Curva di Lorenz e Indice di Gini - Unical

Generalita sulla statistica e nozioni introduttiveStatistica Descrittiva Univariata

Statistica Descrittiva Bivariata

GraficiIndiciPercentili

Curva di Lorenz e Indice di Gini

Come valutare le disuguaglianze nella distribuzione del reddito di unapopolazione?

Giovanni Amendola 33 / 52

Esempio

Consideriamo una popolazione di 10 abitanti, dove ciascuno ha reddito di 1000euro. In questo caso siamo nella perfetta equidistribuzione:

1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000.

Esempio

1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000.

Il reddito totale: 10000 euro e perfettamente equidistribuito.

Ognuno ha il 10% del totale.

Esempio

1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000.

Inoltre:

Il 10% della popolazione ha il 10% del reddito.Il 20% della popolazione ha il 20% del reddito....Il 50% della popolazione ha il 50% del reddito....

Esempio

1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000.

Inoltre:

Il 10% della popolazione ha il 10% del reddito.Il 20% della popolazione ha il 20% del reddito....Il 50% della popolazione ha il 50% del reddito....

Rappresentiamo quanto detto su un diagramma cartesiano.

Distribuzione della ricchezza in una popolazione

Dati del reddito mensile in euro (ordinati):

0, 0, 0, 500, 500, 600, 600, 800, 1000, 20000.

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Dati del reddito mensile in euro (ordinati):

0, 0, 0, 500, 500, 600, 600, 800, 1000, 20000.

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Indice di Gini:

G = AA+B

Equivalentemente:

G = 1−∑n

i=1 Qi∑ni=1 Pi

Nel nostro esempio:

G = 1− 1.5135.5

= 0.725

Valori dell’indice di Gini in percentuale (dati del 2014).

Percentili (o Quantili)

La mediana corrisponde al valore che identifica il 50% dei dati.

Questo concetto puo essere generalizzato ad una percentuale qualsiasi.

Esercizio 1.7 (Bramanti)

Dati relativi alla variabile statistica: X = “minuti che una persona ha dovutoaspettare per prendere l’autobus”, in 15 giorni lavorativi:

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————

Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

1. Calcoliamo la mediana. Moltiplichiamo 0.5 per il totale dei dati 15:d0.5 · 15e = d7.5e = 8. Dunque, m = x8 = 9.

2. Vogliamo determinare il valore che identifica il 70% dei dati.

Moltiplichiamo 0.7 per il totale dei dati 15: d0.7 · 15e = d10.5e = 11.

Il valore ottenuto, lo indicheremo con q0.7. Pertanto:q0.7 = x11 = 10.

La mediana corrisponde al valore che identifica il 50% dei dati.Questo concetto puo essere generalizzato ad una percentuale qualsiasi.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————

Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————

Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

1. Calcoliamo la mediana.

Moltiplichiamo 0.5 per il totale dei dati 15:d0.5 · 15e = d7.5e = 8. Dunque, m = x8 = 9.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

1. Calcoliamo la mediana. Moltiplichiamo 0.5 per il totale dei dati 15:

d0.5 · 15e = d7.5e = 8. Dunque, m = x8 = 9.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

1. Calcoliamo la mediana. Moltiplichiamo 0.5 per il totale dei dati 15:d0.5 · 15e = d7.5e = 8.

Dunque, m = x8 = 9.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

Moltiplichiamo 0.7 per il totale dei dati 15:

d0.7 · 15e = d10.5e = 11.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

Il valore ottenuto, lo indicheremo con q0.7. Pertanto:

q0.7 = x11 = 10.

10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.—————————————————————————————————Ordiniamo i dati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.

Definizione (Percentile)

Siano x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn, n dati osservati ordinati e sia p ∈ [0, 1]. Il p-esimoquantile (o 100p-esimo percentile) e

{xdnpe se np non e intero;xnp+xnp+1

2se np e intero.

Definizione (Quartili)

Il 25-esimo, 50-esimo e 75-esimo percentile, vengono indicati con Q1, Q2 e Q3,rispettivamente, e sono detti primo, secondo e terzo quartile.

Indici di dispersione connessi ai quantili:

Differenza interquartile: IQR = Q3 − Q1.

Differenza tra la massima e la minima osservazione: range:

max{x1, ..., xn} −min{x1, ..., xn}.

2se np e intero.

max{x1, ..., xn} −min{x1, ..., xn}.

2se np e intero.

max{x1, ..., xn} −min{x1, ..., xn}.

2se np e intero.

max{x1, ..., xn} −min{x1, ..., xn}.

2se np e intero.

max{x1, ..., xn} −min{x1, ..., xn}.

Boxplot

Grafico connesso ai quantili: boxplot (o box and whisker plot):

Box: rettangolo delimitato da Q1 e Q3, con una linea orizzontale internarappresentante la mediana. La meta dei dati e nel box.

Whisker: i baffi (segmenti verticali) rappresentati dal 5o e dal 95o

percentile (o dal 10o e dal 90o). Quasi tutti i dati cadono entro i baffi.

Outliers: cerchietti che rappresentano i dati “anomali”.

X = “minuti che una persona ha dovuto aspettare per prendere l’autobus”15 giorni lavorativi: 10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 19, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15.Dati ordinati: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 13, 15, 17, 19.—————————————————————————————————

b) Determinare il primo e il terzo quartile.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75

⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e

= x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25

⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e

= x12= 13.

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12

4⇒ np = 3.75⇒ Q1 = xd3.75e = x4= 3;

4⇒ np = 11.25⇒ Q3 = xd11.25e = x12= 13.

c) Determinare i baffi (10o e 90o-percentile).

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

Dunque x1 = 1 e x15 = 19 sono due outliers.

⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5

⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e

= x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5

⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e

= x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

100⇒ np = 1.5⇒ q0.1 = xd1.5e = x2= 2;

100⇒ np = 13.5⇒ q0.9 = xd13.5e = x14= 17.

d) Tracciare un boxplot.

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