Post on 19-Feb-2019
ME-A-1 1
Corso di
DISPOSITIVI ELETTRONICI A SEMICONDUTTORE
F. Della Corte
francesco.dellacorte@unirc.it
testi consigliati
R. S. Muller - T. I. Kamins “Dispositivi elettronici nei circuiti integrati” Ed. Boringhieri
G. Giustolisi, G. Palumbo “Introduzione ai dispositivi elettronici” Ed._Franco Angeli
S. Dimitrijev “Understanding semiconductor devices” Ed. Oxford University Press
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed. Hoepli
S. Middelhoek “Silicon sensors”
ME-A-2
Argomenti del Corso
- Richiami di fisica dei semiconduttori
materiali semiconduttori, concentrazione dei portatori, parametri caratteristici dei semiconduttori, correnti, ricombinazione, eq. di continuità, impostazione del problema del calcolo di I e V nei dispositivi a semiconduttore
- Diodo a giunzione p-n modello del diodo ideale, modelli avanzati (basse ed elevate correnti, polarizzazione inversa, breakdown), componenti capacitive, modello SPICE
- Giunzioni metallo-semiconduttore contatti ohmici, diodo Schottky, diodo Gunn
- BJT modello del BJT ideale (richiamo), modelli avanzati, effetti secondari, BJT per elevate frequenze, tansistor ad eterogiunzione, modello SPICE
- MOSFET
modello del MOSFET ideale (richiamo), modelli avanzati, effetti secondari, componenti capacitive, modello SPICE
ME-A-3
- Semiconduttori amorfi
caratteristiche ed applicazioni, Transistor a Film Sottile (TFT)
- Dispositivi ad effetti quantici
buche quantiche, HEMT, dispositivi ed emissione di luce monocromatica
- Dispositivi di potenza
- Sensori di luce, dispositivi fotovoltaici
- Sensori piezoresistivi e piezoelettrici, MEMS
- Sensori di temperatura a semiconduttori
- Sensori chimici
- Semiconduttori polimerici
- Cenni di sulle microtecnologie
- Optoelettronica in silicio
- Simulazione numerica di dispositivi a semiconduttore: programma PISCES (tesina)
- esperienze in laboratorio
Modalità d’esame
ME-A-6
Reticolo caratteristico del diamante, valido anche per il silicio.
Il passo reticolare “a” del Si vale 5.4 Å.
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-8
( ) eVT
TTEg 6361073.417.1
24
+
⋅−=
−
( ) eVT
TTEg 204104.552.1
24
+
⋅−=
−
(Si)
(GaAs)
DISTANZA INTERATOMICA
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-9
Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.
212
3
2
24)( EhmEN n ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= π densità degli stati in banda di conduzione
h = 6.626 × 10-34 J·s (costante di Planck)
∫∞
=0
)()( dEEFENn ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+
=kT
EE F
eEF
1
1dove:
funzione di distribuzione di Fermi-Dirac
k = 1.381 × 10-23 J/K (costante di Boltzmann)
EF livello di Fermi
Se: E-EF>3kT → F(E) ≈ e-(E-EF
)/kT
funzione di distribuzione di Boltzmann
ME-A-10
dEeEhmn kT
EE
En
F
C
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−∞
∫⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 212
3
2
24π
kTEE
nFC
ehkTmn
−−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=23
2
22 πin cui:
Cn NhkTm
≡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 23
2
22 π densità efficace degli stati in banda di conduzione
In banda di valenza:
kTEE
pVF
ehkTm
p−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
23
2
22
πV
p NhkTm
≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 23
2
22
πin cui: densità efficace degli stati in banda di valenza
per il Si : NC=2.8 1019 cm-3 a 300 K
per il Si : NV=1.04 1019 cm-3 a 300 K
ME-A-11
In un semiconduttore intrinseco n=p :
kTEE
nFC
ehkTm −
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 23
2
22 πkTEE
pVF
ehkTm −
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
23
2
22
π
e quindi :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+==
n
pVC
C
VVCiF m
mkTEENNkTEEEE ln
43
2ln
22
2VC
iEEE +
≈ a temperatura ambiente
ME-A-12
Ad una data temperatura il prodotto n·p in un semiconduttore all’equilibrio è costante e dato da:
kTEE
C
FC
eN−
−kTEE
VCkTEE
V
VCVF
eNNeN−
−−
−=×
con EC – EV = Eg, energia di gap del semiconduttore.
( ) =⋅== pnpn ii
( ) kTEE
VC
VC
eNN 221
−−
=
concentrazione intrinseca
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-14
In un semiconduttore drogato con atomi donori:
D
iN
np2
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
D
CFC N
NkTEE lnDNn=
In un semiconduttore drogato con atomi accettori:
ANp=A
iN
nn2
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
A
VVF N
NkTEE ln
ME-A-15
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
== kTEE
ikTEE
C
FiFFC
eneNn
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
== kTEE
ikTEE
V
FFiVF
eneNp
In un semiconduttore drogato con atomi accettori e donori: DA NpNn +=+
Se
Se
ADnAD NNnNN −≅⇒>
DApDA NNpNN −≅⇒>
ME-A-19
EnqvnqAIJ nnn
n µ=−== EpqvpqJ ppp µ==
EpnqJJJ pnpn )( µµ +=+=
( ) σµµ =+ pn pnq conducibilità 1−=σρ resistività
ME-A-21
MISURA DELLA CONDUCIBILITA’ DI UN SEMICONDUTTORE
il metodo delle quattro punte
a
s
I I V
dt
CFtIV
⋅⋅=ρ Ω⋅cm
se d >> s → CF = 4.54
d/s
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-22
wtL
ALR ρρ==
Se L=w, allora il campione è quadrato e tt
RR⋅
===σ
ρ 1
Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.
area = A
length = L I
t
w
Quindi dalla misura con le 4 punte si ottiene direttamente R
Resistenza R (r-quadrato)
ME-A-23
Sheet Resistance (resistenza di strato)
• ogni “quadrato” ha una resistenza pari a R��� (Ω/square) • R��� è misurata con la tecnica delle 4 punte • si conta il numero di quadrati per ottenere L/w • la resistenza in Ω si ottiene da R ×���(L/w)
ME-A-24
substrato a basso drogaggio
atomo drogante
Sheet resistance: caso di un profilo di drogaggio
N (cm-3)
x
xj
ME-A-25
Sheet Resistance • Dipende dallo spessore xj , dalla mobilità µ, e dal profilo di
drogaggio n(x)
• Se prendiamo ad es. il caso di un profilo di drogaggio ottenuto per diffusione da sorgente finita:
1 1 2 2 3 30
1 1.... ( )jx
Rt t t q n x dxσ σ σ µ
= =+ + + ⋅ ⋅∫
2
( , ) exp2oxn x t nDt
⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
no = concentrazione alla superficie (dipende a sua volta da t)
t = tempo di diffusione
D = coeff. di diffusività del drogante la sheet resistance, e dunque la (resistività media, con
xj=profondità di giunzione), dipende solo dalla mobilità e dalla concentrazione superficiale no
jxR=ρ
ME-A-26
Diffusione da sorgente infinita (erfc)
Diffusione da sorgente finita (gaussiana)
0n Q Dtπ=no= conc. superficiale
Q = conc. per unità di superficie ( , ) erfc2oxn x t nDt
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
n/no
n/S
(cm
-1)
S=q.tà di drogante disponibile (cm-2)
ME-A-27
Le curve di Irvin mettono in relazione la conc. superficiale (cm-3) con la resistività media e la profondità di giunzione xj, per diversi profili standard
jxR=ρ
Nb=drogaggio di fondo del wafer (di bulk)
xj=profondità di giunzione
n-type, erfc
ME-A-30
dxdnDqJ nn =
nthn qTklvD µ=≡
CORRENTI DI DIFFUSIONE
l = cammino libero medio
dxdpDqJ pp −=
pthp qTklvD µ=≡
S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli
[ ]VTVqTk
T 11600≈=
(relazione di Einstein)
ME-A-32
EQUAZIONE DI CONTINUITA’
Jn(x)
x x+dx
Jn(x+dx) R
G
( ) dxARGq
AdxxJqAxJdxA
tn
nnnn −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
+−
−=
∂
∂ )()(
Ponendo: dxxJxJdxxJ n
nn ∂
∂+=+ )()( si ottiene
( )nnn RGxJ
qtn
−+∂
∂=
∂
∂ 1eq. di continuità per gli elettroni
ME-A-33
( )ppp RGxJ
qtp
−+∂
∂−=
∂
∂ 1
( )nnn RGxJ
qtn
−+∂
∂=
∂
∂ 1
s
s
dxdE
ερ
=
Il funzionamento di qualsiasi dispositivo a semiconduttore è descritto dal sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite n, p, V:
a cui vanno aggiunte le opportune condizioni al contorno.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
s
s
dxVd
ερ
2
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=dxdnDqEnqJ nnn µ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=dxdpDqEpqJ ppp µ
ME-A-34
GENERAZIONE E RICOMBINAZIONE DEI PORTATORI
R [cm-3s-1] velocità di ricombinazione G [cm-3s-1] velocità di generazione
U [cm-3s-1] = R - G velocità netta di ricombinazione
All’equilibrio si ha: U = 0
In presenza di portatori minoritari in eccesso (p. es. lacune), si ha U>0. In particolare:
a) in caso di ricombinazione diretta banda-banda
p
non ppUτ−
= τp vita media delle lacune
ME-A-35
b) in caso di ricombinazione indiretta (assistita da trappole o centri di ricombinazione)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⋅=
−−kTEE
inokTEE
ipo
itiit
enpenn
nnpUττ
2
τpo = (Nt vth σp)-1 τno = (Nt vth σn)-1
Nt concentrazione di trappole o centri di ricombinazione
σp ,σn sezioni di cattura per le lacune e gli elettroni
Et livello energetico delle trappole o centri di ricombinazione
La trappola o centro è più efficace se Et≈ Ei
Eq. di Shokley-Reed-Hall
ME-A-36
prima
dopo
emissione lacuna
cattura lacuna emissione
elettrone
cattura elettrone
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-37
c) ricombinazione Auger (o a tre portatori)
Questo tipo di ricombinazione coinvolge tre portatori (e-e-h / h-h-e)
In un semiconduttore n, la vita media delle lacune che si ricombinano per effetto Auger segue l’espressione:
21 nBpnA +=τ
così la velocità di ricombinazione diventa:
pnBpnApU 22 +=≅τ
(dipendenza dal cubo delle concentrazioni di portatori)
ME-A-38
d) Ionizzazione da impatto (moltiplicazione a valanga) Un portatore accelerato da un elevato campo elettrico può generare, per impatto contro un atomo di Si, una coppia e-h.
Ipotizzando che elettroni e lacune abbiano la stessa massa efficace m:
2
21
imv energia cinetica prima dell’impatto imv quantità di moto
prima dell’impatto
m , vi ⇒
m , vf
m , vf
m , vf
22
23
21
fgi mvEmv +=
conservazione dell’energia
fi mvmv 3=
conservazione della quantità di moto
Si Si
ME-A-39
gi EmvE23
21 2
min ==
Risolvendo, si determina la minima energia cinetica che deve essere posseduta dal portatore per produrre la ionizzazione da impatto:
In realtà nel silicio si trova: Emin = 3.6 eV (elettroni) e 5.0 eV (lacune)
Si può definire una velocità di generazione GA di coppie e-h dovuta alla ionizzazione da impatto:
( )ppnnA JJq
G αα +=1
in cui αn e αp [cm-1] sono detti coefficienti di ionizzazione.
ME-A-40
ESEMPIO: INIEZIONE LATERALE A REGIME
x 0
aria silicio
hν>Eg
blocco semiconduttore drogato n, neutro e in bassi livelli di iniezione, ma con p(x=0)>>pno
corrente totale JT=0 dovunque →
Jdiff,p+Jdrift,p+Jdiff,n+Jdrift,n=0
ma Jdrift,p= q µp p E << Jdrift,n= q µn n E (p<<n)
Ciò implica |Jdrift,n | ≈ | Jdiff,p+Jdiff,n | , in cui Jdiff,p è confron-tabile con Jdiff,n (infatti dn/dx ≈ dp/dx)
Allora q µp p E << q Dp dp/dx
cioè: Jp ≈ q Dp dp/dx
iniezione a regime → dp/dt = dn/dt = 0
p(x=0) = p(0) p(x=∞) = po (condizioni al contorno per blocco semi-infinito)
02
2
=−
−∂
∂
p
op
ppxpD
τDall’eq. di continuità per le lacune:
[ ] pLx
epppxp−
−+= 00 )0()(ppp DL τ=con: lunghezza di
diffusione
ME-A-41
In caso di regione di lunghezza finita L, il profilo delle lacune si calcola da:
( ) pLx
p
pppp epp
LDq
xppDq
xpDqJ
−
−=∂
−∂−=
∂
∂−= 0
0 )0()(
02
2
=−
−∂
∂
p
op
ppxpD
τ( ) pp L
xLx
BeAexp +=−
'
con le condizioni al contorno: p ' 0( ) = quantità notap ' L( ) = 0
!"#
$#
ME-A-42
Da queste si ricava:
( )pp
p
LL
LL
LL
ee
epA
−
−=−
0' ( )pp
p
LL
LL
LL
ee
epB
−
=−
−
0'
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
−
−=
−
−−−
p
p
LL
LL
LxL
LxL
LL
LxL
p
ee
eepxppp
pp
sinh
sinh0'0''
Due casi particolari: Là ∞, L à 0
ME-A-43
EFFETTI DOVUTI AD ALTO CAMPO ELETTRICO
Se la velocità di trascinamento diventa confrontabile con la velocità termica vth ≈ 107 cm/s (per il Si), si è in condizioni di elevato campo elettrico.
Effetti sulla mobilità:
γγ1
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
o
os
n
EE
EEv
v
vs = 1.7·109·T -0.87 cm/s (velocità di saturazione degli elettr. nel Si)
Eo = 1.01·T 1.55 V/cm
γ = 2.57·10-2·T 0.66
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-44
In presenza di alti campi elettrici, nel GaAs si ha un singolare fenomeno di mobilità differenziale negativa dovuto alla particolare conformazione delle bande di energia (possibilità che gli elettroni occupino valli diverse in banda di conduzione)
( ) µµµσ qnnnq LLHH =+= Evnnnn
nLH
LLHH µµµ
µ =⇒+
+=⇒
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-45
E’ dato un blocco di silicio con drogaggio ND=1016 cm-3, a temperatura ambiente. A seguito di una esposizione ad una sorgente luminosa, la concentrazione di lacune raggiunge, a regime, uniformemente il valore di 108 cm-3.
Determinare il tempo occorrente, dallo spegnimento della sorgente luminosa, affinché la concentrazione di lacune raggiunga il valore di 1/10 della concentrazione di partenza.
Si assuma τp=1 ms, ni=1010 cm-3 , modello di G-R diretta
ME-A-46
Condizioni di bassi livelli di iniezione.
Assenza di polarizzazione (assenza di campi elettrici imposti)
Concentrazioni dei portatori uniformi (assenza di campi elettrici di built-in, assenza di correnti di diffusione)
L’eq. di continuità per le lacune diventa: pp
o ppRGtp
ττ−=−=
∂
∂
in cui po è la concentrazione a regime (ni2/ND). Dunque:
p
ptp
τ''
−=∂
∂
BeAtp p
t
+=−τ)(' D
i
Nnp2
810)0(' −=
0)(' =∞p
ME-A-47
p
p
t
o
t
epptp
eptp
τ
τ
−
−
+=
=
)0(')(
)0(')('
in cui, nel nostro caso,
3810)0()0(' −==≈ cmtpp
ME-A-48
DIODO A GIUNZIONE P-N
Giunzione all’equilibrio termodinamico (Va=0)
Jn= 0 → Jn,diff = - Jn,drift Jp= 0 → Jp,diff = - Jp,drift
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-49
Disposizione delle bande in presenza di una polarizzazione
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-51
p n
ρ (densità di carica)
x
qND
-qNA
-Wp Wn
Wn -Wp E (campo elettrico)
x
x
V (potenziale)
Vbi+Vb
Vb
- giunzione brusca (passaggio netto da p a n)
- NA >> ND (giunzione asimmetrica)
Poiché la carica totale è nulla, deve essere:
Wn ND = Wp NA
per cui: Wn >> Wp e quindi W= Wn+ Wp≈ Wn
εDqN
dxVd
−=2
2
Ponendo V(0)≈0, si ottiene:
( )WxxqNV D 22
2 −−
=ε
da cui:
( )WxqNEdxdV D −−=−=
ε
da cui:
( )ε2
2WqNVVWV Dbbin =+=
ME-A-52
( )bbiDA
DAs VVNNNN
qW −
+=
ε2
( )bbiD
s VVqN
W −=ε2
L’espressione ricavata è valida sia in polarizzazione inversa che diretta. In generale quindi:
con Vb > 0 in polarizzazione diretta.
In caso di giunzione brusca ma non asimmetrica:
ρ (densità di carica)
x
ND
-NA
-W/2
W/2
ND= NA
Caso della giunzione a variazione lineare del drogaggio
ρ = -a x ( )
31
12⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= bbis VVa
W ε
2max n
W
Wbbi
WEEdxVVn
p
≈−=− ∫−
ME-A-53
CAPACITA’ DELLA GIUNZIONE dVdQCj =
p n
ρ
x -Wp
Wn
Wn -Wp E
x
V+dV
dQ
dQ
W
ss
dQdxdEεε
ρ==dV
Una variazione del potenziale a p p l i c a t o d e t e r m i n a u n a variazione dell’ampiezza della regione di svuotamento. Alla variazione della carica scoperta nella regione di svuotamento è associata una capacità, detta capacità di svuotamento o della giunzione.
Il campo elettrico aumenta di una stessa quantità in ogni punto della regione di carica spaziale.
ME-A-54
( )ss
dQdxxdEεε
ρ==
W1 W2
dE dV1
dV2
dQWWdEdEWdEWdVdVdVsε
==+=+= 2121
WdQWdQ
dVdQC s
s
jε
ε
===
Per una giunzione brusca, asimmetrica e con drogaggio costante:
( )VVNq
WC
bi
ssj −
==−
2εε
VNqNq
VC ss
bi
j−− −=
εε221
2
E
Cj-2
V
Vbi
valori sperimentali
ε/W è la capacità di un condensatore di spessore W.
Infatti, a seguito di una dV, le due dQ che si sommano o si sottraggono sono posizionate a distanza W
ME-A-55
P+ n
ρ
x W
E
x
V+dV
dQ=qN(W)dW
W
s
dQdEε
=
dV
( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≈ WdQWdEdV
sε
( ) ( ) ( )2
2WdWNqWdWWNq
ss εε=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒= 2
22 1
js
sj C
dWdW
C εε
METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO
Poiché: W
ME-A-56
p n
ρ
x W
E
x
V+dV
dQ=qN(W)dx
W
s
dQdEε
=
dV
METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO
( )
dVC
dq
WN
j
s
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2112
ε
j
s
CW ε=
ME-A-57
LEGGE DELLA GIUNZIONE
Ec
qVa
regione P
EFn EFp
Ev
regione N
q(Vbi-Va)
disposizione delle bande per polarizzazione diretta
L’applicazione di una polarizzazione diretta pari a Va produce la riduzione della barriera di potenziale da qVbi a q(Vbi-Va) ---> il numero di elettroni (e lacune) che riescono a transitare verso la regione P (o N) aumenta.
Tale numero può essere valutato ricorrendo alla statistica di Boltzman:
( )
dEenabi
Fn
VVq
kTEE
p ∫∞
−
−−− ∝)0(
Integrando si ottiene:
kTVq
kTVq
kTE
p
abiFn
eekTen−− ∝)0( ovvero T
aaVV
kTVq
p eAeAn ==− )0(
x=0 0+ 0 -
ME-A-58
Poiché per Va= 0 deve risultare np(0-) = npo, allora: A = npo e dunque:
T
aVV
pop enn =− )0( ed equivalentemente: T
aVV
non epp =+ )0(
Moltiplicando per la concentrazione dei maggioritari, e ricordando la legge d’azione di massa, si ottiene:
T
a
T
aVV
iVV
poApp enenNnp 2)0()0( ==−−
T
a
T
aVV
iVV
noDnn enepNpn 2)0()0( ==++
Tali relazioni possono essere scritte a qualunque ascissa x attraverso la giunzione (0- < x < 0+), per cui più in generale si ha:
T
aVV
i enxpxn 2)()( =
ME-A-59
CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N IN POLARIZZAZIONE DIRETTA
modello fondamentale Ipotesi:
1) bassi livelli di iniezione: la concentrazione di portatori maggioritari non è influenzata dalla presenza di portatori minoritari in eccesso:
2) E ≈ 0 al di fuori della r.c.s.: è un’ipotesi che massimizza la corrente nel diodo (massima riduzione della barriera di potenziale). A valle del calcolo della corrente totale, l’attendibilità di questa ipotesi è verificabile calcolando le cadute di potenziale (ohmiche) attraverso le regioni neutre. Vale ovviamente solo per basse polarizzazioni.
3) assenza di generazione-ricombinazione nella r.c.s.
4) µ e τ indipendenti da p, n, x
5) contatti ideali
DnnoDn NppNn ≈++= 'AppoAp NnnNp ≈++= '
(nella regione n) (nella regione p)
ME-A-60
CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N
modello fondamentale
L’eq. di continuità per le lacune nella regione n diventa:
( ) ( ) pTp Lx
VV
noLx
nonop
no eepepppxpLpp
dxpd −−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=−=−⇒
−= 1)0(22
2
avendo imposto la condizione al contorno: nopp =+∞)(
Dall’ascissa x=0+ le lacune diffondono verso x = +∞ determinando una corrente di diffusione. Poiché E(0+) ≈ 0, non esiste una corrente di deriva di lacune, o è certamente trascurabile rispetto alla corrente di deriva degli elettroni. Quindi:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
+=
+ 1)0(0
TVV
nop
p
xpp ep
LDq
dxdpqDJ
ME-A-61
All’ascissa x=0+ esiste una corrente di diffusione di elettroni, ma è in genere trascurabile poiché la concentrazione di elettroni è poco variabile (circa pari a ND).
Esiste invece una corrente di deriva (anche se E(0+) ≈ 0) poiché ND è grande.
D’altra parte all’ascissa x=0- la corrente di elettroni è costituita solo dalla componente di diffusione:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
−=
− 1)0(0
TVV
pon
n
xnn en
LDq
dxdnqDJ
Per l’ipotizzata assenza di ricombinazione nella r.c.s. si ha:
)0()0()0()0( −++− == ppnn JJJJ
La corrente totale nella giunzione può essere calcolata in x = 0+ (o in x = 0-) :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ++ 1)0()0( TV
V
nop
ppo
n
npnT ep
LD
nLDqJJJ
ME-A-62
Jp
Jn Jn,diff
Jp,diff
P r.c.s. N
W
JT = Jn,diff (0− )+ Jp,diff (0
+ )
COMPONENTI DELLA CORRENTE NEL DIODO
Jn,drift
Jp,drift
Jp(0-)=Jp(0+)
ME-A-63
polarizzazione diretta polarizzazione inversa
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-64
Calcolo del profilo dei minoritari in polarizzazione inversa
02
2
=−
−∂
∂
p
op
ppxpD
τ( ) pp L
xLx
BeAexp +=−
'
con le condizioni al contorno: p '(0) = −pnop '(∞) = 0
#$%
&%
Da cui si ricava B=0 , A= - pno e dunque:
p(x) = pno + p ' x( ) = pno 1− e−xLp
"
#$$
%
&''
ME-A-65
CASO DEL DIODO CORTO (Ln>>dn, Lp>>dp)
-xp +xn -dp dn
P N
n, p
Jn,diff
Jp,diff
Le concentrazioni dei minoritari decadono linearmente lungo x, dunque nella regione N, per esempio, la corrente di diffusione delle lacune non cambia lungo x (gradiente costante). Ciò vuol dire che non vi è ricombinazione di lacune (ad ogni ascissa, il numero di lacune che transita nell’unità di tempo è costante). Dunque non vi è neanche ricombinazione di elettroni, per cui nella regione N n=costante e Jdiff,n=0. Esiste però una Jn,drift (costante lungo x) che serve ad alimentare la Jn,diff in P
Jn,drift(N)=Jn,diff(P)
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
++ 10)0( 0
'
,TVV
nn
p
npdiffp ep
dDq
dpqDJ
ME-A-66
Jp
Jn Jn,diff
JR
Jp,diff
P r.c.s. N
W
RdiffpdiffnT JJJJ ++= ,,
CORRENTE DI RICOMBINAZIONE NELLA R.C.S.
ME-A-67
Per portare in conto la ricombinazione nella r.c.s. si può utilizzare la:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⋅=
−−kTEE
inokTEE
ipo
itiit
enpenn
nnpUττ
2
Ponendo Et = Ei (massima efficacia del centro di ricombinazione) si ha:
( ) ( )inoipo npnnpnU
+++≅
ττin cui n , p >> ni per polarizzazione diretta.
Nel calcolo della corrente bisogna considerare la frazione di portatori che si ricombinano nella r.c.s.:
[ ]RnpnpT JJJJJJ ++=+= −+++ )0()0()0()0(
∫=W
R qUdxJ0
con
ME-A-68
Assumendo U = Umax in tutta la r.c.s. :
WpqJpo
R τ2= N.B. valida per polarizzazione diretta
TT
i
VV
iVV
enpenpn 22 =⇒=
Ponendo τno ≈ τpo ≈ τo , si ha U = Umax per n = p
Poiché
e dunque:
TVV
io
R enWqJ 2
2τ=
ME-A-69
Alle basse polarizzazioni prevale la JR (η≈2) mentre alle medie polarizzazioni prevale la Jdiff (η≈1)
JSi>JGaAs perché ni,Si > ni,GaAs (quindi a parità di drogaggio i minoritari sono in concentrazione inferiore nel GaAs)
S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli
ME-A-70
FUNZIONAMENTO AD ELEVATI LIVELLI DI INIEZIONE
02
2
=−∂
∂ UxpDp
Considerando un diodo asimmetrico P+ N, quando si opera in condizioni di elevati livelli di iniezione nella regione n si ha:
DNp >>L’eq. di continuità per le lacune diventa:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⋅=
−−
kTEE
inokTEE
ipo
itiit
enpenn
nnpUττ
2
in cui questa volta:
con: p ≈ n >> ND >> ni
ME-A-71
Ipotizzando ancora una volta: Et = Ei , si ottiene:
U =p ⋅n− ni
2
τ po n+ ni[ ]+τ no p+ ni[ ]≈
p ⋅nτ pon+τ no p
≈p2
τ po p+τ no p
02
2
=+
−∂
∂
nopop
pxpD
ττdove per semplicità si può
porre τpo ≈ τno
( ) pLx
n epxp 2)0(−
+=La soluzione è:
ME-A-72
La corrente di diffusione delle lacune è quindi:
( ) ( )+=
+ ==+
02
00
np
p
xpp p
LD
qdxdpqDJ
e siccome pn = nn :
( ) ( ) ( ) T
in
VV
nn enpnp 22 000 ==⋅ +++
( ) TVV
ip
pp en
LD
qJ 2
20 =+
η = 2
ME-A-73
PROBLEMI DERIVANTI DAGLI ALTI DROGAGGI NEI DISPOSITIVI BIPOLARI - 1
Nei dispositivi unipolari le regioni molto drogate svolgono per lo più il ruolo di “riserva” di cariche. In esse il trasporto di carica avviene quasi esclusivamente per drift ed i portatori minoritari non hanno praticamente nessuna importanza.
Nei dispositivi bipolari, il trasporto dei portatori minoritari ha un ruolo fondamentale (diodo ad iniezione, cella solare, BJT, ….).
L’evidenza sperimentale dimostra che gli elettroni minoritari delle regioni molto drogate P (heavily doped) si comportano diversamente rispetto agli elettroni delle regioni P a basso drogaggio, o rispetto agli elettroni delle regioni N.
ME-A-74
PROBLEMI DERIVANTI DAGLI ALTI DROGAGGI NEI DISPOSITIVI BIPOLARI -2
I principali effetti sui minoritari riguardano:
1) diminuzione della vita media (e dunque della lunghezza di diffusione) dovuta alla ricombinazione Auger
2) diminuzione della mobilità (e dunque della lunghezza di diffusione), al di sotto dei valori assunti in regioni in cui sono maggioritari, anche se molto drogate
3) aumento della concentrazione rispetto a quanto previsto dalla legge di azione di massa e dalla legge della giunzione (restringimento della banda proibita)
La misura di questi parametri è complessa per il fatto che i portatori in questione sono pur sempre minoritari ed anche perché il più delle volte i profili di drogaggio delle regioni molto drogate non sono costanti, il che dà origine a campi elettrici che falsano i risultati.
ME-A-75
IL RESTRINGIMENTO DELLA BANDA PROIBITA
(Band-Gap Narrowing)
EC
EV
ED
U n a t o m o d r o g a n t e donore in t roduce un livello permesso in banda proibita prossimo ad EC
EC
EV
Se la concentrazione di drogante è elevata, si crea una banda a ridosso della E C c h e p r o v o c a i l restringimento della gap
ΔEg
ME-A-76
Il restringimento della gap e l’avvicinamento di EF alla banda di conduzione rendono il semiconduttore degenere e costringono ad utilizzare la statistica di Fermi-Dirac al posto di quella di Boltzman nel calcolo della concentrazione degli elettroni:
∫∞
=CE
C dEEFENn )()(
( ) 2123
2
24)( Cn
C EEhmEN −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= π ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+
=kT
EE F
eEF
1
1
in cui:
( ) dEeEEhmn kT
EE
E Cn
F
C
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−∞
∫ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 212
3
2
24π kTEE
C
FC
eN−
−=
Questo integrale non ammette una soluzione analitica, e non è più approssimabile con:
ME-A-77
Per il calcolo della concentrazione di lacune, invece, la statistica di Boltzman continua ad essere utilizzabile:
kTEE
V
VF
eNp−
−=
Nel calcolo di ni non si può quindi utilizzare la:
kTE
kTEE
VCi
gVC
eeNNnΔ−
−=2
in cui è stato introdotto il restringimento della banda proibita, che produce un aumento della concentrazione intrinseca.
Ovviamente la nuova ni (ni,eff) sarà maggiore di quella stimata in precedenza. 22
, ieffi nn >
ME-A-78
Poiché la concentrazione dei maggioritari è uguale al drogaggio, in realtà ni aumenta a causa dell’aumento della concentrazione dei portatori minoritari:
D
effi
Nn
p2,=
Nella pratica però si preferisce continuare ad utilizzare ni come concentrazione intrinseca, attribuendo invece al drogaggio un valore inferiore alla realtà:
effD
i
Nnp,
2
= dove: kTE
DeffD
effg
eNN,
,
Δ−
=
con: effgE ,Δ misurato sperimentalmente.
Il Band-Gap Narrowing può determinare un apprezzabile aumento della corrente di diffusione dei portatori minoritari iniettati nelle regioni ad elevato drogaggio.
ME-A-80
MODELLO DEL DIODO “A CONTROLLO DI CARICA”
[ ] pLx
no eppxp−
−= )0()('
Si suppone: NA>>ND
La carica Q dei portatori in eccesso è data da:
( ) == ∫∞ −
dxepAqQ pLx
0
0'
( )0'pLAq p=
(solo polarizzazione diretta)
x=0 x
regione P
p(x)
P(0) regione N
n(0)
Pn0 np0
densità dei portatori minoritari
n(x)
ME-A-81
Ricordando che: ( )0'pLD
AqIp
p= si ottiene:
p
QIτ
=
La corrente in un diodo è proporzionale all’accumulo di portatori minoritari in eccesso.
L’accumulo di portatori minoritari determina la nascita della capacità di diffusione, CD.
TppD VI
dVdI
dVdQC
ηττ ==≡
In polarizzazione diretta: CD >> CJ , in polarizzazione inversa: CD << CJ
ME-A-82
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⋅=
−−
kTEE
inokTEE
ipo
itiit
enpenn
nnpUττ
2
snop
ppo
n
n JpLD
nLDq ≡⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
In polarizzazione inversa il modello ideale prevede l’esistenza della corrente:
Per portare in conto la generazione nella r.c.s. si può utilizzare ancora la:
che è detta corrente di saturazione inversa, dovuta alla generazione termica di coppie e-h nelle regioni neutre del diodo.
con p , n << ni , per cui:
WnqpLD
nLDqJ
nopo
ino
p
ppo
n
nR ττ +
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Corrente di saturazione inversa