I derivati

Lezione 0

U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni”

Terminologia

strumento derivatoposizione lungaposizione cortavendita allo scopertoarbitraggiotasso spot, prezzo spottasso forward, prezzo forward

Strumento derivato

I derivati (o derivatives o contingent claims) sono strumenti il cui

«valore» dipende dai «valori»di altre variabili fondamentali dette sottostanti (o underlying)

prez

zo s

otto

stan

te

Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni

meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.

Esempi di Derivati

Opzioni

Contratti Forward (o Forwards)

Contratti Futures (o Futures)

Swaps

Perché si Usano i DerivatiPer proteggersi dai rischiPer concretizzare un’opinione circa la futura evoluzione del mercato (scommessa)Per bloccare un profitto di arbitraggioPer cambiare la natura di una passivitàPer cambiare la natura di un investimento senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l’acquisto di un altroPer ragioni fiscali

Operatori

Hedgers:ridurre un rischio al quale sono esposti

Speculatori:scommettitori

Arbitraggisti:operatori che traggono profitto privo di rischio senza investire

Economia di arbitraggio

Per sottolineare la possibilità di sfruttare tutte le opportunità offerte dal gran numero di mercati disponibili

cause:1) disintermediazione (scambio diretto)2) deregolamentazione (contesto

finanziario flessibile)3) integrazione (fine della

segmentazione)La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte dall’evoluzione dei mercati finanziari.

Arbitraggio

«You make money without risk»L’arbitraggio consiste

nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in modo da garantire dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli (più intuitivo)

oppurenell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in grado di garantire dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non nulli (meno intuitivo)

Opportunità di arbitraggio

Con il termine “opportunità di arbitraggio” ci si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi beni.Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102 $/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia.Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimentoAbbiamo: P q = investimento, D q = guadagnoL’arbitraggio del primo tipo è dato da: P q = 0 e D q > 0. In generale si usa dire P q 0 e D q > 0.L’arbitraggio del secondo tipo è dato da: P q < 0 e D q = 0. In generale diremo P q < 0 e D q 0.

Posizione finanziaria

La parte che ha deciso di comprare «prende una posizione lunga»

La parte che ha deciso di vendere«prende una posizione corta»

Una posizione viene chiusa prendendo una posizione di segno opposto

Vendita allo ScopertoLa vendita allo scoperto:

consiste nel vendere titoli che non si posseggonoI titoli vengono «presi in prestito» attraverso un brokere vengono venduti nel modo consuetoIl venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si trovasse senza azioni

Chi vende allo scopertodovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestitodeve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli

Vendita allo ScopertoPer la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile).Ad es., vogliamo vendere 10 000 Fiat a 18.38 (prezzo di mercato). Non disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno 10 000 Fiat, ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela.Si incarica quindi il broker di venderci le 10 000 azioni e di versarci in conto l’importo realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione richiede delle garanzie (in titoli o contanti).Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di ricomprare le 10 000 azioni versando l’importo necessario al broker e restituendogli i titoli presi a prestito.In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante) di chiudere la posizione.

Spot e Forward

Tasso e prezzo spot riguardano il tasso e il prezzo attuali

Tasso e prezzo forward riguardano il tasso e il prezzo a termine (a una certa scadenza)

Tasso Forward o di Riporto (Repo)

Il tasso di riporto è il tasso d’interesse rilevante per molti arbitraggistiI contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più altoLa «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’«interesse» percepito dalla controparte

Forwards

Contratto a termine o Forward

« Agreement to buy or sell“something” in the future»

Accordo per comprare o vendere un’attività ad una certa data futura, per un certo prezzo

Come funzionaun contratto Forward

Il contratto forward è un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC)Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nulloPertanto, non c’è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulatoIl contratto viene «liquidato a scadenza»

Esempio di contratto Forward

8 maggio 2002: una società entra in un contratto forward lungo per acquistare tra 90 giorni £1.000.000 a $1,6056 per sterlina ($/£ = GBP/USD)

8 maggio 2002 6 agosto 2002

pago $1 605 600ricevo £1 000 000

pago $1 605 600ricevo £1 000 000

sottoscrizione del contratto

sottoscrizione del contratto

Esempio di contratto Forward

6 agosto 2002: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a $1,6500

8 maggio 2002 6 agosto 2002

pago $1 605 600ricevo £1 000 000che valgono $1 650 000

pago $1 605 600ricevo £1 000 000che valgono $1 650 000

Esempio di contratto ForwardIn base alle «condizioni» contrattuali (forward del 5 maggio 2002), la società paga $1.605.600 e riceve £1.000.000Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000

pago $1 605 600ricevo £1 000 000vendo £1 000 000ricevo $1 650 000

--------------guadagno $44 400

Posizione lunga su un Forward

(a)

0

Profitto

STK

Posizione lunga

K

Posizione corta su un Forward

(b)

0

Profitto

STK

Posizione corta

K prezzo forwardo prezzo di consegna?

Contratti Forward

Prezzo Forward: prezzo di consegna del giorno di stipula tale da rendere il valore del contratto Forward nullo

Prezzo di consegna:prezzo applicato alla compravendita a termine

Valore del contratto Forward:prezzo di scambio durante la vita intermedia del contratto

Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere l’impegno iscritto nel contratto.

Oro: un’opportunità di arbitraggio?

Si supponga che:il prezzo spot dell’oro sia di $390il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuonon si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro

C’è un’opportunità di arbitraggio?

C’è opportunità di arbitraggio?

nessun investiment

o

guadagno certo

opportunitàdi arbitraggio

Oggi 1 anno

Tasso d'interesse 5%

corto Forward su oro 0 +425–oro

lungo di oro –390 +oro

prestito di contanti +390 –409.5 $390×15%

Saldo 0 15.5

Oro: un’altra opportunità di arbitraggio?

Si supponga che:il prezzo spot dell’oro sia di $390il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $390il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuonon si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro

C’è un’opportunità di arbitraggio?

C’è opportunità di arbitraggio?Oggi 1 anno

Tasso d'interesse 5%

deposito di contanti –390 409.5

lungo Forward su oro 0 –390+oro

nessun investiment

o

guadagno certo

opportunitàdi arbitraggio

corto di oro +390 –oro

Saldo 0 19.5

C’è opportunità di arbitraggio?Oggi 1 anno

Tasso d'interesse 5%

deposito di contanti –371.43 390

lungo Forward su oro 0 –390+oro

disinvesti-mento

guadagno nullo

opportunitàdi arbitraggio

corto di oro +390 –oro

Saldo 18.57 0 19.5 / (1+5%)

Formalizzando

Se oggi F > S (1+i)(T–t)

prendo in prestito la somma Svado corto sul Forward che paga F per il titolo che oggi vale Sacquisto il titolo spot che costa S

fine periodopago S (1+i)(T–t) a chi mi ha prestato i soldicedo il titolo alla somma F

Formalizzando (continua)Se oggi F < S (1+i)(T–t)

prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo Svado lungo sul forward che paga F per il titolo che oggi vale Sdeposito la somma S ricevuta dalla venditaallo scoperto

fine periodoricevo S(1+i)(T–t) dal deposito dei contanticompro il titolo alla somma Fchiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al broker

Prezzo ForwardConcludiamo che il prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Forward alla stipula è pari a

S (1+i)(T–t)

oppure

Se r (T–t)

per titoli chenon pagano dividendi o dividend yieldsnon hanno costi di deposito, custodia o immagazzinamento

Valore di un ForwardSia

K : prezzo di consegna di un contratto forward

F : prezzo forward che si applicherebbe ora al contratto

Il valore di un contratto forward lungo, f, è

f =(F – K )e–r(T – t)

Analogamente, il valore di forward corto è

f=(K – F)e–r(T–t)

Valore di un contratto Forward

Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e-r(-t) oggi, per vendere K. Dato che f(F)=0, si deduce che f(K)= (F–K)e-r(-t)

Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e-r(-t) oggi, per acquistare K anziché F. Di conseguenza f(K)= –(K–F)e-r(-t) = (F–K)e-r(-t)

rTSeK

0 Tt

)( tTrteSF

K

FST

Esempio di Forward

r = 6%, T – t = 6mesiin T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare €8.32 meno di chi sottoscrive ora: F=Ster(T-t) = €958.32 K – F = €8.32

quindi K F. Quanto è la preferenza? 8.32 e-6% × 6 / 12 = 8.08Chi vuole acquistare una posizione lunga su K pagherà 8.08, (f = -8.08)Chi vuole vendere una posizione lunga su K otterrà 8.08, (f = 8.08)Chi vuole acquistare una posizione corta su K otterrà 8.08, (f = 8.08)Chi vuole vendere una posizione corta su K pagherà 8.08, (f = -8.08)

950K

0 26/526/11

930tS

K

FST

Valore di un contratto Forward

Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio?

Volendo anticipare i guadagni?

Valore di un contratto Forward:senza redditi

Lunghi di forward F equivale al possesso di un sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo valore in tale data):

0 t T

S0 St

rTeSK 0 )( tTrteSF

rtttTr

rT

tTr

tTr

ttTr

t eSSe

eS

e

eSeKFf 0)(0)(

)()()(

rt

ttTr

rT

tTr

tTr

ttTr

t eSSe

eS

e

eSeKFf 0)(0)(

)()()(

acquista oggi e dispone del titolo S in TDeve valere come un portafoglio che

I Beni d’Investimentoche Offrono Redditi Noti

Vale la relazione

F S IerT t(3.7) p. 52

dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in quanto sono di diritto a coloro che prestano il titolo)

Valore di un contratto Forward:con redditi noti

Lunghi di forward F vuol dire acquistare il sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T:

0 t T

S0 St

rTrT IeeSK 0)()( tTr

tt eISF

rttt

tTrtt

tTrt eISISKeISeKFf )()( 0

)()( rttt

tTrtt

tTrt eISISKeISeKFf )()( 0

)()(

che dispone del titolo S in TDeve valere come un portafoglio

I Beni d’Investimento che Offrono un «Dividend Yield Noto»

Vale la relazione

F Ser qT t(3.10) p. 54

dove q è il dividend yield (dividendi in funzione del prezzo dell’azione)

Si assume che l’attività sottostante offra un reddito pari a qSt nel periodo t

Forward con dividend yields•Supposto noto che chiamiamo dividend yield (annuo)

•lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0,

•in altre parole, dopo un giorno paga dividendi

•dopo due giorni paga

•in base a pag. 47 abbiamo che•ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S•volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT I•da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT =

Spotq

dividendi

365

1Sq

SqSSqqS 2

3651

3651

3651 111

SSeqS tq 22

36511

Se(r-q)TSe(r-q)T

Valore di un contratto Forward:con dividend yields noti

Dato che gli interessi qSt maturano “istantaneamente” (per piccoli t):

)1( tqe tq

0 t T

S0 St

qT

rT

e

eSK 0 ))((

)(

)(tTqr

ttTq

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)(

0)()()( qTrttTr

ttTr

TqrtTr

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