Post on 04-Feb-2020
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Definizione Limite 1
• Approccio Intuitivo
Lxfxx
)(lim0
• Man mano il valore di x si “avvicina” a x0 il valore di f(x) si “avvicina” a L
5)1(lim 2
2
x
x
x f(x) 5-f(x)
1,968377 4,874509 0,125491
1,990000 4,960100 0,039900
1,996838 4,987361 0,012639
1,999000 4,996001 0,003999
1,999684 4,998735 0,001265
1,999900 4,999600 0,000400
1,999968 4,999874 0,000126
1,999990 4,999960 0,000040
5)1(lim 2
2x
x
•Possiamo precisare meglio:
2
Definizione Limite 2
3
52
3
12)(
xx
xxfy
2)(lim xf
x
2)(lim xf
x
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
3
Definizione Limite 2
1
1)(
2
2
x
xxfy
1)(lim xf
x
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
1
21
2
x
4
Definizione Limite 3
2xy
)(lim xfx
)(lim xfx
•Le altre “combinazioni”:
)(lim xfx
)(lim xfx
•Esempi: 3xy
|)ln(| xy
xx
lnlim0
5
Definizione Limite 4
•Sia e sia (insieme derivato di A) allora vale:
Lxfxx
)(lim0
YXAf : '0 Ax
)(0 LUxIf YX
L x0
Se per ogni intorno UY(L) fissato, esiste un intorno IX(x0) tale che
Definizione Unitaria (Topologica)
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Definizione Limite 5
• In R, nel caso di x0 ed L finiti abbiamo:
0xI X
Diventa un intorno sferico di x0 di raggio δ
000 : xxxxxI
LUYDiventa un intorno sferico di L di raggio ε
LyLyLU :
• Per cui la definizione diventa (definizione ε-δ di Cauchy - Weierstrass):
Lxfxxx )(:: 0 0
LUxIfxILU 00 : • e quindi:
7
Limiti x0 finito L finito
x0 x0 + δ x0 - δ
L - ε
L
L+ ε
Lxfxx
)(lim0
Lxfxxx )(::)0( 0 0
LUxIfxILU 00 :
8
Limiti x0=+∞, L finito
H
L - ε
L
L+ ε Lxfx
)(lim
LxfHxxH )(:: 0
LUIfILU HH :
• in questo caso diciamo che y=L è un Asintoto Orizzontale per f(x) a +∞
11
1lim
x
x
x
9
Limiti x0=-∞, L finito
H
L - ε
L
L+ ε
Lxfx
)(lim
LxfHxxH )(:: 0
LUIfILU HH :
• in questo caso diciamo che y=L è un Asintoto Orizzontale per f(x)a -∞
21
12lim
x
x
x
10
Limiti x0 finito, L +∞
K
)(lim0
xfxx
KxfxxxK )(::)0( 0 0
KK UxIfxIU 00 :
• in questo caso diciamo che x=x0 è un Asintoto Verticale per f(x)
x0 x0 + δ x0 - δ
2
1 1
12lim
x
x
x
11
Limiti x0 finito, L -∞
K
)(lim0
xfxx
KxfxxxK )(::)0( 0
KK UxUfxUU 00 :
• in questo caso diciamo che x=x0 è un
• Asintoto Verticale per f(x)
x0 x0 + δ x0 - δ
2
1 1
1lim
x
x
x
12
Limiti x0 +∞, L +∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::0 0
KHHK UIfIU :
x
xelim
H
13
Limiti x0 -∞, L +∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(:: 0
KHHK UIfIU :
3lim xx
H
14
Limiti x0 -∞, L -∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::
KHHK UIfIU :
3lim xx
H
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Limiti x0 +∞, L -∞
K
)(lim xfx
KxfHxxHK )(::0
KHHK UIfIU :
x
x2
1loglim
H
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Limite destro e sinistro
Lxfxx
)(lim0
Limite destro
Limite Sinistro
Lxfxx
)(lim0
Va scelto un intorno destro di x0
Lxfxxxx )(::0 0 00
1
1lim
1 xx
1
1lim
1 xx
Va scelto un intorno sinistro di x0
)(lim0
xfxx
KxfxxxxK )(::0 0 00
)(lim0
xfxx
KxfxxxxK )(::0 0 00
Lxfxxxx )(::0 0 00
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Limite per eccesso e per difetto
Lxfxx
)(lim0
Limite per eccesso
Limite per difetto
Va scelto un intorno destro di L
LxfLxxx )(::0 0 0
0)1(lim 2
1x
x
0lim
0x
x
Lxf
xx)(lim
0
Va scelto un intorno sinistro di L
LxfLxxx )(::0 0 0
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Limiti di Successioni
Def. Una successione è una funzione da NR
RNf :nanfn :)(associa ad
È possibile avere i limiti anche per le successioni, l’unico punto di accumulazione di N è
+∞, per cui il limite si può fare solo quando n tende a +∞
Si hanno allora 3 possibili risultati:
(finito) lim Lann
La successione è detta
CONVERGENTE
Es.
n
nan
12
nan
11
lim
nn
aLa successione è detta
DIVERGENTE
esiste lim nonann
La successione è detta
IRREGOLARE
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Limiti di Successioni Convergenti
(finito) lim Lann
Definizione:
)())(( che tale)(),( LUIfILU KK
LaKnK n ha si che tale,0
Es. 01
lim nn
01
n
1
1 n
n
Basta scegliere come K il più piccolo intero maggiore di 1/ε
Es. 01
lim nn
en
n
n
11lim
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Limiti di Successioni Divergenti
nn
alim
Definizione:
che tale)( )],( [ )( HKK IUoU
] [o ha si che tale, KaKaHnHK nn
Es.
nn
1lnlim
K
K
eeK
n
1n
n
1
1ln
Basta scegliere come H il più piccolo intero maggiore di 1/(exp(K))
Es.
3lim nn
nn
1lnlim
)]( [ )())(( KKH UoUIf
21
Successioni Irregolari
Es.
n
na )1( )sin( nan
22
Esistenza ed Unicità del Limite 1
Non sempre il limite di una funzione esiste: esistenonxx
)sin(lim
esistenonxxx
)sin(lim
esistenonxx
1
sinlim0
23
Esistenza ed Unicità del Limite 2
Non sempre il limite di una funzione esiste:
esistenonxx
1
lim0
xx
1lim
0Però:
xx
1lim
0
N.B. : non è necessario che la funzione sia definita nel punto a cui tende la x. L’unica richiesta è che questo valore sia un punto di accumulazione del campo di esistenza della funzione.
1)sin(
lim0
x
x
x
0)sin(
lim x
x
x
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Esistenza ed Unicità del Limite 2b/3
x
xxf
)sin()(
25
Esistenza ed Unicità del Limite 3/3
Affinchè il limite di una funzione esista deve essere che il limite destro e sinistro esistano e che debbano essere uguali:
Lxf
Lxf
Lxf
xx
xx
xx )(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
Se una funzione è pari ed x0=0 basta dimostrare l’esistenza del limite destro affinché esista il limite.
LxfLxfxx
)(lim)(lim00
:allora pari é f(x) se
)(lim)(lim:00
yfxfparifyx
xycon
)(lim0
yfy
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Teoremi sui Limiti 1
Teorema di unicità.
Se una funzione ammette limite per x tendente a x0, allora questo limite è unico
Teorema della permanenza del segno.
Se una funzione f ammette limite L per x tendente a x0 , con L positivo (negativo), allora esiste un intorno di x0 in cui f(x) è positiva (negativa).
Teorema (di esistenza per funzioni Monotone) [no DIM].
Se una funzione è monotona crescente in un intorno destro U+ (x0 ) del punto x0, allora esiste il suo limite per xx0
+ e vale:
)()(lim)( 0
0
xfInfxfxUxxx
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Dimostrazione Teorema “Unicità”
Teorema di unicità.
Se una funzione ammette limite per x tendente a x0, allora questo limite è unico
Dim. Per assurdo ammettiamo l’esistenza di due limiti distinti
122121 ,con )(lim)(lim00
LLLLLxfLxfxxxx
Per la definizione di limite abbiamo:
1101 )(:: 0 )1( Lxfxxx
2202 )(:: 0 )2( LxfxxxSia:
),min( 21
Allora la (1) e la (2) valgono contemporaneamente per ogni x: |x-x0|<δ. Ne segue che per tali x:
21 )( LxfL
Ma da ciò segue che:
2
21 LL
La qual cosa nega l’arbitrarietà di ε.
c.v.d.
11 )( LxfL
22 )( LxfL
21 LL
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Dimostrazione Teorema
“Permanenza del segno”
Dim. Sia :
c.v.d.
0)(lim0
Lxfxx
LxfLxUxxU )()(:)( 0 00
Scegliamo ε, data l’arbitrarietà,in modo tale che L- ε>0.
Ne segue che la f(x)>0.
Teorema della permanenza del segno.
Se una funzione f ammette limite L per x tendente a x0 , con L positivo (negativo), allora esiste un intorno di x0 in cui f(x) è positiva (negativa).
Dimostrazione analoga vale nel caso di L negativo.
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Teoremi sui Limiti 2
Lxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Se esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
Lxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
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Dimostrazione Teorema
“del confronto”
Lxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
Lxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
Dim.
Lxgxx
)(lim0
c.v.d.
Se LxgLxUxxU )()(:)( 0 )1( 0101
Lxhxx
)(lim0
Se LxhLxUxxU )()(:)( 0 )2( 0202
Allora: 21 UUUx LxhxfxgL )()()(
In particolare LxfL )(Il che dimostra la tesi
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Teoremi sui Limiti 3
Applicazioni: 01
sin lim0
x
xx
1,1)sin( x )0(per 1
sin
Uxx
xxx
Poiché la funzione xsin(1/x) è pari basta dimostrare il limite destro
Poiché :
0- lim lim00
xxxx
01
sin lim0
xx
x
kxhxgxxxx
)(lim)(lim00
Teorema (del confronto).
Siano f,g,h tre funzioni con x0 punto di accumulazione dei loro tre insiemi di definizione. Se:
1) Esiste un intorno U(x0) tale che: g(x)≤f(x)≤h(x)
kxfxx
)(lim0
Allora
2) Se
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Teorema del confronto
xxxf
1sin)(
33
Limite Notevole sin(x)/x
Applicazioni: 1)sin(
lim0
x
x
x
O
A
B
C D
x
)tan(
)sin(
xBD
xDA
xAC
Poiché la funzione sin(x)/x è pari basta dimostrare il limite destro
)0(per )tan()sin( Uxxxx
Dividendo per sin(x):
)0(per )cos(
1
)sin(1 Ux
xx
x
)0(per 1)sin(
)cos( Uxx
xx
Poiché :
11 lim0
x
1x
sin(x) lim
0
x
Limite Notevole
1)cos( lim0
xx