Lezione 11

Risposte multiple M1

r1

M2

R2

M3

R3

M4

R4

M5

R5

M6

R6

M7

R7

M8

R8

M9

R9

M10

R10

M11

R11

M12

R12

M13

R13

M14

R14

M15

R15

M16

R16

M17

R17

M18

R18

M19

R19

M20

R20

M21

R21

M22

R22

M23

R23

M24

R24

M25

R25

M26

R26

M27

R27

M28

R28

M30

R30

M31

R31

M32

R32

M33

R33

M34

R34

M35

R35

M36

R36

M37

R37

M38

R38

Energia e Lavoro

Di seguito, definiremo alcune nuove grandezze fisiche scalari: il

lavoro, l’energia cinetica e l’energia potenziale.

•Troveremo che, grazie alla II legge di Newton, potremo calcolare

il lavoro di una forza tra due punti nello spazio, come la variazione

di energia cinetica tra i due punti.

•Infine troveremo che, per alcune forze dette conservative, il

lavoro non dipende dal (percorso) cammino scelto.

• In questo caso, è definita una nuova grandezza ( l’energia

potenziale) che dipende dai soli punti di arrivo e partenza.

•Nel caso delle forze conservative, la somma di l’energia cinetica

e l’energia potenziale (=energia) sono costanti del moto (ossia,

l’energia è la stessa in tutti i punti del percorso).

Lavoro di una forza: generale

Nel caso generale tridimensionale, quindi il lavoro e’ un integrale di linea. Se siamo in una dimensione la definizione per il lavoro di una forza per spostare un punto materiale da un punto xi a un punto xf si semplifica in

f

i

x

xdxxFL )( (1)

(0)

Nel caso in cui la forza F sia costante,la definizione di lavoro svolto da una forza si semplifica in

Lavoro di una forza: caso di forza costante

)cos(FddFL

dove d e’ lo spostamento del punto materiale prodotto dalla forza e e’ l’angolo tra la forza e lo spostamento prodotto.

F

d

Il lavoro e’ uno scalare, puo’ essere negativo positivo o nullo. Dalla definizione (2) vediamo che

(2)

0

0

0

900

900

900

L

L

L

Il lavoro svolto da piu’ forze, o lavoro totale, e’ la somma dei lavori svolti da ciascuna forza.

Lavoro di una forza: forza di gravità

La forza di gravita’ e’ costante, quindi si applica la (2).

2/0

0

)cos(

mgd

mgd

mgddFL gg

mg d

mg d

mg d Se volessimo alzare un corpo, dovremmo

applicare una forza Fa contro la forza di gravita’.

Il lavoro svolto da questa forza sarebbe

gaa LmgdmgddgmdFL )0cos(

Lavoro di una forza: forza elastica

Limitandoci per semplicita’ al caso unidimensionale, ricordiamo che la forza elastica esercitata da una molla e’

kxF Si tratta di una forza variabile, quindi per calcolare il

lavoro dobbiamo usare la (2). Supposto che la molla sposta il punto materiale di una elongazione d rispetto alla posizione di riposo x=0, avremo

2

0

2

00 2

1

2

1)()( kdkxdxkxdxxFL

ddd

m

Se volessimo invece spostare con una forza esterna il corpo attaccato alla molla, dovremmo applicare una forza Fa=-F.

Questo darebbe un lavoro svolto contro la molla pari a

2

2

1kxLL ma

Per un generico spostamento x possiamo anche scrivere:

2

2

1kxLm

Energia cinetica

L’energia cinetica e’ l’energia associata allo stato di moto di un corpo. Per un punto materiale di massa m e che si muove con velocita’ (in

modulo) pari a v si definisce Energia Cinetica la quantita’

2

2

1mvK

La dimensione di K e’ [K]=[M][L]^2[T]^2, la stessa di quella del lavoro, per cui si misura in Joule.

mNsmKgJ 1/11 22

Teorema dell’Energia Cinetica

Esiste una relazione, nota come teorema dell’energia cinetica, che lega la variazione di energia cinetica di un corpo con il lavoro totale fatto dalle forze agenti sul corpo. La relazione afferma che:

“Il lavoro totale delle forze agenti su un corpo e’ pari alla variazione di energia cinetica del corpo stesso”.

KKKL if

KKKmvmvmvmvdv

dvdt

dxmdx

dt

dvmmadxdxxFL

ifif

v

v

v

v

x

x

x

x

x

x

x

x

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

222

2

1

2

1

2

1

)(

(*)La relazione (*) vale nel caso generale, qui diamo una semplice dimostrazione per il caso unidimensionale. Sia F(x) la forza netta agente sul corpo, allora per la definizione di lavoro (1) e per la legge di Newton avremo:

PotenzaLa potenza e’ una grandezza usata per esprimere la rapidita’ con cui e’ sviluppata una certa quantita’ di lavoro. Se il lavoro L e’ svolto in un certo intervallo di tempo t si definisce la quantita’

media)potenza(t

LP

come potenza media. Supponendo invece di conoscere il lavoro in funzione del tempo L(t), si definisce una potenza istantanea come

)istantaneapotenza(dt

dLP

Possiamo legare la potenza istantanea alla velocita’ della particella. Dalla definizione (0) di lavoro, notiamo che il lavoro elementare e’

)cos(FvvFdt

sdF

dt

sdF

dt

dLP

sdFdL

Per cui

L’unita’ di misura della potenza e’ il J/s, cui e’ dato il nome di Watt (W).Spesso si usa ancora il Cavallo Vapore, CV, come misura di potenza. 1 CV =735.5 W=0.74 KWPoiche’ l’energia si puo’ scrivere come una potenza moltiplicata un tempo, si usa anche il Wattora (Wh) o i suoi multipli per esprimere una energia:1Wh =(1W)(3600s)=3.6 KJ

Esempi