Post on 28-Jan-2016
description
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
Agostino De MarcoDomenico P. Coiro
Elementi
di
Dinamica e simulazione di volo
Quaderno 2
Orientamento del velivoloe trasformazione di assi
Marzo 2015ver. 2015.a
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
Dichiarazione di Copyright
ı Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibilein forma preliminare, a supporto della preparazione dell’esame di Dinamica esimulazione di volo.ı Sono consentite la riproduzione e la circolazione in formato cartaceo o elettro-nico ad esclusivo uso scientifico, didattico o documentario, purché il documentonon venga alterato in alcun modo sostanziale, ed in particolare mantenga lecorrette indicazioni di data, paternità e fonte originale.ı Non è consentito l’impiego di detto materiale a scopi commerciali se nonprevio accordo.ı È gradita la segnalazione di errori o refusi.
Copyright Agostino De Marco e Domenico P. Coiro,Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale – Università degli Studi di Napoli “Federico II”.
(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2Quaderno
Orientamento del velivolo etrasformazione di assi
If you think it’s simple, then you have misunderstood the problem.
– Bjarne Stroustrup
Indice2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Formulazione con angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Definizione di angoli di Eulero per l’orientamento di un velivolo 42.2.2 Rotazioni notevoli e matrici di trasformazione . . . . . . . . . . 72.2.3 Componenti del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations . . . . 102.3.1 Relazioni cinematiche ausiliarie . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Introduzione
Lo studio della Dinamica del volo atmosferico è interamente basato sulle leggi di Newton.Da queste discendono le equazioni generali del moto vario di un velivolo rigido, che hannouna valenza vettoriale. Nelle analisi ingegneristiche e, in generale, nelle teorie del volo, leequazioni del moto vengono proiettate su un sistema di coordinate in moto con il velivoloe riscritte come sistema di equazioni differenziali scalari.
L’adozione di un tale approccio, se da una parte richiede di formulare opportunamentegli operatori di derivazione temporale ed esprimere correttamente le leggi del moto perun osservatore non inerziale, dall’altra semplifica spesso le equazioni. Ad esempio, nelleequazioni generali del moto di rotazione intorno al baricentro gli operatori di derivazionetemporale sono da applicarsi a dei prodotti fra i momenti d’inerzia del velivolo rispettoagli assi del riferimento mobile per le componenti della velocità angolare. Quando ilriferimentomobile scelto è quello degli assi velivolo imomenti d’inerzia sono indipendenti
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro4 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi
dal tempo perché riferiti ad assi solidali al corpo rigido considerato, dunque le equazionidel moto risultano semplificate.
Si osservi inoltre che gli strumenti di bordo si servono dell’acquisizione di parametri divolo, tra i quali le velocità lineari ed angolari misurate rispetto ad un sistema di coordinatesolidale al velivolo. Pertanto sembra ragionevole descrivere il moto del velivolo attraversodelle variabili direttamente confrontabili con quelle che vengono misurate in volo. Mal’aspetto decisivo nella scelta di un riferimento mobile per proiettare le leggi di Newtonapplicate al moto dell’aeromobile sta nel fatto che sia le azioni aerodinamiche esterne chequelle propulsive vengono convenientemente modellate proprio in un riferimento solidaleal velivolo.
L’adozione di un riferimento mobile come la terna di assi velivolo TB si dimostra dun-que di grande utilità nello studio della Dinamica del volo. Sfortunatamente questo sistemadi coordinate, la cui posizione varia con l’evoluzione del moto, non implica un semplicetrattamento della posizione e dell’orientamento istantanei del velivolo, che necessaria-mente devono essere espressi in un riferimento inerziale. Quest’ultimo, nell’ipotesi diTerra piatta, può essere spesso rappresentato da una terna terrestre come la terna TE. Laposizione di un velivolo rispetto alla Terra, che normalmente viene espressa in terminidi latitudine, longitudine ed altitudine, nell’analisi di moti di breve durata viene conve-nientemente descritta da una terna di coordinate cartesiane, essendo le distanze percorsetrascurabili rispetto al raggio medio terrestre.
Nei paragrafi seguenti verranno trattate le due formulazioni più diffuse nella comunitàaeronautica per la descrizione dell’orientamento di un velivolo rispetto ad un genericoriferimento fisso: quella basata sugli angoli di Eulero e quella basata sul quaternionedell’orientamento (Euler-Rodrigues symmetric parameters).
2.2 Formulazione con angoli di Eulero
2.2.1 Definizione di angoli di Eulero per l’orientamento di un velivolo
Come visto nel paragrafo 1.9, l’orientamento nello spazio può essere descritto attraversogli angoli di Eulero. La definizione comunemente accettata nella comunità aeronautica èla seguente.
Siano dette genericamenteTf ˚Of; xf; yf; zf
una terna fissa eTm
˚Om; xm; ym; zm
una terna mobile, quest’ultima con origine solidale al velivolo. Ad ogni dato istante delmoto, gli angoli di Eulero della terna Tm non sono altro che quei tre scalari corrispondentialle entità di tre rotazioni ordinate e consecutive. Tali rotazioni sono quelle che un sistemadi coordinate immaginario T0, con origine posta nell’origine del sistema mobile Tm edavente inizialmente gli assi allineati a quelli del riferimento fisso Tf, deve compiere pertrovarsi infine completamente sovrapposto a quello mobile.
Dall’esame della figura 2.1, nella quale per semplicità si è supposto che il puntoOm C solidale al velivolo fosse coincidente con l’origine di Tf , si deduce che le trerotazioni in questione sono descritte come segue:
1. una rotazione del sistema˚C; x0; y0; z0
˚C; xf; yf; zf intorno a zf z0 dell’an-golo per portarsi nella posizione individuata dalla terna
˚C; x1; y1; z1
(avente
z1 z0);
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2.2 Formulazione con angoli di Eulero 5
01
2
3
Of Om C
xf x0
x1
x2 xm
yf y0
y1 y2
y3 ymzf z0 z1
z2
z3 zm
zE
yE
xE
i
i
i
xB
yB
zB
G
Figura 2.1 Sequenza delle rotazioni nella definizione degli angoli di Eulero di un velivolo.
2. una rotazione del sistema˚C; x1; y1; z1
intorno ad y1 dell’angolo per portarsi
nella posizione individuata dalla terna˚C; x2; y2; z2
(avente y2 y1);
3. una rotazione del sistema˚C; x2; y2; z2
intorno adx2 dell’angolo per portarsi nel-
la posizione finale individuata dalla terna˚C; x3; y3; z3
˚C; xm; ym; zm (aventex2 x3 xm); in questa situazione la terna iniziale si è venuta a sovrapporre aquella mobile.
L’ordine delle rotazioni è molto importante. In generale se le rotazioni avvenissero conordine diverso, a parità di angoli, l’orientamento finale al quale perverrebbe la terna T0
sarebbe diverso.Quando la terna mobile è quella degli assi velivolo, Tm TB, gli angoli di Eulero
definiti in questo modo sono gli angoli di Eulero del velivolo e vengono denominati:angolo di azimuth o di angolo di rotta (heading), angolo di elevazione (elevation)ed angolo di inclinazione laterale (bank). Quando la terna mobile è, ad esempio,quella degli assi aerodinamici, Tm TA, allora si parlerà di angoli di Eulero della ternaaerodinamica, . A; A; A/. Analogamente, si potrà parlare di angoli di Eulero della ternadegli assi vento, . W; W; W/.
Si osservi che spesso i nomi con cui tali angoli vengono chiamati sono fuorvianti:angolo di “imbardata”, di “beccheggio” e di “rollio”. Questi nomi corrispondono allatraduzione dei termini inglesi yaw, pitch e roll. C’è infatti una sottile ma importantedifferenza tra gli angoli di Eulero e gli angoli di yaw, pitch e roll. L’angolo di azimuthrappresenta una rotazione intorno all’asse fisso zf zE mentre lo yaw, l’imbardata, èuna rotazione intorno alla posizione istantanea di zm zB. Analogamente, l’angolodi elevazione rappresenta una rotazione intorno all’asse ausiliario y1 mentre il pitch, ilbeccheggio, è una rotazione intorno all’asse velivolo ym yB. Infine, come si può vederedalle figure 1.17 e 1.19 e dalla formula vettoriale (1.13), i vettori rotazione o, ugualmente,
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro6 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi
1
2
3
4
5
rtxB
yB
zB
pt
xB
yB
zB
rt
xB
yB
zB
pt
xB
yB
zB
xB
yB
zB
Figura 2.2 Effetto della combinazione di soli moti di puro rollio e pura imbardata sull’orientamento finale delvelivolo. Per rotazioni finite, pt ! rt ! pt ! rt , l’angolo di elevazione finale è diverso da quelloiniziale.
i corrispondenti vettori velocità di rotazione P i P kE, Pi Pj1, Pi PiB nonsono in generale ortogonali tra di loro mentre i vettori di yaw, pitch e roll ovviamente losono.
A partire da un dato istante t delmoto e considerando un intervallo di tempo elementaredt , gli angoli di yaw, pitch e roll si possono immaginare come le rotazioni elementari rdt ,qdt e pdt , rispettivamente, che determinano una variazione di orientamento del velivolo.Si osservi che trattandosi di rotazioni elementari l’ordine non ha importanza, cosa chenon è più vera nel caso di rotazioni di entità finita. Le storie temporali degli angolidi Eulero, e quindi le storie degli assetti di un velivolo, sono evidentemente legate aimoti di imbardata, beccheggio e rollio, ma tale relazione non è biunivoca. Ad esempio,nella figura 2.2 è rappresentata una situazione in cui una combinazione di soli moti dipuro rollio ed imbardata determinano una variazione di angolo di elevazione , senzanecessariamente avere un moto di beccheggio.
A ciascuna terna di angoli di Eulero deve corrispondere un unico orientamento degli
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2.2 Formulazione con angoli di Eulero 7
vy0
vx0vy1
vx1
vz0 vz1
v?
v
x1
y1
x0
y0
z0 z1
Figura 2.3 Componenti del generico vettore v nel riferimento iniziale T0 e nel riferimento T1 , ottenuto dal primomediante rotazione di un angolo intorno a z0.
assi velivolo, cioè a due orientamenti diversi del riferimento mobile devono corrisponderedue terne diverse di valori degli angoli di Eulero. Inoltre, seppure ad assegnati valoridegli angoli di Eulero corrispondono secondo la definizione tre rotazioni consecutiveche porterebbero un ipotetico sistema di coordinate ad orientarsi come il sistema di assivelivolo, tale orientamento non deve dipendere in alcun modo da come il velivolo èpervenuto a quell’assetto nella storia del suo moto fino all’istante considerato. Si osservipertanto che, trattandosi di angoli, l’assetto del velivolo dovrebbe essere una funzioneperiodica di ciascun angolo di Eulero. Per evitare la complicazione di trattare questaforma di periodicità, che porterebbe ad una mancata biunivocità tra orientamento e ternedi angoli di Eulero, sono universalmente accettati nel campo aeronautico gli intervalli divariazione definiti dalle (1.12).
2.2.2 Rotazioni notevoli e matrici di trasformazione
Aquesto punto vengono richiamate alcune nozioni di base della geometria analitica. Comesi deduce dalla figura 2.3, se fvg0 D
vx0; vy0
; vz0T è una matrice colonna che rappresenta
un vettore v nella terna di riferimento T0 e se T1 è una nuova terna ottenuta dalla primaattraverso una rotazione intorno all’asse z0 (asse 3) di un angolo , allora lo stesso vettoreespresso nella nuova terna è dato dalla
vx1
vy1
vz1
D24 cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
35vx0
vy0
vz0
(2.1)
ovverofvg1 D
R.3; /
fvg0 (2.2)
Generalizzando, la legge di trasformazione delle componenti di un vettore da unriferimento ad un altro, ottenuta per rotazione di un angolo intorno ad uno degli assi
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro8 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi
coordinati è espressa, rispettivamente, dalle matrici ortogonali seguenti
R.1; /
D24 1 0 0
0 cos sin 0 sin cos
35 R.2; /
D24 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
35R.3; /
D24 cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
35 (2.3)
La generica matrice di trasformazione, ŒR.k; /, ha l’elemento diagonale k-mo pari ad1, gli elementi diagonali rimanenti uguali al cos , gli elementi rimanenti della colonna edella riga k-me nulli; infine, gli elementi rimanenti corrispondono al sin o al sin aseconda se questi si trovano al di sotto o al di sopra (in senso ciclico) della riga contenentel’elemento 1. Tali matrici godono dell’importante proprietà di essere ortogonali, cioètali che ŒR.k; /1 D ŒR.k; /T. Coincidendo l’inversa con la trasposta, il passaggio dicomponenti inverso dalla terna T1 alla T0 è immediato: fvg0 D ŒR.k; /Tfvg1.
Dall’esame della figura 2.1 si deducono le seguenti relazioni di trasformazionevx1
vy1
vz1
D24 cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
35vxEvyEvzE
(2.4)
vxEvyEvzE
D24 cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
35vx1
vy1
vz1
(2.5)
valide per la trasformazione TE ! T1 e per la sua inversa;vx
2
vy2
vz2
D24 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
35vx1
vy1
vz1
(2.6)
vx1
vy1
vz1
D24 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
35vx2
vy2
vz2
(2.7)
per la trasformazione T1 ! T2 e la sua inversa; infinevxBvyBvzB
D24 1 0 0
0 cos sin0 sin cos
35vx2
vy2
vz2
(2.8)
vx2
vy2
vz2
D24 1 0 0
0 cos sin0 sin cos
35vxBvyBvzB
(2.9)
per la trasformazione T2 ! TB e la sua inversa.
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2.2 Formulazione con angoli di Eulero 9
La composizione delle trasformazioni precedenti permette di esprimere la relazioneche lega le componenti di uno stesso vettore nel sistema di assi Terra e nel sistema degliassi velivolo. Per la trasformazione diretta TE ! TB, detta earth-to-body, si havxBvyBvzB
D24 1 0 0
0 C S
0 S C
3524 C 0 S0 1 0
S 0 C
3524 C S 0
S C 0
0 0 1
35vxEvyEvzE
(2.10)
Per la sua inversa, body-to-earth,vxEvyEvzE
D24 C S 0
S C 0
0 0 1
3524 C 0 S
0 1 0
S 0 C
3524 1 0 0
0 C S0 S C
35vxBvyBvzB
(2.11)
Quest’ultima, dopo aver esplicitato i prodotti riga per colonna, diventavxEvyEvzE
D24 C C S S C C S C S C C S S C S S S S C C C C S S S C S S C C C
35vxBvyBvzB
(2.12)
ovvero, come espressione formalmente compatta˚vE D
TEB
˚vB (2.13)
dove TEB D
R.3; /
TR.2; /
TR.1; /
T (2.14)
è la matrice di trasformazione inversa. La trasformazione diretta è dunque data dallavxBvyBvzB
D24 C C C S SS S C C S S S S C C C S C
C S C C S S C S S S C C C
35vxEvyEvzE
(2.15)
ovvero dalla ˚vB D
TBE
˚vE (2.16)
dove TBE D
R.1; /
R.2; /
R.3; /
(2.17)
è la matrice di trasformazione diretta. Le matrici di trasformazione (2.14) e (2.17) sonoanche dette matrici dei coseni direttori (direction cosine matrices, DCM).
In relazione alla definizione di angoli di Eulero, si osservi la successione delle mol-tiplicazioni delle matrici di rotazione nelle espressioni (2.17) e (2.14) che definiscono lematrici di trasformazione tra le terne TE e TB. Nella (2.17), osservando il secondo membroda destra verso sinistra, le matrici di rotazione compaiono nello stesso ordine in cui sisusseguono le rotazioni che definiscono gli angoli di Eulero. Nella (2.14) che esprime larotazione inversa dal sistema di assi corpo a quello di assi Terra le matrici di rotazionecompaiono nell’ordine inverso e nella forma inversa (trasposta).
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro10 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi
2.2.3 Componenti del peso
Un esempio di applicazione della formula (2.15) si ha quando si vogliono determinare,istante per istante, le componenti della forza peso dell’aeromobile, W D W kE, nellaterna degli assi velivolo. È immediato dedurre che il vettore peso W è esprimibile nelriferimento degli assi Terra come
fW gE D
0
0
mg
D W
0
0
1
(2.18)
dovem è la massa del velivolo, g è l’accelerazione gravitazionale (da considerarsi costantenello studio del volo atmosferico, g g0 D 9;81m=s2) e W D mg.
Se si esaminano le equazioni alla traslazione del moto velivolo, scritte nel riferimentoad esso solidale, si deduce che il contributo alla risultante delle forze esterne dovutoall’azione del peso è dato da
fW gB D ŒT BEfW gE
WxBWyBWzB
D W
sin
sin cos cos cos
(2.19)
La (2.19) si giustifica osservando che l’unico elemento non nullo di fW gE è il terzo, cioèla componente di W secondo zE. In pratica la moltiplicazione di ŒT BE per fW gE estraela terza colonna della matrice di trasformazione, come si può verificare esaminando la(2.15). Si noti che le componenti del peso sugli assi velivolo non dipendono dall’angolodi azimuth .
2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbalequations
Un’altra applicazione importante delle formule di trasformazione (2.4)-(2.9) riguardala relazione che esprime i ratei di variazione degli angoli di Eulero in termini dellecomponenti del vettore velocità di rotazione istantanea del velivolo nel riferimento TB,f˝gB D Œp; q; rT. Tale legame è riconducibile all’espressione (1.13), che è stata ricavatamediante una somma vettoriale.
Alla luce del significato delle matrici di rotazioneR.k; /
è possibile ottenere la
relazione desiderata a mezzo di una composizione di matrici colonna costruite in basealle definizioni degi angoli di Eulero. Se si osserva che l’angolo di bank è definitocome rotazione di base nel riferimento T2, l’angolo di elevazione come una rotazionedi base nel riferimento T1 e l’angolo di azimuth come rotazione di base nel riferimento
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations 11
T0 TE, ne consegue chep
q
r
D24 1 0 0
0 C S
0 S C
35 P0
0
C24 1 0 0
0 C S
0 S C
3524 C 0 S0 1 0
S 0 C
350P0
C24 1 0 0
0 C S
0 S C
3524 C 0 S0 1 0
S 0 C
3524 C S 0
S C 0
0 0 1
350
0P
(2.20)
ovvero, in forma compatta,
˚˝B D
R.1; /
˚ P2C
R.1; /R.2; /
˚ P1C (2.21)
R.1; /R.2; /
R.3; /
˚ P EEsplicitando i termini dei prodotti nella (2.3) si ottiene
p
q
r
D24 1 0 S0 C SC
0 S CC
35 PPP
(2.22)
cioè, in forma compatta,
˚˝B D
G PPP
doveG D
24 1 0 S0 C SC
0 S CC
35 (2.23)
Si osservi che nelle (2.22)-(2.23) la matrice colonna Œ P; P; P T, al contrario dellaf˝gB D Œp; q; rT, non rappresenta un’entità vettoriale ma una collezione di ratei divariazione angolare. Infatti i suoi singoli elementi sono componenti di tre diversi vettoriin tre diverse terne di riferimento. Pertanto lamatrice ŒG che caratterizza la trasformazione(2.23) non è una matrice ortogonale.
È facile verificare che l’inversa di ŒG è la matrice che compare nella trasformazioneinversa
PPP
D
26666641
SS
C
CS
C0 C S0
S
C
C
C
3777775p
q
r
(2.24)
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro12 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi
cioè, in forma compatta,
ŒG1˚˝B D
PPP
dove ŒG1 D
26666641
SS
C
CS
C0 C S0
S
C
C
C
3777775 (2.25)
Le (2.23) o (2.25) vengono denominate gimbal equations. Infatti, come si intuisce dallafigura 2.1, tali equazioni determinano le variazioni di posizione angolare dei riferimentirispetto ai quali si definiscono istante per istante gli angoli di Eulero. Questi, corrispondonoagli anelli (gimbals) della sospensione cardanica rappresentata nella figura 1.19 e la loroposizione corrisponde all’orientamento corrente del velivolo.
2.3.1 Relazioni cinematiche ausiliarie
Si considerino noti ad un generico istante i vettori velocità del baricentro V e velocitàdi rotazione istantanea ˝ . Se si sceglie come terna mobile la terna degli assi velivolo,Tm TB, e nelle consuete ipotesi di Terra piatta ed inerziale, come terna fissa la ternadegli assi Terra, Tf TE, ciò significa che si conoscono le componenti dei vettori colonnafV gB e f˝gB, ovvero i sei elementi scalari della matrice colonna
Œu; v; wT; Œp; q; rT
T.Dalle relazioni di trasformazione (2.12) e (2.24) si ottiene
PxE;GPyE;GPzE;G
D24 C C S S C C S C S C C S S C S S S S C C C C S S S C S S C C C
35u
v
w
(2.26)
PPP
D
266666641
SS
C
CS
C
0 C S
0S
C
C
C
37777775p
q
r
(2.27)
un sistema di sei equazioni differenziali del primo ordine che mettono in relazione leincognite fondamentali delle equazioni del moto, ovvero le componenti della velocitàdel baricentro e di rotazione istantanea nel sistema di assi velivolo, con le variazionitemporali della posizione del baricentro e dell’orientamento del velivolo rispetto agli assidel riferimento Terra.
Le (2.26)-(2.27) costituiscono delle relazioni cinematiche ausiliarie la cui integrazionenel tempo permette di determinare la traiettoria del baricentro e la storia degli orientamentisuccessivi del velivolo.
Le (2.27) presentano una singolarità, in particolare nei termini in cui il cos compare aldenominatore nella prima ed ultima riga dellamatrice ŒG1. Quando l’assetto del velivoloè tale che l’angolo tende a C
2(figura 2.4) o a
2la trasformazione data dalle (2.27)
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations 13
perde significato, essendo indeterminata in tali condizioni l’integrazione nel tempo degliangoli di Eulero. Questa singolarità è comunemente nota come gimbal lock e, per via dellasua esistenza, praticamente nessun software di simulazione commerciale o di applicazionegenerale, che risolve numericamente le equazioni del moto di un velivolo a sei gradi dilibertà (6-DOF, degrees of freedom), adotta una formulazione delle equazioni cinematicheausiliarie basata sugli angoli di Eulero. Esistono infatti delle formulazioni alternative,prive di singolarità, come ad esempio quelle basate sul quaternione dell’orientamento osulle trasformazioni dei coseni direttori.
Gli angoli di Eulero si prestano comunque ad una conveniente trattazione di diversiproblemi della dinamica del volo dove il raggiungimento di angoli di elevazione elevatinon si verifica. Un esempio è la derivazione delle equazioni linearizzate del moto.Inoltre, molti aeroplani in condizioni operative normali mantengono orientamenti tali dapoter opportunamente adottare le (2.26)-(2.27) come relazioni cinematiche ausiliarie. Alcontrario, la formulazione basata sugli angoli di Eulero non si addice alla simulazione delvolo di velivoli acrobatici, militari o aeromobili a lancio verticale.
D 2
zE
yExE
i
i
i
xB
yB
zB
Figura 2.4 Esempio di orientamento del velivolo per il quale si verifica il gimbal lock. In talesituazione, D 90 deg, il medesimo orientamento può essere dato anche da altre combinazioni diangoli e .
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
Bibliografia
[1] W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Hodeges & Smith, 1853.
[2] O. Rodrigues, “Des lois géometriques qui régissent les désplacements d’un systèmesolide dans l’espace, et de la variation des coordonnée provenant de ses désplace-ments considerées indépendamment des causes qui peuvent les produire”, Journaldes Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 5, 1840.
[3] E. Salamin, “Application of Quaternions to Computation with Rotations”, Workingpaper, Stanford AI Lab, 1979.
[4] A. P. Yefremov, “Quaternions: Algebra, Geometry and Physical Theories”,Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics, vol. 1, 2004.
[5] Schwab A. L., “Quaternions, Finite Rotations and Euler Parameters”, Course noteson Applied Multibody Dynamics, Delft University of Technology, Laboratory forEngineering Mechanics, 2003.http://tam.cornell.edu/~als93/quaternion.pdf.
[6] AIAA/ANSI, Recommended Practice for Atmospheric and Space Flight VehicleCoordinate Systems. R-004-1992, 1992.
[7] G. H. Bryan, Stability in Aviation: An Introduction to Dynamical Stability asApplied to the Motions of Aeroplanes. Macmillan and Co., Limited, London, 1911.
[8] D. J. Diston,Computational Modelling of the Aircraft and the Environment. Volume1, Platform Kinematics and Synthetic Environment. JohnWiley & Sons, Inc., 2009.
[9] W. F. Phillips,Mechanics of Flight. John Wiley & Sons, Inc., 2004.
[10] W. F. Phillips, “Phugoid Approximation for Conventional Airplanes”, Journal ofAircraft, Vol. 37, No. 1, January-February 2000.
[11] W. F. Phillips, “Improved Closed-Form Approximation for Dutch-Roll”, Journal ofAircraft, Vol. 37, No. 1, May-June 2000.
[12] R. Stengel, Flight Dynamics. Princeton University Press, Princeton, 2004.
[13] B. Stevens, F. Lewis, Aircraft Control and Simulation. John Wiley & Sons, Inc.,1992.
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro16 Quaderno 2 Bibliografia
[14] D. Stinton, The Anatomy of the Airplane (2nd edition). American Institute ofAeronautics and Astronautics, 1998.
[15] B. Etkin,Dynamics of Flight, Stability and Control. JohnWiley & Sons, New York,1982.
[16] M. Calcara, Elementi di dinamica del velivolo. Edizioni CUEN, Napoli, 1988.
[17] L. V. Schmidt, Introduction to Aircraft Flight Dynamics. AIAA Education Series,1998.
[18] W. J. Duncan, Control and Stability of Aircraft. Cambridge University Press,Cambridge, 1952.
[19] R. Jategaonkar, Flight Vehicle System Identification: A Time Domain Methodology.Progress in Astronautics and Aeronautics Series, 2006.
[20] C. D. Perkins, R. E. Hage, Aircraft Performance, Stability and Control. John Wiley& Sons, New York, 1949.
[21] J. R. Wright, J.. E. Cooper, Introduction to Aircraft Aeroelasticity and Loads. JohnWiley & Sons, Inc., 2007.
[22] V. Losito, Fondamenti di Aeronautica Generale. Accademia Aeronautica, Napoli,1994.
[23] E. Torenbeek, H. Wittenberg, Flight Physics. Springer, Heidelberg, 2009.
[24] P. H. Zipfel,Modeling and Simulation of Aerospace Vehicle Dynamics. Second Edi-tion. AIAA Education Series, American Institute of Aeronautics and Astronautics,Reston, VA. 2007.
[25] J. D. Mattingly, Elements of Propulsion: Gas Turbines and Rockets. AIAA Edu-cation Series, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Reston, VA.2006.
[26] K. Hünecke, Jet Engines. Fundamentals of Theory, Design and Operation.Motorbooks International, 1997.
[27] A. Linke-Diesinger, Systems of Commercial Turbofan Engines. Springer-Verlag,Berlin Heidelberg, 2008.
[28] F. R. Garza, E. A. Morelli, “A Collection of Nonlinear Aircraft Simulations withMATLAB”. NASA-TM-2003-212145, January 2003.
[29] Voce WGS84 suWikipedia:http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System
[30] Anonimo, Department of Defense World Geodetic System 1984. Its Definitionand Relationship with Local Geodetic Systems. NIMA TR8350.2, Third Edition,Amendment 2. National Imagery andMapping Agency, USDepartment of Defense,2004.
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
17
[31] J. Roskam, Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls.DARcorporation, 2001.
[32] H. T. Schlichting, E. A. Truckenbrodt, Aerodynamics of the Aeroplane. McGrawHill Higher Education, 2nd edition, 1979.
[33] M. M. Munk, “The aerodynamic forces on airship hulls”. NACA-TR-184, 1924.
[34] A. Silverstein, S. Katzoff, “Aerodynamic characteristics of horizontal tail surfaces”.NACA-TR-688, 1940.
[35] R. I. Sears, “Wind-tunnel data on the aerodynamic characteristics of airplane controlsurfaces”. NACA-WR-L-663, 1943.
[36] E. Garner, “Wind-tunnel investigation of control-surface characteristics XX: plainand balanced flaps on an NACA 0009 rectangular semispan tail surface”. NACA-WR-L-186, 1944.
[37] J. D. Brewer, M. J. Queijo, “Wind-tunnel investigation of the effect of tab balanceon tab and control-surface characteristics”. NACA-TN-1403, 1947.
[38] S. M. Crandall, H. E. Murray, “Analysis of available data on the effects of tabs oncontrol-surface hinge moments”. NACA-TN-1049, 1946.
[39] B. W. McCormick, Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics. John Wiley& Sons, 1979.
[40] B. N. Pamadi, Performance, Stability, Dynamics and Control of Airplanes. AIAAEducation Series, 1998.
[41] A. Tewari, Atmospheric and Space Flight Dynamics. Modelling and Simulationwith Matlab and Simulink. Birkhäuser, Berlin, 2007.
[42] D. Howe, Aircraft Loading and Structural Layout. AIAA Education Series, 2004.
[43] P. Morelli, Static Stability and Control of Sailplanes. Levrotto & Bella, Torino,1976.
[44] L. Prandtl, O. G. Tietjens, Fundamentals of Hydro and Aeromechanics. Dover,1957.
[45] R. K. Heffley, W. F. Jewell, “Aircraft Handling Qualities Data”. NASA-CR-2144,December 1972.
[46] J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics. McGraw-Hill, 3rd edition, NewYork, 2001.
[47] J. J. Bertin, Aerodynamics for Engineers. Prentice-Hall, 4th edition, Upper SaddleRiver, NJ, 2002.
[48] J. Katz, A. Plotkin, Low-Speed Aerodynamics. Cambridge University Press, 2ndedition, Cambridge, England, U.K., 2001.
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro18 Quaderno 2 Bibliografia
[49] D. E. Hoak, et al., “The USAF Stability and Control Datcom”. Air Force WrightAeronautical Laboratories, TR-83-3048, 1960 (Revised 1978).
[50] R. T. Jones, “A Note on the Stability and Control of Tailless Airplanes”. NACAReport 837, 1941.
[51] D. P. Coiro, F. Nicolosi, A. DeMarco, N. Genito, S. Figliolia, “Design of a LowCostEasy-to-Fly STOL Ultralight Aircraft in Composite Material”. Acta Polytecnica,Vol. 45 no. 4, 2005, pp. 73-80; ISSN 1210-2709.
[52] F. Nicolosi, A. De Marco, P. Della Vecchia, “Flight Tests, Performances and FlightCertification of a Twin-Engine Light Aircraft”. Journal of Aircraft, Vol 48, No. 1,January-February 2011.
[53] F. Nicolosi, A. De Marco, P. Della Vecchia, “Parameter Estimation and FlyingQualities of a Twin-Engine CS23/FAR23 Certified Light Aircraft”. AIAA-2010-7947, AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference, Toronto, 2010.
[54] B. Etkin, Dynamics of Atmospheric Flight, Dover Publications, 2005.
[55] L. Mangiacasale, Flight Mechanics of a -Airplane, Edizioni Libreria CLUP,Milano, 1998.
[56] G. Mengali, Elementi di Dinamica del Volo con Matlab, Edizioni ETS, Pisa, 2001.
[57] R. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, McGraw-Hill, 1989.
[58] Y. Li, M. Nahon, “Modeling and simulations of airship dynamics”, Journal ofGuidance, Controls and Dynamics, Vol 30, No. 6, November-December 2007.
[59] J. N. Nielsen,Missile Aerodynamics, AIAA, Cambridge, MA, 1988.
[60] T. I. Fossen, Guidance and Control of Ocean’s Vehicles, Whiley, New York, 1998.
[61] J. N. Newman,Marine Hydrodynamics, MIT Press, Cambridge, MA, 1977.
[62] E. L. Duke, R. F. Antoniewicz, K. D. Krambeer, “Derivation and Definition of aLinear Aircraft Model”. Technical Report NASA Reference Publication RP-1207,Research Engineering, NASA Ames Research Center and NASA Dryden FlightResearch Facility, 1988.
[63] G. A. Stagg, An Unsteady Aerodynamic Model for Use in the High Angle of AttackRegime. MS thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg,Virginia, 1998.
[64] Y. Fan, Identification of anUnsteady AerodynamicModel up to High Angle of AttackRegime. PhD thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg,Virginia, 1997.
[65] MATLAB Users’ Guide. The Mathworks, 2003 ed edizioni successive.http://www.mathworks.com/
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab.html
A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”
DR
AFT
ver.2015.a
Cop
yrig
ht©
A.D
eM
arco
,D.P
.Coi
ro
19
[66] V. Comincioli, Analisi numerica: metodi, modelli, applicazioni. McGraw-Hill,1990, seconda edizione 1995.
[67] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons, seventhedition, 1993.
[68] C. de Boor, A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, 1978.
[69] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipesin Fortran: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992.
[70] G. Dahlquist, A. Bjorck,NumericalMethods. Volume I: Fundamentals of NumericalDiscretization. John Wiley & Sons, 1988.
[71] R. D. Richtmyer, K. W. Morton, Difference Methods for Initial Value Problems.Wiley-Interscience, 1967.
[72] C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows. John Wiley &Sons, 1994.
[73] R. D. Finck, “USAF Stability and Control Datcom”. AFWAL-TR-83-3048, October1960, Revised 1978.
[74] S. R. Vukelich, J. E. Williams, “The USAF Stability and Control Digital Dat-com”. AFFDL-TR-79-3032, Volume I, April 1979, Updated by Public DomainAeronautical Software 1999.
[75] W. B. Blake, “Prediction of Fighter Aircraft Dynamic Derivatives Using DigitalDatcom”. AIAA-85-4070, AIAA Applied Aerodynamics Conference, ColoradoSprings, Colorado, 1985.
[76] Autori Vari, Distribuzione ufficiale di Digital Datcom,sito internet:http://wpage.unina.it/agodemar/DSV-DQV/Digital-Datcom-Package.zip
[77] B. Galbraith, “Digital Datcom+”, Holy Cows, Inc.,sito internet: http://www.holycows.net/datcom/
Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni