Il progetto dei regolatori

Ing. Giuseppe FedeleDip. Elettronica, Informatica e SistemisticaUniversità degli Studi della Calabria

Email: fedele@si.deis.unical.it

C(s) G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s) U(s)

Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare delle specifiche assegnate nel dominio del tempo e della frequenza:

precisione

stabilità

velocità di risposta

precisione

• errori a regime in risposta ai segnali tipici• sensibilità ai disturbi additivi e parametrici

stabilità

• massima sovraelongazione nella risposta al gradino• picco di risonanza• margini di ampiezza e di fase• coefficiente di smorzamento dei poli dominanti

Intesa in senso lato di “comportamento dinamico soddisfacente” in quanto la stabilità in senso strettoè sempre sottintesa

velocità di risposta

• tempo di ritardo• tempo di salita• tempo di assestamento• banda passante

Alcune specifiche sono relativealla risposta a segnali tipici, altri

alla risposta armonica; molti dell’unoe dell’altro sono, grosso modo,

equivalenti.

L’unico modo per porre in relazione, sia pure in modo approssimato, i parametri che riguardano la risposta armonica e quelli che riguardano la risposta a un segnale tipico è ipotizzare che il sistema in retroazionesi comporti approssimativamente come un sistema delsecondo ordine o comunque abbia un numero limitatodi poli dominanti.

K G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s) U(s)

Errore a regime E’ un indice di quanto la risposta a regime si discosta dal valore desiderato.

)()()()( sYsHsRsE )()()( sEsKGsY )()()()()( sEsHsKGsRsE

)()()(1)( sRsHsKGsE

)()(1

)()(

sHsKG

sRsE

)(lim

0ssEE

s

Ma:

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

Errore a regime

Da un punto di vista teorico l’obiettivo nonpuò essere mai raggiunto.

Infatti se per assurdo

E(s)=0,

allora

Y(s)=G(s)E(s)=0 e

H(s)Y(s)=0.

Per cui

E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s)

contro l’ipotesi che E(s)=0.

Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso.

Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

Margini di stabilità

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

Margine di fase

Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardoche può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.

1)( : cc iL )(arg cm iL

L’angolo che manca alla fase della funzioned’anello per raggiungere π in corrispondenzadella pulsazione di cross-over, cioè dellapulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario.

0m Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico

0m Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

Margine di guadagno

Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.

)L(iωc arg :)(

1

iLgm

1)( iL Il sistema è stabile

Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω)sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenzadella pulsazione .

Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

2

3

m

mg

CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π.

c

c

c

m

Criterio di stabilità di Bode

Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su G

Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su H

Funzione di sensibilità

Banda passante

Dai diagrammi di Bode dei moduli, abbiamo visto tipologie di sistemi come:

0 1 2 1 2

1 2 3

1 Sistama PASSA-BASSO Attenua tutte le sinusoidi con ; lascia invariate quelle con . 0 0

2 Sistama PASSA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con e . 1 2

3 Sistama ARRESTA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con . 21,

Banda passante

Si definisce LARGHEZZA DI BANDA

l’intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore a 3db del valore che esso assume quando ω=0 rad/sec.

Osservazione: La retroazione aumenta la larghezza di banda (ma diminuisce il guadagno a centro banda).

sK

sG

1

)(

1t

11

11

11

1)(1

)()(

Ks

KK

Ks

K

sKsK

sG

sGsW

1K

t

Banda passante e coefficiente di smorzamento

nn

i

iG

21

1)(

2

2

dbK 3log20 10 2

1K

2

1

21

1)(

22

2

2

nn

iG

2421 2

2

2

2

4

4

nnn

0124 2

22

4

4

nn

24421 242

2

2

n

L’unica soluzione accettabile è quella positiva.

Banda passante e coefficiente di smorzamento

24421 242 nt

La banda passante è dunque proporzionale alla pulsazione naturale ed è funzione del coefficiente di smorzamento.

Diminuisce all’aumentare del coefficiente di smorzamento.

2

1 1

n

t

Banda passante e tempo di salita

Abbiamo già visto che il tempo di salita aumenta all’aumentare del coefficiente di smorzamento:

2

2

1

1arctan

n

rT

nrT

2lim

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

10

20

30

40

50

1n

Esiste quindi un certo legame tra la banda passante e la prontezza del sistema (intesa come tempo di salita).

Più la banda passante del sistema è grande, più il sistema è pronto (cioè i tempi di salita sono piccoli).

Esiste una relazione empirica tra tempo di salita e banda passante:

rt T

45.0

Correlazione tra coefficiente di smorzamento emargini di stabilità

G(s)+

-

R(s) Y(s)E(s)

nn

sssG

2)(

2

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sY

Abbiamo visto che:

2

1,0 221 nr

212

1

rM

Pulsazione di risonanza

Picco di risonanza

Un picco di risonanza elevato, indica la presenza di una coppia di poli dominanti, a ciclo chiuso, con un basso coefficiente di smorzamento, che potrebbero generare una risposta transitoria non desiderata.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento emargini di stabilità

c

1)( : cc iG

)G(iωc arg :

)(

1

iGgm

mgiG

1)(

mgiG

1)(

)(arg cm iG

)(arg)()( ciGicc eiGiG mi

c eiG )(

Correlazione tra coefficiente di smorzamento emargini di stabilità

iG

iGiW

1 10 iW Altrimenti non inseguirei

il segnale di ingresso.

1

1

11

1

1

m

m

m

g

g

g

iG

iGiW

iW

mg 1lim Un buon margine di ampiezza assicura un buon

coefficiente di smorzamento.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento emargini di stabilità

m

mmm

mm

mmc

cc

i

iiG

iGiW

cos12

1

sincoscos21

1

sincos1

1

sincos1

1

1

22

mmmm cossinsincoscoscos

mmmm sinsincoscossinsin

ciW

m

0lim Un buon margine di fase assicura un buon

coefficiente di smorzamento.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento emargini di stabilità

Margini di stabilitàpiccoli

1

1

ciW

iW

W(iω)ha un massimo2

1

Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema delsecondo ordine

G(s)+

-

R(s) Y(s)E(s)

nn

sssG

2)(

2

La funzione di trasferimento G(s) assume modulounitario in corrispondenza della pulsazione

24 241 n

In corrispondenza di tale pulsazione, la fase vale

2

241arctan

2arg

24 iG

Quindi il margine di fase del sistema è

24

24

241

2arctan

2

241arctan

2

arg

iGm

Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema delsecondo ordine

24 241

2arctan

m

6.00 100m

)1)(10(

1)(

sssG

1

)1()(

s

ssC

ˆ22)1)(10(

)1(limˆ

1

ˆ

1

ˆ

10

ˆ

)1)(1)(10(

)1()()(

1

ss

sC

s

C

s

B

s

A

sss

ssGsC

s

ttt eeBeAty ˆˆ)( 10

Cancellazione SI/NO?

Non si può mai cancellareun polo instabile!!!

Reti correttrici

Quando il progettista deve soddisfare le specifiche assegnate, deve modificare la configurazione del sistema introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche di tipo passivo o attivo al fine di migliorare le prestazioni statiche e dinamiche del sistema.

Rete ritardatrice

Rete ritardatrice

sCsI

sV

CvssCVsIdt

tdvCti

C

C

CC

CC

1

)(

)(

)0()()(

)()(

:reCondensato

)(1

1

)(

0)()(1

)(

1)(

)(

0)(1

)()(

2

21

2

1

2

21

sV

sCR

sCRR

sV

sVsV

sCR

RsV

sCR

sVsI

sIsC

RsIRsV

ui

uui

u

i

Rete ritardatrice

CRRs

CsR

sV

sVsG

i

u

21

2

1

1

)(

)()(

Posto:

CRR

RR

R

21

21

2 1

s

ssG

1

1)(

11

Viene prima il polo e poi lo zero.

p

o

p

o

Rete ritardatrice

i

iiG

1

1)(

22

222

1

1)(

iG

)(lim ,1)(lim

0iGiG

Effetto utile: Attenuazione alle alte frequenze consfasamento, praticamente trascurabile

Rete ritardatrice

Per simmetria è centrale rispetto a e , ma poiché la scalaè logaritmica:

m 1

1

1

log1

log1

log2

1

2

1log

1log

log2

1

22

m

1m )( miG

Rete ritardatrice

Rete ritardatrice

2

1

2

1

2

1

12

1 raggio e

12

1 centro di nzacirconfere una è

1

1)(

diNyquist di diagramma Il

r

c

i

iiG

i

iiG

1

1)(

10 poichè ,2

11

2

1

12

1

r

c

Il massimo ritardo di fase che si può ottenere dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio forma con l’asse reale:

1

r

m

c

cr

sin

1

1arcsin

Rete ritardatrice

Lo stesso risultato si ottiene anche per via analitica:

1

01

011

01

011

011

arg

arctanarctanarg

22

22

22222

22222

22222

m

d

iGd

iG

Rete ritardatrice

Il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase.

Tuning pratico della rete

1) Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω* a cui corrisponde un margine di fase pari al margine di fase desiderato (φm*), aumentato di un margine di sicurezza (5-10°) per compensare le approssimazioni

2) La rete deve far sì che a questa pulsazione il guadagno d’anello diventi unitario e quindi si impone che il fattore di attenuazione introdotto sia

3) Affinché lo sfasamento della rete non influenzi in modo apprezzabile la pulsazione di attraversamento, si pone

4) Si ricava

105arg : ***miL

db

p

o

p

o

iLiL **

120log oppure

1

*1.01

o

o

p

Rete ritardatrice

Se mettessi lo zero della rete proprio nel punto in cui voglio avere la nuova intersezione, lo sfasamento introdotto dalla rete peggiorerebbe il margine di fase. Posso però spostare lo zero una decade prima del punto che ho scelto in modo che lo sfasamento intervenga prima.

Osservazioni:

p1

o1

L’inconveniente della rete è la riduzione del guadagno alle alte frequenze, cioè della larghezza di banda che si traduce in una risposta transitoria meno pronta.

Rete ritardatrice

Osservazioni:

L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.

Dati valori desiderati

identificare delle formule per trovare i parametri (α,τ) della rete che allapulsazione ω= ωc* attenui di M* e sfasi di φ*.

02

10

con

,,

*

*

***

M

M c

Rete ritardatrice Formule di inversione

Rete ritardatrice Formule di inversione

**

**

**

**

**

**1

**

**

*

*

**

**

*

*

**

**

*****

*****

**

sin

cos

sin

1cos

sin

1cos

1cos

0sin

sin

1cos

1cos

0sin

11sincos

sincos1

1)(

*

cc

c

c

c

c

cc

i

c

cc

MM

M

M

M

M

M

M

M

M

iiiM

iMeMi

iiC

Rete ritardatrice Formule di inversione

sin

1cos

**

**

c

M

**

**

1cos

cos

M

M

**

**

sin

cos

c

M

Mentre è facile verificare che il range dei parametri garantisce α<1 e τ>0, peravere α>0, occorre che M* <cos φ*, infatti:

1 eimpossibil

cos1

01

cos

0cos

***

**

**

*M

MM

M

M

***

**

**

1cos

01

cos

0cos

MM

M

M

Rete ritardatrice Formule di inversione

Rete ritardatrice Formule di inversione

Dati del problema• funzione d’anello L(s)• pulsazione di attraversamento desiderata ωc* e margine di fase desiderato φm*

Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice

Step1:Calcolare

Step2:Calcolare

verificando

Step3:Calcolare (α,τ) mediante le formule di inversione.

*

*

arg

c

c

iL

iL

***

20

*

arg

10

*

cm

iL

iL

Mdb

c

**

***

**

cos

arg02

0 1

M

iL

iLM

mc

dbc

Esempio(Rete ritardatrice) G(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

2)11.0(

10)(

s

KsG

Determinare il valore di K ed i parametri di una rete ritardatrice da inserire in modo da soddisfare le seguenti specifiche:

- Errore a regime al gradino unitario minore del 1%

- Margine di fase di circa 45°

Esempio(Rete ritardatrice)

109.9

100101

01.0101

1

)11.0(10

1

1lim

)11.0(10

1

1)(lim)(lim

)11.0(10

1

)()(

)()11.0(

10)()(

2

0

2

0

2

2

K

K

KsK

sK

ssRtee

sK

sRsE

sEs

KsRsE

s

st

G(s)+

-

R(s) Y(s)E(s)

2)11.0(

10)(

s

KsG

Esempio(Rete ritardatrice)

Verifichiamo la stabilità al variare di K

10

1

0101

1012.001.0

10

)11.0(10

1

)11.0(10

)(2

2

2

K

K

Kss

K

sK

sK

sW

Esempio(Rete ritardatrice)

-168 -2.9413)(arg

4987.99 1)( :

1.0arctan2)(arg 04.001.01

100)(

2.001.01

100)(

12.001.0

100)(

222

2

2

c

ccc

iL

iL

iLiL

iiL

sssL

5.11m

Esempio(Rete ritardatrice)

Calcoliamo la pulsazione ωc* in cui la fase vale -135°

rad/sec 14.248

3tan10

8

3tan

10

4

3

10arctan2

**

*

cc

c

In corrispondenza di ωc* il modulo della funzione di anello vale

65.14)( * ciL

Si impone quindi che il fattore di attenuazione della rete sia

068.0)(

1*

* ciL

M

Esempio(Rete ritardatrice)

068.0

1*

iLp

o

4142.01.0

1*

c

o

Si ricava 09.60 p

109.6

14142.0)(

s

ssC

Esempio(Rete ritardatrice)

Sistema non compensato

Esempio(Rete ritardatrice)

Sistema compensato

Esempio(Rete ritardatrice)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 1)

Rete ritardatrice(mfile 2)

Rete ritardatrice(mfile 2)

Rete anticipatrice

Rete anticipatrice

CRRRR

s

CsR

RR

R

CRsRRR

CsRR

CsRR

R

R

sCR

R

R

sV

sVsG

i

u

21

21

1

21

2

2121

12

1

12

2

1

2

2

1

1

1

111)(

)()(

Posto:

CR

RR

R

1

21

2 1

s

ssG

1

1)(

11

Viene prima lo zero e poi il polo.

p

o

1

p

o

i

iiG

1

1)(

222

22

1

1)(

iG

1)(lim ,1)(lim

0

iGiG

Effetto utile:Sfasamento positivo; purtroppo ilpicco di fase è associato ad una

amplificazione

Rete anticipatrice

Si è introdotta unacorrezione di guadagnopari a 1/α.

Per simmetria è centrale rispetto a e , ma poiché la scalaè logaritmica:

m 1

1

1

log1

log1

log2

1

2

1log

1log

log2

1

22

m

1m

1)( miG

Rete anticipatrice

Rete anticipatrice

Rete anticipatrice

La rete anticipatrice ha l’effetto di aumentare il guadagno alle alte frequenze e quindi la larghezza di banda del sistema in retroazione. Produce, cioè, uno sfasamento in anticipo che fa sì che il diagramma di Nyquist della funzione d’anello si allontani dal punto critico. Maggiore guadagno complessivo che tende a destabilizzare il sistema anche se consente di ottenere risposte più pronte.

2

1

2

1

2

1

12

1 raggio e

12

1 centro di nzacirconfere una è

1

1)(

diNyquist di diagramma Il

r

c

i

iiG

i

iiG

1

1)(

10 poichè ,2

11

2

1

12

1

r

c

Il massimo anticipo di fase che si può ottenere dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio forma con l’asse reale:

cr

sin

1

1arcsin

Rete anticipatrice

1rm

c

Vediamo come si effettua la compensazione mediante rete anticipatrice.

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

G(s)+

-

R(s) Y(s)E(s)

2)11.0(

10)(

s

KsG

Consideriamo il sistema già visto in precedenza, dove si è posto K=10 per soddisfare la specifica relativa al grado di precisione.

Tuning pratico della rete

Rete anticipatriceSi aumenta la pendenza di L(iω) da -40dB/dec a -20dB/dec in prossimità di una pulsazione ω1 situata sufficientemente a sinistra di ωc, in modo da poter prevedere che alla nuova pulsazione di cross-over ωc’, a cui il diagramma del modulo così modificato taglierà l’asse 0dB, la fase si aumentata della quantità sufficiente a garantire il margine di fase richiesto.

1 2

c'

c

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

1) Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ωc di cross-over ed il margine di fase corrispondente Mφ.

2) Si calcola l’anticipo di fase φm necessario per avere un margine di fase pari a quello desiderato più una quantità di sicurezza:

105 MM Fm

φm viene sommata alla fase di L(s) in corrispondenza della nuova pulsazione di cross-over ωc’ del sistema compensato e tale fase risulta inferiore a quella valutata in ωc, essendo ωc’ > ωc.

Specifica

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

3) Si calcola il valore del parametro α della rete:

1

1arcsinm

mm

mm

m

sin1sin1

1sinsin1

1sin

m

m

sin1

sin1

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

4) Dal diagramma si determina la nuova pulsazione di cross-over

5) Si ricavano le costanti di tempo della rete

p

o

o

p

: ''cc iL

0

' 1 mc

'

1

c

o

o

p

'c

op

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

Per la fdt L(s) scelta come esempio, essendo il margine di fase circa 11° e volendo aumentarlo a 45°, si deve scegliere per α un valore da garantire un anticipo di fase di 45°-11°=34°.

22.0sin1

sin1 40

m

mm

Si calcola quindi la pulsazione ωc’ imponendo che il modulo di L(iω) in ωc’ valga

rad/sec 1461.0

212

2131.01

22.01.01

100

'

2

2

c

Tuning pratico della rete

Rete anticipatrice

Si ricavano quindi le costanti di tempo della rete

p

o

o

p

0

' 1 mc 0146.0

1'

c

o

o

p

0032.0' c

op

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)

Rete anticipatrice(mfile 1)