DSV-DQV_Quaderno_2

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Agostino De MarcoDomenico P. Coiro

Elementi

di

Dinamica e simulazione di volo

Quaderno 2

Orientamento del velivoloe trasformazione di assi

Marzo 2015ver. 2015.a

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Dichiarazione di Copyright

ı Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibilein forma preliminare, a supporto della preparazione dell’esame di Dinamica esimulazione di volo.ı Sono consentite la riproduzione e la circolazione in formato cartaceo o elettro-nico ad esclusivo uso scientifico, didattico o documentario, purché il documentonon venga alterato in alcun modo sostanziale, ed in particolare mantenga lecorrette indicazioni di data, paternità e fonte originale.ı Non è consentito l’impiego di detto materiale a scopi commerciali se nonprevio accordo.ı È gradita la segnalazione di errori o refusi.

Copyright Agostino De Marco e Domenico P. Coiro,Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale – Università degli Studi di Napoli “Federico II”.

(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)

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2Quaderno

Orientamento del velivolo etrasformazione di assi

If you think it’s simple, then you have misunderstood the problem.

– Bjarne Stroustrup

Indice2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Formulazione con angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Definizione di angoli di Eulero per l’orientamento di un velivolo 42.2.2 Rotazioni notevoli e matrici di trasformazione . . . . . . . . . . 72.2.3 Componenti del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations . . . . 102.3.1 Relazioni cinematiche ausiliarie . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Introduzione

Lo studio della Dinamica del volo atmosferico è interamente basato sulle leggi di Newton.Da queste discendono le equazioni generali del moto vario di un velivolo rigido, che hannouna valenza vettoriale. Nelle analisi ingegneristiche e, in generale, nelle teorie del volo, leequazioni del moto vengono proiettate su un sistema di coordinate in moto con il velivoloe riscritte come sistema di equazioni differenziali scalari.

L’adozione di un tale approccio, se da una parte richiede di formulare opportunamentegli operatori di derivazione temporale ed esprimere correttamente le leggi del moto perun osservatore non inerziale, dall’altra semplifica spesso le equazioni. Ad esempio, nelleequazioni generali del moto di rotazione intorno al baricentro gli operatori di derivazionetemporale sono da applicarsi a dei prodotti fra i momenti d’inerzia del velivolo rispettoagli assi del riferimento mobile per le componenti della velocità angolare. Quando ilriferimentomobile scelto è quello degli assi velivolo imomenti d’inerzia sono indipendenti

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ro4 Quaderno 2 Orientamento del velivolo e trasformazione di assi

dal tempo perché riferiti ad assi solidali al corpo rigido considerato, dunque le equazionidel moto risultano semplificate.

Si osservi inoltre che gli strumenti di bordo si servono dell’acquisizione di parametri divolo, tra i quali le velocità lineari ed angolari misurate rispetto ad un sistema di coordinatesolidale al velivolo. Pertanto sembra ragionevole descrivere il moto del velivolo attraversodelle variabili direttamente confrontabili con quelle che vengono misurate in volo. Mal’aspetto decisivo nella scelta di un riferimento mobile per proiettare le leggi di Newtonapplicate al moto dell’aeromobile sta nel fatto che sia le azioni aerodinamiche esterne chequelle propulsive vengono convenientemente modellate proprio in un riferimento solidaleal velivolo.

L’adozione di un riferimento mobile come la terna di assi velivolo TB si dimostra dun-que di grande utilità nello studio della Dinamica del volo. Sfortunatamente questo sistemadi coordinate, la cui posizione varia con l’evoluzione del moto, non implica un semplicetrattamento della posizione e dell’orientamento istantanei del velivolo, che necessaria-mente devono essere espressi in un riferimento inerziale. Quest’ultimo, nell’ipotesi diTerra piatta, può essere spesso rappresentato da una terna terrestre come la terna TE. Laposizione di un velivolo rispetto alla Terra, che normalmente viene espressa in terminidi latitudine, longitudine ed altitudine, nell’analisi di moti di breve durata viene conve-nientemente descritta da una terna di coordinate cartesiane, essendo le distanze percorsetrascurabili rispetto al raggio medio terrestre.

Nei paragrafi seguenti verranno trattate le due formulazioni più diffuse nella comunitàaeronautica per la descrizione dell’orientamento di un velivolo rispetto ad un genericoriferimento fisso: quella basata sugli angoli di Eulero e quella basata sul quaternionedell’orientamento (Euler-Rodrigues symmetric parameters).

2.2 Formulazione con angoli di Eulero

2.2.1 Definizione di angoli di Eulero per l’orientamento di un velivolo

Come visto nel paragrafo 1.9, l’orientamento nello spazio può essere descritto attraversogli angoli di Eulero. La definizione comunemente accettata nella comunità aeronautica èla seguente.

Siano dette genericamenteTf ˚Of; xf; yf; zf

una terna fissa eTm

˚Om; xm; ym; zm

una terna mobile, quest’ultima con origine solidale al velivolo. Ad ogni dato istante delmoto, gli angoli di Eulero della terna Tm non sono altro che quei tre scalari corrispondentialle entità di tre rotazioni ordinate e consecutive. Tali rotazioni sono quelle che un sistemadi coordinate immaginario T0, con origine posta nell’origine del sistema mobile Tm edavente inizialmente gli assi allineati a quelli del riferimento fisso Tf, deve compiere pertrovarsi infine completamente sovrapposto a quello mobile.

Dall’esame della figura 2.1, nella quale per semplicità si è supposto che il puntoOm C solidale al velivolo fosse coincidente con l’origine di Tf , si deduce che le trerotazioni in questione sono descritte come segue:

1. una rotazione del sistema˚C; x0; y0; z0

˚C; xf; yf; zf intorno a zf z0 dell’an-golo per portarsi nella posizione individuata dalla terna

˚C; x1; y1; z1

(avente

z1 z0);

A. De Marco, D. P. Coiro – Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale, Università degli Studi di Napoli “Federico II”

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2.2 Formulazione con angoli di Eulero 5

01

2

3

Of Om C

xf x0

x1

x2 xm

yf y0

y1 y2

y3 ymzf z0 z1

z2

z3 zm

zE

yE

xE

i

i

i

xB

yB

zB

G

Figura 2.1 Sequenza delle rotazioni nella definizione degli angoli di Eulero di un velivolo.


intorno ad y1 dell’angolo per portarsi

nella posizione individuata dalla terna˚C; x2; y2; z2

(avente y2 y1);


intorno adx2 dell’angolo per portarsi nel-

la posizione finale individuata dalla terna˚C; x3; y3; z3

˚C; xm; ym; zm (aventex2 x3 xm); in questa situazione la terna iniziale si è venuta a sovrapporre aquella mobile.

L’ordine delle rotazioni è molto importante. In generale se le rotazioni avvenissero conordine diverso, a parità di angoli, l’orientamento finale al quale perverrebbe la terna T0

sarebbe diverso.Quando la terna mobile è quella degli assi velivolo, Tm TB, gli angoli di Eulero

definiti in questo modo sono gli angoli di Eulero del velivolo e vengono denominati:angolo di azimuth o di angolo di rotta (heading), angolo di elevazione (elevation)ed angolo di inclinazione laterale (bank). Quando la terna mobile è, ad esempio,quella degli assi aerodinamici, Tm TA, allora si parlerà di angoli di Eulero della ternaaerodinamica, . A; A; A/. Analogamente, si potrà parlare di angoli di Eulero della ternadegli assi vento, . W; W; W/.

Si osservi che spesso i nomi con cui tali angoli vengono chiamati sono fuorvianti:angolo di “imbardata”, di “beccheggio” e di “rollio”. Questi nomi corrispondono allatraduzione dei termini inglesi yaw, pitch e roll. C’è infatti una sottile ma importantedifferenza tra gli angoli di Eulero e gli angoli di yaw, pitch e roll. L’angolo di azimuthrappresenta una rotazione intorno all’asse fisso zf zE mentre lo yaw, l’imbardata, èuna rotazione intorno alla posizione istantanea di zm zB. Analogamente, l’angolodi elevazione rappresenta una rotazione intorno all’asse ausiliario y1 mentre il pitch, ilbeccheggio, è una rotazione intorno all’asse velivolo ym yB. Infine, come si può vederedalle figure 1.17 e 1.19 e dalla formula vettoriale (1.13), i vettori rotazione o, ugualmente,

Dinamica e simulazione di volo – Quaderni dalle lezioni

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1

2

3

4

5

rtxB

yB

zB

pt

xB

yB

zB

rt

xB

yB

zB

pt

xB

yB

zB

xB

yB

zB

Figura 2.2 Effetto della combinazione di soli moti di puro rollio e pura imbardata sull’orientamento finale delvelivolo. Per rotazioni finite, pt ! rt ! pt ! rt , l’angolo di elevazione finale è diverso da quelloiniziale.

i corrispondenti vettori velocità di rotazione P i P kE, Pi Pj1, Pi PiB nonsono in generale ortogonali tra di loro mentre i vettori di yaw, pitch e roll ovviamente losono.

A partire da un dato istante t delmoto e considerando un intervallo di tempo elementaredt , gli angoli di yaw, pitch e roll si possono immaginare come le rotazioni elementari rdt ,qdt e pdt , rispettivamente, che determinano una variazione di orientamento del velivolo.Si osservi che trattandosi di rotazioni elementari l’ordine non ha importanza, cosa chenon è più vera nel caso di rotazioni di entità finita. Le storie temporali degli angolidi Eulero, e quindi le storie degli assetti di un velivolo, sono evidentemente legate aimoti di imbardata, beccheggio e rollio, ma tale relazione non è biunivoca. Ad esempio,nella figura 2.2 è rappresentata una situazione in cui una combinazione di soli moti dipuro rollio ed imbardata determinano una variazione di angolo di elevazione , senzanecessariamente avere un moto di beccheggio.

A ciascuna terna di angoli di Eulero deve corrispondere un unico orientamento degli


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vy0

vx0vy1

vx1

vz0 vz1

v?

v

x1

y1

x0

y0

z0 z1

Figura 2.3 Componenti del generico vettore v nel riferimento iniziale T0 e nel riferimento T1 , ottenuto dal primomediante rotazione di un angolo intorno a z0.

assi velivolo, cioè a due orientamenti diversi del riferimento mobile devono corrisponderedue terne diverse di valori degli angoli di Eulero. Inoltre, seppure ad assegnati valoridegli angoli di Eulero corrispondono secondo la definizione tre rotazioni consecutiveche porterebbero un ipotetico sistema di coordinate ad orientarsi come il sistema di assivelivolo, tale orientamento non deve dipendere in alcun modo da come il velivolo èpervenuto a quell’assetto nella storia del suo moto fino all’istante considerato. Si osservipertanto che, trattandosi di angoli, l’assetto del velivolo dovrebbe essere una funzioneperiodica di ciascun angolo di Eulero. Per evitare la complicazione di trattare questaforma di periodicità, che porterebbe ad una mancata biunivocità tra orientamento e ternedi angoli di Eulero, sono universalmente accettati nel campo aeronautico gli intervalli divariazione definiti dalle (1.12).

2.2.2 Rotazioni notevoli e matrici di trasformazione

Aquesto punto vengono richiamate alcune nozioni di base della geometria analitica. Comesi deduce dalla figura 2.3, se fvg0 D

vx0; vy0

; vz0T è una matrice colonna che rappresenta

un vettore v nella terna di riferimento T0 e se T1 è una nuova terna ottenuta dalla primaattraverso una rotazione intorno all’asse z0 (asse 3) di un angolo , allora lo stesso vettoreespresso nella nuova terna è dato dalla

vx1

vy1

vz1

D24 cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

35vx0

vy0

vz0

(2.1)

ovverofvg1 D

R.3; /

fvg0 (2.2)

Generalizzando, la legge di trasformazione delle componenti di un vettore da unriferimento ad un altro, ottenuta per rotazione di un angolo intorno ad uno degli assi


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coordinati è espressa, rispettivamente, dalle matrici ortogonali seguenti

R.1; /

D24 1 0 0

0 cos sin 0 sin cos

35 R.2; /

D24 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

35R.3; /

D24 cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

35 (2.3)

La generica matrice di trasformazione, ŒR.k; /, ha l’elemento diagonale k-mo pari ad1, gli elementi diagonali rimanenti uguali al cos , gli elementi rimanenti della colonna edella riga k-me nulli; infine, gli elementi rimanenti corrispondono al sin o al sin aseconda se questi si trovano al di sotto o al di sopra (in senso ciclico) della riga contenentel’elemento 1. Tali matrici godono dell’importante proprietà di essere ortogonali, cioètali che ŒR.k; /1 D ŒR.k; /T. Coincidendo l’inversa con la trasposta, il passaggio dicomponenti inverso dalla terna T1 alla T0 è immediato: fvg0 D ŒR.k; /Tfvg1.

Dall’esame della figura 2.1 si deducono le seguenti relazioni di trasformazionevx1

vy1

vz1

D24 cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

35vxEvyEvzE

(2.4)

vxEvyEvzE

D24 cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

35vx1

vy1

vz1

(2.5)

valide per la trasformazione TE ! T1 e per la sua inversa;vx

2

vy2

vz2

D24 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

35vx1

vy1

vz1

(2.6)

vx1

vy1

vz1

D24 cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

35vx2

vy2

vz2

(2.7)

per la trasformazione T1 ! T2 e la sua inversa; infinevxBvyBvzB

D24 1 0 0

0 cos sin0 sin cos

35vx2

vy2

vz2

(2.8)

vx2

vy2

vz2

D24 1 0 0

0 cos sin0 sin cos

35vxBvyBvzB

(2.9)

per la trasformazione T2 ! TB e la sua inversa.


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La composizione delle trasformazioni precedenti permette di esprimere la relazioneche lega le componenti di uno stesso vettore nel sistema di assi Terra e nel sistema degliassi velivolo. Per la trasformazione diretta TE ! TB, detta earth-to-body, si havxBvyBvzB

D24 1 0 0

0 C S

0 S C

3524 C 0 S0 1 0

S 0 C

3524 C S 0

S C 0

0 0 1

35vxEvyEvzE

(2.10)

Per la sua inversa, body-to-earth,vxEvyEvzE

D24 C S 0

S C 0

0 0 1

3524 C 0 S

0 1 0

S 0 C

3524 1 0 0

0 C S0 S C

35vxBvyBvzB

(2.11)

Quest’ultima, dopo aver esplicitato i prodotti riga per colonna, diventavxEvyEvzE

D24 C C S S C C S C S C C S S C S S S S C C C C S S S C S S C C C

35vxBvyBvzB

(2.12)

ovvero, come espressione formalmente compatta˚vE D

TEB

˚vB (2.13)

dove TEB D

R.3; /

TR.2; /

TR.1; /

T (2.14)

è la matrice di trasformazione inversa. La trasformazione diretta è dunque data dallavxBvyBvzB

D24 C C C S SS S C C S S S S C C C S C

C S C C S S C S S S C C C

35vxEvyEvzE

(2.15)

ovvero dalla ˚vB D

TBE

˚vE (2.16)

dove TBE D

R.1; /

R.2; /

R.3; /

(2.17)

è la matrice di trasformazione diretta. Le matrici di trasformazione (2.14) e (2.17) sonoanche dette matrici dei coseni direttori (direction cosine matrices, DCM).

In relazione alla definizione di angoli di Eulero, si osservi la successione delle mol-tiplicazioni delle matrici di rotazione nelle espressioni (2.17) e (2.14) che definiscono lematrici di trasformazione tra le terne TE e TB. Nella (2.17), osservando il secondo membroda destra verso sinistra, le matrici di rotazione compaiono nello stesso ordine in cui sisusseguono le rotazioni che definiscono gli angoli di Eulero. Nella (2.14) che esprime larotazione inversa dal sistema di assi corpo a quello di assi Terra le matrici di rotazionecompaiono nell’ordine inverso e nella forma inversa (trasposta).


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2.2.3 Componenti del peso

Un esempio di applicazione della formula (2.15) si ha quando si vogliono determinare,istante per istante, le componenti della forza peso dell’aeromobile, W D W kE, nellaterna degli assi velivolo. È immediato dedurre che il vettore peso W è esprimibile nelriferimento degli assi Terra come

fW gE D

0

0

mg

D W

0

0

1

(2.18)

dovem è la massa del velivolo, g è l’accelerazione gravitazionale (da considerarsi costantenello studio del volo atmosferico, g g0 D 9;81m=s2) e W D mg.

Se si esaminano le equazioni alla traslazione del moto velivolo, scritte nel riferimentoad esso solidale, si deduce che il contributo alla risultante delle forze esterne dovutoall’azione del peso è dato da

fW gB D ŒT BEfW gE

WxBWyBWzB

D W

sin

sin cos cos cos

(2.19)

La (2.19) si giustifica osservando che l’unico elemento non nullo di fW gE è il terzo, cioèla componente di W secondo zE. In pratica la moltiplicazione di ŒT BE per fW gE estraela terza colonna della matrice di trasformazione, come si può verificare esaminando la(2.15). Si noti che le componenti del peso sugli assi velivolo non dipendono dall’angolodi azimuth .

2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbalequations

Un’altra applicazione importante delle formule di trasformazione (2.4)-(2.9) riguardala relazione che esprime i ratei di variazione degli angoli di Eulero in termini dellecomponenti del vettore velocità di rotazione istantanea del velivolo nel riferimento TB,f˝gB D Œp; q; rT. Tale legame è riconducibile all’espressione (1.13), che è stata ricavatamediante una somma vettoriale.

Alla luce del significato delle matrici di rotazioneR.k; /

è possibile ottenere la

relazione desiderata a mezzo di una composizione di matrici colonna costruite in basealle definizioni degi angoli di Eulero. Se si osserva che l’angolo di bank è definitocome rotazione di base nel riferimento T2, l’angolo di elevazione come una rotazionedi base nel riferimento T1 e l’angolo di azimuth come rotazione di base nel riferimento


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2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations 11

T0 TE, ne consegue chep

q

r

D24 1 0 0

0 C S

0 S C

35 P0

0

C24 1 0 0

0 C S

0 S C

3524 C 0 S0 1 0

S 0 C

350P0

C24 1 0 0

0 C S

0 S C

3524 C 0 S0 1 0

S 0 C

3524 C S 0

S C 0

0 0 1

350

0P

(2.20)

ovvero, in forma compatta,

˚˝B D

R.1; /

˚ P2C

R.1; /R.2; /

˚ P1C (2.21)

R.1; /R.2; /

R.3; /

˚ P EEsplicitando i termini dei prodotti nella (2.3) si ottiene

p

q

r

D24 1 0 S0 C SC

0 S CC

35 PPP

(2.22)

cioè, in forma compatta,

˚˝B D

G PPP

doveG D

24 1 0 S0 C SC

0 S CC

35 (2.23)

Si osservi che nelle (2.22)-(2.23) la matrice colonna Œ P; P; P T, al contrario dellaf˝gB D Œp; q; rT, non rappresenta un’entità vettoriale ma una collezione di ratei divariazione angolare. Infatti i suoi singoli elementi sono componenti di tre diversi vettoriin tre diverse terne di riferimento. Pertanto lamatrice ŒG che caratterizza la trasformazione(2.23) non è una matrice ortogonale.

È facile verificare che l’inversa di ŒG è la matrice che compare nella trasformazioneinversa

PPP

D

26666641

SS

C

CS

C0 C S0

S

C

C

C

3777775p

q

r

(2.24)


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cioè, in forma compatta,

ŒG1˚˝B D

PPP

dove ŒG1 D

26666641

SS

C

CS

C0 C S0

S

C

C

C

3777775 (2.25)

Le (2.23) o (2.25) vengono denominate gimbal equations. Infatti, come si intuisce dallafigura 2.1, tali equazioni determinano le variazioni di posizione angolare dei riferimentirispetto ai quali si definiscono istante per istante gli angoli di Eulero. Questi, corrispondonoagli anelli (gimbals) della sospensione cardanica rappresentata nella figura 1.19 e la loroposizione corrisponde all’orientamento corrente del velivolo.

2.3.1 Relazioni cinematiche ausiliarie

Si considerino noti ad un generico istante i vettori velocità del baricentro V e velocitàdi rotazione istantanea ˝ . Se si sceglie come terna mobile la terna degli assi velivolo,Tm TB, e nelle consuete ipotesi di Terra piatta ed inerziale, come terna fissa la ternadegli assi Terra, Tf TE, ciò significa che si conoscono le componenti dei vettori colonnafV gB e f˝gB, ovvero i sei elementi scalari della matrice colonna

Œu; v; wT; Œp; q; rT

T.Dalle relazioni di trasformazione (2.12) e (2.24) si ottiene

PxE;GPyE;GPzE;G

D24 C C S S C C S C S C C S S C S S S S C C C C S S S C S S C C C

35u

v

w

(2.26)

PPP

D

266666641

SS

C

CS

C

0 C S

0S

C

C

C

37777775p

q

r

(2.27)

un sistema di sei equazioni differenziali del primo ordine che mettono in relazione leincognite fondamentali delle equazioni del moto, ovvero le componenti della velocitàdel baricentro e di rotazione istantanea nel sistema di assi velivolo, con le variazionitemporali della posizione del baricentro e dell’orientamento del velivolo rispetto agli assidel riferimento Terra.

Le (2.26)-(2.27) costituiscono delle relazioni cinematiche ausiliarie la cui integrazionenel tempo permette di determinare la traiettoria del baricentro e la storia degli orientamentisuccessivi del velivolo.

Le (2.27) presentano una singolarità, in particolare nei termini in cui il cos compare aldenominatore nella prima ed ultima riga dellamatrice ŒG1. Quando l’assetto del velivoloè tale che l’angolo tende a C

2(figura 2.4) o a

2la trasformazione data dalle (2.27)


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2.3 Derivate temporali degli angoli di Eulero e Gimbal equations 13

perde significato, essendo indeterminata in tali condizioni l’integrazione nel tempo degliangoli di Eulero. Questa singolarità è comunemente nota come gimbal lock e, per via dellasua esistenza, praticamente nessun software di simulazione commerciale o di applicazionegenerale, che risolve numericamente le equazioni del moto di un velivolo a sei gradi dilibertà (6-DOF, degrees of freedom), adotta una formulazione delle equazioni cinematicheausiliarie basata sugli angoli di Eulero. Esistono infatti delle formulazioni alternative,prive di singolarità, come ad esempio quelle basate sul quaternione dell’orientamento osulle trasformazioni dei coseni direttori.

Gli angoli di Eulero si prestano comunque ad una conveniente trattazione di diversiproblemi della dinamica del volo dove il raggiungimento di angoli di elevazione elevatinon si verifica. Un esempio è la derivazione delle equazioni linearizzate del moto.Inoltre, molti aeroplani in condizioni operative normali mantengono orientamenti tali dapoter opportunamente adottare le (2.26)-(2.27) come relazioni cinematiche ausiliarie. Alcontrario, la formulazione basata sugli angoli di Eulero non si addice alla simulazione delvolo di velivoli acrobatici, militari o aeromobili a lancio verticale.

D 2

zE

yExE

i

i

i

xB

yB

zB

Figura 2.4 Esempio di orientamento del velivolo per il quale si verifica il gimbal lock. In talesituazione, D 90 deg, il medesimo orientamento può essere dato anche da altre combinazioni diangoli e .


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Bibliografia

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