Post on 15-Feb-2019
“Le Frazioni”
Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II”
LOGICAMENTE2014
Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II” “Le Frazioni”
Frazioni di oggetti
Frazioni di insiemi di oggetti
Frazioni di quantita
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Molte informazioni che riceviamo quotidianamente contengono frazioni epercentuali:
≪ Vengo tra3
4d’ora≫
≪ Vendo tutto con il 30◦/◦ di sconto≫
frazioni e percentuali sono definite in relazione ad un “tutto” o una“quantita unitaria” dividendo il “tutto” in parti uguali.
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Significato di “FRAZIONE”
Esempi:
1
4d’ora
2
3di un segmento
5
100di euro
4
3di un segmento
20
100di sconto
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Questi esempi mostrano frazioni di oggetti, e quindi parti di insiemi.
In seguito tratteremo le frazioni come numeri
La frazionem
ndi un “tutto”, con m, n ∈ N = {1, 2, . . .}
1◦ Caso m = 1Se il “tutto”puo essere diviso in n parti uguali allora
1
ndel “tutto”
coincide con una di quelle parti.
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La frazione
m
ndel “tutto”
e costituita da
m (di quelle parti)
cioe da
m parti ognuna delle quali e1
ndel “tutto”
Il numeratore m della frazionem
ndel “tutto”ci dice “il numero delle
parti”, mentre il denominatore n della frazione ci dice “che tipo di parti”sono state costituite (mezzi, terzi, quarti, quinti, . . .)
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Frazioni:
come
numeri(singoli, anche se espressi in termini di una coppia di numeri naturali)
Frazioni:
come
punti della retta dei numeri
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Cosı come si giunge al concetto di numero naturale“astraendo”da esperienze con oggetti:
5 persone, 3 automobili, . . .
o meglio
5 di persone, 3 di automobili,. . .
5, 3, . . .
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si puo giungere al concetto di frazione come numeri“astraendo”da esperienze con frazioni di oggetti:
1
4d’ora,
2
3di un segmento, . . .
1
4,
2
3, . . .
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Specie nel caso di “frazioni improprie”in cui puo
essere poco chiaro qual’e
“il tutto”
e utile la rappresentazione sulla retta dei numeri incui “il tutto” e sempre la lunghezza del segmentounitario [0, 1]
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La parte tratteggiata rappresenta4
3o4
6?
Poco chiaro se non si precisa qual’e “il tutto”
La parte tratteggiata e4
3del rettangolo di sinistra,
ma e anche4
6del complesso dei due rettangoli, cioe
dell’unione dei due rettangoli
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Per individuare4
3sulla retta dei numeri
Dividiamo il segmento in 3 parti uguali e prendiamoin considerazione il segmento di primo estremo 0,
unione di queste 4 parti. L’altro estremo e4
3
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La retta
dei
numeri
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Su una retta, disegnamo un punto, indicandolo con
0 (zero)
Disegniamo a destra di 0 un segmento chechiamiamo segmento unitario
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L’estremo destro del segmento si indica con 1 (uno)
Spostiamo il segmento verso destra finche 1 diventiil suo estremo sinistro e indichiamo con 2 (due)l’estremo destro e cosı via, 1, 2, 3, 4, . . .
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Definizione
Un numero naturale e uno dei punti indicati sullaretta dopo lo zero. La retta con l’insieme dei numeri
naturali si chiama retta dei numeri.
Un numero naturale e cosı definito in manieraconcreta ed esplicita: e uno dei punti disegnati sulla
retta dei numeri.
Osservazione
Questa definizione non e l’ideale ma e accessibile achiunque e facilita lo studio dei numeri frazionari.
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Le frazioni
come
punti della retta dei numeri
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Definiamo le frazioni
0
3,
1
3,
2
3,
3
3,
4
3, . . .
cioe la sequenza dei terzi
Premesse (terminologia):
1) Se a e b sono due punti sulla retta dei numeri,con a alla sinistra di b
[a, b] indica il segmento di estremi a e b.Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II” “Le Frazioni”
2) [0, 1] e il segmento unitario e la sua lunghezzae il “tutto”, Il punto 1 e l’unita
1
3e un terzo del tutto;
La lunghezza del segmento in grassetto e l’estremodestro del segmento in grassetto.
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Dividiamo in tre parti di uguale lunghezza tutti i segmenti[0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . e cosı otteniamo la sequenza dei terzi
Ogni punto della sequenza misura la sua distanza da zero
7
3e la lunghezza di [0,
7
3]
7
3e 7 volte la lunghezza di [0,
1
3]
7
3e la settima frazione, nella sequenza dei terzi, a destra di zero.
I numerim
3sono i multipli di
1
3al variare di m ∈ N
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IN GENERALE, dati i numeri naturali m ed n, dividiamo i segmenti[0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . in n parti uguali e otteniamo la sequenza deglin-simi
1
n,2
n,3
n, . . .
Per definizione, la frazione
m
n
rappresenta l’m-sima frazione, nella sequenza degli n-simi, a destra dizero.Fissato n ∈ N, al variare di m ∈ N, si ottengono tutti i multipli interi
m
n
di1
n.
Esattamente come per n = 1 al variare di m ∈ N, si ottengono tutti gliinteri m
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OsservazioneUno dei vantaggi di avere una definizione precisa di frazione e che si puofacilmente introdurre una definizione di ordine (stretto).
Definizione
La frazionem
ne minore di
m′
n′, se e solo se,
m
ne a sinistra di
m′
n′sulla
retta dei numeri
Si noti che tradizionalmente si dice che, per decidere sem
n<
m′
n′, si deve
calcolare un comune denominatore.
EsempioPer provare che
2
3<
3
4uso
8
12<
9
12
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Particolari frazioni:
3619
102,
12200
104, . . .
con denominatori potenze di 10, (frazioni decimali) anche scritte come
36.19, 1.2200
rispettivamente, facendo uso del punto decimale che tiene conto dellapotenza di 10 che figura a denominatore.Nel numero 1.2200 si possono eliminare gli zeri finali pervenendo ascrivere
1.2200 = 1.22
Ma cio equivale a verificare che
12200
104=
122
102
e cio richiede una dimostrazione.
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Teorema (sulla semplificazione di frazioni)Per m, n, l ∈ N
m
n=
lm
ln
Dim.(caso particolare numeri)
3
2=
4× 3
4× 2
dividiamo in 4 parti ciascun segmento tra punti consecutivi dellasequenza dei mezzi.
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Da cui, ognuno dei segmenti [0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . e cosı ripartito in 8parti uguali
ottenendo la sequenza degli ottavi. La frazione3
2che e il terzo punto
nella sequenza dei mezzi e ora il dodicesimo punto nella sequenza degli
ottavi =12
8=
4× 3
4× 2�
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Mediante il Teorema sulla semplificazione di frazioni si puo giustificarel’uguaglianza:
1.2200 = 1.22
Ricordando che per definizione
1.2200 =12200
104
si ha
1.2200 =122 · 102
102 · 102=
122
102= 1.22
Pertanto si possono aggiungere o togliere zeri all’estrema destra delpunto decimale, lasciando inalterato il numero decimale.
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Osservazione 1Questa definizione di frazione, confrontata con quella tradizionale che sibasa su un pezzo di pizza o una fetta di torta e piu facile da applicare:abbiamo scelto di ripartire un segmento in 3 parti di uguale lunghezzapiuttosto che un cerchio in 3 parti congruenti.
Osservazione 2Abbiamo preso atto del fatto che l’uguaglianza (l 6= 0)
(∗)ml
nl=
m
n
equivale a dire che le due frazioni a 1◦ e 2◦ membro corrispondono allostesso punto della retta dei numeri.
Quindi, mentre di solito si caratterizza (*) dicendo cheml
nlem
nsono
frazioni equivalenti, per noi esse sono uguali.
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Applicazioni (del Teorema sulla semplificazione di frazioni)
1) gli zeri finali dopo il punto decimale si possono sopprimere gia visto!
2) due frazionia
b
c
d
possono essere ridotte allo stesso denominatore bd
a
b=
ad
bd,
c
d=
bc
bd
Cio vuol dire, posto
n = b · d
che le due frazioni
a
b=
ad
n,
c
d=
bc
n
fanno parte della sequenza degli n-simi, rispettivamente nella
posizione ad-sima e bc-sima.
Si puo dire che, se e ad < bc , alloraad
ne a sinistra di
bc
ncioe
a
b<
c
d
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Frazioni ridotte ai minimi termini (NON DARE TROPPO SPAZIO)
Teorema<< Per ogni frazione, ne esiste un’unica, ad essa uguale, che sia ridottaai minimi termini >>Dim (non banale, si basa sull’Algoritmo di Euclide)
4
3e meglio di
16
12?
e una questione di gusti e non una necessita matematica
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Addizione di frazioniCoerenza con le addizioni di interi, considerati come punti sulla retta deinumeri
Esempio 3 + 5
e la lunghezza dell’unione (concatenazione) dei due segmenti adiacenti dilunghezza 3 e 5
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Analogamente date le frazioni
m
ne
k
lla loro somma
m
n+
k
le la lunghezza della concatenazione dei due segmenti adiacenti di
lunghezzam
ne
k
l
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Teorema :m
n+
k
l=
kn+ lm
ln
Dim.
Dalla definizione di somma di due frazionik
lem
nsegue che vale la
proprieta associativa:
(k
l+
m
n) +
p
q=
k
l+ (
m
n+
p
q)
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e la proprieta commutativa
Dalla definizione di addizione segue
k
l=
1
l+ . . .+
1
l︸ ︷︷ ︸
k − volte
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e quindi nel caso particolare (l = n)
(∗)k
l+
m
l=
k +m
l
Allora per la proprieta della “semplificazione di frazioni”e per (*), si ha
k
l+
m
l=
kl +ml
l · l
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In generale, se le due unita1
le1
nsono diverse, entrambe le frazioni
k
le
m
nsi esprimono in termini della nuova unita
1
ln�
Ad esempio:
5
6+
3
4=
5 · 4
6 · 4+
6 · 3
6 · 4=
5 · 4 + 6 · 3
6 · 4=
38
24
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Moltiplicazione di frazioni
Coerenza con le moltiplicazioni di interi ≥ 0
Esempio 3× 5 = 5 + 5 + 5
sulla retta dei numeri
3× 5 e il punto 3 sulla retta con unita di misura uguale a 5 e cioe:
3× 5 = 15
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Considerare 5 come unita di misura 1 e possibile se pensiamo ad
una mano con le sue 5 ditaun’auto a 5 postiuna costellazione di 5 stelle
Con tale tipo di scelta per l’unita il punto 3 rappresenta, sulla retta deinumeri, i seguenti 3 gruppi di oggetti
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Nel caso di frazioni la moltiplicazione non e addizione ripetuta
3
5×
1
4
non vuol dire “addizionare1
4a se stesso
3
5volte”
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Definendo3
5di un numero a
3
5di a
come la totalita di 3 parti, quando a e diviso in 5 parti uguali, allora
3
5di
1
4
si ottiene dividendo il segmento [0, 1
4] in 5 parti uguali e prendendo la
lunghezza dell’unione di 3 di tali parti
3
5di
1
4e
3
20di 1
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Definizione
3
5×
1
4=
3
5di
1
4
m
n×
k
l=
m
ndi
k
l= la totalita di m parti, quando il segmento [0, k
l] e
diviso in n parti uguali.
Si dimostra che vale il seguente Teorema
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Teorema
m
n×
k
l=
mk
nl
Dim. Per il Teorema sulla “semplificazione di frazioni”
m
n=
lm
ln=
m + . . .+m
ln=
m
ln+ . . .+
m
ln︸ ︷︷ ︸
l
m
ne la lunghezza dell’unione di l parti ciascuna lunga
m
ln
Allora, la lunghezza dell’unione di k di quelle parti ekm
ln
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Corollario
L’area di un rettangolo i cui lati hanno lunghezza frazionariam
nek
le il
prodotto delle lunghezze.(2◦ interpretazione del prodotto di numeri interi o frazionari)
Dim. Prima nel caso m = k = 1
1
l×
1
n
e poi in generale
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La divisione di frazioni
Talvolta la definizione viene data utilizzando il Teorema sullasemplificazione di frazioni
klmn
=kl× ln
mn× ln
=klnl
mlnn
=kn
lm=
k
l·n
m
(INVERTI E MOLTIPLICA)
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Tale modo di procedere per definire
klmn
non e corretto, perche si basa su operazioni su enti non ancora definiti.
Se non sappiamo ancora cos’e il 1◦ membro diklmn
come possiamo
coinvolgerlo nei calcoli?Inoltre, il Teorema sulla semplificazione di frazioni afferma che
a
b=
am
bm
purche a, b,m ∈ N e non a, b frazioni
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Esempio concreto
Per comprendere, nel caso della divisione
klmn
l’algoritmo “INVERTI E MOLTIPLICA”
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Un ragazzo spende ogni giorno esattamente la stessa quantita di soldi(dalla sua paghetta settimanale)
Se con2
3della paghetta arriva da lunedı a venerdı, cioe sostiene i
5
7delle
spese settimanali, che frazione della paghetta spende ogni settimana?
La quantita x che si cerca e data dalla proporzione
2
3:5
7=x : 1
cioe
x=2
3
5
7
=?2
3×
7
5
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Le spese per 5 giorni si coprono con2
3della paghetta, quindi le spese per
1 giorno si coprono con
1
5·2
3della paghetta
cioe con2
15della paghetta. Moltiplico per 7 e ho
2
15× 7 =
14
15
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La divisione tra frazioni e resa possibile dal seguenteTeorema Date due frazioni
k
l
m
n
con l ,m, n non nulli, esiste un’unica frazione C tale chek
l=
m
n× C
Dim. Basta scegliere C =nk
ml. Se D fosse un’altra frazione t.c.
(1)k
l=
m
n× D
Moltiplicando la (1) ad ambo i membri pern
msi ha
nk
ml=
n
m×
k
l=
n
m× (
m
n× D) = (
n
m×
m
n)× D = D
da cui
D =nk
ml= C
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APPROFONDIMENTO
Definizione con significato geometrico
Date due frazioni A e B con B 6= 0, il quoziente
A
B
e la lunghezza dell’altro lato di un rettangolo la cui area vale A e uno deilati ha lunghezza B
A =A
B× B
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Divisione tra interi positivi
La divisione esatta tra interi positivi ha due possibili interpretazioni.Consideriamo ad esempio la divisione
15 : 5
1) E il numero di gruppi che si formano quando 15 oggetti vengonoripartiti in gruppi di 5 oggetti ciascunoDunque si tratta di ripartire 15 oggetti in gruppi di 5 oggetti ciascuno:
Alla domanda “quanti gruppi da 5 stanno in 15?” si risponde : 3
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Consideriamo ora le due corrispondenti interpretazioni della divisione con
resto tra due interi positivi qualsiasi m, n ∈ N
1) m : n e il massimo numero intero di gruppi che si possono formarequando m oggetti sono ripartiti in gruppi di n oggetti ciascuno
Quanti gruppi da 5?
Ovvero
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2) m:n e il massimo numero intero di oggetti che sono in ciascun gruppoquando m oggetti sono ripartiti equamente in n gruppi
16 : 5 = 3 con resto R=1
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Consideriamo la divisione tra frazioni
2
3:5
7
Nel contesto Quanti in un gruppo? essa corrisponde al problema
<< Quanti oggetti in un gruppo se distribuisco2
3di oggetto equamente
fra5
7di un gruppo?>>
Si cerca di determinare la frazione di un oggetto in un gruppo sapendo
che i2
3di un oggetto riempiono i
5
7di un gruppo
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Ad esempio (Supposto che un individuo abbia sempre la stessa spesa
giornaliera) Se con2
3di paga settimanale egli copre
5
7di spese setti-
manali, con quale frazione della paga ne copre i7
7, cioe copre l’intera
spesa settimanale?
Dall’ipotesi segue che le spese per1
7di settimana (per 1 giorno) si
coprono con1
5di
2
3di paga cioe con
2
15; moltiplicando per 7 giorni si
ottiene14
15
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Dunque con i14
15della paga egli copre le sue spese settimanali (e gliene
resta1
15per mettere da parte!)
2
3:5
7=
14
15: 1
INVERTI E MOLTIPLICA
2
3:5
7=
2
3×
7
5=
14
15
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