Post on 28-Oct-2021
ESERCIZI DELLA SETTIMANA
Enrico Massoni e Nicola Pellicanò
April 20, 2013
Trovare il dominio delle seguenti funzioni e tracciarne il gra�co
1. f(x, y) =√
|y2−x2|log(x2+y2−1)
Raccogliamo a sistema tutte le condizioni|y2−x2|
log(x2+y2−1) ≥ 0
log(x2 + y2 − 1) 6= 0
x2 + y2 − 1 > 0
Siccome il modulo è sempre positivo la prima condizione equivale a imporreil denominatore > 0log(x2 + y2 − 1) > 0
log(x2 + y2 − 1) 6= 0
x2 + y2 − 1 > 0
{log(x2 + y2 − 1) > 0
x2 + y2 − 1 > 0
{x2 + y2 − 1 > 1
x2 + y2 − 1 > 0
{x2 + y2 > 2
x2 + y2 > 1
Sono condizioni su due circonferenze. Essendo un sistema i valori da prenderesono esterni alla circonferenza più ampia, quindi la prima (raggio sqrt(2)=1.42).
1
domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 2}
2.f(x, y) = log(49− x2) +√
arctan(|y−8|)x2+y2−49
49− x2 > 0arctan(|y−8|)x2+y2−49 ≥ 0
x2 + y2 − 49 6= 0
Notiamo come l'arcotangente di un numero sempre positivo è sempre positiva,quindi la condizione diventa
49− x2 > 0
x2 + y2 − 49 > 0
x2 + y2 − 49 6= 0
{49− x2 > 0
x2 + y2 − 49 > 0
{−7 < x < 7
x2 + y2 > 49
2
domf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 49 ∧ −7 < x < 7}
3.f(x, y) = tan(yx
)tan
(yx
)=
sin( yx )
cos( yx )
{x 6= 0
cos(yx
)6= 0 =⇒ y
x 6=π2 + kπ =⇒ y 6=
(π2 + kπ
)x
domf = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6=(π2 + kπ
)x}
Il dominio è rappresentato da tutto il piano tranne l'asse y (prima condizione)ed un fascio di rette con centro l'origine e coe�cienti angolari π2 + kπ (disegno
3
improponibile ;) )
4. f(x, y) = arcsin(x−yx+y
)La condizione da ricordare sull'arcsin è che l'argomento deve essere in mod-ulo minore di 1!
{x+ y 6= 0
−1 ≤ x−yx+y ≤ 1
x+ y 6= 0x−yx+y + 1 ≥ 0x−yx+y − 1 ≤ 0y 6= −xx−y+x+y
x+y ≥ 0x−y−x−y
x+y ≤ 0
y 6= −x2xx+y ≥ 0−2yx+y ≤ 0
Abbiamo quattro casi distinti, in quanto la seconda condizione si distingue indue casi e la terza in altri due (dobbiamo incrociare le varie possibilità)
y 6= −x2x ≥ 0
x+ y > 0
−2y ≤ 0
x+ y > 0
y 6= −x2x ≥ 0
x+ y > 0
−2y ≥ 0
x+ y < 0
y 6= −x2x ≤ 0
x+ y < 0
−2y ≤ 0
x+ y > 0
y 6= −x2x ≤ 0
x+ y < 0
−2y ≥ 0
x+ y < 0
A causa delle condizioni 3 e 5 il secondo e il terzo sistema non danno soluzione.Per quanto riguarda gli altri 2 abbiamo
y 6= −xx ≥ 0
y > −xy ≥ 0
4
che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire
{x ≥ 0
y ≥ 0, escluso il punto
(0,0)
y 6= −xx ≤ 0
y < −xy ≤ 0
che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire
{x ≤ 0
y ≤ 0, escluso il punto
(0,0)
Il dominio (se volete disegnarlo) è rappresentato dal primo e dal terzo quad-rante, assi inclusi, origine esclusa.
domf = {(x, y) ∈ R2 : [(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∧ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)] \ {0, 0}}
Determinare le linee di livello e l'immagine delle seguenti funzioni (l'immagineal tutorato non l'abbiamo citata ma come in analisi 1 non è altro l'intervallo divalori che può assumere f(x,y) [al tutorato il caso del piano era tutto R mentre1/(x^2+y^2) presupponeva che la f potesse assumere solo valori positivi])
1. f(x, y) = 2x− 5y
Fatto a tutorato [messo per errore]
5
2.f(x, y) = x2y
Im(f) = R, non c'è alcun limite ai valori di z
Fisso uno z particolare
z0 = x2y =⇒ y = z0x2
Studio dei casi notevoli z0=0, z0=1, z=-1
Per z0=0 ho y=0, quindi la linea di livello è l'asse x (attenzione che anchecon x=0 ho z=0 quindi la linea di livello 0 è l'incrocio degli assi x e y! [asse ynon riportato erroneamente nel disegno �nale])
Per z0=1 ho y = 1x2 ,che ha gra�co
Per z0=-1 ho y = − 1x2 , che ha gra�co
Deduciamo da ciò che le linee di livello sono del tipo
6
3. f(x, y) = xy
Im(f) = R
z0 = xy =⇒ y = z0x
Stavolta abbiamo, per z0=1
7
Mentre per z0=-1
Con un risultato del tipo
4. f(x, y) =√x2 + 4y2
Im(f) = [0,+∞), la radice pretende valori di z unicamente positivi
8
z0 =√x2 + 4y2 =⇒ x2 + 4y2 = z20
Per z0=0 (caso patologico) abbiamo il punto (0,0), altrimenti
x2
z20+ 4y2
z 20
= 1, ellissi di dimensione dipendente da z0. Sostituento qualche z0 a
piacere si ottiene
N.B L'origine c'è ma non si vede
5. f(x, y) =√
y2x2+1
Im(f) = [0,+∞)
z0 =√
y2x2+1 =⇒ z20(2x
2 + 1) = y =⇒ y = 2z20x2 + z20
Con z0=0 ho y=0 (asse x) [non c'è l'asse y]
Negli altri casi ho delle parabole di centro traslato sull'asse y ed ampiezza cheaumenta al diminuire di z0
(le parabole sono solo sopra l'asse x in quanto il vertice è sempre positivo ela parabola va sempre verso l'alto [il dominio y>0 deve essere rispettato ovvia-mente])
9
Disegnare il gra�co delle seguenti funzioni
1. z =√−(x− 1)2 + 5− y2
Noto come è una funzione di tipo sferico. Il raggio è√5, prendo la semis-
fera positiva e noto come il centro della sfera non è l'origine, ma il punto (1,0,0)
10
2. y = 5 + (x+ 2)2 + z2
Noto che è una funzione di tipo paraboloide. Il paraboloide attenzione cheè rispetto all'asse y ( non z come al solito), quindi dovremo disegnarlo orizzon-tale verso l'asse y. Il vertice inferiore è nel punto (-2,5,0)!
11
N.B. Sono orgoglioso di questo disegno
3. y = −√2− x2 − z2[come avrete notato c'era un errore nella traccia}
Si tratta di una semisfera negativa non rispetto al piano z=0 ma rispetto alpiano y=0! Il raggio è
√2
12
Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni
13
1.f(x, y) = y2e−x
domf = R2
∇f =(−y2e−x, 2ye−x
)
2.f(x, y) = log(x2 + y2)
domf = R2 \ (0, 0)
∇f =(
2xx2+y2 ,
2yx2+y2
)
3. f(x, y) = ex/y
domf = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}
∇f =(
1y ex/y,− x
y2 ex/y)
4.f(x, y) = tan(yx
)domf = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 ∧ y 6=
(π2 + kπ
)x}
∇f =(
−yx2cos2(y/x) ,
1xcos2(y/x)
)
5. f(x, y) = ylog(x)
domf = {(x, y) ∈ R2 : y > 0 ∧ x > 0}
14
∇f =(log(y)x ylog(x), log(x)ylog(x)−1
)
Calcolare la matrice Hessiana delle seguenti funzioni
1. f(x, y) =√y − 2x2
domf = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 2x2}
∇f =
(− 2x√
y−2x2, 1
2√y−2x2
)dom∇f = {(x, y) ∈ R2 : y > 2x2}derivate con-
tinue all'interno del dominio, dunque vale teorema di Schwarz
Hf =
(∂2f∂x2
∂2f∂y∂x
∂2f∂yx∂y
∂2f∂xy2
)=
(−2y
(y−2x2)3/2x
(y−2x2)3/2x
(y−2x2)3/2− 1
4(y−2x2)3/2
)
2.f(x, y) = log( 1x+y )
domf = {(x, y) ∈ R2 : y > −x}
∇f =(− 1x+y ,−
1x+y
)
Hf =
(1
(x+y)21
(x+y)21
(x+y)21
(x+y)2
)
Calcolare le seguenti derivate direzionali
1. f(x, y) = x2 − xy − 2 in P(1,0) nella direzione (2,1)
domf = R2, (è bene controllare che il punto stia nel dominio)
15
∇f = (2x− y,−x)
∇f(1, 0) = (2,−1)
∂f∂~v (1, 0) = ∇f(1, 0) • ~v = (2,−1) • (2, 1) = 4− 1 = 3
2. f(x, y) = excosy in P(0,0) nella direzione (1,2)
∇f = (excosy,−exsiny)
∇f(0, 0) = (1, 0)
∂f∂~v (0, 0) = ∇f(0, 0) • ~v = (1, 0) • (1, 2) = 1
Calcolare il piano tangente al gra�co di f nei punti indicati
1. f(x, y) = x4 − x2y2 − 2x2 + 2y2 in P(1,1,0)
Ricordiamo che il piano tangente ha formula
z = z0 +∇f(x0, y0) • (x− x0, y − y0)
∇f =(4x3 − 2xy2 − 4x,−2x2y + 4y
)∇f(1, 1) = (−2, 2)
z = 0 + (−2, 2) • (x− 1, y − 1) = −2(x− 1) + 2(y − 1) = −2x+ 2y
2.f(x, y) =√x2 + y2in P(2,0,2)
16
∇f =
(x√x2+y2
, y√x2+y2
)
∇f(2, 0) = (1, 0)
z = 2 + (1, 0) • (x− 2, y) = 2 + x− 2 = x
17