L’idea di “Scienza” e di “scienziato” che la maggior parte delle persone ha in testa è probabilmente questa

In questa accezione, la percezione del matematico come scienziato e la legittimità della collocazione della mate-matica tra le Scienze risulta difficile da cogliere perfino dagli altri scienziati, fisici, chimici etc.

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In effetti spesso anche gli addetti ai lavori non sanno spiegare perché anche la Matematica è una Scienza, al di là di fumosi riconoscimenti che essa è “la base di tutto” ovvero “serve”…

argomentazioni che varrebbero parimenti per la scrittura, la stampa, etc.

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Un matematico che si accinge a dimostrare un’affermazione non fa altro che applicare il metodo scientifico di Galileo

La prova della correttezza di un’ipotesi formulata, che nelle scienze sperimentali si

fa attraverso gli esperimenti, in Matematica giunge attraverso la

DIMOSTRAZIONE.

La DIMOSTRAZIONE è l’esperimento del Matematico.

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“Un matematico è una macchina che trasforma il caffèin teoremi”. Paul Erdos

Fino a quando non é corredata da una dimostrazione

un’affermazione matematica é UNA CONGETTURA

Congettura dei primi gemelli

Congetture di Goldbach

Ultimo Teorema di Fermat

Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.

Congettura dei primi gemelli

3-5 5-7 11-13 17-19 29-31 41-43 59-61

Congettura forte di Goldbach

Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Congettura debole di Goldbach

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi

Per esempio,  4 = 2 + 2  6 = 3 + 3  8 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 5 + 714 = 3 + 11 = 7 + 7

Non esistono soluzioni intere positive all'equazione: an + bn = cn

se n > 2.

n =2 terne pitagoricheEsempi: ( 3, 4, 5); ( 5, 12, 13); ( 7, 24, 25); ( 8, 15, 17);( 9, 40, 41) ….

L’ultimo Teorema di Fermat

La struttura di un enunciato matematico é sempre rappresentabile come

P1 P2

ipotesi tesi

A = { elementi che soddisfano P1}

B = { elementi che soddisfano P2}A

B

Il ruolo del controesempio é analogo a quello della dimostrazione

Quello che interessa al matematico é stabilire se un’affermazione é vera o falsa

Vera dimostrazione

Falsa controesempio

A = { elementi che soddisfano P1}B = { elementi che soddisfano P2}

A

B

x

ESEMPIO

Cosa dimostra la presenza del punto x?

1) Che P1 P2 ma P2 P1

2) Che P2 P1 ma P1 P2

3) Che P2 P1

4) Che le affermazioni P1 e P2 non sono confrontabili

Il punto x é un controesempio

per l’affermazioneP2 P1

La quale é quindi FALSA

perché esiste il controesempio x

A = { elementi che soddisfano P1}B = { elementi che soddisfano P2}

A B

x

z

y

Quale degli elementi é un controesempio all’affermazioneP1 P2?

1) x2) y3)z4) Tutti e tre

A = { elementi che soddisfano P1}B = { elementi che soddisfano P2}

A B

x

z

y

L’esistenza di z prova che

1) P1 P2 ma P2 P1

2) P2 P1 ma P1 P2

3) P1 P2

4) Non prova nessuna implicazione

“Tutte le insegnanti in questa stanza portano gli occhiali”

P1 = insegnante in questa stanza

P2 = portatori di occhiali

A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi}

B = { elementi che soddisfano P2} =

P1 P2

E viceversa?

“Tutti i portatori di occhiali sono insegnanti e si trovano in questa stanza”

P1 = insegnante in questa stanza

P2 = portatori di occhiali

A = { elementi che soddisfano P1} = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi}

B = { elementi che soddisfano P2} =

P2 P1

Riassumendo

L’esempio … dimostra che

1) Che P1 P2 ma P2 P1

2) Che P2 P1 ma P1 P2

3) Che P2 P1

4) Che le affermazioni P1 e P2 non sono confrontabili oppure4 bis ) non prova nessuna implicazione ….

Quale tra i seguenti é un contro-esempio alla (o al viceversa della) affermazione

P1 P2?

1) Esempio A2) Esempio B3) Esempio C4) Esempio D oppure4 bis) nessuno dei precedenti4 ter) vanno bene tutti e tre ….