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ITC SoveratoITC SoveratoProff. Santoro-MezzoteroProff. Santoro-Mezzotero

Le trasformazioni

geometriche

nel piano

TourNozioni fondamentali sulle trasformazioni geometriche

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Le trasformazioni nel pianoDefinizioni e proprietà

Risorse e materiale aggiuntivoObiettivi, schede operative,

valutazione

MENUMENU

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TOURTOUR

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Le simmetrie si ritrovano in molteopere artistiche: Nei rosoni delle cattedrali gotiche

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Nelle decorazioni dei vasi greciNelle decorazioni dei vasi greci

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Nei quadri di Escher:Nei quadri di Escher:

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Nella prima figura, ogni cavaliere viene trasformato in un altro effettuando uno spostamento secondo una certa direzione. Nella seconda figura, le immagini sono ottenute mediante rotazioni lungo la linea orizzontale.

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NELLE TASSELLAZIONINELLE TASSELLAZIONI

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Le tassellazioni sono ottenute riempiendo ilfoglio mediante trasformazioni geometriche,senza che rimangano spazi bianchi.

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Le simmetrie sono presentianche in natura:

Nelle molecoleNei fiori Nelle stelle marineNegli animali.

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Profili o bicchieri?La risposta dipende da

come interpreti lo sfondo - se bianco o nero. Il

fotografo Zeke Berman ha creato questo disegno usando silhouettes di

persone vere.

…e persino nelle illusioni ottiche.

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LE SIMMETRIE SONO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Consideriamo una figura geometrica contenuta in un piano, ad esempio un triangolo, e uno specchio perpendicolare a questo piano

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Vediamo nello specchio un’immagine che assomiglia al triangolo e che tuttavia non è del tutto identica; infatti anche se sono identiche le dimensioni, la sinistra e la destra risultano invertite.L’immagine risulta speculare e cioè è simmetrica del triangolo dato rispetto al piano dello specchio.

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Analoghe considerazioni valgono per Analoghe considerazioni valgono per villa Foscarivilla Foscari a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio)a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio) riflessa riflessa

nello specchio d’acquanello specchio d’acqua

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I matematici dicono che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della figura data e i punti dell’immagine.Risulta che alcune caratteristiche sono comuni alla figura iniziale e alla sua immagine (ad esempio, le dimensioni), mentre altre differiscono (ad esempio, l’orientamento dei punti dovuto allo scambio della sinistra con la destra).Le proprietà comuni sono chiamate invarianti.

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Consideriamo una grata e la sua ombra proiettata dai raggi solari che possono essere considerati tutti paralleli tra di loro. Anche qui esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della grata e la sua ombra, ma non si conservano né il parallelismo né le dimensioni della grata.

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Possiamo quindi dire che: “Una trasformazione piana è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che fa corrispondere ad ogni punto uno ed un solo punto del piano stesso”.

P P’

DEFINIZIONE DI TRASFORMAZIONE PIANA

Fine

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La traslazione La simmetria assiale

Le omotetie

I vettori

La rotazione

La simmetria centrale

LE TRASFORMAZIONILE TRASFORMAZIONI

La composizioneLa similitudine

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I VETTORII VETTORIUn vettore è una classe di segmenti orientati aventi la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza, Un vettore è indicato con la lettera in grassetto v, oppure con B-A, dove B è l’estremo e A è l’origine..

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Le componenti di un vettoreLe componenti di un vettore

2

3

y

x

u

u

2

2

y

x

z

z

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La somma di due vettori La somma di due vettori regola del parallelogrammaregola del parallelogramma

Fine

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LA TRASLAZIONELA TRASLAZIONEUna traslazione è una trasformazione del pianio in sé completamente individuata da un vettore, ossia da: una direzione (lungo la quale avviene lo spostamento di ogni punto) da un verso su tale direzione (a ogni direzione si possono associare due versi di percorrenza, l’uno opposto all’altro) da una lunghezza (che rappresenta la misura dello spostamento che subisce ciascun punto)

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GLI INVARIANTI DI UNA GLI INVARIANTI DI UNA TRASLAZIONETRASLAZIONE

L’allineamento dei punti

La lunghezza dei segmenti

L’orientamento dei punti

L’ampiezza degli angoli

Il parallelismo

Le direzioni

Il rapporto tra i segmenti

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UN ESEMPIO DI TRASLAZIONEUN ESEMPIO DI TRASLAZIONE

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Le equazioni della traslazione Le equazioni della traslazione di vettore di vettore vv

Esci Fine

y

x

vyy

vxx

'

'

LA LA ROTAZIONEROTAZIONE

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O

P

P’

α

La rotazione di centro O e ampiezza α è la trasformazione del piano in sé che al punto O fa corrispondere O e a ogni punto P≠O associa un punto P’ in modo che d(O,P) = d(O,P’) e che l’angolo PÔP’ abbia ampiezza α

Il centro O è l’unico punto unito in una rotazione

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Invarianti della rotazioneInvarianti della rotazione• L’allineamento dei punti• La lunghezza dei segmenti• L’ampiezza degli angoli• Il parallelismo• L’orientamento dei punti nel piano• Il rapporto tra segmenti

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Non sono invece un invariante le direzioni!!!

Un esempio di rotazione in Un esempio di rotazione in senso antiorario di centro Osenso antiorario di centro O

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O

α=45°

Rotazione di 90° in senso Rotazione di 90° in senso antiorarioantiorario

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O

Rotazione di 90° in senso orarioRotazione di 90° in senso orario

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O

Rotazione di 180°Rotazione di 180°

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Le equazioni della rotazione Le equazioni della rotazione

Se l’angolo dirotazione è 90°, le equazioni sono:

Se l’angolo è di 180°, le equazionisono:

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xy

yx

'

'

yy

xx

'

'

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La simmetria centraleLa simmetria centralePer simmetria centrale di centro O si intende una trasformazione che ad ogni punto P, diverso da O, associa un punto P’, allineato con P ed O, in modo che PP’ abbia O come punto medio. Il centro O è l’unico punto unito di una simmetria centrale.

Una simmetria centrale di centro O è una rotazione di 180° attorno ad O.

Oltre agli invarianti della rotazione, la simmetria centrale conserva le direzioni.

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Simmetria rispetto all’origineSimmetria rispetto all’origine

Simmetria rispetto ad un puntoSimmetria rispetto ad un punto

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Simmetria centraleSimmetria centrale

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Le equazioni della Le equazioni della simmetria centralesimmetria centrale

Rispetto all’origine Odi un sistema di assicartesiani ortogonali,le equazioni sono:

Rispetto al centro di coordinate (e,f), le equazioni sono:

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yy

xx

'

'

fyy

exx

2'

2'

Fine

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La simmetria assialeLa simmetria assiale

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La simmetria assiale rispetto alla retta r, asse di simmetria, è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ tale che r sia l’asse del segmento PP’.

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Gli invarianti della simmetria assialeGli invarianti della simmetria assiale• L’allineamento dei punti• La lunghezza dei segmenti• L’ampiezza degli angoli• Il parallelismo• Il rapporto tra i segmenti

Non sono invarianti: Le direzioni e L’orientamento dei punti

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Un esempio di simmetria Un esempio di simmetria assiale rispetto agli assi x e y.assiale rispetto agli assi x e y.

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Un esempio di simmetria assiale Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta rispetto a una retta r r ortogonale.ortogonale.

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Un esempio di simmetria assiale Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta rispetto a una retta r r obliqua.obliqua.

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Le equazioni della simmetria Le equazioni della simmetria assialeassiale

Simmetria rispetto all’asse x:

yy

xx

'

'

Simmetria rispetto all’asse y:

yy

xx

'

'

Simmetria rispetto alla retta y=x:

Simmetria rispetto alla retta y=-x:

xy

yx

'

'

xy

yx

'

'

Fine

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LE OMOTETIELE OMOTETIE“Si chiama omotetia di centro O e rapporto k (k≠0), la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad ogni punto P associa il P’ tale che tra i segmenti orientati OP e OP’ valga la relazione OP’= k OP.”L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciandone inalterata la forma.Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono:

kyy

kxx

'

'

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TRIANGOLI OMOTETICITRIANGOLI OMOTETICI

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Riduzione con centro O e k = -0.5Riduzione con centro O e k = -0.5

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Riduzione con centro P e k = 0.5Riduzione con centro P e k = 0.5

Fine

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COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONICOMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI

Fine

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SIMILITUDINESIMILITUDINE

Fine

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Materiale aggiuntivoMateriale aggiuntivo• Test e schede operative• Cerca in Internet• Obiettivi del corso• Tabella di valutazione

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Test e schede operativeTest e schede operative

Test_iniziale Scheda_0 Scheda_1 Scheda_2 scheda_3 scheda_4

In formato Word sono raccolti test e schede di verifica utilizzate durante il corso

Verifica_finale

• http://www.scuoladibase.it/docs/risordid/disper/INF_Gall.htm

(articolo interessante sulle isometrie nell’arte in cui si parla di Escher)

• http://www.matematicamente.it/arte/enriques.htm

(articolo su matematica e arte)• http://standards.nctm.org/document/eexamples/

chap6/6.4/index.htm(per comprendere le trasformazioni in modo

interattivo)

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CERCA IN INTERNET

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OBIETTIVI DEL CORSO

• Conoscere il significato di trasformazione geometrica

• Conoscere il significato di isometria• Individuare gli invarianti di una

trasformazione• Classificare le trasformazioni

geometriche• Comporre isometrie

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Tabella di valutazioneTabella di valutazioneGiudizio Conoscenze Competenze

Scarso Manca di conoscenze Non sa operare

MediocreConosce in maniera frammentaria e/o superficiale

Sa operare solo se guidato

Sufficiente Conosce i contenuti specifici Opera in modo autonomo

BuonoConosce i contenuti specifici in maniera organica e consapevole

Opera in modo critico e utilizza le varie tecniche con sicurezza

OttimoConosce i contenuti specifici in maniera approfonditae personale

Riesce a seguire strategie alternative e personalizzate.

Fine