INTRODUZIONE ALLA

TEORIA

DELLA

PROBABILITÀ

ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ

Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»):Quando si parte il giuoco della zara

colui che perde si riman dolente

ripetendo le volte e tristo impara

1324

ORIGINI DEL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ

Terzina del canto VI del Purgatorio di Dante («canto di Sordello»):

Quando termina il gioco della zara,

colui che ha perso rimane triste e solo,

riprova invano i tiri ed impara suo malgrado

1324

Risposta di Galileo a un quesito postogli da alcuni giocatori, sempre sul gioco della zara

Non riuscivano a comprendere come mai ottenere 10 o 11 fosse più facile che fare 9 o 12

1640

Galileo Galilei

(1564-1642)

INTERESSE PER I GIOCHI D’AZZARDO

Il termine “ALEATORIO”

deriva dal latino

ALEA = DADO

“AZZARDO” deriva dall’arabo

ZAR =DADO

1654carteggio tra Pascal e Fermat

Il cavaliere De Méré, fanatico giocatore, pone alcuni quesiti a Pascal

Pierre de Fermat (1601-1665)

Blaise Pascal (1623-1662)

Jacques Bernoulli (1654-1705)

1700

Grandi passi ad opera di Bernoulli e De Moivre

Abraham De Moivre (1667-

1754)

1800

Laplace definisce i fondamenti del calcolo delle probabilità

1900

Il concetto di probabilità viene generalizzato.

De Finetti, Von Mises, Kolmogorov costruiscono la teoria della probabilità, a partire da diverse definizioni

ANZITUTTO…

QUALI SONO

“GLI OGGETTI?”

U = spazio degli eventi

Insieme dei

possibili esiti

di un “esperimento”ESEMPIO

ESPERIMENTO = LANCIO DI UN DADO

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO = QUALUNQUE SOTTOINSIEME DI U

EVENTO ELEMENTARE = QUALUNQUE

SOTTOINSIEME DI U CONTENENTE UN SOLO

OGGETTO

U = EVENTO CERTO

Ø = EVENTO IMPOSSIBILE

DUE EVENTI SI DICONO INCOMPATIBILI

SE AB = Ø

MA ORA È VENUTO IL

MOMENTO DI CHIEDERSI…

COS’È LA PROBABILITÀ

DI UN EVENTO?

UNA PROVOCAZIONE:

“PROBABILITY DOES NOT EXIST”

Bruno De Finetti

DEFINIZIONI DI PROBABILITA’

•CLASSICA (Laplace)•SOGGETTIVA (De Finetti)•FREQUENTISTA (Von Mises)•ASSIOMATICA (Kolmogorov)

DEFINIZIONE CLASSICA

Probabilità = rapporto tra i casi favorevoli al

verificarsi dell’evento e i casi possibili

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

DEFINIZIONE SOGGETTIVA

Probabilità = quanto un soggetto coerente è

disposto a scommettere sul

verificarsi dell’evento

Bruno De Finetti (1906-1985)

DEFINIZIONE FREQUENTISTA

Probabilità =rapporto tra ilnumero di “successi” dell’evento

e il numero di “esperimenti”effettuati

Ludwig Edler Von Mises (1881-1973)

DEFINIZIONE ASSIOMATICA

Probabilità = un numero reale compreso tra zero e uno,

soddisfacente alcuni assiomi

Andreij Nikolaevicz Kolmogorov (1903-1987)

PER RAGIONI DI CARATTERE DIDATTICO,

UTILIZZEREMO UN MODELLO “IBRIDO” CHE

SI BASA PRINCIPALMENTE SULLA DEFINIZIONE

OGGETTIVA E SU QUELLA ASSIOMATICA

ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ

la probabilità di un evento E è un numero reale compreso tra 0 e 1

0 p(E) 1

La probabilità dell’evento certo è 1, inoltre, se un evento E ha probabilità 1, allora E è l’evento certo

p(E) = 1 E=U

Se A e B sono due eventi incompatibili, allora la

probabilità dell’evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi

AB= p(AB)=p(A)+p(B)

TEOREMI• p(Ø) = 0

• p(AC) = 1 - p(A)

• AB p(A) p(B)

• p(A - B) = p(A) - p(AB)

• p(AB) = p(A) + p(B) –p(AB)

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Dati due eventi A e B di uno stesso esperimento aleatorio, la probabilità CONDIZIONATA di A rispetto a B

P(A|B)

è la probabilità che si verifichi A supponendo di sapere che si è verificato B

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Se p(A|B) ≠ p(A) si dice che A e B sono DIPENDENTI

Se p(A|B) = p(A) si dice che A e B sono INDIPENDENTI

TEOREMI

TEOREMI

A1, A2, … An eventi tali cheA1A2 … An = U, AiAj = per ogni ijB evento dello stesso spazio U che si è verificato

TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI

TEOREMIA1, A2, … An eventi tali cheA1A2 … An = U, AiAj = per ogni ijB evento dello stesso spazio U che si è verificato

FORMULA DI BAYES (“PROBABILITÀ DELLE CAUSE”)

TEOREMI

DISTRIBUZIONE BINOMIALE(SCHEMA DELLE “PROVE RIPETUTE” DI BERNOULLI)

A evento con p(A)=p, B evento contrario con p(B)=qL’ esperimento è ripetuto n volte nelle stesse condizioni.La probabilità che A si verifichi esattamente k volte è: