Crittografia e numeri primi

III incontrolunedì 22 novembre 2010

Piano Lauree Scientifiche

Le dispense degli incontri “Crittografia e numeri primi” sono sul sito

matheteresa.wikidot.com

Un messaggio può essere cifrato utilizzando una permutazione dell’alfabeto (e di eventuali altri caratteri).

Il Codice Cesare cifra utilizzando una cifratura per traslazionedel tipo

: |[ ] [ '] [ ] [ ]n nf Z Z m m m a

Questa cifratura è molto semplice da decifrare poiché è sufficiente determinare lo spostamento di una lettera per ottenere di conseguenza tutti gli altri.

Qualsiasi valore dello spostamento 0 < [a] < n va bene.

Cifrare con l’addizione

Un’altra permutazione dell’alfabeto può essere ottenuta utilizzandola funzione moltiplicativa

: |[ ] [ '] [ ] [ ]n nf Z Z m m a m

La funzione f è però una funzione di cifratura se e solo se [a] è invertibile in Zn e…

[a] è invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) = 1

La funzione di decifratura è:

Cifrare con la moltiplicazione

1 1 1: |[ '] [ ] [ ] [ '] [ ] [ ] [1]n nf Z Z m m a m a a

Un cifrario affine è un’applicazione Ck che contenga una moltiplicazione e una traslazione (in modo che lo [0] non abbia come immagine sé stesso). La nostra chiave sarà una coppia di numeri k = ([a], [b]) e la funzione cifrante sarà

La funzione Ck va bene se e solo se è biunivoca, cioè se e solo se è invertibile. Si mostra facilmente che ciò accade esattamente quando [a] invertibile.

Cifrario affine

f : Zn Zn

[m] [m’] = [a] [m] + [b]

Come determinare la chiave di decifratura?

[m’] = [a] [m] + [b]m’ = a m + b

Determina la chiave di decifratura relativa alla

chiave di cifratura Ck = ([5], [4])

Determina la chiave di decifratura relativa alla

chiave di cifratura Ck = ([11], [6])

Analisi delle frequenze

Se si associa un ordine anche all’elenco dei caratteri del nostro alfabeto,la funzione di cifratura Ck produce una permutazione dell’ordine con cui compaiono i caratteri.

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

H D N B G M Q A T R L V C P F O U Z E S I

21 21:kC Z Z

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

A

A

A

A

…

Quante sono le possibili permutazioni del nostro alfabeto di 21 lettere?

A partire dalla prima lettera (A) possiamo pensare di posizionarlaIn 21 posizioni, la seconda in 20 e così via…..

Analisi delle frequenze

Quante sono le possibili permutazioni del nostro alfabeto di 21 lettere?

A partire dalla prima lettera (A) possiamo pensare di posizionarlaIn 21 posizioni, la seconda in 20 e così via…..

Pertanto, in totale abbiamo 21•20•19•18•……•2•1 permutazioni possibili del nostro alfabeto

21! = 51090942171709440000 ~ 5•1019

possibili riordinamenti del nostro alfabeto

Con le funzioni affini abbiamo 20*12 possibili permutazioni

Analisi delle frequenze

Tutti questi 21! = 51090942171709440000 possibili riordinamenti del nostro alfabeto si portano però dietro la stessa informazione:

la distribuzione di frequenze dei caratteri è costante

Analisi delle frequenze

Testo da cifrare:

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Possiamo calcolare il numero di volte in cui ciascun carattere è stato utilizzato nel testo [totale 100 caratteri]:

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

12 3 3 4 12 0 1 1 8 8 2 9 9 2 1 4 4 12 3 1 1

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

12%

3% 3%

4%

12%

0%

1% 1%

8%

0% 0%

8%

2%

9% 9%

2%

1%

4% 4%

12%

3%

1%

0% 0% 0%

1%

Testo da cifrare:

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Analisi delle frequenze

Aggiungiamo altro testo, altri 100 caratteri siamo quindi a 200:Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte. Gli abitanti hanno bruciato tutte le colture in modo da non lasciare nulla al nemico che avanzava. Domani sera partiremo.

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

100 caratteri 200 caratteri

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

100 carat-teri200 carat-teri

Confrontiamo la nostra distribuzione di frequenze con quella ottenuta considerando il primo capitolo dei promessi sposi

Analisi delle frequenze

Possiamo confrontare la distribuzione di frequenze della lingua italiana Nei secoli, per esempio confrontando i promessi sposi con La Divina Commedia

Lettera

a

Lettera

b

Lettera

c

Lettera

d

Lettera

e

Lettera

f

Lettera

g

Lettera

h

Lettera

i

Lettera

j

Lettera

k

Lettera

l

Lettera

m

Lettera

n

Lettera

o

Lettera

p

Lettera

q

Lettera

r

Lettera

s

Lettera

t

Lettera

u

Lettera

v

Lettera

w

Lettera

x

Lettera

y

Lettera

z0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

Primo canto della Divina Commedia

Primo capitolo dei Promessi sposi

Analisi delle frequenze

Possiamo confrontare anche le distribuzioni di frequenze nelle varie Lingue: inglese, francese, italiano.

Lettera

a

Lettera

b

Lettera

c

Lettera

d

Lettera

e

Lettera

f

Lettera

g

Lettera

h

Lettera

i

Lettera

j

Lettera

k

Lettera

l

Lettera

m

Lettera

n

Lettera

o

Lettera

p

Lettera

q

Lettera

r

Lettera

s

Lettera

t

Lettera

u

Lettera

v

Lettera

w

Lettera

x

Lettera

y

Lettera

z0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

Primo capitolo dei Promessi sposi

Primo capitolo di Oliver twist

Primo capitolo di Les Miserables

Analisi delle frequenze

Tutti i messaggi cifrati con un sistema monoalfabeticosi portano dietro una informazione che può essere utilizzata per decriptare.

Conoscendo la distribuzione di frequenze teorica possiamo tentare qualche accoppiamento per ridurre il numero di possibili permutazioni.

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z10,4

% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Analisi delle frequenze

Testo cifrato:MQAOPT HIPPA FT FQHT LEAHT EGLAZEOVA QH TPPTVVI ZE OINLNAOT. ZIGTHE OVAHZANAGI T RTFFA.

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

frequenze nel messaggio cifrato

14% 0% 0% 0% 7% 6% 4% 8% 7% 4% 1% 4% 7% 7% 4% 1% 0% 14% 0% 6% 6%

possibili accoppiamenti

e                               e      

a a

i                               i      

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

distribuz. Teorica delle frequenze

10,4% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3

% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOPa HIPPe Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH aPPaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

frequenze nel messaggio cifrato

14% 0% 0% 0% 7% 6% 4% 8% 7% 4% 1% 4% 7% 7% 4% 1% 0% 14% 0% 6% 6%

possibili accoppiamenti

e                               e      a a i                               i      

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

distribuz. Teorica delle frequenze

10,4% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3

% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOPa HIPPe Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH aPPaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

Per la decifrazione completa ci possiamo anche aiutare osservando che ci sono alcuni caratteri ripetuti che fanno pensare alle doppie:Ci sono nel testo due gruppi di PP: proviamo a sostituire la lettera T:

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOta HItte Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH attaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

Allora forse VV può essere cc…..

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOta Hotte Fa FQHa LEeHa EGLeZEOce QH attacco ZE OoNLNeOa. ZoGaHE OceHZeNeGI a RaFFe.

…e la I può essere una o..

Analisi delle frequenze

Come possiamo bloccare l’analisi delle frequenze?

•Non usando un codice monoalfabetico, modificando cioè la funzione con la posizione (cambiando per esempio la chiave)

•Cifrando i caratteri più frequenti con caratteri diversi (Leon Battista Alberti nel De Cifris)

•Cifrando non i caratteri singoli, ma a gruppi di due o tre lettere consecutive. In questo caso il numero di “caratteri” utilizzatiaumenta notevolmente . Lavorando per esempio con gruppi di due lettere:

441 441:kC Z Z

aa ab ac ad… ba bb bc

bd….…..

zu zv zz

AA AB AC AD… BA BB

BC BD….…..

ZU ZV ZZ

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustrato le coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Testo da cifrare:

Posso per esempio eliminare gli spazi Questamattinaunbattaglionedelnostroesercitohaperlustratolecoltivazioniabbandonateallependicidelmonte.e suddividere poi il messaggio in tanti digrammi (cioè blocchi di due lettere):Qu es ta ma tt in au nb at ta gl io ne de ln os tr oe se rc it oh ap er lu st ra to le co lt iv az io ni ab ba nd on at ea ll ep en di ci de lm on te.

Ogni digramma viene trattato come un unico carattere e, volendolo poi trattarecon una funzione matematica, ogni digramma corrisponde a un numero.

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

abc cbde egfg gehil

mnopq qurs sttuvz

Osservazione: possiamo costruire il prodotto cartesiano Z21×Z21

e determinare il numero di “caratteri” utilizzati.

Ci possiamo chiedere quanti sono i digrammi che andremo ad utilizzare.

Associando le lettere a gruppi di due lavoriamo con 21×21=441 caratteri.

Quindi in questo caso l’insieme diventa Z441

Se invece raggruppassimo i caratteri a gruppi di tre o quattro, ecc.. il numero degli elementi dell’insieme su cui viene applicata la funzione di cifratura aumenterebbe notevolmente:

Trigrammi (gruppi di tre lettere): Z21×21×21=Z9261

gruppi di quattro lettere: Z21×21×21×21=Z194481

Supponiamo di associare le lettere del nostro messaggio a gruppicome possiamo dare un valore numerico a ciascundigramma?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Esempio: digramma gl viene tradotto nel numero 6×21+11=137

Esempio: trigramma ndo viene tradotto nel numero 13×212 +3×21+14=5810

Analisi delle frequenze

Lavorando con i digrammi si ottiene una distribuzione di frequenze, ma molto meno utilizzabile. In figura otteniamo la distribuzione dei digrammi in lingua inglese:

th in an on en ed es te is to of ha ou as se ve co de ro ri ll li be ma el ho ta ur0.000%

0.500%

1.000%

1.500%

2.000%

2.500%

3.000%

3.500%

4.000%

digrammi più frequenti in lingua ingleseottenuti con un testo di 4000000 caratteri

- senza punteggiatura e spazi

Bloccare l’analisi delle frequenze si traduce in insiemi più numerosi.

I numeri utilizzati diventano più grandi e potrebbe nonessere più così semplice calcolare il MCD(a,n) e determinare l’inverso di [a] per decifrare.

Proviamo a determinare il MCD (1633 , 3763)

Si ha:

1633 = 23 71

3763 = 71 53

MCD (1633, 3763) = 71

Definizione

Dati due numeri interi a e b, il loro Massimo Comun Divisore è un intero positivo d tale che:

1. d divide a e d divide b

2. se d’ divide sia a che b, allora d’ divide d

Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD(presente negli Elementi di Euclide, permette il calcolo del MCD tra due numeri senza ricorrere

alla fattorizzazione)

MCD (44880, 5292)

a = b * quoziente + resto

44880 = 5292 * 8 + 2544

5292 = 2544 * 2 + 204

2544 = 204 * 12 + 96

204 = 96 * 2 + 12

96 = 12 * 8 + 0

a = b * q1 + r1

b = r1 * q2 + r2

r1 = r2 * q3 + r3

r2 = r3 * q4 + r4

MCD (44880, 5292) = 12

MCD (1547, 560) =

MCD (3522, 321) =

a = b * quoziente + resto

1547 = 560 * +

= * +

= * +

= * +

= * +

MCD (1547, 560) =

a = b * quoziente + resto

3522 = 321 * +

= * +

= * +

= * +

= * +

MCD (3522, 321) =

Verifichiamo che l’ultimo resto non nullo divide tutti i resti che lo precedono

96 = 12 * 8 + 0

Infatti nell’ultima riga si legge:

L’ultimo resto non nullo (12) divide il resto precedente (96)

96 = 12 * 8 + 0

Infatti nelle ultime due righe si legge:

L’ultimo resto non nullo (12) divide anche 204

204 = 96 * 2 + 12

E sostituendo si ha:

204 = (12 * 8) * 2 + 12 = 12 * (8 * 2 + 1) = 12 * 17

96 = 12 * 8 + 0

2544 = 204 * 12 + 96

L’ultimo resto non nullo (12) divide anche 2544

204 = 96 * 2 + 12 = 12 * 17

E sostituendo si ha:

2544 = 204 * 12 + 96 = (12 * 17) * 12 + 12 * 8 =

= 12 * (12 * 17 + 8) = 12 * 212

Dunque l’ultimo resto non nullo divide tutti i resti che lo precedono

Verifichiamo che l’ultimo resto non nullo divide a e b

Dunque l’ultimo resto non nullo (12) divide sia a (44880) che b (5292)

Infatti dall’uguaglianza 5292 = 2544 * 2 + 204 , si deduce che:

Se 12 divide i resti 2544 e 204, allora 12 divide 5292

E dall’uguaglianza 44880 = 5292 * 8 + 2544, si deduce che:

Se 12 divide 52592 e 2544, allora 12 divide 44880

Si può concludere che l’ultimo resto non nullo è un divisore comune di a e b, e divide quindi il loro MCD!

Verifichiamo, viceversa, che ogni divisore comune di a e b è anche divisore dell’ultimo resto non nullo

Riscriviamo l’uguaglianza

44880 = 5292 * 8 + 2544

al modo seguente:

44880 - 5292 * 8 = 2544

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 2544

Riscriviamo l’uguaglianza

5292 = 2544 * 2 + 204

al modo seguente:

5292 - 2544* 2 = 204

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 204

Riscriviamo l’uguaglianza

2544 = 204 * 12 + 96

al modo seguente:

2544 – 204 * 12 = 96

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 96

Riscriviamo l’uguaglianza

204 = 96 * 2 + 12

al modo seguente:

204 – 96 * 2 = 12

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 12

Si può concludere che “ogni divisore comune

di a e b (e quindi anche il MCD (a, b)) divide

l’ultimo resto non nullo”!

Se l’ultimo resto non nullo divide il MCD (a, b) e il

MCD (a, b) divide l’ultimo resto non nullo, allora

l’ultimo resto non nullo è uguale al MCD (a, b)

Étienne Bézout

(1730 – 1783)

Massimo Comun Divisore

Dati due numeri interi a e b un loro massimo comun divisore è un intero positivo d tale che

1. d divide a e d divide b

2. se t divide sia a che b allora t divide d

Si dimostra, che ogni coppia di numeri interi a, b ammette un massimo comun divisore, che risulta essere unico, ed è indicato con il simbolo MCD(a,b).

Due numeri interi a, b tali che MCD(a,b) = 1 si dicono coprimi o relativamente primi

a = b * quoziente

+ resto

44880 = 5292 * 8 + 2544

5292 = 2544 * 2 + 204

2544 = 204 * 12 + 96

204 = 96 * 2 + 12

96 = 12 * 8 + 0

Identità di Bèzout

L’algoritmo di Euclide ci permette, una volta individuato MCD (a, b), di trovare due numeri interi s, t tali che

d = s ´ a + t ´ b

Questa relazione si chiama IDENTITA’ DI BEZOUT.

44880 = 5292 ´ 8+2544 r1= 2544=44880 - 5292 ´ 8

5292 = 2544 ´ 2+204 r2=204 = 5292 - 2544 ´ 2

2544 = 204 ´ 12+96 r3 = 96 = 2544 - 204 ´ 12

204 = 96 ´ 2+12 MCD = r4= 12=204 - 96 ´ 2

MCD= 12 = 204 –96´2

r3 = 96 = 2544 - 204 ´ 12

r2 = 204 = 5292 - 2544 ´ 2

r1=2544=44880 - 5292 ´ 8

12 = 441 ´ 5292 – 52 ´ 4480

= 204 – (2544 - 204 ´ 12) ´ 2 = 204 – 2544 ´ 2 + 204 ´ 24

= 204 ´ 25 – 2544 ´ 2

= (5292 - 2544 ´ 2) ´ 25 – 2544 ´ 2=

= 5292 ´ 25 – 2544 ´ 52

= 5292 ´ 25 –(44880 –5292 ´ 8) ´ 52=

= 5292 ´ 441 – 44880 ´ 52

Come determinare l’inverso a è invertibile modulo n se e solo se

MCD(a,n)= 1.

MCD(a,n)= 1 = s a+n t (Bezout)

Modulo n

[1] = [s a+n t] = [s a]+[n t]

= [s] [a]+[n] [t]

Nascita dei codici polialfabetici

1466 Leon Battista Alberti – disco cifrante1553 Giovan Battista Bellaso – tavola reciproca1586 Blaise de Vigenère – cifrario di Vigenère

Cifrari polialfabetici Giovan Battista Bellaso

(Brescia1505 - ….)

contrassegno : VIRTVTIOMNIAPARENTVIRTVTIOMNIAPARENTVI

testo chiaro : larmataturchescapartiraacinquediluglio

testo cifrato: fyboueyldanuofszlpiincupnshmlrnxoiznrd

Le chiffre indéchiffrable

Blaise de Vigenère (1523 – 1596)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

testo in chiaro a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A

2 C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D

5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E

6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F

7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G

8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H

9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I

10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

26 = 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

L U C E L U C E L U C E L U C E L U C

testo in chiaro a p p u n t a m e n t o a l m u s e o

A a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t uB B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V a L

C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W p J

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X p R

E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y u Y

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testo in chiaro a p p u n t a m e n t o a l m u s e o

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Cifrare con il metodo Vigenère e la matematica:

f : ( Z26 , Zp) (Z26 ) p: dimensione della chiave

([m],[Kp]) ([m’])

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

Decifrare Vigenère …..conoscendo la chiave….

decifratura 10 1 19 17

M B V T

f-1 : ( Z26 , Zp) (Z26 ) p: dimensione della chiave

([m’],[K’p]) ([m])

Determinazione della chiave di decifratura:

P:{[11],[20],[2],[4]}

P’:{[10],[1],[19],[17]}