LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLODocente E. Carlini A.A. 2012/13

Foglio di esercizi N.13con la collaborazione di Andrea Pugliese

Dovete strutturare i programmi dei seguenti esercizi in funzioni

Nei seguenti esercizi, presi in input gli estremi di un intervallo [a, b] R edun numero intero n > 0 dovete approssimare il valore dellintegrale definito

In(f ; a, b) I(f ; a, b) = baf(x)dx

utilizzando una formula di quadratura composita su n sottointervalli peruna partizione uniforme dellintervallo [a, b]. Di seguito sono riportati alcuniesempi su cui testare i programmi:

1.

11x2dx =

2

3

2.

2pi0

sin(x)dx = 0

3.

3pi2

0cos(x)dx = 1

4.

2pi0

xex cos(2x)dx =3(e2pi 1) 10pie2pi

25

5.

55

dx

1 + x2= 2 arctan(5)

6.

10x

52dx =

2

7

7.

22x sin(x)dx = 2 sin(2) 4 cos(2)

8.

2pi0|sin(x)| dx = 4

9.

21ex

2dx 0.1352572580

1

1) (Formula del Punto Medio) Scrivere un programma che, presi in inputgli estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n, ap-prossima lintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita delpunto medio. Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e, nelcaso in cui sia nota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b

af(x)dx h

n1i=0

f

(xi + xi+1

2

)2) (Formula dei Trapezi) Scrivere un programma che, presi in input gli

estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n, approssimalintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita dei trapezi.Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e, nel caso in cui sianota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b

af(x)dx h

2

n1i=0

[f(xi) + f(xi+1)]

3) (Formula di Cavalieri-Simpson) Scrivere un programma che, presi ininput gli estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n,approssima lintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita diCavalieri-Simpson. Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e,nel caso in cui sia nota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b

af(x)dx h

6

n1i=0

[f(xi) + 4f

(xi + xi+1

2

)+ f(xi+1)

]4) (Grado di Esattezza) Diremo che una formula di quadratura ha grado

di esattezza r se, quando f(x) e` un polinomio di grado minore o uguale di r,il valore dellintegrale approssimato coincide con il valore esatto. Verificare,mediante dei test numerici, che le formule del Punto Medio e dei Trapezihanno grado di esattezza 1, mentre la formula di Cavalieri Simpson ha gradodi esattezza 3.

5) (Ordine di Convergenza) Sia f(x) una funzione per cui e` noto il valoreesatto dellintegrale relativo allintervallo [a, b]. Fissato n, approssimare gliintegrali In(f ; a, b), relativo ad n sottointervalli, e I2n(f ; a, b), relativo a 2nsottointervalli, e calcolare lordine di convergenza come il logaritmo in base2 del rapporto tra i due errori commessi:

p = log2

(EnE2n

), dove Ekn = |I(f ; a, b) Ikn(f ; a, b)|

2