazione delle posizioni di equilibrio e la discussione della stabilità.

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Si verifica facilmente che si ha

Infatti derivando la funzione e cambiando il segno

otteniamo

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Per determinare l’energia cinetica complessiva del sistema si può osservare che si tratta di moto con punto fisso, da cui

Passando alle componenti si ottiene:

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Per giustificare il valore evidenziato risolviamo il seguenteEsercizio di cinematica delle masse

Dato un quadrato ABCD di lato l e massa M = 4m,

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si determini la matrice dell’operatore di inerziarelativo al vertice A, assunto come sistema di coordinate un sistema con origine in A stesso e due assi contenenti AB e AD.

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Indicheremo nel seguito le aste AB,BC,CD,AD come asta 1, 2, 3, 4 rispettivamente. I versori degli assi saranno indicati, al solito, con

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Consideriamo ora la matrice

Le note proprietà di simmetria dell’operatore di inerzia, unitamente alle proprietà dei sistemi piani (“lamine”) e alla simmetria del sistema meccanico in esame, permettono disemplificare notevolmente la scrittura della matrice. Precisamente:

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Dunque

Si devono dunque solo calcolare le quantità

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In ogni caso è utile suddividere il calcolo in 4 parti, per ciascuna delle 4 aste componenti il quadrato.

Cominciamo daÈ immediato chein quanto tutti i punti di AB hanno distanza nulla dall’asse x;

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analogamente si conclude facilmente che

in quanto tutti i punti di CD hanno ugual distanza l dall’asse x.

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Per calcolare

che sono uguali tra di loro, possiamo far introdurre un sistema di ascisse, s,sull’asta, con origine in A.

Indicata con la densità di massa (lineare) sull’asta, avremo,ovviamente,

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Dovremo dunque calcolare l’integrale seguente:

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Dunque

essendo

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La determinazione di richiede il calcolo di

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Esattamente come prima si può dividere l’integrale in 4 parti, ottenendo

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Si può dunque concludere che

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Si trovi poi la matrice dell’operatore centrale di inerzia, in un sistema cartesiano con assi paralleli ai precedenti.

La determinazione della matrice associata all’operatore di inerzia relativo a G, in un sistema di riferimento con assi paralleli ai precedenti, è più semplice in quanto una taleterna è principale d’inerzia per cui la matrice sarà diagonale e sarà semplicemente

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Si può procedere in maniera sostanzialmente identica a prima,

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Possiamo osservare che

in perfetto accordo con il risultato precedente.