Matematica - Appunti di Matematica 3

MatematicaAppunti di Matematica 3

Michele prof. PeriniIISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico

A.S. 2021-2022

Michele prof. Perini Matematica 1 / 212

1 FunzioniGeneralitàGraficoPari e dispariMonotoneComposte e inverseGrafici

2 SuccessioniMonotoneDefinizioni ricorsivePrincipio di induzioneProgressione aritmeticaProgressione geometrica

3 Vettori 2D e piano cartesianoMichele prof. Perini Matematica 2 / 212

DefinizioneModuloScalare per vettoreSommaProdotto scalareRetteDeterminantiDistanza punto-rettaFasci di rette

4 Introduzione alle trasformazioni lineariSimmetria centraleSimmetria assialeTraslazioneDilatazioni

OmotetieGrafici

5 GoniometriaAngoliFunzioni goniometricheAngoli associatiTriangoli rettangoliGrafici funzioni goniometricheFunzioni periodicheFunzioni goniometriche inverseEquazioni e disequazioniFormule di addizione e sottrazioneFormule di duplicazioneFormule di bisezione

Formule parametricheFunzione lineare in seno e coseno

6 ConicheCirconferenzaEllisseParabolaIperboleAx2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0Sezioni di cono

7 TrigonometriaTriangoli rettangoliArea di un triangoloTeorema della corda e dei seniTeorema del coseno

Coseno e prodotto scalare

8 StatisticaSommatorieDati e loro rappresentazioneFrequenze assoluteFrequenze relativeFrequenze cumulateFrequenze relative cumulateLa media aritmeticaLa varianzaLa deviazione standardTest del χ2 di CramerRegressione lineare

Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

l’insieme X si chiama anche dominio, D

l’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, C

L’insieme I = {y ∈C : y = f (x), x ∈ D

}si chiama

immagine. In generale I ⊆C .

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

Funzioni Generalità

Rappresentazione sagittale di una funzione f (x) : D →C

una funzione è un collegamento, una regola tra elementidell’insieme dominio, D, e elementi dell’insieme codominio, C ,che abbina ad ogni elemento x ∈ D uno e uno solo elemento

y ∈C .Michele prof. Perini Matematica 8 / 212

Funzioni Grafico

Grafico di una funzioneData la funzione f (x) : D →C si chiama grafico di fl’insieme delle coppie ordinate:

G = {(x, f (x)

): x ∈ D

−3 −2 −1 1 2 3

Funzioni Grafico

Funzioni ugualiDue funzioni f e g sono uguali se hanno lo stessodominio D e inoltre:

f (x) = g (x), ∀x ∈ D

Funzioni Pari e dispari

Funzioni pariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le

definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzepari della variabile indipendente.

Una funzione f (x) : D →R si dice pari se

f (−x) = f (x), ∀x ∈ D

le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse y .

Funzioni Pari e dispari

Funzioni dispariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le

definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzedispari della variabile indipendente.

Una funzione f (x) : D →R si dice dispari se

f (−x) =− f (x), ∀x ∈ D

le funzioni dispari sono simmetriche rispettoall’origine.

Funzioni Monotone

Funzioni strettamente crescentif : D →C è strettamente crescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) < f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Funzioni Monotone

Funzioni strettamente decrescentif : D →C è strettamente decrescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) > f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Funzioni Monotone

Funzioni costantif : D →C è costante in I ⊂ D se:

f (x1) = f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

Funzioni Monotone

Funzioni crescentif : D →C è crescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) ≤ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

Funzioni Monotone

Funzioni decrescentif : D →C è decrescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) ≥ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

Funzioni Monotone

Funzioni monotoneUna funzione crescente o decrescente in un certosottoinsieme I del suo dominio si dice monotona inI .

Funzioni Composte e inverse

Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C non suriettiva, non iniettiva, non

biiettiva:

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, non iniettiva, non biiettiva:

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, iniettiva, biiettiva:

Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).

f −1 :

Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).

f −1 :

I grafici delle funzioni inverse sono simmetricirispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−0.5

Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:

f ◦ g (x) = f (g (x))

in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).

Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.

Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:

f ◦ g (x) = f (g (x))

in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).

Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.

Funzioni Grafici

y = f (x) = x + c , c ∈R

La funzione f (x) = x + c è iniettiva e monotona crescente∀c ∈R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

Funzioni Grafici

y = f (x) = |x|

La funzione f (x) = |x| è non iniettiva e non monotonacrescente su tutto R, può essere applicata ad ambo i membridi equazioni, disequazioni e disuguaglianze non modificando illoro insieme delle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.

Funzioni Grafici

y = f (x) = kx , k ∈R0

La funzione f (x) = kx , k ∈R0 è iniettiva e monotona su tuttoR, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

Funzioni Grafici

y = f (x) = x2n , n ∈N0

La funzione f (x) = x2n è non iniettiva e non monotona sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.

Funzioni Grafici

y = f (x) = 2np

x , n ∈N0

La funzione f (x) = 2np

x è iniettiva e monotona crescente sututto R+, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni solo se i membri sono positivi.

Funzioni Grafici

y = f (x) = x2n+1 , n ∈N0

La funzione f (x) = x2n+1 è iniettiva monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

Funzioni Grafici

y = f (x) = 2n+1p

x , n ∈N0

La funzione f (x) = 2n+1p

x è iniettiva e monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

Successioni

SuccessioneUna successione è una funzione s(n) : D ⊆N→R.I termini di una successione si indicano con i simbolis(n) o semplicemente sn.

1 2 3 4 5

Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

Successioni Definizioni ricorsive

Definizione ricorsiva: potenza ad esponentenaturale

Con a ∈R0 e n ∈N:

1 se n = 0a ·an−1 se n 6= 0

Esempio:

24 = 2·23 = 2·2·22 = 2·2·2·21 = 2·2·2·2·20 = 2·2·2·2·1 = 16

Successioni Definizioni ricorsive

Definizione ricorsiva: fattoriale

Con n ∈N:

1 se n = 0n · (n −1)! se n 6= 0

Esempio:

4! = 4·3! = 4·3·2! = 4·3·2·1! = 4·3·2·1·0! = 4·3·2·1·1 = 24

Successioni Principio di induzione

Principio di induzioneCon n ∈N e P (n) una proprietà. Se P (0) è vera e∀n ∈N P (n) →P (n +1) allora P (n) vale per tuttigli n ∈N.

Il principio di induzione permette di dimostrareproprietà generali in modo estremamente semplice.

Successioni Progressione aritmetica

Definizione ricorsiva: progressione aritmetica

Con n ∈N e d ∈R:

a0 se n = 0d +an−1 se n 6= 0

Esempio:

3 se n = 02+an−1 se n 6= 0

a3 = 2+a2 = 2+2+a1 = 2+2+2+a0 = 2+2+2+3 = 9

Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:

a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.

Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:

a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.

Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n

i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà

usiamo il principio di induzione:s0 =∑0

i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è

verificata per n = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=

(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)

2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1

Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida

∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212

Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n

i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà

usiamo il principio di induzione:s0 =∑0

i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è

verificata per n = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=

(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)

2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1

Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida

∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212

Successioni Progressione geometrica

Definizione ricorsiva: progressione geometrica

Con n ∈N e q ∈R0:

a0 se n = 0q ·an−1 se n 6= 0

Esempio:

3 se n = 02 ·an−1 se n 6= 0

a3 = 2 ·a2 = 2 ·2 ·a1 = 2 ·2 ·2 ·a0 = 2 ·2 ·2 ·3 = 24

Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:

a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212

Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:

a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212

Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n

i=0 ai = a01−qn+1

1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:

s0 =∑0i=0 ai = a0

1−q0+1

1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1

1−q = a01−qn+2

1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1

Quindi la proprietà sn = a01−qn+1

1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212

Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n

i=0 ai = a01−qn+1

1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:

s0 =∑0i=0 ai = a0

1−q0+1

1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1

1−q = a01−qn+2

1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1

Quindi la proprietà sn = a01−qn+1

1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.

A(xA, y A

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

A(xA, y A

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

A(xA, y A

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.

~A′B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

~A′B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

~A′B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

Vettori 2D e piano cartesiano Modulo

Modulo di un vettoreDato il vettore ~v =

)il suo modulo è

|~v | = v =√

v2x + v2

Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

~v~12 v

α~v =α(

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

~v~12 v

α~v =α(

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

~v~12 v

α~v =α(

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

~v~12 v

α~v =α(

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

Vettori 2D e piano cartesiano Somma

Somma tra vettori

~c =~a +~b ==

ax +bx

ay +by

Somma tra vettori

~c =~a +~b ==

ax +bx

ay +by

Somma tra vettori

~c =~a +~b ==

ax +bx

ay +by

Somma tra vettori

~c =~a +~b ==

ax +bx

ay +by

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: definizione

~a ·~b ==

= axbx +ay by

~a ·~b ==

= axbx +ay by

~a ·~b ==

= axbx +ay by

~a ·~b ==

= axbx +ay by

Prodotto scalare: proprietà

~a ·~b =~b ·~a~a ·

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

x +a2y = |~a|2

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a

~a ·(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

~a ·~a =~a2 =(

x +a2y = |~a|2

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

~a ·~a =~a2 =(

x +a2y = |~a|2

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

~a ·~a =~a2 =(

x +a2y = |~a|2

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

~a ·~a =~a2 =(

x +a2y = |~a|2

Prodotto scalare e perpendicolarità

~c =~b −~a

Per il teorema di Pitagorasi ha:

~a2 +~b2 =(~b −~a

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

~c =~b −~a

~a2 +~b2 =(~b −~a

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

~c =~b −~a

~a2 +~b2 =(~b −~a

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

~c =~b −~a

~a2 +~b2 =(~b −~a

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

Vettori 2D e piano cartesiano Rette

Retta parallela al vettore ~v e passante per ilpunto P (xP , yP )(

)= k~v +

)Due rette, nel piano, definite rispettivamente daivettori ~v e ~w sono parallele se e solo se ~v ∥ ~w , sonoperpendicolari se e solo se ~v ⊥ ~w .

Retta passante per il punto A(xA, y A) eB(xB , yB ) (

(xA −xB

y A − yB

Equazione cartesiana retta passante perP (xP , yP ) e perpendicolare al vettore

x −xP

y − yP

)= 0 → a (x −xP )+b

(y − yP

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Ricordiamo la definizione di determinante diuna matrice 2×2

(a bc d

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣= ad −bc

Determinanti e aree dei parallelogrammi

S = | (ax +bx)(ay +by

)+−2bx ay −ax ay −bxby | =

= ∣∣axby −ay bx

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

)∣∣∣∣

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

)∣∣∣∣

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

)∣∣∣∣

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

)∣∣∣∣Michele prof. Perini Matematica 56 / 212

Determinanti e vettori paralleli:

~v ∥ ~w →~v = k~w

det(~v ~w

)= det

(vx wx

(kwx wx

kwy wy

)= kwx wy −kwx wy = 0

In conclusione:

~v ∥ ~w ↔ det(~v ~w

Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta

Distanza tra retta r e punto P

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette

I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.

fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )

fascio di rette parallele y = mx +k

fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0

Introduzione alle trasformazioni lineari

AffinitàUna affinità è una trasformazione lineare biunivocadi punti del piano in altri punti del piano. Unaaffinità A :R2 →R2 che trasforma punti dicoordinate (x, y) in punti di coordinate (x ′, y ′) puòessere descritta dal sistema di equazioni:

{x ′ = ax +by +hy ′ = cx +d y + s

con ad −bc 6= 0 affinché la trasformazione siainvertibile. Per ora limiteremo lo studio di questetrasformazioni ad alcuni casi particolari.

Introduzione alle trasformazioni lineari

Affinità e matriciIn termini matriciali una affinità A :R2 →R2 può essere scrittacome:

(x ′

(a bc d

)o anche:

(x ′

con L =(

a bc d

)una trasformazione lineare (invertibile con

det (L) = ad −bc 6= 0) e ~T =(

)un vettore di traslazione.

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2

{x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

( −1 00 −1

)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2

{x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

( −1 00 −1

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2{

x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

( −1 00 −1

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

•P (x, y)

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

•P (x, y)

•P ′(x ′, y ′)

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

•P (x, y)

•P ′(x ′, y ′)

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

Una trasformazione di simmetria assiale ha quindiequazione:{

x ′ = b2−a2

a2+b2 x − 2aba2+b2 y − 2ac

y ′ =− 2aba2+b2 x + a2−b2

a2+b2 y − 2bca2+b2

o anche (in termini matriciali):(x ′

a2 +b2

(b2 −a2 −2ab−2ab a2 −b2

)− 2c

a2 +b2

In particolare una simmetria rispetto a y = y0 (cona = 0,b = 1,c =−y0) ha equazione:{

x ′ = xy ′ =−y +2y0

(1 00 −1

In particolare una simmetria rispetto a x = x0 (cona = 1,b = 0,c =−x0) ha equazione:{

x ′ =−x +2x0

y ′ = y

( −1 00 1

In particolare una simmetria rispetto a y = x (cona =−1,b = 1,c = 0) ha equazione:{

x ′ = yy ′ = x

(0 11 0

In particolare una simmetria rispetto a y =−x (cona = 1,b = 1,c = 0) ha equazione:{

x ′ =−yy ′ =−x

(0 −1−1 0

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Traslazione: ~T =(

), •→•

Traslazione: ~T =(

), •→•

Traslazione: ~T =(

), •→•

Traslazione: ~T =(

), •→•

Equazione di una traslazione:{x ′ = x +hy ′ = y + s

(1 00 1

Introduzione alle trasformazioni lineari Dilatazioni

Una dilatazione di centro l’origine ha equazione:{x ′ = axy ′ = by

(a 00 b

Introduzione alle trasformazioni lineari Omotetie

Una omotetia di centro l’origine ha equazione:{x ′ = kxy ′ = k y

(k 00 k

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y =− f (x)

Grafico di y = f (x) e di y = f (−x)

Grafico di y = f (x) e di y = ∣∣ f (x)∣∣

Grafico di y = f (x) e di y = f (|x|)

Grafico di y = f (x) e di y = f (x +a)

Grafico di y = f (x) e di y = f (x)+b

Grafico di y = f (x) e di y = k f (x)

Grafico di y = f (x) e di y = f (kx)

Goniometria Angoli

Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.

rr ′

γ=ÙAB

ÚA′B ′

Goniometria Angoli

rr ′

γ=ÙAB

ÚA′B ′

Goniometria Angoli

rr ′

γ=ÙAB

ÚA′B ′

Goniometria Angoli

rr ′

γ=ÙAB

ÚA′B ′

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misura

L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misuraL’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

Goniometria Funzioni goniometriche

Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:

cos(γ)= xP

sin(γ)= yP

tan(γ)= yP

xP= sin

cos(γ)

Relazione goniometricafondamentale:

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

cos(γ)= xP

sin(γ)= yP

tan(γ)= yP

xP= sin

cos(γ)

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

cos(γ)= xP

sin(γ)= yP

tan(γ)= yP

xP= sin

cos(γ)

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

) = p3

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

) = p3

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

) = p3

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

−1 −0.5 0.5 1

−0.5

cos(π

sin(π

tan(π

)= sin

Goniometria Angoli associati

α+ π2

cos(α+ π

)=−sin(α)

sin(α+ π

)= cos(α)

α+ π2

cos(α+ π

)=−sin(α)

sin(α+ π

)= cos(α)

α+ π2

cos(α+ π

)=−sin(α)

sin(α+ π

)= cos(α)

απ−α

π+α −α1

cos(−α) = cos(α)

sin(−α) =−sin(α)

cos(π−α) =−cos(α)

sin(π−α) = sin(α)

cos(π+α) =−cos(α)

sin(π+α) =−sin(α)

απ−α

π+α −α1

απ−α

π+α −α1

Goniometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

Goniometria Grafici funzioni goniometriche

Funzione coseno, cos(x) :R→ [−1,1]

−π −π2

π 3π2

2π−1

cos(x) = cos(x +2kπ), k ∈Z

cos(−x) = cos(x)

Funzione seno, sin(x) :R→ [−1,1]

−π −π2

π 3π2

2π−1

sin(x) = sin(x +2kπ), k ∈Z

sin(−x) =−sin(x)

Funzione tangente, tan(x) :R−{π2 +kπ

−3π2

−π −π2

π 3π2

tan(x) = tan(x +kπ), k ∈Ztan(−x) =− tan(x)

Goniometria Funzioni periodiche

Funzioni periodicheUna funzione si dice periodica se per essa valef (x) = f (x +T ) ∀x del suo dominio e per un certoT > 0. Il minimo valore di T per cui è verificata larelazione precedente si dice periodo.

Seno e coseno sono periodiche di periodo 2π,tangente è periodica di periodo π.

Goniometria Funzioni goniometriche inverse

Funzione coseno, cos(x) : [0,π] → [−1,1]Funzione arcocoseno, arccos(x) : [−1,1] → [0,π]

−π −π2

1−1 π2

π 3π2−1

Funzione seno, sin(x) :[−π

2 , π2]→ [−1,1]

Funzione arcoseno, arcsin(x) : [−1,1] → [−π2 , π2

−π −π2

1−1 π2

−π2

Funzione tangente, tan(x) :]−π

2 , π2[→R

Funzione arcotangente, arctan(x) :R→ ]−π2 , π2

−π2

π2−π

Per le funzioni goniometriche e le loro inversevalgono le relazioni1:

cos(arccos(x)) = arccos(cos(x)) = x

sin(arcsin(x)) = arcsin(sin(x)) = x

tan(arctan(x)) = arctan(tan(x)) = x

con x appartenente al dominio della funzionegoniometrica o della sua inversa o di entrambe aseconda dell’insieme di esistenza delle scritture.1che sono particolari applicazioni della caratteristica generale delle

funzioni inverse: f ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = xMichele prof. Perini Matematica 97 / 212

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) = h

−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x = 2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R

se h <−1, ∀x ∈R

cos(x) > h

−arccos(h)

arccos(h)

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈R

se h ≤−1, 6 ∃x ∈R

cos(x) < h

2π−arccos(h)

arccos(h)

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) = h

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

sin(x) > h

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R

se h <−1, ∀x ∈R

sin(x) > h

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈R

se h ≤−1, 6 ∃x ∈R

sin(x) < h

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

x = arctan(h)+kπ

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

x = arctan(h)+kπ

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

x = arctan(h)+kπ

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

arctan(h)+kπ< x < π

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

arctan(h)+kπ≤ x < π

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

Ipotizziamo che sia:

0 <β<α< 2π

A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).

AB =C D

AB 2 =C D2(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 =

= (cos(β)−cos(α)

)2+(sin(β)− sin(α)

0 <β<α< 2π

AB =C D

)2 + (−sin(α−β))2 =

0 <β<α< 2π

AB =C D

)2 + (−sin(α−β))2 =

(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 = (

cos(β)−cos(α))2 + (

sin(β)− sin(α))2

ricordando che cos2(γ)+ sin2(γ) = 1, sviluppiamo eotteniamo:

2−2cos(α−β) = 2−2cos(α)cos(β)−2sin(α)sin(β)

cos(α−β) = cos(α)cos(β)+ sin(α)sin(β)

la relazione ottenuta è valida in generale essendo ilcoseno una funzione pari (cos(α−β) = cos(β−α)) eperiodica di periodo 2π.

La formula di sottrazione del coseno può essereriscritta anche come:

cos(α− (−β)) = cos(α)cos((−β))+ sin(α)sin((−β))

ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, si ottiene:

cos(α+β) = cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)

che è la formula di addizione del coseno.

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneSi è già dimostrato (nella sezione dedicata agli angoli associati) checos

(π2 +γ)=−sin

(γ), possiamo quindi scrivere:

sin(α+β)=−cos

(π2+ (α+β))=−cos

((π2+α

)=−cos

(π2+α

(β)+ sin

(π2+α

= sin(α)cos(β)+ sin

(π2+α

sempre nella sezione sugli angoli associati si è dimostrato chesin

(π2 +α)= cos(α), in sintesi si ha:

sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

che è la formula di addizione del seno.Michele prof. Perini Matematica 112 / 212

Ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, dalla formula di addizione delseno si può ottenere:

sin(α+ (−β)) = sin(α)cos(−β)+cos(α)sin(−β)

da cui in sintesi si ricava la formula di sottrazioneper il seno:

sin(α−β) = sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneDalla definizione di tangente e dalle formule diaddizione si può ottenere:

tan(α+β)= sin(α+β)

cos(α+β)=

= sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)=

=sin(α)cos(β)cos(α)cos(β) +

cos(α)sin(β)cos(α)cos(β)

cos(α)cos(β)cos(α)cos(β) −

sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)

=sin(α)cos(α) +

sin(β)cos(β)

1− sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)

= tan(α)+ tan(β)

1− tan(α) tan(β)

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneRiassumendo quanto visto in precedenza la formuladi addizione della tangente è:

tan(α+β)= tan(α)+ tan(β)

1− tan(α) tan(β)

ricordando che la tangente è una funzione dispari sipuò ottenere la formula di sottrazione dellatangente come:

tan(α−β)= tan(α)− tan(β)

1+ tan(α) tan(β)

le formule di addizione e sottrazione della tangentesono valide solamente per angoli che siano neldominio della tangente (cioè angoli 6= π

2 +kπ).Michele prof. Perini Matematica 115 / 212

Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione del coseno per α=β siottiene:

cos(α+α) = cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) =ricordando anche la relazione goniometricafondamentale cos2(α)+ sin2(α) = 1:

= 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1

in definitiva le formule di duplicazione del cosenosono:

cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) = 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1

Goniometria Formule di duplicazione

Dalla formula di addizione del seno per α=β siottiene:

sin(α+α) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

in definitiva la formula di duplicazione del seno è:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione della tangente per α=βsi ottiene:

tan(α+α) = tan(2α) = 2tan(α)

1− tan2(α)

in definitiva la formula di duplicazione dellatangente è:

tan(2α) = 2tan(α)

1− tan2(α)

la formula di duplicazione della tangente hasignificato solo per 2α 6= π

2 +kπ∧α 6= π2 +kπ.

Goniometria Formule di bisezione

Dalle formule di duplicazione del coseno si possonoricavare le equazioni sin2(α) = 1−cos(2α)

2 ecos2(α) = 1+cos(2α)

2 che riscritte per un angolo α2

anziché α diventano:

sin2(α

)= 1−cos(α)

cos2(α

)= 1+cos(α)

che sono le formule di bisezione per seno e coseno.

Goniometria Formule di bisezionePer la tangente è possibile ricavare diverse formuledi bisezione. Qui ne ricaviamo due utilizzando leformule di duplicazione e quelle di bisezione perseno e coseno:

tan(α

)= sin

) = 2sin2(α2

) = 2 1−cos(α)2

sin(α)= 1−cos(α)

sin(α)

tan(α

)= sin

) = 2sin(α2

)2cos2

) = sin(α)

2 1+cos(α)2

= sin(α)

1+cos(α)

in sintesi:

tan(α

)= 1−cos(α)

sin(α)= sin(α)

1+cos(α)

Goniometria Formule parametricheLe formule di bisezione per la tangente permettonodi ricavare (per α 6=π+2kπ):{

tan(α2

)= 1−cos(α)sin(α)

tan(α2

)= sin(α)1+cos(α)

→ cos(α) = 1−tan2(

)1+tan2

)sin(α) = 2tan

)1+tan2

)essendo l’immagine della tangente l’insieme R èpossibile effettuare la sostituzione t = tan

t ∈R, questo permette di esprimere le funzionigoniometriche in funzione di un parametro reale:

sin(α) = 2t

1+ t 2cos(α) = 1− t 2

1+ t 2tan(α) = 2t

1− t 2

Goniometria Funzione lineare in seno e cosenoCon a 6= 0∧b 6= 0 si ha:

f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =

a2 +b2

a2 +b2sin(x)+ bp

a2 +b2cos(x)

i coefficienti apa2+b2

e bpa2+b2

sono tali per cui lasomma dei loro quadrati è 1, possono quindi essereinterpretati come un particolare seno e coseno di uncerto angolo, in particolare poniamo:

cos(γ) = apa2 +b2

e sin(γ) = bpa2 +b2

Goniometria Funzione lineare in seno e coseno

la funzione lineare scritta anche in termini di seno ecoseno di γ diventa:

f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =

a2 +b2(cos(γ)sin(x)+ sin(γ)cos(x)

)+ c ==

√a2 +b2 sin

(x +γ)+ c

con {sin(γ) = bp

cos(γ) = apa2+b2

Coniche Circonferenza

CirconferenzaUna circonferenza è il luogo dei punti del piano chehanno la stessa distanza, detta raggio (r ), da unpunto detto centro C (x0, y0).

•C (x0, y0)•P (x, y)r

Equazione della circonferenza:

PC = r

PC 2 = r 2

(x −x0)2 + (y − y0

)2 = r 2

x2 + y2 −2x0x −2y0y +x20 + y2

0 − r 2 = 0

x2 + y2 +ax +by + c = 0

con a =−2x0, b =−2y0, c = x20 + y2

0 − r 2.

Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:

intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.

Circonferenza2 in sintesi:Equazione Notecentro-raggio:(x −x0)2 + (

y − y0

)2 = r 2C (x0, y0)r > 0

canonica:x2 + y2 +ax +by + c = 0

C(−a

2 ,−b2

√a2+b2

4 − c2

2le equazioni ricavate descrivono tutte le possibili circonferenze sulpiano xO y .

Fascio di circonferenzeUn fascio di circonferenze è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:

x2 + y2 +ax +by + c +k(x2 + y2 +a′x +b′y + c ′)= 0

se k =−1 l’equazione del fascio di circonferenze puòdivenire quella di una retta, in tal caso quella retta èdetta asse radicale.

Coniche Ellisse

EllisseUna ellisse è il luogo dei punti del piano P (x, y) chemantiene costante la somma delle distanze tra duepunti fissi, F1 e F2, detti fuochi.

•••

F1(−c,0) F2(c,0)

P (x, y)

Coniche Ellisse

Equazione di una ellisse con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:

PF1 +PF2 = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√

(x + c)2 + y2 = 2a −√

(x − c)2 + y2

(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x − c)2 + y2 −4a√

(x − c)2 + y2

(x − c)2 + y2 = 4a2 −4xc

Coniche Ellisse

(x − c)2 + y2 = a2 −xc

se a2 ≥ xc → x ≤ a2

a2 ((x − c)2 + y2)= a4 +x2c2 −2a2xc(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2(

a2 − c2)x2 +a2y2 = a2 (a2 − c2)

a2+ y2

a2 − c2= 1

Coniche Ellisseponendo b2 = a2 − c2 si ha:

a2+ y2

••

Le condizioni x ≤ a2

c e b2 = a2 − c2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 132 / 212

Coniche Ellisse

Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:

intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.

Coniche Ellisse

Ellisse3 in sintesi:Equazione Notefuochi su retta ∥ asse x:(x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2 = 1semiasse maggiore: asemiasse minore: b

centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p

a2 −b2

eccentricità: e = ca

fuochi su retta ∥ asse y :(x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2 = 1semiasse maggiore: bsemiasse minore: a

centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p

b2 −a2

eccentricità: e = cb

3le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili ellissi sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le ellissi a queste tramite unaaffinità.

Coniche Parabola

ParabolaUna parabola è il luogo dei punti del piano P (x, y)per cui rimane costante la distanza tra un puntodetto fuoco (F ) e una retta detta direttrice (d) acui il fuoco non appartiene.

••

Coniche Parabola

Equazione di una parabola con asse parallelo all’assey : F (xF , yF ) e direttrice y = d (yF 6= d):

PF = PH√(x −xF )2 + (y − yF )2 = ∣∣y −d

∣∣(x −xF )2 + (y − yF )2 = (y −d)2

2(yF −d)x2 + −xF

yF −dx + x2

F + y2F −d 2

2(yF −d)

y = ax2 +bx + c

con a = 12(yF−d) , b = −xF

yF−d e c = x2F+y2

F−d2

2(yF−d) .Michele prof. Perini Matematica 136 / 212

Coniche Parabola

a = 12(yF−d)

b = −xFyF−d

c = x2F+y2

F−d2

2(yF−d)

xF =− b

yF = 1−(b2−4ac)4a

d =−1+(b2−4ac)4a

ricordando che ∆= b2 −4ac il fuoco ha coordinateF

(− b2a , 1−∆

), la direttrice ha equazione y =−1+∆

4a el’asse di simmetria ha equazione x =− b

2a . Il verticedella parabola si può determinare intersecando l’assedi simmetria con la parabola stessa:{

x =− b2a

y = ax2 +bx + c→

{x =− b

2ay =− ∆

(− b

2a,− ∆

Coniche Parabola

Tangente ad una parabola (r P )Una tangente ad una parabola è una retta cheinterseca la parabola in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una parabola èsufficiente intersecare retta e parabola ottenendouna equazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0.

Coniche Parabola

Parabola4 in sintesi:Equazione Noteasse di simmetria ∥ asse y :y = ax2 +bx + cconcavità verso l’alto se a > 0

concavità verso il basso se a < 0

vertice: V(− b

2a ,− ∆4a

)fuoco: F

(− b2a , 1−∆

)asse di simmetria: x =− b

direttrice: y =−1+∆4a

asse di simmetria ∥ asse x:x = ay2 +by + cconcavità verso destra se a > 0

concavità verso sinistra se a < 0

vertice: V(− ∆

4a ,− b2a

)fuoco: F

(1−∆4a ,− b

)asse di simmetria: y =− b

direttrice: x =−1+∆4a

4le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili parabolesul piano xO y , è possibile ricondurre tutte le parabole a queste tramiteuna affinità.

Coniche Parabola

Fascio di paraboleUn fascio di parabole è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:

y −ax2 −bx − c +k(y −a′x2 −b′x − c ′)= 0

Coniche Iperbole

IperboleUna iperbole è il luogo dei punti del piano P (x, y)che mantiene costante la differenza delle distanzetra due punti fissi, F1 e F2, detti fuochi.

••

F1(−c,0) F2(c,0)

P (x, y)

Coniche Iperbole

Equazione di una iperbole con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:

|PF1 −PF2| = 2a∣∣∣∣√(x + c)2 + y2 −√

(x − c)2 + y2

∣∣∣∣= 2a

2x2 +2y2 +2c2 −2√

(x + c)2 + y2√

(x − c)2 + y2 = 4a2√(x + c)2 + y2

√(x − c)2 + y2 =−2a2 +x2 + y2 + c2

Coniche Iperbole

se −2a2 +x2 + y2 + c2 ≥ 0 → x2 + y2 ≥ 2a2 − c2:((x + c)2 + y2)((x − c)2 + y2)= (−2a2 +x2 + y2 + c2)2

c4 −2c2x2 +2c2y2 +x4 +2 x2y2 + y4 == 4 a4−4 a2c2−4 a2x2−4 a2y2+c4+2c2x2+2c2y2+x4+

+2 x2y2 + y4

−2c2x2 = 4a4 −4a2c2 −4a2x2 −4a2y2 +2c2x2

(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2

(a2 − c2)x2 +a2y2 = a2(a2 − c2)

Coniche Iperboleponendo −b2 = a2 − c2 → c2 = a2 +b2 si ha:

a2− y2

••F1(−c,0) F2(c,0)a

Le condizioni x2 + y2 ≥ 2a2 − c2 e c2 = a2 +b2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 144 / 212

Coniche Iperbole

Asintoti dell’iperbole

Intersechiamo l’iperbole con una qualsiasi retta perl’origine per determinare per quali valori di m essa èsecante l’iperbole.{

a2 − y2

b2 = 1y = mx

a2 − m2x2

b2 = 1y = mx

(b2 −a2m2)x2 = a2b2

y = mx

l’equazione di secondo grado (b2 −a2m2)x2 = a2b2

ammette 2 soluzioni distinte se e solo se ∆> 0 →4a2b2(b2 −a2m2) > 0 → m2 < (

)2 →−ba < m < b

Coniche IperboleSe −b

a < m < ba la retta è secante l’iperbole. Le rette

y =±ba x, sono le “prime” non secanti e non

tangenti all’iperbole e sono dette asintoti.

••F1 F2

Coniche Iperbole

Tangente ad una iperbole (r I )Una tangente ad una iperbole è una retta cheinterseca l’iperbole in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una iperbole è sufficienteintersecare retta e iperbole ottenendo una equazionedi secondo grado, che ammette una sola soluzionese e solo se il ∆= 0.

Coniche Iperbole

Iperbole5 in sintesi:Equazione Notefuochi sull’asse x:(x−x0)2

a2 − (y−y0)2

b2 = 1centro: C (x0, y0)

fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p

a2 +b2

asintoti:y − y0 =±b

a (x −x0)fuochi sull’asse y :(x−x0)2

a2 − (y−y0)2

b2 =−1centro: C (x0, y0)

fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p

a2 +b2

asintoti:y − y0 =±b

a (x −x0)

5le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili iperboli sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le iperboli a queste tramite unaaffinità.

Coniche Iperbole

Iperboli equilatere

Una iperbole equilatera è una iperbole con a = b, lasue equazione canonica è dunque:

x2 − y2 =±a2

gli asintoti di una iperbole equilatera sono lebisettrici del primo e terzo e del secondo e quartoquadrante (y =±x). L’equazione dell’iperbole si puòriscrivere come:

(x − y)(x + y) =±a2

Coniche Iperbole

Se all’equazione (x − y)(x + y) =±a2 si applica latrasformazione6:{

x ′ =p

22 x −

y ′ =p

22 x +

2 y↔

(x ′

2 −p

)si ottiene l’equazione:

x ′y ′ =±(p

→ x y = k

detta iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.6la trasformazione scelta corrisponde ad una rotazione di π

4Michele prof. Perini Matematica 150 / 212

Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π

4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(

x ′y ′

2 −p

)(x ′y ′

Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−

2 x ′+p

22 y ′ =

2 x ′+p

22 y ′ →

x ′ = 0y =−x →−

2 x ′+p

22 y ′ =−

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0

x ′y ′

2 −p

)(x ′y ′

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)

Asintoti: y = x →−p

22 x ′+

2 y ′ =p

22 x ′+

2 y ′ →x ′ = 0y =−x →−

2 x ′+p

22 y ′ =−

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0

x ′y ′

2 −p

)(x ′y ′

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−

2 x ′+p

22 y ′ =

2 x ′+p

22 y ′ →

x ′ = 0y =−x →−

2 x ′+p

22 y ′ =−

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0Michele prof. Perini Matematica 151 / 212

Coniche Iperbole

••

Coniche Iperbole

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti:Equazione Notefuochi su y = x:x y = kk > 0

fuochi: F (±p2k,±p2k)c =p

2a = 2p

kasintoti:y = 0∨x = 0

fuochi su y =−x:x y = kk < 0

fuochi:F (∓p−2k,±p−2k)c =p

2a = 2p−k

asintoti:y = 0∨x = 0

Coniche Iperbole

Funzione omografica:

Una funzione omografica è una iperbole equilaterariferita ai propri asintoti traslata con centro inC (x0, y0). L’equazione della curva per effetto dellatraslazione diventa:

(x −x0)(y − y0) = k → y = αy0x +αk −αx0y0

αx −αx0, α 6= 0

possiamo riscriverla come:

y = ax +b

cx +dcon a =αy0,b =αk−αx0y0,c =α,d =−αx0

Coniche Iperbole

y = ax +b

cx +dcon x0 =−d

c, y0 = a

c, k = bc −ad

Coniche Iperbole

Funzione omografica:Equazione Notey = ax+b

k = bc−adc2 > 0

fuochi:F (±p2k − d

c ,±p2k + ac )

c =p2a = 2

asintoti:y = a

c ∨x =−dc

y = ax+bcx+d

k = bc−adc2 < 0

fuochi:F (∓p−2k − d

c ,±p−2k + ac )

c =p2a = 2

p−kasintoti:y = a

c ∨x =−dc

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 07 rappresenta una conica. In particolare se AC 6= 0:

[x2 + D

[y2 + E

]+F = 0

[(x + D

− D2

[(y + E

− E 2

]+F = 0

(x + D

(y + E

4A+ E 2

4C−F

7in generale l’equazione di una conica è del tipoAx2 +B x y +C y2 +Dx +E y +F = 0 che è riconducibile tramite unatrasformazione lineare a Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0.

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

4A + E 2

4C −F]

una ellisse se: AC > 0∧[

4A + E 2

4C −F]

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F 6= 0

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F 6= 0

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F 6= 0

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F]

4A + E 2

4C −F 6= 0

In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:

una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0

una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C

una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0

una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0

8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.

Coniche Sezioni di cono

ConoUn cono è la superficie che si ottiene facendoruotare due rette incidenti, dette generatrici,attorno alla loro bisettrice, detta asse.

assegeneratrice

generatrice

Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:

sezione rispetto al piano y = 0:

generatrici: z =±mx ∧ y = 0

sezione rispetto al piano x = 0:

generatrici: z =±my ∧x = 0

Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:sezione rispetto al piano y = 0:

Circonferenza

piano ⊥ asse: z = h

{m2x2 +m2y2 = z2

x2 + y2 = h2

Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

x2 + y2 = h2

Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

x2 + y2 = h2

Ellisse

piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Ellissesezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Ellissesezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Parabola

piano: z = mx +q, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

2qy2 − q

Parabolasezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

2qy2 − q

Parabolasezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

2qy2 − q

Iperbole

piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Trigonometria Triangoli rettangoli

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

tanα= a

tanβ= b

Trigonometria Area di un triangolo

Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

•A(0,0)

•B(c,0)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

•A(0,0)

•B(c,0)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

L’area del triangolo ABC si può ottenere dallarelazione qui sotto dimostrata(b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):

S ABC = 1

2xB yC = 1

2bc sinα

In conclusione:

S ABC = 1

2bc sinα

Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.

• Aα

•Bβ

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

B(r cos(v),r sin(v)),

C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

• Aα

•Bβ

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

• Aα

•Bβ

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

2Michele prof. Perini Matematica 170 / 212

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

�AOB = v, �AOC = w, �OC A = �O AC = w −π2

α= π− v

2+ w −π

2= w − v

β= π− v

2+ π− (w − v)

2= 2π−w

γ= π− (w − v)

2+ w −π

2Le ultime tre relazioni dimostrano che l’angolo al centro è doppio rispettoall’angolo alla circonferenza e che tutti gli angoli alla circonferenza di unacorda di data lunghezza sono uguali tra loro. Infatti γ dipende solo da v

che dipende solo dalla lunghezza di AB = c, così anche per α e β chedipendono solo dalle corde BC = a e C A = b.

AB = c = r√

(cos(v)−1)2 + (sin(v))2 == r

√cos(v)2 + sin(v)2 +1−2cos(v) =

√1−cos(v)

2= 2r sin

)= 2r sin(γ)

in sintesi:c = 2r sin(γ)

AC = b = r√

(cos(w)−1)2 + (sin(w))2 == r

√cos(w)2 + sin(w)2 +1−2cos(w) =

√1−cos(w)

2= 2r sin

)= 2r sin

(π− w

= 2r sin

(2π−w

)= 2r sin(β)

in sintesi:b = 2r sin(β)

BC = a = r√

(cos(w)−cos(v))2 + (sin(w)− sin(v))2 =

= r√

2−2cos(w)cos(v)−2sin(w)sin(v) =

√1− (cos(w)cos(v)+ sin(w)sin(v))

√1−cos(w − v)

2= 2r sin

(w − v

)= 2r sin(α)

in sintesi:a = 2r sin(α)

Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.

Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.

Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)

Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.

Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.

Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)Michele prof. Perini Matematica 175 / 212

I teoremi della corda e dei seni si possonosintetizzare in un solo teorema.Teorema dei seni e della cordaIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ e inscritto in unacirconferenza di raggio r , vale la relazione:

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)= 2r

Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).

•A(0,0)

•B(c,0)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

•A(0,0)

•B(c,0)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

•A(0,0)

•B(c,0)

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

Trigonometria Teorema del cosenoTenendo conto del fatto chea > 0, b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):

a = ∣∣ ~BC∣∣

a2 = ~BC2 = (b cosα− c)2 + (b sinα)2 =

= b2 cos2α+ c2 −2bc cosα+b2 sin2α== b2 + c2 −2bc cosα

In conclusione:

a2 = b2 + c2 −2bc cosα

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

~AB + ~BC = ~AC~BC = ~AC − ~AB(

~BC)2 = (

~AC − ~AB)2

a2 = b2 + c2 −2 ~AC · ~AB

confrontando quest’ultima scrittura con il teorema di Carnotsu ABC , a2 = b2 +c2 −2bc cos(α), si può ottenere la relazione:

~AC · ~AB = bc cos(α) = ∣∣ ~AC∣∣ · ∣∣ ~AB

∣∣cos(α)

In generale il prodotto scalare tra due vettori è ilprodotto del modulo dei vettori per il cosenodell’angolo tra essi compreso.

Prodotto scalareIl prodotto scalare tra due vettori ~a e ~b tra cui ècompreso l’angolo γ si può scrivere anche come:

~a ·~b = ab cos(γ)

Statistica Sommatorie

(ax1 +b)+ (ax2 +b)+·· ·+ (axi +b)+·· ·+ (axn +b) == (ax1 +ax2 +·· ·+axi +·· ·+axn)+b +·· ·+b︸︷︷︸

n−volte=

= a(x1 +x2 +·· ·+xi +·· ·+xn)+nb

oppuren∑

i=1(axi +b) =

i=1axi +

n∑i=1

= an∑

i=1xi +nb

Statistica Dati e loro rappresentazione

Indichiamo un dato di una indagine statistica conuna lettera minuscola e un pedice:

x1, x2, . . . , xi , . . . , xN

a dati diversi corrispondono pedici diversi, a datiuguali corrispondono pedici uguali, la statisticacomprende N dati in totale.

Statistica Frequenze assoluteUn medesimo dato può presentarsi può volte, inquesto caso ad esso associamo una frequenza, cioèil numero di volte che tale dato si è presentato:

X fx1 f1

. . . . . .xi fi

. . . . . .xn fn

La scrittura significa che il dato xi si è presentatoun numero fi di volte.

Statistica Frequenze relativeLa totalità dei dati di una statistica è pari allasomma delle frequenze:

N =n∑

Sono frequenze relative le fR :X f fR

x1 f1f1

x2 f2f2

N. . . . . . . . .xi fi

. . . . . . . . .xn fn

NMichele prof. Perini Matematica 185 / 212

Statistica Frequenze cumulate

Le frequenze cumulate si ottengono sommando lefrequenze assolute come mostrato in tabella:

X f fC

x1 f1 f1

x2 f2 f1 + f2

. . . . . . . . .xi fi f1 + f2 +·· ·+ fi

. . . . . . . . .xn fn N

Statistica Frequenze relative cumulate

Le frequenze relative cumulate si ottengonosommando le frequenze relative come mostrato intabella:

X f fRC

x1 f1f1

x2 f2f1+ f2

N. . . . . . . . .xi fi

f1+ f2+···+ fiN

. . . . . . . . .xn fn 1

Statistica La media aritmeticaLa media aritmetica dei dati di una statistica è datadalla relazione:

µ=N∑

oppure, utilizzando le frequenze:

µ=n∑

oppure utilizzando le frequenze relative:

µ=n∑

fRi xi

Statistica La varianza

La varianza dei dati di una statistica è data dallarelazione:

σ2 =N∑

(xi −µ)2

N∑i=1

x2i −2µxi +µ2

N−2µ

N∑i=1

N+ Nµ2

N∑i=1

N−2µ2 +µ2 =

N−µ2

Statistica La deviazione standard

La deviazione standard o scarto quadratico medio èdato dalla:

σ=√√√√ N∑

(xi −µ)2

√√√√ N∑i=1

N−µ2

oppure in termini di frequenze assolute:

σ=√

n∑i=1

fi (xi −µ)2

Statistica Test del χ2 di Cramer

Lo scopo che ci prefiggiamo di raggiungere è didefinire un indice che dia conto della dipendenzastatistica tra due caratteri X e Y . Tabuliamo lefrequenze con cui compaiono i caratteri oggetto distudio per meglio comprendere quale sia la relazioneche intercorre tra le due. Denoteremo con f (xi , y j )la frequenza con cui vengono rilevati entrambi icaratteri xi e y j (frequenze congiunte) e con f (xi ) ef (y j ) la totalità delle frequenze rispettivamente dixi e y j (frequenze marginali). L’insieme dellefrequenze marginali è detto distribuzione marginale.

Tabella delle frequenze:y1 . . . y j . . . yh Totale

x1 f (x1, y1) . . . f (x1, y j ) . . . f (x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f (xi , y1) . . . f (xi , y j ) . . . f (xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f (xk , y1) . . . f (xk , y j ) . . . f (xk , yh) f (xk )

Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n

Frequenze marginali di X : f (xi ) =h∑

j=1f (xi , y j )

Frequenze marginali di Y : f (y j ) =k∑

i=1f (xi , y j )

Totale delle frequenze: n =k∑

i=1f (xi ) =

h∑j=1

f (y j ) =k∑

h∑j=1

f (xi , y j )

Tabella delle frequenze nell’ipotesi che X e Y siano indipendenti:y1 . . . y j . . . yh Totale

x1 f ′(x1, y1) . . . f ′(x1, y j ) . . . f ′(x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f ′(xi , y1) . . . f ′(xi , y j ) . . . f ′(xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , y j ) . . . f ′(xk , yh) f (xk )

Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n

Frequenze teoriche: f ′(xi , y j ) = n

(f (xi )

)(f (y j )

)= f (xi ) f (y j )

Freq. marginali di X :h∑

j=1f ′(xi , y j ) =

h∑j=1

f (xi ) f (y j )

n= f (xi )

h∑j=1

f (y j ) = f (xi )

Freq. marginali di Y :k∑

i=1f ′(xi , y j ) =

k∑i=1

f (xi ) f (y j )

n= f (y j )

k∑i=1

f (xi ) = f (y j )

Tabella delle contingenze (differenza tra frequenze rilevate eteoriche):

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 c(x1, y1) . . . c(x1, y j ) . . . c(x1, yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi c(xi , y1) . . . c(xi , y j ) . . . c(xi , yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk c(xk , y1) . . . c(xk , y j ) . . . c(xk , yh) 0

Totale 0 0 0 0 0 0

Contingenze: c(xi , y j ) = f (xi , y j )− f ′(xi , y j )

F. m. cont. di X :h∑

j=1c(xi , y j ) =

h∑j=1

f (xi , y j )−h∑

j=1f ′(xi , y j ) = f (xi )− f (xi ) = 0

F. m. cont. di Y :k∑

i=1c(xi , y j ) =

k∑i=1

f (xi , y j )−k∑

i=1f ′(xi , y j ) = f (y j )− f (y j ) = 0

Statistica Test del χ2 di CramerLe contingenze sono a somma nulla, per ottenere unindice complessivo non identicamente nullo si scegliedi tenere conto dei quadrati delle contingenze divisiper la frequenza teorica.

Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .

Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2

Chi quadro: χ2 =k∑

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )

Se X e Y sono indipendenti si haf (xi , y j ) = f ′(xi , y j ) e quindi c2(xi ,y j )

f ′(xi ,y j ) = 0

Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) in caso di X e Y indipendenti:

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk 0 . . . 0 . . . 0 0

Totale 0 0 0 0 0 χ2 = 0

Statistica Test del χ2 di CramerSe X e Y sono dipendenti si ha

f (xi , y j ) ={

0 se i 6= jf (xi ) = f (yi ) se i = j

f (xi ) = 0 se i > min(h,k), f (y j ) = 0 se j > min(h,k)

Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale

x1 f (x1) 0 0 0 0 0 0 f (x1). . . 0 . . . 0 0 0 0 0 . . .xi 0 0 f (xi ) 0 0 0 0 f (xi ). . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . .xk 0 0 0 0 f (xk ) 0 0 f (xk )

Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n

La perfetta dipendenza si ha se xi → yi e viceversa per ogni i , il massimonumero di connessioni è min(k,h).

Se X e Y sono dipendenti le frequenze teoriche diventano:

f ′(xi , y j ) ={

f (xi ) f (y j )n se i ≤ min(h,k)∧ j ≤ min(h,k)

0 se i > min(h,k)∨ j > min(h,k)

Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale

x1f 2(x1)

n . . . f ′(x1, yi ) . . . f ′(x1, yk ) 0 0 f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xi f ′(xi , y1) . . . f 2(xi )

n . . . f ′(xi , yk ) 0 0 f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , yi ) . . . f 2(xk )

n 0 0 f (xk )Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

(f (xi , y j )− f ′(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

f (xi , y j )− f (xi ) f (y j )

f (xi ) f (y j )=

f 2(xi , y j )−2f (xi , y j ) f (xi ) f (y j )

n+ f 2(xi ) f 2(y j )

f (xi ) f (y j )=

= n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )

Nel caso della perfetta dipendenza si ha:

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

0 se i ∨ j > min(h,k)

n −2 f (xi )+ f 2(xi )n se i = j

f (xi ) f (y j )

n se i 6= j ≤ min(h,k)

per la somma di tutte le celle (χ2):min(h,k)∑

(n −2 f (xi )+ f 2(xi )

)︸︷︷︸

+min(h,k)∑

min(h,k)∑j=1

f (xi ) f (y j )

n︸︷︷︸i∧ j≤min(h,k)

−min(h,k)∑

f 2(xi )

n︸︷︷︸i= j≤min(h,k)︸︷︷︸

i 6= j≤min(h,k)

=min(h,k)∑

(n −2 f (xi )

)+min(h,k)∑i=1

min(h,k)∑j=1

f (xi ) f (y j )

= n ·min(h,k)−2n + 1

min(h,k)∑i=1

f (xi )min(h,k)∑

f (y j ) =

= n ·min(h,k)−2n + n2

n= n(min(h,k)−1)

Statistica Test del χ2 di CramerFormula alternativa per il χ2:

χ2 =k∑

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

h∑j=1

(n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )

h∑j=1

n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2n +n =

h∑j=1

f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−1

In sintesi la tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .

Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2

χ2 =k∑

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )= n

h∑j=1

f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−1

0 ≤χ2 ≤ n(min(h,k)−1)

Per ottenere un indice compreso tra zero e uno,dove zero indica la perfetta indipendenza tra duecaratteri e uno la perfetta dipendenza,normalizziamo il χ2:

χ2normalizzato =

n(min(h,k)−1)

Statistica Regressione lineareDato un certo numero di punti su un piano ciproponiamo di trovare un metodo che consenta dideterminare se questi punti sono linearmentecorrelati e di determinare la retta che eventualmenteli correli.

1 2 3 4 5

Statistica Regressione lineareDati gli n punti Pi (xi , yi ) si ha:

media ascisse: x =n∑

n, varianza: σ2

x =n∑

(xi −x)2

n∑i=1

n−x2

media ordinate: y =n∑

n, varianza: σ2

y =n∑

(yi − y)2

n∑i=1

n−y2

retta interpolante: y = mx +q → y = mx +q

varianza sulle yteor i che − yd ati : σ2 =n∑

(yi − (mxi +q))2

covarianza: σx y =n∑

(xi −x)(yi − y)

n∑i=1

xi yi −xi y −x yi +x y

n− y

n∑i=1

n+x y =

n∑i=1

n−x y

Statistica Regressione lineareVogliamo che la retta di regressione renda minimala varianza sulla differenza tra le yteor i che e le yd ati ,deve cioè essere minima la quantità:

n∑i=1

(yi − (mxi +q))2 =n∑

(yi −mxi −q)2 =

(m2x2i +2mqxi −2mxi yi +q2 −2q yi + y2

ricordando che q = y −mx:

i=1(x2m2−2xm2xi+m2x2

i −2x ym+2xmyi+2ymxi−2mxi yi+y2−2y yi+y2i ) =

Statistica Regressione lineare

ricordando che∑ni=1 xi = nx,

∑ni=1 yi = ny ,

∑ni=1 x2

i = nσ2x +

nx2,∑n

i=1 y2i = nσ2

y +ny2 ∑ni=1 xi yi = nσx y +nx y si

ottiene:=σ2

xnm2 −2σx y nm +nσ2y

il polinomio di secondo grado in m assume valoreminimo per:

m = 2σx y n

2σ2xn

= σx y

La retta che meglio interpola i dati è la retta:

y = σx y

x + y − σx y

oppure:y − y = σx y

(x −x)

Una possibile misura della bontà della linearità delladistribuzione di punti di cui abbiamo ricavato laretta di regressione può essere data dalla varianzasulla differenza tra y teoriche e quelle dei dati, cheper la m della retta di regressione diventa:

σ2 =σ2

xn(σx y

)2 −2σx y n(σx y

)+nσ2

=−σ2

+σ2y =

σ2yσ

2x −σ2

La relazione σ2 = σ2yσ

2x−σ2

ci permette di ricavare:

σ2yσ

2x −σ2

≥ 0 →σ2x y ≤σ2

yσ2x →

−σyσx ≤σx y ≤σyσx

vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx

i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2

x y = 0.

La relazione σ2 = σ2yσ

2x−σ2

ci permette di ricavare:

σ2yσ

2x −σ2

≥ 0 →σ2x y ≤σ2

yσ2x →

−σyσx ≤σx y ≤σyσx

vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx

i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2

x y = 0.

Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:

r = σx y

σyσx→−1 ≤ r ≤ 1

e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:

r 2 =σ2

σ2yσ

→ 0 ≤ r 2 ≤ 1

vi è perfetta linearità se r 2 = 1

i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.

Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:

r = σx y

σyσx→−1 ≤ r ≤ 1

e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:

r 2 =σ2

σ2yσ

→ 0 ≤ r 2 ≤ 1

vi è perfetta linearità se r 2 = 1

i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.

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