251

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

9

20

1 1 6

1

2

3 4 5

6

7

8

9 16

17

18

8.5 Top surface

18.75 18.75 11 19.75 11.75

Mid

spa

n 2

Mid

spa

n 1

Panel center line

Span 2 Span 1

-0.0004

-0.0002

0.0000

0 10 20 30 40

Distance from the loading plate center

Str

ain

2 kips

10 kips

20 kipsStatic Test

Plate

Top Strain (e11) along line B-B

-0.0004

-0.0002

0

0 10 20 30 40

Distance from the loading plate center

Str

ain

2 kips

10 kips

20 kips Static Test

Bottom Strain (e11) along line B-B

Initial Static Test

Initial Static Test

B

B

x1

x2

x3

252

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

253

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE FORMA DEGLI ELEMENTI

I risultati FE sono + accurati se gli elementi sono compatti, senza

distorsioni e allungamenti. La perdita di accuratezza varia in

funzione dell’elemento, organizzazione della mesh e del tipo di

problema fisico.

La distorsione peggiora maggiormente gli sforzi degli

spostamenti.

Nel tridimensionale fare superfici curvate invece di piane

diminuisce la precisione della soluzione, specialmente se la

superficie e’ molto sottile.

Variazioni brusche dimensionali tra gli elementi vanno evitate.

Vanno evitate collegamenti tra tipi diversi di elementi nei punti

critici.

Troppo brusca Mesh migliorata

254

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Interfacce fisiche

Due materiali diversi a contatto. Gli elementi non possono intersecarsi con l’interfaccia.

NO OK

255

APPLICAZIONI

256

Stima dell’errore

Considerazioni di modellazione

Condizioni di vincoli

Sistema resistente al carico gravitazionali

Sistema resistente a carichi orizzontali

Esempi

257

CONDIZIONI DI VINCOLO – Vincoli fissi

2D la struttura deve essere vincolata almeno

3 volte: 2 traslazioni e 1 rotazione. Nella

terminologia degli elementi finiti: si

rimuovono tutti gli spostamenti traslazionali

in 1 si rimuovono le traslazioni normali alla

retta 1-8 in 8.

Altrimenti ci possono essere dei meccanismi cinematici→la matrice

di rigidezza globale diventa singolare.

258

CONDIZIONI DI VINCOLO – Vincoli fissi

3D la struttura deve essere vincolata almeno 6 volte: 3 traslazioni e 3

rotazioni. Nella terminologia degli elementi finiti: si rimuovono tutti gli

spostamenti traslazionali in A (3 spostamenti) e si rimuovono le

traslazioni normali alla retta AB in B, le traslazioni normali alla retta

AC in C, e infine le traslazioni normali alla retta CD in D .

A

B

C

D

z

x y

259

CONDIZIONI DI VINCOLO - Simmetrie

A B

C D

A B

C D

Doppia simmetria con

carico simmetrico

A B

C D

A B

C D

Doppia simmetria con

carico antisimmetrico

• Appoggi semplici

• Incastro, Cerniera, Carrello

etc.

• Cedimenti

• Supporti elastici

• Molle elastiche

• Winkler

• Modello accurato

• Usando elementi 2D

• Usando elementi solidi

INTERAZIONE SUOLO - STRUTTURA

261

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Suolo alla Winkler

• Plinto: 3 molle traslazionali e 3 molle rotazionali. Al nodo in

corrispondenza del plinto si mettono delle molle tarate in

funzione della dimensione della fondazione, forma, tipo di

terreno, tipo di analisi (Statica o dinamica).

Il cedimento non e’ noto a priori, si conosce solo la rigidezza del

terreno. Il comportamento del terreno e’ considerato Elastica o

Lineare. L’obiettivo e’ quello di valutare gli sforzi causati dai

cedimenti.

• Fondazione continua: formulazione alla Winkler. Sotto la

fondazione viene messo un letto di molle di rigidezza

appropriata.

262

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

I programmi più sofisticati hanno la possibilità di tenere in conto i vincoli

cinematici modificando opportunamente la matrice di rigidezza degli

elementi. Ad esempio se non consideriamo la deformazione assiale

degli elementi possiamo ridurre i gradi di libertà della struttura nel modo

seguente:

u1=u4=U1, u5=u2=0

u3=U2, u6=U3

u1

u2

u3 u4

u5

u6 U2 U3 U1

Se il software non ha la possibilità di gestire vincoli cinematici si

possono utilizzare elementi fittizi (dummy) di forma e rigidezza

opportuna.

263

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

Diaframma rigido (floor diaphram constrain)

Molto utile nel caso si possa considerare il solaio rigido nelle analisi

dinamiche.

Il numero di gradi di libertà di una struttura qualsiasi 3D e’ uguale a 6 x

numero nodi. Applicando il vincolo di diaframma rigido i dof si riducono a 6

x numero piani.

Se si semplifica ulteriormente non considerando la deformabilita’ assiale

delle colonne i dof si riducono a 3 x piano.

q

u

v

qxy

u

v

w

qxz

qyz

Es.una struttura a 1000 nodi di 6 piani ha 6000 dof in 3D, applicando il

vincolo di diaframma rigido la struttura ha solo 6x6=36 dof

264

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

Vincolo rigido (rigid constrain)

Se si vogliono far muovere dei nodi rigidamente si applica questo vincolo

q1xy

u1

v1

w1

q1x

z

q1yz

ux (1) = ux

(m) +(z(1)-z(m))uqy (m) - (y(1)-y(m))uqz

(m)

uy (1) = uy

(m) +(z(1)-z(m))uqx (m) - (x(1)-x(m))uqy

(m)

uz (1) = uz

(m) +(y(1)-y(m))uqx (m) - (y(1)-y(m))uqy

(m)

uqx (1)= uqx

(m)

uqy (1)= uqy

(m)

uqz (1)= uqz

(m)

1

m

y

x

z

265

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

Esempio di applicazione del vincolo rigido (rigid constrain)

Molto utile per solai/travi, Piastre/travi di fondazione etc.

Vincolo rigido tra i nodi i-j

i i

j j

Si puo’ anche utilizzare un elemento trave dummy

molto rigido,si deve fare attenzione a problemi

numeri di ill-conditioning

266

PRETENSIONE

Può essere simulato da una variazione di temperatura.

Esempio:

Tesatura bulloni: P

b b f f

PL PLL T

A E A E

L

f f

AB

f f AB

A EPL P

A E L

Rigidezza dell’elemento tra i bulloni

267

DISALLINEAMENTI

A B Modello

semplificato

Modello

migliorato

Attenzione ai rapporti

geometrici h/L

Submodelling Elementi

plane stress

268

SVINCOLO (RELEASE)

Possibili release: N, V22,V33,M22,M33,T

A B M33

Esempio: cerniera in una reticolare

Si ottiene condensando il d.o.f. negli elementi della matrice prima

dell’assemblaggio. Le righe e le colonne condensate vengono sostituite con

zeri.

269

MODELLI

MURATURA

ANALISI

GLOBALE

270

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

Setto Modello FE con

elementi shell

Definizione

di travi,

colonne e

parti rigide

Modello FE

con elementi

trave alla

Timoshenko e

rigid constrains

H~ +20%

L~+20% Colonne Travi Vincolo rigido

271

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici

Esempio edificio in muratura storica

272

CONDIZIONI DI VINCOLO –

Vincoli cinematici – muratura storica

Tensioni alte agli

spigoli, esistono

solo in hp di

Elasticaita’

Linearee, in

realta’ ci sono

ridistribuzioni

plastiche

OPCM 3431; 8.1.5.2 Analisi

statica lineare

In alternativa, gli elementi di

accoppiamento fra pareti

diverse, quali travi o cordoli

in cemento armato e/o travi

in muratura (...), potranno

essere considerati nel

modello. (...) In tal caso

l’analisi potrà essere

effettuata utilizzando modelli

a telaio, in cui le parti di

intersezione tra elementi

verticali e orizzontali

potranno essere considerate

infinitamente rigide.

fascia

maschio

nodo

Nodo

Rigido

Fascia

Maschio

Il metodo a telaio equivalente

METODO A TELAIO EQUIVALENTE

Lunghezza efficace

Maschi e fasce modellati

come elementi di telaio

deformabili assialmente e a

taglio (“beam-column”) .

Elementi nodo infinitamente

rigidi e resistenti modellati

attraverso bracci rigidi

(offsets) alle estremità degli

elementi maschio e fascia.

Determinazione dell’altezza della parte deformabile o «altezza efficace» del maschio

Definizione del modello geometrico

'h'hHD'hHeff 3

1H altezza di interpiano

METODO A TELAIO EQUIVALENTE

I MODELLO

1725 nodi II MODELLO

5127 nodi

III MODELLO

19783 nodi

Modello con mesh “fitta” Modello con mesh “media” Modello con mesh “non fitta”

Il metodo agli elementi finiti bidimensionali

METODO A ELEMENTI FINITI

Combinazione direzionale:

SRSS Method

carichi sismici + carichi verticali

22

yxFF SRSS

III MODELLO: 19783 nodi

“Puntone compresso”

METODO A ELEMENTI FINITI

Le sollecitazioni ottenute per il maschio X11 con i tre metodi di

modellazione

METODO A ELEMENTI FINITI

Osservazioni sull’andamento delle sollecitazioni flettenti per il

maschio di confronto

• Metodo a telaio equivalente:

differenze di notevole entità

si concentrano nei nodi.

Esse dipendono da:

a) Modellazione nodi

b) Non snellezza dei maschi

murari

METODO A ELEMENTI FINITI

Modello con elementi finiti bidimensionali

Nodo di confronto

Andamento qualitativo delle

tensioni nel modello a telaio

Andamento delle tensioni nel

modello agli elementi finiti

Tensioni σ22 a quota z = 2.77 m

Tensioni σ22 a quota z = 2.46 m

Tensioni σ22 a quota z = 3.30 m

METODO A ELEMENTI FINITI

280

Stima dell’errore

Considerazioni di modellazione

Condizioni di vincoli

Sistema resistente al carico gravitazionale

Sistema resistente a carichi orizzontali

Esempi

Sistemi diretti

• Solai che appoggiano su setti/muri

• Solai che appoggiano su colonne

Sistemi indiretti

• Solai che appoggiano su travi

• Travi su travi

• Travi su muri o colonne

ANALISI DEL SISTEMA RESISTENTE AL CARICO GRAVITAZIONALE

281

Solai sostenuti da supporti rigidi

• Sostenuti su travi rigide o muri

• Solai mono e bidirezionali

Solai sostenuti da piccoli supporti rigidi

• Sostenuti direttamente da colonne

• Solette bidirezionali

• Il problema principale è il trasferimento del taglio, la distribuzione del momento e la resistenza laterale

Solai che appoggiano sul suolo

• Platee, carico distribuito sul suolo

• Plinti e travi rovesce, forti carichi concentrati

SISTEMA RESISTENTE AL CARICO GRAVITAZIONALE

282

TRASFERIMENTO DEL CARICO VERTICALE

283

• Solai e solette piane

• Solai a fungo Trasferimento

diretto del carico

• Solaio -> travi Trasferimento indiretto del

carico

284

DISTRIBUZIONE DEL CARICO

Diretto

Solai su muri

Diretto

Solai su pilastri Indiretto

Solai su travi

Travi su colonne

285

DISTRIBUZIONE DEL CARICO

Linee

Muri

Punti

Pilastri Linee e punti

286

DISTRIBUZIONE DEL CARICO

287

DISTRIBUZIONE DEL CARICO

288

COMPORTAMENTO DEL SOLAIO

Soletta s = 200 mm

Larghezza travi, B = 300 mm

Profondità travi, D

a) 300 mm

b) 500 mm

c) 1000 mm

D

B

s

289

RIDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI

Effetto della dimensione della

trave sulla ridistribuzione dei

momenti

a) Profondità trave = 300 mm

c) Profondità trave = 1000 mm b) Profondità trave = 500 mm

290

RIDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI

Effetto della dimensione della trave sulla ridistribuzione dei momenti

a) Profondità trave =

300 mm c) Profondità trave =

1000 mm

b) Profondità trave =

500 mm

ANALISI DI SOLETTE SENZA NERVATURE E DI MURI DI CONTROVENTO

291

Metodo di analisi del telaio equivalente

• (1) Si raccomanda di suddividere la struttura in telai longitudinali e trasversali formati da pilastri e strisce di soletta comprese tra le linee medie di pannelli adiacenti (area delimitata da quattro appoggi adiacenti). La rigidezza degli elementi può essere calcolata in base alla loro sezione intera (non fessurata). Per carichi verticali la rigidezza può essere basata sulla larghezza totale dei pannelli. Per carichi orizzontali, si raccomanda di adottare il 40% di questo valore per considerare la maggiore flessibilità dei nodi soletta/pilastro in strutture con solette senza nervature confrontata con quella dei nodi trave/pilastro. Nell’analisi in ciascuna direzione si raccomanda di tener conto del carico totale agente sul pannello.

• (2) Si raccomanda che i momenti flettenti totali ottenuti dall’analisi siano distribuiti sulla larghezza della soletta. Nell’analisi elastica i momenti flettenti negativi tendono a concentrarsi in prossimità agli assi dei pilastri.

• (3) Si raccomanda di considerare i pannelli suddivisi in zona su pilastri e in zona mediana (vedere figura I.1) e di ripartire i momenti flettenti come indicato nel prospetto I.1.

292

PROGETTO TRAMITE METODO EQUIVALENTE

A -> Zona Pilastro

B -> Zona Centrale

Striscia sui pilastri

Striscia di mezzo

Str

iscia

di

ca

rico

Striscia di mezzo

Str

iscia

di

ca

rico

Striscia sui pilastri

ELEMENTI FINITI

293

294

Stima dell’errore

Considerazioni di modellazione

Condizioni di vincoli

Sistema resistente al carico gravitazionali

Sistema resistente a carichi orizzontali

Esempi

295

SISTEMI RESISTENTI

• Telai

• Telai controventati

• Setti

• Sistemi a nucleo

Sistema singolo

• Setti + telai

• Nucleo + telaio + setti

Sistemi accoppiati

296

CARICHI LATERALI

• Vento

• Terremoto Primari

• Sollecitazioni generate da sistemi inclinati o non simmetrici

• Pressioni generate dal terreno, liquidi o materiali

Secondari

Il carico è trasferito alle travi e alle colonne tramite il taglio

I nodi sono i punti più sensibili

I momenti e i tagli dei solai sono aggiunti ai gravitazionali

Il modello è realizzato con elementi beam

TELAI RESISTENTI

Il carico laterale è resistito principalmente dai setti

Le aperture sono aree in cui c’e’ alta concentrazione di tensioni

75/25

Thin shells + drilling

TELAI E NUCLEO RESISTENTE

Il carico laterale è resistito principalmente da forze assiali nelle colonne, nei cotroventi e nelle travi

Le parti del telaio lontane dalle parti controventate non hanno momenti elevati

Controvento non deve essere messo in tutte le campate ma in tutti i piani

TELAI CONTROVENTATI

300

COME FARE

L’ANALISI IN

MANIERA

OTTIMALE?

Modelli 2D a telaio

• Ogni telaio è studiato separatamente

• Adatto per carichi simmetrici e geometrie regolari

Modelli 3D a telaio

• Modello a telaio tridimensionale

• Può essere senza irrigidimenti di piano o con

Modelli 3D completo

• Modello 3D con elementi piani e monodimensionali

Modello a piani rigidi

• Vincoli cinematici per il piano rigido

MODELLI PER CARICHI LATERALI

VANTAGGI E LIMITI DELLA MODELLAZIONE 2D

Vantaggi

• Modello facile da fare, analizzare e interpretare

• Abbastanza accurato per carichi verticali

Limiti

• Centro di rigidezza e massa potrebbero non coincidere

• Difficile considerare gli effetti torsionali

• Potrebbe richiedere la modellazione di molti telai

• Difficile modellare sistemi non rettangolari (irregolari)

MODELLO 2D Spostamento orizzontale

massimo 12 mm

Shells

Bielle

Usare elementi shell

Usare bielle

Usare diaframmi rigidi

MODELLO 3D COMPLETO (modellazione del solaio)

La struttura verticale è rappresentata da elementi verticali (telai, setti etc. ) connessa orizzontalmente da vincoli cinematici

I movimenti laterali di tutti gli elementi verticali sono collegati a un nodo master

Questo permette di tenere in considerazione la rotazione dell’edificio e i suoi effetti sugli elementi verticali

La modellazione e l’analisi è molto semplificata e efficiente

MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)

MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)

Modellato come un piano rigido che ha rigidezza infinita nel piano

Non c’e’ rigidezza flessionale tra gli elementi orizzontali e quelli verticali

Le colonne di un livello non si possono deformare inidpendentemente

Le colonne di un livello non si possono deformare inidpendentemente

trascurabile

trascurabile

MODELLO 3D A TELAIO (senza diaframma)

Spostamento orizzontale massimo 12.3 mm

Defo

rmazi

one

MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)

Spostamento orizzontale massimo 11.5 mm

Defo

rmazi

one

Le colonne e le travi sono modellate con elementi

beam

• Almeno 9/16 elementi devono essere utilizzati per i solai se si vogliono rappresentare i carichi verticali. Nel caso di analisi a carichi orizzontali si possono utilizzare meno elementi

I solai e i setti sono modellati con elementi bidimensionali (I beam)

MODELLO 3D COMPLETO (considerazioni)

Modello

• 275 el. Beam

• 12460 el. Shell

• 13963 nodi

Adatto per carichi gravitazionali e laterali

I risultati possono essere utilizzati per la progettazione

Armature complesse da determinare per elementi shell

MODELLO 3D COMPLETO (esempio)

MODELLO 3D COMPLETO I

Spostamento orizzontale massimo 10.7 mm

E’ meno flessibile del modello con piano rigido poichè la

mesh è troppo grossolana e il piano è irrigidito anche a

flessione fuori dal proprio piano

tmax = 0.0052 MPa

MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)

smax [MPa]

La discretizzazione non è sufficiente

My [kNm]

MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)

Fz [kN] N [kN]

MODELLO 3D COMPLETO II

Spostamento orizzontale massimo 11.3 mm

tmax = 0.238 MPa

MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)

smax [MPa] My [kNm]

MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)

Fz [kN] N [kN]

MODELLO 3D COMPLETO

Spostamento orizzontale massimo 11.4 mm

tmax = 0.639 MPa

MODELLO 3D COMPLETO (considerazioni)

smax [MPa]

Modello RD

• Elementi: 391

• Tempo di esecuzione: 0.56 sec.

Modello I

• Elementi: 487

• Tempo di esecuzione: 0.67 sec

Modello II

• Elementi: 1255

• Tempo di esecuzione: 3.3 sec.

Modello III

• Elementi: 8167

• Tempo di esecuzione: 17.5 sec

TELAI RESISTENTI

Spostamento orizzontale massimo 11 mm

TELAI E SETTI RESISTENTI

Mesh 1: spostamento orizzontale

massimo:3.22 mm Mesh 2: spostamento orizzontale

massimo:3.27 mm

TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smin = -1.20 MPa Mesh 2: smin = -1.29 MPa

TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smax = 1.46 MPa Mesh 2: smax= 1.75

TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smax = 1.46 MPa Mesh 2: smax= 1.75

TELAI E SETTI RESISTENTI Sollecitazioni kN m

Fx: 7.0620e+000

Mx: 3.7515e+000

Fy: -3.0740e-002

My: -1.1079e+003

Fz: -4.2477e+002

Mz: 4.9762e-002

y x

Fx: 6.1748e+000

Mx: 1.4721e+000

Fy: -1.7952e-002

My: -1.4389e+003

Fz: -4.2775e+002

Mz: 4.1850e-002

x

y

-13%

+30%

325

EDIFICI

SCATOLARI

326

L’edificio in muratura quando è realizzato come un assemblaggio

tridimensionale di muri e solai, garantisce il funzionamento SCATOLARE e

conferisce stabilità e robustezza all’insieme

MODELLO FISICO

Resistenza di insieme

maggiore delle singole pareti

327

MODELLO FISICO SOLAIO RIGIDO

scollegato

collegato

scollegato

collegato

Pareti ortogonali non collegate

328

MODELLO FISICO SOLAIO RIGIDO

collegato

collegato

Pareti ortogonali non collegate

Pareti ortogonali collegate

collegato

collegato

329

MODELLO FISICO SOLAIO DEFORMABILE

collegato

collegato

Pareti ortogonali collegate

330

E.Giuriani; “L’organizzazione degli impalcati per gli edifici storici”;

L’Edilizia n°134; pagg. 30-43; 2004

SOLAIO RIGIDO MODELLO MATEMATICO

331

MODELLO MATEMATICO

332

MODELLO MATEMATICO

333

MODELLO MATEMATICO

334

MODELLO MATEMATICO

335

E’ SEMPRE APPLICABILE?

336

TAGLIO NEL PIANO

337

MODELLO NUMERICO

338

MODELLO NUMERICO

R3 = 3428 kN

R3 = 3122 kN

339

MODELLO NUMERICO

340

MODELLO NUMERICO

f= f 2 /2 = 750 kN/m

R3 = f 2 L/2 = 4500 kN

M = 3375 kNm

T = 2250 kN

341

MODELLO NUMERICO

Fc = 844 kN

Perche’?

Fc = 281 kN + 294 kN + 302 kN + 305 kN + 304 kN + 303 kN + 303 kN + 303

kN + 303 kN/2 forza portata dal solaio in legno

342

MODELLO NUMERICO

con connettori

Forze nei connettori

343

MODELLO NUMERICO

139.74

154.12

139.77

113.97

82.8

50.4

17.92 698.72

-14.99

-48.32

-81.92

-115.3

-146.5

-170.8

-183.2

-166.3 -927.25

344

MODELLO NUMERICO

Pareti parallele

non connesse

345

MODELLO NUMERICO

222.01

169.34

134.41

105.15

69.68

38.59

11.5 750.68

-14.34

-40.67

-69.12

-101.8

-138.3

-166.8

-200.6

-252.1 -983.74