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II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA11 Gennaio 1999

ESERCIZIO NO. 1 [ SISTEMA A DUE LIVELLI ]

L’hamiltoniano di un sistema quantistico a due livelli e descritto dal seguente operatore:

H | 1〉 =| 1〉+ eiπ/4 | 2〉 , H | 2〉 = e−iπ/4 | 1〉

dove | 1〉 e | 2〉 sono gli autostati normalizzati di un altro operatore hermitiano A:

A | 1〉 =√

2 | 1〉 , A | 2〉 = −√

2 | 2〉

All’istante t = 0 si esegue una misura dell’osservabile associata all’operatore A e sitrova il valore −

√2.

a) Immediatamente dopo si esegue una misura di energia. Qual e la probabilita di trovareil sistema nello stato fondamentale?

b) Come cambia questa probabilita eseguendo la misura dopo un intervallo di tempo finitot ?

c) In quali istanti di tempo t > 0 (se esistono) il sistema si ritrova nello stesso stato in cuisi trovava al tempo t = 0 ?

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II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA17 Gennaio 1997

ESERCIZIO NO. 2 [ BUCA DI POTENZIALE INFINITA ]

Una particella di massa m e vincolata a muoversi in una dimensione soggetta all’azione delpotenziale: {

V (x) = +∞ , per |x| ≥ L/2V (x) = 0 , per |x| < L/2

All’istante iniziale la funzione d’onda e:

ψ(x, t = 0) =

√2

L

(cos

πx

L− cos

3πx

L

)· θ(x+

L

2

)θ (−x)

1) Quali, fra i possibili risultati di una misura dell’ energia della particella, hanno proba-bilita non nulla?

2) Determinare le probabilita dei primi tre autovalori dell’ Hamiltoniano.

3) Supponendo che il sistema evolva liberamente, determinare la funzione d’onda del sis-tema ad un tempo t > 0 generico.

4) FACOLTATIVO: Esiste un istante di tempo t > 0 tale che in quell’istante la particellanon possa essere trovata nella meta sinistra del segmento, x < 0? In caso affermativo,quando questo si verifica per la prima volta?

Si ricordi che gli autovalori e le autofunzioni della buca di potenziale considerata sono:

En =h2π2

2mL2n2 , n = 1, 2, . . .

e: ψn(x) =

√2

Lsen

(nπ

Lx)

, per n pari

ψn(x) =

√2

Lcos

(nπ

Lx)

, per n dispari

Definendo inoltre i seguenti integrali:

ICS(m,n) =∫dα cos (mα) sen (nα)

ICC(m,n) =∫dα cos (mα) cos (nα)

si ha, per m 6= n:

ICS(m,n) =1

m2 − n2[n cos (mα) cos (nα) +m sen (mα) sen (nα)]

ICC(m,n) =1

m2 − n2[m cos (nα) sen (mα)− n cos (mα) sen (nα)]

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II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA26 Gennaio 2001

ESERCIZIO NO. 1 [ BUCA DI POTENZIALE A DELTA E GRADINO ]

Una particella di massa m priva di spin si muove in una dimensione soggetta al potenziale:

V (x) = −V0 a δ(x)− V0 θ(x− b)

dove V0, a e b sono costanti positive.

a) Determinare la condizione di esistenza di eventuali stati legati della particella e la cor-rispondente funzione d’onda. Per semplicita, in quest’ultima si lasci indicata generi-camente la costante di normalizzazione moltiplicativa.

b) Si consideri il caso limite in cui b→∞ ed il potenziale in tutto lo spazio assume per-tanto la forma V (x) = −V0 a δ(x). Utilizzando i risultati precedentemente ottenuti,determinare l’autovalore dell’energia dell’unico stato legato esistente e la corrispon-dente autofunzione.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA7 Giugno 2000

ESERCIZIO NO. 2 [ BARRIERA DI POTENZIALE A DELTA E COEFFICIENTI R,T ]

Un fascio di particelle, di massa m e spin 0, e vincolato a muoversi in una dimensionesoggetto al potenziale V (x) definito da:

V (x) = +∞ per x < 0

V (x) =h2λ

2mδ (x− a) per x > 0

con λ ed a costanti positive.

a) Determinare (a meno di una costante di normalizzazione assoluta) le autofunzionidell’energia del sistema e trovare per quali valori dell’energia tali autofunzioni sonole stesse che si avrebbero in assenza della barriera di potenziale a delta.

b) Assumendo che il fascio incidente si muova da destra verso sinistra, proveniente dax = +∞, calcolare la densita di corrente ji dell’onda incidente sulla barriera dipotenziale a delta in x = a e la densita di corrente jr dell’onda riflessa da talebarriera. Mostrare inoltre che per il coefficiente di riflessione:

R =jr|ji|

si ottiene il valore R = 1. Sapreste dare una spiegazione di tale risultato?

c) Calcolare a quale valore tende la probabilita che una particella si trovi nella regione0 < x < a quando l’energia del fascio tende a zero.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA13 Settembre 2001

ESERCIZIO NO. 2 [ BARRIERA DI POTENZIALE E COEFFICIENTI R,T ]

Un fascio di particelle di massa m prive di spin, proveniente dalla regione x = −∞, incidecon energia E = V0 sulla barriera di potenziale

V (x) =

{0, per x < 0, x > aV0, per 0 < x < a

a) Determinare la funzione d’onda delle particelle ed i coefficienti di riflessione e trasmis-sione.

b) Determinare la probabilita relativa che le particelle si trovino rispettivamente nelleregioni 0 < x < a ed a < x < 2a.

c) Utilizzando i risultati ottenuti al punto a), determinare la funzione d’onda ed i coeffici-enti di riflessione e trasmissione nel limite in cui la lunghezza a della barriera tendead infinito (gradino di potenziale).

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PROVA DI ESAME DI FISICA QUANTISTICA16 Settembre 2002

ESERCIZIO [ PARTICELLA SU UNA CIRCONFERENZA ]

Una particella di massa m, priva di spin, e vincolata a muoversi su di una circonferenza diraggio R, posizionata nel piano x y e centrata nell’origine. L’Hamiltoniana che descrive laparticella e pertanto

H =p2ϑ

2mR2= − h2

2mR2

d2

dϑ2

dove ϑ rappresenta l’angolo polare che definisce la posizione della particella sulla circon-ferenza e pϑ = −i h d/dϑ e il suo momento coniugato, coincidente con la componente lungol’asse z del momento angolare della particella.

All’istante iniziale t = 0, la particella si trova nello stato descritto dalla funzione d’onda

ψ (ϑ) = N (1 + cosϑ)

dove N e una costante di normalizzazione.

a) Verificare che le funzioni

ϕ` (ϑ) =1√2π

ei`ϑ, ` = 0,±1,±2, . . .

sono autofunzioni simultanee del momento pϑ e dell’Hamiltoniana H, calcolarne icorrispondenti autovalori ed il relativo livello di degenerazione.

b) Determinare i possibili risultati di una misura dell’energia della particella, le rispettiveprobabilita ed il valore medio dell’energia.

c) Scegliendo per convenzione l’angolo ϑ compreso nell’intervallo [−π, π], calcolare il valoremedio di ϑ all’istante t = 0 e giustificare il risultato ottenuto studiando il grafico delladistribuzione |ψ (ϑ)|2.

d) Calcolare, all’istante iniziale t = 0, il valore dell’indeterminazione ∆ϑ =(〈ϑ2〉 − 〈ϑ〉2

)1/2.

e) Verificare che l’operatore velocita angolare ϑ =dϑ

dte legato alla componente z del

momento angolare dalla relazione classica pϑ = mR2ϑ.

f) FACOLTATIVO: Verificare che, nello stato della particella, la velocita angolare havalore medio (indipendendente dal tempo) nullo e pertanto il valore medio dell’angoloϑ risulta costante nel tempo: ⟨

ϑ⟩

=d

dt〈ϑ〉t = 0 .

Verificare questo risultato mediante un calcolo esplicito del valore medio 〈ϑ〉t al tempogenerico t.

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II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA17 Gennaio 1997

ESERCIZIO NO. 1 [ OSCILLATORE ARMONICO ]

Un oscillatore armonico lineare di massa m e pulsazione ω si trova al tempo t = 0 in unostato tale che a) misurando l’osservabile aa† si trovano solo i valori 1 e 3; b) il valore mediodi a†a e 1/2 e quello di aa+ a†a† e zero.

1) Determinare lo stato piu generale che obbedisce a queste condizioni.

2) Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’energia potenziale.

3) Se un tale oscillatore si trova ad un dato istante nello stato la cui funzione d’onda equella dello stato fondamentale di un oscillatore di uguale massa e pulsazione 2ω,qual e la probabilita che misurando l’energia a tale istante si trovi 1

2hω, cioe quella

del suo stato fondamentale?

Si ricordi che la funzione d’onda dello stato fondamentale di un oscillatore armonico dimassa m e pulsazione ω e:

ψ0(x) =(mω

πh

)1/4

exp(−mω

2hx2)

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3

II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA11 Gennaio 1999

ESERCIZIO NO. 2 [ OSCILLATORE ARMONICO ]

Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ω si trova, all’istante iniziale t = 0, in unostato che non contiene stati piu eccitati del secondo:

| ψ0〉 = α | 0〉+ β | 1〉+ γ | 2〉

Si sa inoltre che il valore medio dell’energia e 〈E〉 = 3/4 hω e che il valore medio dellaposizione, ad un qualunque istante di tempo t successivo, e nullo ed indipendente daltempo: 〈x〉t = 〈ψt | x | ψt〉 = 0.

a) Mostrare che le suddette condizioni non sono sufficienti a determinare univocamente lostato iniziale | ψ0〉 e derivare l’espressione piu generale risultante per tale stato.

b) Individuare una possibile misura di un’osservabile fisica che consenta di determinarecompletamente lo stato | ψ0〉, dimostrandone l’efficacia in tal senso.

c) FACOLTATIVO: l’indipendenza dal tempo del valore medio di x sullo stato | ψt〉 im-plica:

d

dt〈ψt | x | ψt〉 ≡ 〈ψt |

dx

dt| ψt〉 =

i

h〈ψt | [H, x] | ψt〉 = 0

Esprimendo l’operatore dx/dt in termini degli operatori di creazione e distruzione, aed a†, dimostrare che vale l’equazione del moto:

dx

dt=

p

m

dove p e l’operatore impulso, e che il valore medio di tale operatore sullo stato | ψt〉e effettivamente nullo.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA5 Febbraio 2001

ESERCIZIO NO. 2[ OSCILLATORE ARMONICO BIDIMENSIONALE E TEORIA DELLE PERTURBAZIONI ]

Una particella di massa m e priva di spin e vincolata a muoversi in due dimensioni soggettaad un potenziale centrale di tipo armonico. L’hamiltoniana che descrive la particella epertanto:

H =p2x

2m+

p2y

2m+

1

2mω2 (x2 + y2)

La particella si trova in uno stato tale che: 1) una misura dell’energia fornisce con certezzail risultato E = 2 h ω; 2) il valore medio dell’operatore A = x y e uguale ad h/(2mω); 3)il valore medio dell’operatore B = x2 − y2 e nullo.

a) Determinare lo stato della particella.

b) Si supponga di aggiungere all’hamiltoniana una perturbazione della forma V = λ B.Calcolare le correzioni al primo ordine in λ agli autovalori dell’energia dello statofondamentale e del primo livello eccitato, discutendo l’eventuale rimozione della de-generazione.

c) Calcolare le espressioni esatte dei suddetti autovalori e confrontare i risultati con quelliottenuti in teoria delle perturbazioni.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA23 Settembre 1998

ESERCIZIO NO. 2[ PARTICELLA SU UNA CIRCONFERENZA E TEORIA DELLE PERTURBAZIONI ]

Si consideri una particella di massa m vincolata a muoversi in una circonferenza di centronell’origine e raggio a. L’unica coordinata del sistema e quindi l’angolo ϕ compreso tra ilraggio vettore della particella e l’asse delle x.

L’Hamiltoniana del sistema e:

H =p2ϕ

2ma2= − h2

2ma2

d2

dϕ2

a) Determinare autovalori ed autofunzioni di questa Hamiltoniana ed il relativo grado didegenerazione.

b) Si suppone che la particella abbia una carica q e sia sottoposta ad un campo elet-trico E uniforme e parallelo all’asse x. All’Hamiltoniana H si aggiunge quindi laperturbazione

V = −q Ea cosϕ

Calcolare, al primo ordine in E , l’energia dello stato fondamentale del sistema.

c) Si supponga nullo il campo elettrico e che all’istante t = 0 lo stato sia descritto dallafunzione d’onda

ψ(ϕ) = N cos2 ϕ

dove N e una costante di normalizzazione. Determinare la funzione d’onda all’istantet generico.

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III ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA30 Gennaio 1998

ESERCIZIO NO. 1 [ MOMENTO ANGOLARE ORBITALE ]

Un rotatore quantistico con momento di inerzia I e descritto dall’Hamiltoniana:

H =L2

2I+ gBLz

dove ~B e il modulo di un campo magnetico diretto lungo l’asse z e g~L il momento magneticodel rotatore.

All’istante t = 0 il rotatore si trova in un autostato di L2 con autovalore 2h2 ed in unautostato di (Lx + Lz) /

√2 con autovalore +h.

a) Determinare lo stato del rotatore al tempo generico t > 0.

b) Calcolare il valore medio dell’energia ed il valore medio di Lx in funzione del tempo.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA9 Gennaio 2007

ESERCIZIO NO. 2 [ MOMENTO ANGOLARE ORBITALE ]

Un rotatore quantistico e descritto dall’ Hamiltoniana

H =1

2hω1

(L2

h2

)

+ hω2

(Lz

h

)

dove ~L e l’operatore di momento angolare orbitale.

a) Determinare lo spettro degli autovalori dell’energia e le corrispondenti autofunzioni.Assumendo quindi ω2 ≪ ω1, indicare quali sono i primi 9 livelli energetici del sistema.

All’ istante iniziale t = 0 la particella si trova in un autostato del momento angolareorbitale corrispondente ad l = 1 e descritto dalla funzione d’onda:

ψ(θ, ϕ; t = 0) = A senθ senϕ

dove A e una costante di normalizzazione.

b) Determinare a quale istante di tempo t∗ > 0 la funzione d’onda del rotatore diventaproporzionale, a meno di un fattore di fase irrilevante, alla funzione

ψ(θ, ϕ; t∗) = A senθ cosϕ

c) Mostrare che le funzioni d’onda ψ(θ, ϕ; 0) e ψ(θ, ϕ; t∗) sono autofunzioni rispettivamentedegli operatori Ly ed Lx e determinarne i corrispondenti autovalori.

d) Determinare, in funzione del tempo generico t > 0, la probabilita che una misura di Lx

fornisca come risultato mx = 0 ed il valore medio di Lx.

Si ricorda che le armoniche sferiche Yl,m(θ, ϕ) corrispondenti all’autovalore l = 1 sono:

Y1,±1(θ, ϕ) = ∓√

3

8πsen θ e±iϕ , Y1,0(θ, ϕ) =

√3

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA18 Febbario 1997

ESERCIZIO NO. 2 [ SPIN ]

Si consideri un sistema di spin 1/2 e momento magnetico ~µ = g~S la cui evoluzione tempo-

rale, in presenza di un campo magnetico ~B, e definita dall’ Hamiltoniana:

H = −~µ · ~B

Il sistema si trova inizialmente (al tempo t = 0) nell’autostato corrispondente ad Sx =+h/2.

Nell’intervallo di tempo 0 ≤ t ≤ T il sistema e immerso in un campo magnetico uniformee costante ~B diretto lungo l’asse z; all’istante t = T il campo ~B viene ruotato lungo ladirezione dell’asse y.

Determinare la probabilita che una misura di Sx all’istante t = 2T fornisca il valore+h/2.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA7 Settembre 1999

ESERCIZIO NO. 2 [ SPIN ]

Una particella di spin 1/2, momento magnetico ~µ = g ~S e massa infinita e immersa in un

campo magnetico costante ~B. Il campo giace sul piano x z e la sua direzione forma con gliassi x e z un angolo di 45◦. L’Hamiltoniana che descrive la particella e:

H = −~µ · ~B

All’istante iniziale t = 0 viene misurata la componte z dello spin della particella e siottiene come risultato il valore Sz = h/2.

a) Determinare, a questo istante, i possibili risultati di una misura dell’ energia dellaparticella e le corrispondenti probabilita.

b) Determinare per quale valore del tempo successivo t∗ la particella viene a trovarsi nellostesso stato in cui si trovava al tempo iniziale t = 0.

c) Si supponga invece di effettuare al tempo t = t∗/2 una misura di Sz, ottenendo nuova-mente come risultato il valore h/2. In questo caso, in quale stato verra a trovarsi laparticella al tempo t∗?

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA6 Dicembre 2004

ESERCIZIO NO. 2 [ COMPOSIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI ]

L’ Hamiltoniana di una particella di spin 1/2 ha la forma

H = c J2

dove ~J = ~L + ~S e l’operatore momento angolare totale della particella e c una costantedata.

All’istante t = 0 la particella si trova in uno stato tale che una misura di L2, Lz ed Sz

fornisce con certezza i valori 2h2, −h e +h/2 rispettivamente.Determinare:

a) I possibili risultati di una misura dell’ energia e le rispettive probabilita.

b) Il valore medio, in funzione del tempo, dell’operatore Sy.

c) La probabilita, in funzione del tempo, che una misura della componente Sy dello spindia come risultato il valore +h/2.

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PROVA DI ESAME DI FISICA QUANTISTICA18 Giugno 2002

ESERCIZIO NO. 2 [ COMPOSIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI ]

Sia dato un sistema composto di due particelle distinguibili di spin 1/2.

a) Calcolare la probabilita che una misura dello spin totale S2 =(~S1 + ~S2

)2

dia come

risultato il valore 2 h2 se:

1. gli spin di entrambe le particelle puntano nella direzione + z;

2. lo spin della particella 1 punta nella direzione + z e quello della particella 2 nella di-rezione − z;

3. lo spin della particella 1 punta nella direzione +x e quello della particella 2 nelladirezione + z.

Si assuma come Hamiltoniana del sistema

H =ω

h~S1 · ~S2

(N.B.: ~S1 · ~S2 = 1

2(S2 − S2

1− S2

2)). All’istante iniziale t = 0, le particelle si trovano nello

stato in cui lo spin della particella 1 punta nella direzione + z mentre quello della particella2 nella direzione − z.

b) Determinare lo stato del sistema ad un tempo generico t > 0.

c) Calcolare il valore medio 〈S1z〉 della componente z dello spin della particella 1 ad untempo generico t > 0.

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PROVA DI ESAME DI FISICA QUANTISTICA7 Luglio 2003

ESERCIZIO NO. 1 [ PARTICELLE IDENTICHE ]

Due particelle identiche di spin 1 e massa m sono vincolate a muoversi in un segmento dilunghezza L. L’Hamiltoniano del sistema e pertanto

H =p2

1

2m+

p2

2

2m+ U(x1) + U(x2) ,

dove

U(x) =

{0 per 0 < x < L∞ per x < 0 e x > L .

a) Determinare gli autovalori e le autofunzioni corrispondenti al livello fondamentale edal primo livello eccitato dell’energia ed il relativo grado di degenerazione.

All’istante iniziale t = 0 il sistema si trova in un autostato dello spin totale corrispon-dente ad S = 0. Una misura dell’energia puo fornire inoltre come possibili risultati sologli autovalori corrispondenti al livello fondamentale ed al primo livello eccitato. Infine, ilvalore medio dell’energia e 〈E〉 = 2h2π2/mL2.

b) Determinare l’espressione piu generale dello stato delle due particelle al tempo t = 0 ela sua evoluzione temporale.

c) Calcolare la probabilita in funzione del tempo che effettuando una misura di posizionedelle due particelle queste vengano trovate entrambe nel segmento di coordinate0 < x < L/2.

Nella risoluzione del punto c) si osservi che il calcolo esplicito della maggior parte degliintegrali puo essere evitato semplicemento tenendo in conto della normalizzazione dellefunzioni d’onda e delle loro proprieta di simmetria rispetto al punto di coordinata x = L/2.

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PROVA DI ESAME DI FISICA QUANTISTICA20 Luglio 2004

ESERCIZIO NO. 2 [ PARTICELLE IDENTICHE ]

Un sistema e costituito da due particelle la cui interazione reciproca e descritta da unpotenziale di oscillatore armonico unidimensionale nella coordinata relativa x = x1 − x2,avente pulsazione dipendente dagli spin ~S1 ed ~S2 delle particelle. Nel sistema del centro dimassa, l’ Hamiltoniana che descrive le particelle e:

H =p2

2m+

1

2mω2

1 +2 ~S1 · ~S2

h2

2

x2.

a) Determinare autostati ed autovalori dell’ Hamiltoniana nei casi in cui le particelle sono:

• due bosoni distinguibili di spin 0;

• due bosoni indistinguibili di spin 0;

• due fermioni indistinguibili di spin 1/2;

• due bosoni indistinguibili di spin 1.

Si assuma che le particelle siano fermioni indistinguibili di spin 1/2. All’ istante inizialet = 0 le particelle si trovano in uno stato tale che: i) una misura dell’ energia producecon certezza il risultato E = (9/4) hω; ii) una misura della componente z dello spin totaleproduce con certezza il risultato Sz = 0; iii) il valore medio dello spin totale S2 e pari adh2; iv) il valore medio dell’ operatore (a3 + a† 3)S1z e pari a −

√6h.

b) Determinare lo stato del sistema al tempo generico t > 0.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA23 Settembre 1997

ESERCIZIO NO. 2 [ MOTO IN UN CAMPO CENTRALE E PARTICELLE IDENTICHE ]

Determinare la funzione d’onda e l’energia nello stato fondamentale di una particella dimassa m vincolata a muoversi all’interno di una sfera di raggio R.

Si abbiano ora due particelle identiche non interagenti immerse in questo potenziale;si determini la loro funzione d’onda complessiva quando entrambe le particelle si trovanonello stato fondamentale. Discutere i due casi: a) bosoni di spin 0; b) fermioni di spin 1/2.

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