Post on 02-May-2015
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata
Applicazioni Matematiche
e tecnologie delle
macchine automatiche
Ing Gabriele Canini
KPL Packaging spa
Meccatronica Applicata
Ing Gabriele Canini
Applicazioni matematiche a casi industriali nelle macchine automatiche
1) Come fare poca fatica (ottimizzazione risorse software e
computazionali)
- interpolazione leggi di moto polinomiali
2) Come spendere meno (ottimizzazione costi attuatori)
- dimensionamento ottimo trasmissione cinematica
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
ATTUATORE TRASMISSIONE CARICO
MOTORE RIDUTT
1 : n
T. CINGHIA
Z1 : Z2
NASTRO, M. TRASLANTE
Dx
Y
Ci interessa descrivere la legge di moto del mezzo operativo Y
rispetto ad un master di macchina X
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
r1
r2
rK
rN
X
Y
0 360 [°]
1 [ciclo]
slave
master
012
23
34
45
5)( )1.1 PXPXPXPXPXPXY
6 g.d.v : 1in ,1,1,1 e 0in ,0,0,0 XAVYXAVYservono 6 g.d.l che possono essere fissati nei 6 coeff di un polinomio di 5° gradoY
rK
X0X 1X
0Y
1Y
0V0A
1V1A
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
012
23
34
45
5)( PXPXPXPXPXPXY
Y
rK
X0X 1X
0Y
1Y
0V0A
1V1A
Dati i vincoli geometrici nei punti
bisogna determinare i coefficienti
del polinomio interpolante
]1,1,1 ,0,0,0[ AVYAVY
],,,,,[ 012345 PPPPPP
]1,0[per )( XXXXY
]1,0[ XX
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
012
23
34
45
5 000000)0( )5.1 PXPXPXPXPXPYXY
012
23
34
45
5)( )2.1 PXPXPXPXPXPXY
122
33
44
5 2345)( )3.1 PXPXPXPXPdX
dYXV
232
43
5 261220)( )4.1 PXPXPXPdX
dVXA
Vincoli in 0X
122
33
44
5 020304050)0( )6.1 PXPXPXPXPVXV 23
24
35 20601202000 )7.1 PXPXPXPA)A(X
012
23
34
45
5 111111)1( )8.1 PXPXPXPXPXPYXY Vincoli in 1X
122
33
44
5 121314151)1( )9.1 PXPXPXPXPVXV 23
24
35 21611212011 )10.1 PXPXPXPA)A(X
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
Le eq. 1.5) – 1.10) possono essere riscritte in forma matriciale
00216112120
0112131415
111111
00206012020
0102030405
100000
1
1
1
0
0
0
)11.1
0
1
2
3
4
5
23
234
2345
23
234
2345
P
P
P
P
P
P
XXX
XXXX
XXXXX
XXX
XXXX
XXXXX
A
V
Y
A
V
Y
166616 )12.1 PHB
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
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00216112120
0112131415
111111
00206012020
0102030405
100000
1
1
1
0
0
0
)11.1
0
1
2
3
4
5
23
234
2345
23
234
2345
P
P
P
P
P
P
XXX
XXXX
XXXXX
XXX
XXXX
XXXXX
A
V
Y
A
V
Y
166616 )12.1 PHB1666
116 )13.1
BHP
Risolvendo il sistema 1.11) o 1.12) di ordine 6x6 si ricava il vettore dei coefficienti del polinomio in funzione dei vincoli geometrici .
La soluzione deve essere SIMBOLICA e non Numerica perché :
16 P16 B
1) La precisione della soluzione peggiora tanto più la matrice è mal condizionata.
H0)det( H
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3) Normalmente i computer di macchina non dispongono di librerie matriciali, (questo non è un vero ostacolo)
2) Poiché al cambiare del formato di macchina cambiano i vincoli del profilo di moto (da a ) è meglio assegnare in forma chiusa i coefficienti del polinomio così da adattarli a qualunque situazione e non avere errori numerici
B B
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Ing Gabriele Canini
Serve un’alternativa ASTUTA !!
Il sistema 6x6
non si riesce ad invertire agevolmente a mano (ore di lavoro e alto rischio di sbagliare).
Tanto meno aiutano i risolutori simbolici tipo Maple V o Mathematica perché non forniscono espressioni semplificate (sparano 40 pag di calcoli da ridurre a posteriori manualmente)
00216112120
0112131415
111111
00206012020
0102030405
100000
1
1
1
0
0
0
)11.1
0
1
2
3
4
5
23
234
2345
23
234
2345
P
P
P
P
P
P
XXX
XXXX
XXXXX
XXX
XXXX
XXXXX
A
V
Y
A
V
Y
Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale
Ing Gabriele Canini
ALTERNATIVA :
Traslando il punto di inizio del ramo rk nell’origine si risolvono immediatamente 3 g.d.l ed il sistema totale si riduce ad un problema 3x3
),Y(X 00 ),( 00
Y
rK
X0X 1X
0Y
1Y
0V0A
1V1A
spazio originale
rK
1x
1y
0V0A
1V1A
y
x00
spazio traslato
012
23
34
45
5)( )16.1
]1 ,0[con 0 )15.1
]1,0[con 0 )14.1
pxpxpxpxpxpxy
YYYYYy
XXXXXx
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0xInfatti calcolando i vincoli di spazio, velocità ed accelerazione nel punto master si ottengono immediatamente i primi 3 coeff. di grado più basso del nuovo polinomio interpolante nello spazio traslato:
],,[ 012 ppp )(xy
rK
1x
1y
0V0A
1V1A
y
x00Vincoli in 0x
012
23
34
45
50)0( )17.1 pxpxpxpxpxpy
122
33
44
5 23450)0( )18.1 pxpxpxpxpVv
232
43
5 2612200)0( )19.1 pxpxpxpAa
00 p
01 Vp
2
02
Ap
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Ing Gabriele Canini
Scrivendo le equazioni di vincolo nel punto e combinandole con le 1.17)-1.18)-1.19) si ottiene il sistema ridotto ad un 3x3
1xx
16112120
131415
111
21
)12(1
)11(1
)20.1
3
4
5
23
234
345
2
12
012
2
p
p
p
xxx
xxx
xxx
pA
pxpV
pxpxpy
Il sistema 3x3 si risolve agevolmente a mano e porta ad espressioni semplici facilmente implementabili in qualunque calcolatore di controllo di una macchina automatica
133313 )1.20.1 PGC
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L’algoritmo per i coeff. del polinomio 5° grado traslato :
011 )22.1
011 )21.1
YYy
XXx
traslazione
2/0 )25.1
0 )24.1
0 )23.1
2
1
0
Ap
Vp
p
coeff. di grado
0,1,2
21 )28.1
)12(1 )27.1
)11(1 )26.1
23
124
012
25
pAb
pxpVb
pxpxpyb
variabili ausiliare (colonna termini noti)
)12/()12161( )31.1
)1/()15171( )30.1
)12/()20181( )29.1
554
235
454
234
354
233
xbxbxbp
xbxbxbp
xbxbxbp
coeff. di grado 3,4,5
Dati i vincoli geometrici nei punti ]1,1,1 ,0,0,0[ AVYAVY ]1,0[ XX
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Per calcolare il polinomio interpolante nel dominio originale si trasla all’indietro il polinomio interpolante così ottenuto
0)(
)(
0 ]1,0[ 5
0
Yxy Y(X)
xpxy
XXxXXX
k
kk
Questa soluzione è molto comoda da implementare con cicli di calcolo iterativi nei computer della macchina automatica
Successivamente si itera il metodo a tutti i rami della legge di moto
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Y
rK
X0X 1X
0Y
1Y
0V
1V
spazio originale
rK
1x
1y
0V
1V
y
x00
spazio traslato
012
23
3)( )34.1
]1 ,0[con 0 )33.1
]1,0[con 0 )32.1
pxpxpxpxy
YYYYYy
XXXXXx
Polinomio di 3° Grado : I vincoli sono solo in posizione e velocità (no accelerazione) nei punti . Applicando il solito criterio della traslazione :
]1,1 ,0,0[ VYVY]1,0[ XX
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L’algoritmo per i coeff. del polinomio 3° grado traslato :
011 )36.1
011 )35.1
YYy
XXx
traslazione
0 )38.1
0 )37.1
1
0
Vp
p
coeff. di grado 0,1
12
013
1 )40.1
)1(1 )39.1
pVb
pxpyb
variabili ausiliare
)1/()21( )42.1
)1/()13( )41.13
323
2232
xbxbp
xxbbp
coeff. di grado 2,3
Dati i vincoli geometrici nei punti ]1,1 ,0,0[ VYVY ]1,0[ XX
0)(
)( , 0 ]1,0[ 3
0
Yxy Y(X)
xpxyXXxXXXk
kk
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DOMANDE ?