Esercitazioni E - unicas.it

FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004--2005 Carmine E. Pagliarone2005 Carmine E. Pagliarone

EsercitazioniEsercitazioni E.2E.21. Equazione di 1. Equazione di PoissonPoisson e di e di LaplaceLaplace (un breve riassunto)(un breve riassunto)2. Metodo delle Immagini;2. Metodo delle Immagini;3. Risoluzione dell3. Risoluzione dell’’Eq.Eq. di di PoissonPoisson--LaplaceLaplace nel nel

caso di due superfici conduttrici caso di due superfici conduttrici intersecantesiintersecantesi;;4. Densit4. Densitàà di corrente, Potenziali e Campi elettrici di corrente, Potenziali e Campi elettrici

prodotti dalle punte;prodotti dalle punte;

LL’’EquazioneEquazione di di PoissonPoisson--LaplaceLaplace

DeterminiamoDeterminiamo ilil Campo Campo ElettricoElettriconotanota

la la configurazioneconfigurazione delledelle sorgentisorgenti e e delledellesuperficisuperfici conduttriciconduttrici didi contornocontorno

LL’’EquazioneEquazione di Poissondi Poisson--LaplaceLaplace

πρ4=⋅∇ Err

Φ∇−=rr

E0=×∇ Err

E πρ

∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇Φ = − ∆Φ

∇ ⋅ = = − ∆Φ

r r r rr r

=∆Φ−=∆Φ πρ

LL’’EquazioneEquazione di Poissondi Poisson--LaplaceLaplaceuu Se i Se i problemiproblemi delldell’’ElettrostaticaElettrostatica contenesserocontenessero solo solo

carichecariche localizzatelocalizzate senzasenza superficisuperfici di di contornocontorno non non avremmoavremmo bisognobisogno di fare di fare ricorsoricorso allealle EquazioniEquazioni di di PoissonPoisson--LaplaceLaplace..

uu Il Il nostronostro problemaproblema ammetterebbeammetterebbe infattiinfatti la la seguenteseguente soluzionesoluzione ((casocaso discretodiscreto e continuo):e continuo):

uu In In generalegenerale i i problemiproblemi contengonocontengono regioniregioni di di spaziospazio con con carichecariche localizzatelocalizzate e e distribuzionidistribuzioni di di caricacarica nonchenonche’’ con con superficisuperfici di di contornocontorno sullesullequaliquali sonosono assegnateassegnate condizionicondizioni particolariparticolari..

)( 3xdxx

xx ∫ −

=Φ rrrr ρ

x xΦ =

−∑r r r

CondizioniCondizioni al al ContornoContornouu CondizioniCondizioni al al ContornoContorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di di DirichletDirichlet: : DefinizioneDefinizione del del potenzialepotenziale sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di Neumanndi Neumann: : DefinizioneDefinizione del Campo del Campo ElettricoElettrico sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

•• CondizioniCondizioni al al contornocontorno di Cauchydi Cauchy: : DefinizioneDefinizione del Campo e del Campo e del del PotenzialePotenziale sullasulla superficiesuperficie di di contornocontorno::

uu Per Per ilil problemaproblema di di DirichletDirichlet e di Neumann LA SOLUZIONE e di Neumann LA SOLUZIONE ESISTE ED EESISTE ED E’’ UNICA;UNICA;

uu Il Il ProblemaProblema di Cauchy edi Cauchy e’’ sovradeterminatosovradeterminato..

fx =Φ∂

( )E x g∂

=r r r

( ) ( )x f E x g∂ ∂

Φ = ⊕ =rr r r

-- Le Le carichecariche sonosono allall’’esternoesterno;;-- ∆Φ∆Φ=0 =0 allall’’internointerno delladella superficiesuperficie; ; -- un un teoremateorema assicuraassicura esistenzaesistenza ed ed

unicitaunicita’’ delladella soluzionesoluzione per per ilil problemaproblemadi di DirichletDirichlet e di Neumann;e di Neumann;

−−

-- PoichePoiche’’ la la soluzionesoluzione ee’’ unicaunica alloraallora per per ll’’unicitaunicita’’ delladella soluzionesoluzione::

0=∆Φ

Il Campo Elettrico all’interno di una superficiechiusa conduttrice priva di cariche e’ nullo.

kost∂

all ernokost EΦ = ⇒ = − ∇Φ =

SoluzioneSoluzione al al ProblemaProblema didi DirichletDirichlet e e didi NeumannNeumann

uu MoltiMolti problemiproblemi delldell’’ElettrostaticaElettrostatica coinvolgonocoinvolgonosuperficisuperfici didi confine confine sullesulle qualiquali èè assegnatoassegnato ililpotenzialepotenziale o la o la densitdensitàà didi caricacarica superficialesuperficiale..

uu La La soluzionesoluzione formaleformale didi talitali problemiproblemi èè la la soluzionesoluzione delldell’’EqEq. . didi PoissonPoisson--LaplaceLaplace con le con le dovutedovute condizionicondizioni al al contornocontorno;;

uu NeiNei casicasi cheche sisi presentanopresentano in in praticapratica determinaredeterminarela la soluzionesoluzione didi tale tale EquazioneEquazione non non èè semplicesemplice;;

uu SonoSono statistati sviluppatisviluppati alcunialcuni MetodiMetodi per per affrontareaffrontarequestaquesta classeclasse didi problemiproblemi::

•• METODO DELLE IMMAGINIMETODO DELLE IMMAGINI, , cheche èè strettamentestrettamente legato legato ad un ad un metodometodo chiamatochiamato delledelle FunzioniFunzioni didi Green;Green;

•• SviluppoSviluppo in in SerieSerie didi FunzioniFunzioni OrtogonaliOrtogonali;;

Il Il MetodoMetodo delledelle ImmaginiImmagini

FISICA GENERALE II,FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004Cassino A.A. 2004--20052005 Carmine Elvezio PagliaroneCarmine Elvezio Pagliarone

Problema 5: Metodo delle ImmaginiSia data una superficie conduttrice infinita, mantenuta a potenziale

costante: V=0. Nelle adiacenze di essa è situata una carica Q. Sidetermini il Potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio.

=∆Φ−=∆Φ πρ

Dominio FisicoRegione non Fisica

Potremmo risolvere allora le Eq. diPoisson e Laplace:

Con le opportune condizioni al contorno: F=0

EsisteEsiste un un MetodoMetodo miglioremigliore !!

0∆Φ =non è definitoΦ

ilil MetodoMetodo delledelle ImmaginiImmagini

FISICA GENERALE II,FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 2004Cassino A.A. 2004--20052005 Carmine Elvezio PagliaroneCarmine Elvezio Pagliarone

Problema 5: Metodo delle Immagini (cont’d)

Dominio FisicoRegione non Fisica

Q’R’

P(x,y)

1/ 2 1/ 22 2 2 2

'( , , )

( ) ( ')

Q Qx y z

x R y x R yΦ = +

− + + +

Q QR R

= −=

( ) ( )1/ 2 1/ 22 2 2 2

'(0, , ) 0

Q Qy z

R y R yΦ = + =

sul Piano conduttore (x=0) Φ=0:

il Teorema di Esistenza ed unicità della soluzione per ilproblema di Dirichlet (Neumann):

ci dice che se troviamo una soluzione quella è la soluzione.0

∆Φ =

1/ 2 1/ 22 2 2 2( , , )

( ) ( )

Q Qx y z

x R y x R y

−Φ = +

− + + +

DensitDensitàà di carica, Potenziali di carica, Potenziali e Campi Elettrici e Campi Elettrici entro angoli 2entro angoli 2--DD

21,2,3( , , )

x y zx=

∂ Φ∆Φ =

∂∑

1 1( , , )z

zρ φ ρ

ρ ρ ρ ρ φ ∂ ∂Φ ∂ Φ ∂ Φ

∆Φ = + + ∂ ∂ ∂ ∂

( , 0) ( , ) V

ρρ ρ ρ ρ φ

ρ φ ρ φ β

∂ ∂Φ ∂ Φ+ = ∂ ∂ ∂

Φ = = Φ = =

LaplacianoLaplaciano in Coordinate in Coordinate CartesianeCartesiane

LaplacianoLaplaciano in Coordinate in Coordinate CilindricheCilindriche

Il Il ProblemaProblema del del qualequale occorreoccorre trovaretrovare la la soluzionesoluzione èè::

CampiCampi e e densitdensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (I)D (I)

( , ) 0( , 0) ( , ) V

ρ φρ φ ρ φ β

∆Φ =Φ = = Φ = =

ββP(P(ρρ,,φφ))

1ˆ ˆ ˆzu u uzρ φρ ρ φ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

rNablaNabla in Coordinate in Coordinate CilindricheCilindriche

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (II)D (II)

( ) ( ), ( )Rρ φ ρ ψ φΦ =

( ) ( )

( )( )

2 2 2 2

( ) ( )1 1 1 1

( ) ( )

( ) 1 ( )( )

ρ ψ φ ρ ψ φρ ρ

ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ

ρ ρψ φ ψ φρ

ρ ρ ρ ρ φ

ρ ψ φ ρρ ψ φρ

ρ ρ ρ ρ ψ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂ Φ ∂+ = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + = ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

( )( ) 2

1 ( )0

Rρρ ψ φ

ρρ ρ ρ ψ φ φ

∂∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

( , 0) ( , ) V

ρρ ρ ρ ρ φ

ρ φ ρ φ β

∂ ∂Φ ∂ Φ+ = ∂ ∂ ∂

Φ = = Φ = =

CerchiamolaCerchiamola alloraallora del del tipotipo::

Se Se troviamotroviamo unauna soluzionesoluzione quellaquella èè la la soluzionesoluzione del del problemaproblema..

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (III)D (III)

( )( ) 2

1 ( )0

( ) ( 0) ( ) ( )

ρρ ψ φρ

ρ ρ ρ ψ φ φ

ρ ψ φ ρ ψ φ β

∂∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

= = = =

( )( )

1 ( )( )

ψ φν

ψ φ φ

ρρρ ν

ρ ρ ρ

∂= −

∂∂= ∂ ∂

( , 0) ( , ) V

ρρ ρ ρ ρ φ

ρ φ ρ φ β

∂ ∂Φ ∂ Φ+ = ∂ ∂ ∂

Φ = = Φ = =

LL’’EqEq in in oggettooggetto puòpuò scriversiscriversi come:come:

La cui La cui soluzionesoluzione èè ad ad esempioesempio::

( )( ) ( )( ) cos sin

ν νρ ρ ρ

ψ φ νφ νφ

−= +

VerifichiamoloVerifichiamolo..

( )( )2

1 ( )0

Rρψ φ ρ

ν ν ρψ φ φ ρ ρ ρ

∂∂ ∂= − + = + ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

cos ( )sin cos

sin ( )cos sin

cos sin( )cos sin ( )

1 ( ) ( )( ) ( )

A BA B

νφ ψ φν νφ ν νφφ φ

νφ νφψ φ νφ νφν ν ψ φφ φ

ψ φ ν ψ φν

ψ φ φ ψ φ

∂ ∂= − −=∂ ∂

∂ ∂= = −∂ ∂

∂ +∂= = − + = −

∂ ∂

∂ −= = −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

a R R Ra a a a

a aRa a

νν ν ν ν

ν νν ν

ρ ρ ρ ρνρ ρ νρ ρ ν ρ ρ ρ ν ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρνρ ρ νρ ρ ν ρ ρ ρ ν ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρρρ ρ ρ ρ ρ ρ ν

ρ ρ ρ ρ

− −

−− − − − − −

−−

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − = − = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ + ∂∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ( )

( )( ) ( )

R RR R

ρ ν ρρρ ν

ρ ρ ρ ρ

∂∂= = ∂ ∂

1 ( )( )

ψ φν

ψ φ φ∂

= −∂

( )( ) 2R

ρ νρ ρ ρ

∂∂=

∂ ∂ C

i e e D

t ààd

22 --D

) ( )R a bν νρ ρ ρ −= +

( ) ( )( ) cos sinA Bψ φ νφ νφ= +

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (V)D (V)

uu PartendoPartendo dalladalla soluzionesoluzione trovatatrovata::

uu sisi puòpuò scriverescrivere ad ad esempioesempio la la particolareparticolare per per νν=0=0

uu e e quindiquindi la forma la forma generalegenerale delladella soluzionesoluzione sarsaràà la la combinazionecombinazione linearelineare didi tuttetutte le le soluzionisoluzioni::

uu Le Le condizionicondizioni al al contornocontorno del del problemaproblema: : implicanoimplicano quantoquanto segue:segue:

( ) 0 0

ψ φ φ

( ) 0 01 1

, ln sin( ) sin( )n nn n n n

a b a n b nρ φ ρ ρ φ α ρ φ β∞ ∞

Φ = + + + + +∑ ∑

( )( ) ( )( ) cos sin

ν νρ ρ ρ

ψ φ υφ υφ

−= +

( ) ( 0) ( ) ( )R R Vρ ψ φ ρ ψ φ β= = = =

0 0 0b B A b

= = = =

= ∈¢

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (VI)D (VI)

uu DimostriamoDimostriamo cheche le le condizionicondizioni al al contornocontorno::implicanoimplicano quantoquanto segue:segue:

uu la nostra la nostra soluzionesoluzione generalegenerale èè::

uu imponiamoimponiamo la prima la prima delledelle condizionicondizioni al al contornocontorno::

uu La La soluzionesoluzione sisi riduceriduce quindiquindi allaalla seguenteseguente::

uu DobbiamoDobbiamo oraora imporreimporre ll’’altraaltra condizionecondizione aiai bordibordi::

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01

, ln cos sina b A B a b A Bν νν ν ν

ρ φ ρ φ ρ ρ υφ υφ∞

Φ = + + + + +∑

( ) ( 0) ( ) ( )R R Vρ ψ φ ρ ψ φ β= = = =

0 0 0b B A b

= = = =

= ∈¢

( ) ( ) ( )0 0 01

0, ,0 ln

A a b a b A V

b A a A V

υ υν ν ν

φ ρ ρ ρ ρ ρ∞

= ∀ Φ = + + + =

⇒ = = =

( ) ( ) ( )0 0 0 01

, ( ) sina A V a B a b Bυ υν ν ν

ρ φ φ ρ ρ υφ∞

Φ = = + + +∑

( ) ( 0)R Vρ ψ φ = =

( ) ( )R Vρ ψ φ β= =

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (VII)D (VII)

uu AbbiamoAbbiamo fin qui fin qui ottenutoottenuto cheche::

uu ImponiamoImponiamo ll’’altraaltra condizionecondizione al al contornocontorno::

uu quindiquindi sisi ottieneottiene::

uu la la soluzionesoluzione del del nostronostro problemaproblema èè pertantopertanto::

, sinm

πβ πφ

ρ φ ρβ

Φ = +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 01

, , sin

0, 0( 0 )

a A B a b B V

V B a b B V

υ υν ν ν

φ β ρ ρ β β ρ ρ υβ

β ρ ρ υβ

∞−

= ∀ Φ = + + + =

+ + + =

⇒ = = → ⇒ → ∞

( ) ( ) ( )0 0 0 01

, ( ) sina A V a B a b Bυ υν ν ν

ρ φ φ ρ ρ υφ∞

Φ = = + + +∑

( ) ( )R Vρ ψ φ β= =

( ) ( )1

, sinV a B V

νν ν

ρ β ρ υβ

Φ = + =

⇒ = ∈

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (VIII)D (VIII)

uu AbbiamoAbbiamo fin qui fin qui ottenutoottenuto cheche::

uu per per valorivalori sufficientementesufficientemente piccolipiccoli didi ρρ possiamopossiamo trascuraretrascurare i i termini termini delladella serieserie con con potenzepotenze maggiorimaggiori didi m=1:m=1:

uu DeterminiamoDeterminiamo ilil Campo Campo ElettricoElettrico::

uu la la DistribuzioneDistribuzione didi CaricaCarica nellonello spigolospigolo assume assume pertantopertanto la la forma:forma:

, sinm

πβ πφ

ρ φ ρβ

Φ = +

( ) 1, sinV aπβ πφ

ρ φ ρβ

1, cos

π πφρ φ ρ

ρ β β

π πφρ φ ρ

ρ φ β β

∂Φ= − − ∂

( ) ( ) ( ) ( ) 11

,0 ,,0 ,

E E a πφ φ βρ ρ β

σ ρ σ ρ β ρπ π β

−= = = ;

1 11 1ˆ ˆsin cosSpigolo Spigolo

a aE u u E

π πβ β

π ππφ πφρ ρ

β β β β

− − − + ⇒

r r; ;

1ˆ ˆ ˆzu u uzρ φρ ρ φ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

CampiCampi e e DensitDensitàà didi caricacarica entroentro angoliangoli 22--D (IX)D (IX)uu AbbiamoAbbiamo fin qui fin qui ottenutoottenuto cheche::

uu NellNell’’intornointorno didi ρρ=0 =0 ll’’intensitintensitàà del campo e la del campo e la densitdensitàà superficialesuperficialedidi caricacarica varianovariano in in funzionefunzione delladella distanzadistanza come:come:

uu ConsideriamoConsideriamo quindiquindi le le seguntisegunti geometriegeometrie::

uu la la DistribuzioneDistribuzione didi CaricaCarica nellonello spigolospigolo assume assume pertantopertanto la la forma:forma:

Spigolo

σ ρβ

1, , ( 0)

1, ( 0)

πβσ ρ β π σ ρ

β π σρ

−∝ ⇒ < ∝ >

> ∝ >

β=π/4β=π/4 β=π/2β=π/2 β=πβ=π β=4π/3β=4π/3

ρρ33 ρρ 11 1/ρ1/ρ44

( )1 11punte punte

E α ασ ρ αρ ρ

∝ ∝ >

ProprietProprietàà delle Puntedelle Punte

ProprietProprietàà delledelle PuntePunte conduttriciconduttrici

uu Il Il parafulmineparafulmine sfruttasfrutta ilil principioprincipio dettodetto ""delledelle puntepunte" " cheche sisibasabasa sulsul fattofatto cheche minoreminore èè ilil raggioraggio dell'oggettodell'oggettoconduttoreconduttore, , maggioremaggiore èè ilil campo campo elettricoelettrico nellenelle vicinanzevicinanzedell'oggettodell'oggetto. .

uu NeiNei corpicorpi non a non a simmetriasimmetria sfericasferica le le carichecariche elettricheelettrichesuperficialisuperficiali non non sonosono distribuitedistribuite in in modomodo uniformeuniforme, , pertantopertantoaffinchaffinchèè all'internoall'interno del del conduttoreconduttore ilil campo campo elettricoelettrico sisiannulliannulli, , questequeste sarannosaranno concentrate concentrate sullesulle puntepunte ((spigolispigoli););

uu NeiNei pressipressi didi unauna puntapunta conduttriceconduttrice dell'astadell'asta del del parafulmineparafulminesisi creacrea un campo un campo elettricoelettrico cheche ionizzaionizza l'arial'aria e e cheche costituiscecostituisceunauna via via preferenzialepreferenziale didi passaggiopassaggio delladella correntecorrente ((minoreminoreresistenzaresistenza) ) rispettorispetto all'ariaall'aria circostantecircostante..

uu Un Un fulminefulmine cheche sfiorisfiori nellanella suasua traiettoriatraiettoria ilil parafulmineparafulmine, , vieneviene attrattoattratto preferibilmentepreferibilmente dada questoquesto, , scaricandosiscaricandosi lungolungoilil cavocavo conduttoreconduttore ed ed arrivandoarrivando al al dispersoredispersore cheche provvedeprovvedea a disperdernedisperderne ilil potenzialepotenziale elettricoelettrico..

uu Il Il fulminefulmine ciocioèè segue segue unauna via via preferenzialepreferenziale predefinitapredefinita e non e non unauna potenzialmentepotenzialmente pericolosapericolosa;;

Benjamin Franklin e Re Benjamin Franklin e Re GiogioGiogio IIIIII

17521752uu B. Franklin B. Franklin neinei notinoti esperimentiesperimenti

condotticondotti con con ll’’aiutoaiuto del del suosuo fedelefedelemaggiordomomaggiordomo compresecomprese la la proprietproprietàà delledelle puntepunte;;

uu In un In un EdittoEditto, Re Giorgio III , Re Giorgio III promulgavapromulgava unauna leggelegge secondosecondo la la qualequale nelnel territorioterritorio didi suasua maestmaestàài i parafulminiparafulmini sarebberosarebbero statistati didiforma forma sfericasferica e non e non terminantiterminanticon con unauna puntapunta;;

uu Il Il ““FisicoFisico”” didi cortecorte didi Re Giorgio Re Giorgio III III durantedurante unouno deidei test test suisuiparafulminiparafulmini sfericisferici mormorìì. .

uu La La calottacalotta cranicacranica, , gligli occhiocchi, le , le bracciabraccia et et aliquaaliqua resres del del ““FisicoFisico””furonofurono trovatetrovate sparse in un sparse in un raggioraggio didi circa 100 m.circa 100 m.

ProprietProprietàà delledelle PuntePunte conduttriciconduttrici (II)(II)

uu Le Le considerazioniconsiderazioni fattefatte fin qui fin qui sisi applicanoapplicano ancheanche a a moltemoltesituazionisituazioni 33--DD;;

uu Il Il comportamentocomportamento singolaresingolare deidei campicampi in in vicinanzavicinanza didi orliorliappuntitiappuntiti renderende ragioneragione del del funzionamentofunzionamento deidei parafulminiparafulmini;;

uu TaliTali grandigrandi intensitintensitàà didi campo campo sonosono realizzabilirealizzabili nelnel vuotovuotoassolutoassoluto, ma in aria , ma in aria sisi verificherverificheràà ilil collassocollasso dielettricodielettrico e e quindiquindi la la scaricascarica, se , se ilil campo campo superasupera unauna certacerta intensitintensitàà(per aria a TPN):(per aria a TPN):

2.5 2.5 ??101044 Volt/cmVolt/cmuu DuranteDurante i i temporalitemporali, date le , date le grandigrandi ddpddp frafra suolosuolo e e nubinubi, ,

unauna puntapunta conduttriceconduttrice messamessa a terra a terra provocherprovocheràà ilil collassocollassodielettricodielettrico nellenelle sue sue vicinanzevicinanze fornendofornendo coscosìì ilil puntopunto didiarrivoarrivo per per ilil frastagliatofrastagliato percorsopercorso del del fulminefulmine..

( ) 1, ( 0)punte punte

E ασ ρ ρρ

∝ → ∞ →

( )1 1

1 1, ( )4Spigolo Spigolo

π πβ βπ

ρ σ ρ ρ β πβ β

− −− − >; ;

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