Dispositivi elettronici LS - prima edizione

Dispositivi elettroniciPrima edizione

Ing. Pazzo

14 gennaio 2010

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Si consiglia di affiancare il materiale presente in questo riassunto agli appunti presi a lezione. Que-sto perché (ovviamente!) non si vuole avere alcuna presunzione di esaustività, né di assoluta corret-tezza: nonostante le revisioni fin’ora effettuate, potrebbero infatti essere ancora presenti molti errori eimprecisioni.

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Indice

1 Conduzione di corrente in materiali semiconduttori 51.1 Conduttori, isolanti e semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Distribuzione energetica nel cristallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Massa efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Legame fra energia e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Semiconduttori e drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Equazione di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Livello di Fermi all’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Legge dell’azione di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Equazioni di Shockley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Equazioni di Shockley in funzione del potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . 161.8 Piegamento delle bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 La distribuzione volumetrica di carica e le altre grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.1 Legame con il potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.2 Legame con la densità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10 Portatori di carica nel semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10.1 Neutralità della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10.2 Variazione dei portatori di carica in funzione della temperatura . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Polarizzazione dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11.1 Metodo di Montecarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11.2 Metodo dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 Modello drift-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12.1 Mobilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12.2 Resistività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.13 Diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14 Relazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.15 Generazione e ricombinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Giunzione PN 312.1 Pseudo-livelli di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.1 Andamento degli pseudo-potenziali di Fermi attraverso una giunzione . . . . . . . . 372.2 Applicazione di un potenziale su una giunzione: piegamento delle bande . . . . . . . . . . . 382.3 Calcolo di potenziali e correnti in una giunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Equazioni della corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Portatori minoritari all’interno della regione quasi neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1 Giunzione brusca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.2 Diodi a base corta e a base lunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Ragionevolezza delle condizioni di Shockley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Capacità della giunzione PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Schema riassuntivo delle relazioni notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8 Giunzione Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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4 INDICE

3 Diodo bipolare a giunzione 533.1 Regioni di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Espressioni della corrente e figure di merito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Ulteriori aspetti implementativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 Tempo di attraversamento in base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2 Efficienza di emettitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor 654.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Processo realizzativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Ricerca dei livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 Variazione dei livelli energetici all’applicazione di un potenziale . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Regioni di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Calcolo dei parametri notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.1 Carica e lunghezza della regione svuotata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.2 Tensione di soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.3 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 Altri aspetti realizzativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5.1 Effetto Body, più in dettaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6 Calcolo della corrente nel caso di canale non rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.7 Modello GCA e confronto col modello lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.8 Strozzamento del canale (pinch-off ) ed effetti di canale corto (channel length modulation) . . . 83

4.8.1 Velocity Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8.2 Drain-induced barrier lowering (DIBL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.8.3 Impact ionization e FBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.9 Condensatore MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.10 Capacità del MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.11 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.11.1 I parametri dello scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.11.2 I principali ostacoli allo scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.12 Il futuro del MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Seminario: le celle solari 1015.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Spettro della radiazione solare e figure di merito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.1 Altri meccanismi di assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Relazioni per lo studio dell’assorbimento dei fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4 Caratteristiche di funzionamento delle celle solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4.1 Celle solari costruite mediante giunzione pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5 Possibili miglioramenti all’efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5.1 Circuito equivalente di una cella solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6 Sviluppi futuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Seminario: LED e OLED 1136.1 LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.1.2 Perché i LED? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.1.3 Struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.1.4 Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.1.5 Colori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2 OLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.2 Peculiarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.3 Struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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Capitolo 1

Conduzione di corrente in materialisemiconduttori

1.1 Conduttori, isolanti e semiconduttori

Figura 1.1: Leggi di Ohm: schema di riferimento

Consideriamo la figura 1.1: per semplicità abbiamo considerato un parallelepipedo di materiale omo-geneo avente dimensioni L (lunghezza) ed A (superficie laterale). Se, fatta l’ipotesi di mantenere costantela temperatura, colleghiamo agli estremi di questo solido un generatore in grado di erogare tensione V, laprima legge di Ohm afferma che il rapporto fra tale tensione e la corrente che scorre è costante (resistenza) epari a:

R =VI

[Ohm] (1.1)

La seconda legge di Ohm mette invece in relazione la resistenza R con le proprietà geometriche del nostrosolido:

R = ρLA

(1.2)

Il parametro ρ è chiamato resistività e si misura in [Ohm·cm]. Tutti i materiali omogenei sono caratterizzatida una particolare ρ; in natura troviamo materiali con resistività molto diversa:

• conduttori: hanno resistività molto piccole (alluminio: ρ ≈ 10−6; rame: ρ ≈ 10−7) e sono ideali,appunto, per condurre corrente;

• isolanti: hanno resistività molto grandi (quarzo: ρ ≈ 1017; ossido di silicio: ρ ≈ 1013);

• semi-conduttori: si pongono a metà strada tra i conduttori e gli isolanti (silicio: ρ ≈ 6 · 102) e hannoil vantaggio di rendere possibile la modulazione artificiale di ρ. Possiamo dunque avvicinarci alcomportamento del conduttore o dell’isolante, senza però eccellere come potrebbe fare un elemento’puramente’ conduttivo o isolante.

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6 CAPITOLO 1. CONDUZIONE DI CORRENTE IN MATERIALI SEMICONDUTTORI

1.2 Meccanica quantistica

In meccanica classica una particella puntiforme è descritta completamente dalla posizione r e dallaquantità di moto p = mv. In ogni istante è inoltre possibile valutare con certezza (cioè deterministicamente)posizione, velocità ed energia. A livello microscopico (dimensioni confrontabili con quelle atomiche) ladescrizione classica non è più sufficiente ed è necessario assumere una natura ondulatoria per la materiae ricorrere alla meccanica quantistica i cui principi fondamentali sono:

• una particella viene descritta da un’onda (funzione d’onda ψ(r, t)) la cui frequenza e lunghezza d’ondasono rispettivamente associate ad energia e quantità di moto del relativo oggetto corpuscolare. Talifunzioni d’onda ψ(r, t) sono soluzione delle equazioni di Schrödinger, le quali si caratterizzano comeequazioni fondamentali in grado di farci ricavare lo stato di qualunque sistema quantistico; inoltre,|ψ(r, t)|2 è proporzionale alla probabilità di un certo stato (posizione, tempo, velocità, energia) per laparticella; possiamo infatti scrivere che la probabilità di trovare una particella nel piccolo volumettoquadridimensionale (cioè spazio-temporale) drdt è pari a:

P (r, t) = |ψ (r, t)|2 drdt (1.3)

• energia, quantità di moto, posizione nello spazio-tempo di una particella sono note solo a meno diuna incertezza ineliminabile. Si parla allora di principio di indeterminazione di Heisenberg: esso puòessere ricavato dalla equazione di Schrödinger e pone un limite inferiore alla incertezza con la qualelo stato di una particella (posizione, quantità di moto, energia e tempo) si può ritenere noto1. Inparticolare, si ha che:

∆px∆x >h̄2

∆E∆t >h̄2

dove h̄ è la costante di Planck normalizzata (pari a h2π ). Ciò significa che la precisione nella misura-

zione dell’impulso (∆px) va a discapito della precisione sulla conoscenza della coordinata x e che,analogamente, non possiamo conoscere l’energia di un sistema con una precisione temporale infinita;

• il dualismo onda particella: in alcune occasioni una particella può comportarsi come un’onda e vice-versa. In particolare, è possibile attribuire comportamento corpuscolare alle onde elettromagnetiche(associandovi dei corpuscoli chiamati fotoni, aventi energia E = hν). In particolare, una particella dienergia E e quantità di moto p è descritta da un’onda con frequenza f e costante di propagazione kche obbediscono alle relazioni di Einstein:

E = h f = h̄ω (1.4)

p = h̄k (1.5)

• il concetto di pacchetto d’onda: un’onda piana descrive un’entità ad energia definita ma completa-mente delocalizzata spazialmente e temporalmente. Tramite sovrapposizione di funzioni d’onda aenergia e quantità di moto definite, e fra loro distinte, possiamo descrivere un pacchetto d’onde cherisulta soluzione dell’equazione di Schrödinger (lineare) in quanto ottenuto come sovrapposizionelineare di soluzioni. Il suddetto pacchetto risulta solo parzialmente localizzato in posizione e quan-tità di moto, per il principio di indeterminazione: se tuttavia tali indeterminazioni sono contenute,il pacchetto si comporta approssimativamente come una particella classica;

• il concetto di quantizzazione dell’energia: non tutti i possibili valori energetici sono permessi. Loscambio di energia avviene solo a multipli di hν e, in un determinato sistema quantistico (come puòessere ad esempio un atomo), non tutti i valori di energia sono ammissibili (vedi paragrafo 1.3).

1Più cerchiamo di essere precisi nella misurazione di una certa grandezza e meno possiamo esserlo in un’altra. Svanisce così ildeterminismo che prima del Novecento è sempre stato associato al concetto di misura.

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CAPITOLO 1. CONDUZIONE DI CORRENTE IN MATERIALI SEMICONDUTTORI 7

1.3 Distribuzione energetica nel cristallo

Risolvendo le equazioni di Schrödinger per un sistema atomico quale può essere, per esempio, unatomo di idrogeno, otteniamo i seguenti possibili valori per l’energia:

E =n2h̄2π2

2md2

Lo stato corrispondente ad n = 1, cioè quello a energia minore, è detto stato fondamentale. Notiamo inoltreche l’energia risulta discretizzata tanto più è minore d (cioè il ’confinamento’, dato che tale parametrorappresenta l’estensione della buca di potenziale che andiamo a considerare): per d → ∞ recuperiamo uncontinuum di livelli energetici (elettrone libero). In figura 1.2 vediamo uno schema molto semplificato del

Figura 1.2: Livelli energetici permessi (esempio: atomo di idrogeno)

concetto di ’livelli energetici permessi’: come facevamo notare poco fa, all’aumentare della distanza dallostato fondamentale E0, le possibili energie (cioè i possibili luoghi in cui può risiedere un elettrone) sonosempre più spazialmente ravvicinate, fino a formare una banda di energia con livelli permessi praticamentecontinui. A temperatura di 0 Kelvin il singolo elettrone dell’idrogeno può risiedere solo in E0: all’au-mentare di T, invece, aumenta la probabilità di trovarlo in un livello superiore. Il modello dell’atomodi idrogeno è generalizzabile ad atomi di numero atomico maggiore di uno per i quali il riempimentodegli stati disponibili avviene per energie crescenti (dunque i livelli energetici si riempiranno a partiredallo stato fondamentale): il principio di esclusione di Pauli impone tuttavia che, ad ogni livello energeticopermesso, possano risiedere solo due elettroni. La struttura di riempimento degli stati disponibili è ri-specchiata dall’organizzazione della tabella periodica degli elementi.

Un semiconduttore come il silicio è in ultima analisi un cristallo; i nuclei degli atomi che costituisco-no un reticolo cristallino sono disposti a costituire una struttura ordinata e periodica e, se ipotizziamodi trovarci alla temperatura di zero assoluto nonché in assenza di potenziali impressi, otteniamo per ilnostro silicio una distribuzione rigorosamente periodica di potenziale (vedi figura 1.3). Come si nota, il

Figura 1.3: Struttura di un reticolo cristallino

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potenziale associato al campo di forze di attrazione coulombiana elettrone-reticolo presenta dei minimi incorrispondenza di ogni nucleo (da qui il concetto di buca di potenziale).

Figura 1.4: Struttura a bande di un semiconduttore

In un semiconduttore la struttura elettronica è fatta a bande (figura 1.4): in particolare abbiamo

• una banda di valenza, situata ai livelli energetici ’bassi’ e piena di elettroni (i quali partecipano ailegami covalenti);

• una banda di conduzione, situata ai livelli energetici ’alti’ e con tantissimo spazio per ospitare deglielettroni;

• un gap, zona non permessa per gli elettroni, compreso fra queste due regioni. L’ampiezza del gap èfunzione della temperatura (vedi figura 1.5).

Figura 1.5: Curve d’ampiezza del gap in funzione della temperatura

Gli elettroni nelle bande di valenza e di conduzione possono muoversi lungo il reticolo2; tuttavia unabanda di valenza completamente occupata non contribuisce alla conducibilità elettrica perché, in virtùdella simmetria della banda, ad ogni stato con vettore d’onda kj ne corrisponde uno con vettore d’onda−kj e quindi con quantità di moto uguale ed opposta; essendo entrambi gli stati occupati, il loro contributocomplessivo alla corrente è nullo. La banda di conduzione, qualora parzialmente occupata, contribuiscealla conducibilità elettrica in misura proporzionale agli elettroni che la occupano in quanto ogni elettroneè in grado di muoversi acquisendo energia cinetica senza che ne esista necessariamente uno con quantitàdi moto uguale ed opposta.

2Si individuano tre tipi di particelle:

• particelle libere (energie superiori al massimo del potenziale U0) le cui energie sono distribuite a formare quasi un continuodi stati permessi;

• particelle legate (energie molto inferiori a U0) confinate all’interno delle varie buche con bassissima probabilità di passaggioda una buca all’altra. Si tratta degli elettroni ad energie più basse che sono fortemente legati ai rispettivi nuclei;

• particelle quasi-libere (energie poco inferiori a U0).

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Figura 1.6: Energy gap fra banda di valenza e banda di conduzione

Nel caso dei conduttori banda di valenza e di conduzione sono parzialmente sovrapposte a costituireuna unica successione di stati energetici solo parzialmente occupati (tutti gli elettroni presenti in talebanda contribuiscono alla conduzione nel cristallo); nel caso di isolanti e semiconduttori le due bandesono separate da un gap di ampiezza rilevante (l’entità di tale parametro fa la differenza fra isolante esemiconduttore) rispetto alla energia fornita dalla agitazione termica 3

2 KT ≈ 38meV (per T = 300K).Le cose non sono però praticamente mai così semplici e lineari: vuoi perché l’atomo ha una struttura

complessa, vuoi perché è intervenuto il drogaggio (oppure, semplicemente, andando a vedere le cose intre dimensioni), si ha che la struttura a bande è spesso molto ardua da studiare (vedi figura 1.7).

Figura 1.7: La struttura a bande non è sempre bella lineare!

In ogni caso, l’aumento di temperatura si ripercuote su una maggiore probabilità di salto degli elettroniin banda di conduzione. Per semiconduttori intrinseci (quelli in cui il numero n di portatori di caricanegativa è uguale al numero p di portatori di carica positiva), non può esservi elettrone in banda diconduzione senza la corrispondente lacuna in banda di valenza:

n = p = ni (parametro dipendente dalla temperatura)

Una lacuna è una pseudo-particella alla quale possiamo attribuire massa e carica in modulo pari a quelladell’elettrone (la carica della lacuna ha però segno opposto a quella dell’elettrone), nonché altri parametri,come velocità e quantità di moto, tipici di oggetti corpuscolari quali particelle; come particella, tuttavia, lalacuna non esiste: è semplicemente un’astrazione indicante la mancanza di elettroni a formare un legamecovalente3.

Un generico cristallo come quello in figura 1.8, avendo struttura periodica, può possedere bande aventianch’esse struttura periodica: quello in figura, in particolare, è un materiale a ben-gap diretto in quanto ilmassimo della banda di valenza coincide con il minimo della banda di conduzione. Il silicio, invece, è un

3Un legame covalente polare o apolare si viene a instaurare quando avviene una sovrapposizione degli orbitali atomici di dueatomi con una differenza di elettronegatività inferiore a 1,67. Ciò avviene per una ragione ben precisa: gli atomi tendono al minordispendio energetico possibile ottenibile con la stabilità della loro configurazione elettronica (ad esempio l’ottetto).

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particella massa carica

elettrone (e−) 9, 11 · 10−31 Kg −1, 6 · 10−19 Clacuna (p+) 9, 11 · 10−31 Kg 1, 6 · 10−19 C

Tabella 1.1: Parametri per elettrone e lacuna

materiale a ben-gap indiretto in quanto tali minimi e massimi non sussistono negli stessi punti (l’andamentodelle bande è complicato, vedi figura 1.7): per questo, tale materiale non è idoneo per applicazioni op-toelettroniche (e tuttavia viene utilizzato lo stesso perché è economico). Tale schematizzazione andrebbeahinoi fatta in più dimensioni, quindi si individuano - per semplicità - alcune direzioni preferenziali chevengono tenute in conto nel parametro chiamato massa efficace (paragrafo 1.3.1).

Figura 1.8: Andamento periodico delle bande in un reticolo cristallino (non silicio)

1.3.1 Massa efficace

La massa efficace dipende dalla struttura del reticolo cristallino ed è un parametro che tiene conto dellaperiodicità del cristallo. In pratica, il suo scopo è quello di riassumere l’effetto del potenziale periodicodovuto al reticolo.

Il campo elettrico che agisce sui portatori di carica dipende dal profilo di potenziale all’interno delcristallo, il quale può essere schematizzato - a temperature vicine allo zero assoluto - come nella giàesaminata figura 1.3. La forza che agirà sull’elettrone (o sulla lacuna) sarà pari a:

F = −qE = m0dvdt

(1.6)

Sospinti da questa forza, gli elettroni all’interno del cristallo effettueranno tratti di volo libero, descrivibilimedianti le leggi della meccanica classica (si prenda l’equazione 1.6, alla massa a riposo m0 si sostituiscala massa efficace m∗ e si considerino, al fine del calcolo del campo, le sole forze impresse alle particelle),inframezzati da urti (schematizzati come istantanei e locali) con il reticolo cristallino.

Possiamo inoltre esprimere la quantità di moto nel seguente modo (sia v la velocità di gruppo deglielettroni):

p = m∗v = h̄k (1.7)

Derivando rispetto al tempo:dpdt

= m∗dvdt

= h̄dkdt

Risulta chiaro che, con una piccola massa efficace la particella riceve una grande accelerazione.

L’energia cinetica degli elettroni è invece:

Ekin =12

mv2

Dunque, sfruttando nuovamente la 1.7, si ha:

Ekin =12|p|2

m=

h̄2 |k|2

2m

10


Aggiungiamo ora un termine alla formula chiamando, come mostrato in figura 1.9, k0 il valore delvettore d’onda nel fondo della banda di conduzione e k il generico valore in un qualsiasi altro punto.L’espressione dell’energia diventa quindi la seguente

E (k) = E (k0) +h̄2 |k− k0|2

2m∗

dove m∗ è una opportuna media delle masse efficaci nelle tre direzioni (ipotesi di banda sferica e parabo-lica).

Figura 1.9: Valori di k e definizione di k0

1.3.2 Legame fra energia e momento

Il legame fra energia e momento nella meccanica classica è banale:

E =12

mv2 ⇒ E =12

p2

mPonendoci nella banda di conduzione ed esaminando i possibili valori del momento otteniamo quindil’andamento dell’energia E illustrato in figura 1.10. Purtroppo per noi (che la dobbiamo studiare), nel

Figura 1.10: Andamento parabolico dell’energia in funzione del momento

silicio la relazione E(p) è molto più complessa di quella in figura in quanto consiste in una relazionevettoriale (cioè dipendente dalla direzione assunta dal momento: nel cristallo, infatti, abbiamo direzioniprivilegiate di conduzione). Inoltre si ha che:

E =12

p2

m

∂∂p−→ p

m

∂∂p−→ 1

mAl calare di m si accentua la curvatura in figura 1.10, dunque abbiamo conduzione facilitata (con unpiccolo aumento di p si ha un grande aumento di E).

1.4 Semiconduttori e drogaggio

Come abbiamo già detto, nei semiconduttori intrinseci il numero di lacune è pari al numero di elettronied è funzione della temperatura:

n = p = ni(T)

11


Nel silicio questo parametro è pari, a temperatura ambiente, a 10 · 1010 cm−3: sembra una quantità consi-derevole, ma in realtà non lo è se consideriamo che il numero di atomi di silicio che possono stare in uncentimetro cubo è dell’ordine di 1023 e, quindi, che le cariche libere in grado di condurre sono veramentepochissime rispetto alla totalità delle particelle.

Come possiamo quindi fare per condurre maggiormente? Il procedimento atto a risolvere tale questio-ne prende il nome di drogaggio e consiste nell’aggiunta di:

• atomi del V gruppo (’donatori’, tipo n): portano con sé un elettrone di conduzione in più;

• atomi del III gruppo (’accettori’, tipo p): si predispongono a legare a sé degli elettroni.

La presenza di drogante genera una perturbazione della struttura a bande del reticolo cristallino; inparticolare, il drogaggio provoca la presenza di stadi elettronici (propri degli atomi droganti) con energieche vanno a porsi in quello che era il gap fra la banda di valenza e la banda di conduzione (vedi figura1.11). In particolare:

• se il drogaggio è stato effettuato con atomi accettori, il livello energetico introdotto compare imme-diatamente sopra la banda di valenza;

• se il drogaggio è stato effettuato con atomi donatori, il livello energetico introdotto compare imme-diatamente sotto la banda di conduzione.

Questo altera la configurazione elettronica del nostro semiconduttore permettendo di variarne il compor-tamento in presenza di campi impressi; in particolare, man mano che la temperatura cresce, gli atomiacquisiscono agitazione termica che permette agli elettroni dello stato introdotto di saltare facilmente4 inbanda di conduzione, dove è presente un gran numero di stati liberi molto vicini fra loro. Gli atomi accet-

Figura 1.11: Stadio introdotto (già occupato a 0 K)

tori, invece, introducono stati intermedi tutti occupati da lacune le quali, all’aumentare della temperatura,decadono in banda di valenza5. Se il gap è piccolo abbiamo un parametro ni grande in quanto la bandadi conduzione ’comincia presto’; questo implica, ad esempio, una forte corrente inversa nella giunzionePN e una maggiore dipendenza di tutti i parametri dalla temperatura. Un grande gap rende invece ilnostro semiconduttore utile per applicazioni ad alta temperatura: in tal caso, infatti, ni rimane basso conla temperatura, quindi gli elettroni e le lacune che effettivamente conducono sono solo quelli provenientidal drogaggio.

La densità degli stati elettronici in funzione dell’energia è riportata in figura 1.12: si nota che, ove vi èil gap, la densità di stati è nulla (non vi sono cioè livelli possibili, a meno che non introduciamo drogante).

Purtroppo l’andamento in figura 1.12 è vero solo in un intorno di valori a bassa energia: in figura 1.13vediamo invece che la funzione, nel silicio, è complicata e differente per elettroni e lacune.

4Prendiamo ad esempio il drogaggio effettuato con atomi di fosforo (donatori): il nuovo livello introdotto dista 45 meV dallabanda di conduzione, quindi gli elettroni sono molto più vicini ad essa rispetto al caso di conduttore intrinseco nonché enormementeavvantaggiati nel loro salto verso gli stati liberi.

5Non bisogna intendere che al posto della lacuna va a finire un elettrone: non si formano in nessun modo coppie elettrone-lacuna.Semplicemente, il materiale drogato porta delle cariche in più (positive, essendo lacune).

12


Figura 1.12: Densità degli stati elettronici in funzione dell’energia

Figura 1.13: Andamento reale della densità di stati in funzione dell’energia

1.5 Equazione di Fermi-Dirac

Sapendo che uno stato esiste, che probabilità c’è che in esso risieda un elettrone? Non possiamoovviamente avere una risposta deterministica a questo quesito, ma sfruttando la teoria della probabilitàgiungiamo a risultati notevoli. Per le particelle aventi spin pari a 1/2 vale l’equazione di Fermi-Dirac, laquale associa la seguente probabilità d’occupazione dello stato elettronico:

f (E) =1

1 + eE−EF

KT

Graficando questa funzione per diverse temperature assolute T otteniamo la figura 1.14; il parametro EFè detto energia di Fermi e assume il significato di energia alla quale la probabilità di occupazione passa davalori pressoché unitari a valori prossimi allo 0. Di seguito faremo l’ipotesi che la banda di conduzioneinizi lontano da EF. Nel caso dei semiconduttori il livello di Fermi è posizionato all’interno del gapenergetico (ricordiamo ancora che per T = 0 K la banda di valenza è completamente occupata e la bandadi conduzione vuota).

Purtroppo la statistica di Fermi è difficile da maneggiare: per semplificare si utilizza quindi la distri-buzione di Boltzmann.

f (E) =

{P (E) ∼= 1 per EF − E > 3TK

P (E) ∼= 0 per E− EF > 3TK

Questa semplificazione ha senso in quanto, in condizioni non degenerative6, andiamo a sondare energiemolto lontane da quelle di Fermi e quindi siamo praticamente sicuri della presenza o dell’assenza di un

6E siamo sicuri del non verificarsi di tale eventualità in quanto la condizione necessaria per la validità della statistica di Boltzmann

13


Figura 1.14: Funzione di Fermi a diverse temperature T

elettrone. Volendo confrontare l’andamento delle curve di Boltzmann e Fermi-Dirac otteniamo la figura1.15.

Figura 1.15: Confronto fra le curve della statistica di Boltzmann e di Fermi-Dirac

Se siamo interessati alla concentrazione di elettroni in un certo intervallo energetico E + ∆E dobbiamocalcolare il numero di stati disponibili per la probabilità che essi siano occupati:

elettroni ⇒ n =EC+∆E∫

EC

gC (E)︸︷︷︸densità di stadi

probabilità d’occupaz.︷︸︸︷f (E) dE

lacune⇒ p =EV∫

EV−∆EV

gV (E)︸︷︷︸densità di stadi

probabilità d’occupaz.︷︸︸︷(1− f (E)) dE

Risolvendo gli integrali si ha:

n = NCe−EC−EF

KT

p = NVe−EF−EV

KT

(1.8)

(EV + 3KT ≤ EF ≤ EC − 3KT, dove EV è il livello energetico maggiore della banda di valenza e EC il bottom della banda diconduzione) individua esattamente il caso di semiconduttore non degenere.

14


Dunque possiamo esprimere n e p in funzione di:

• NC = concentrazione equivalente di elettroni sul fondo della banda di conduzione;

• NV = concentrazione equivalente di lacune al top della banda di valenza;

• EC = limite energetico inferiore della banda di conduzione;

• EV = limite energetico superiore della banda di valenza.

Sia NC che NV dipendono dalla struttura del cristallo, dalla temperatura e dalla massa efficace. Si notiche se EC = EF (le bande si toccano) risulterebbe n = NC, ma questo risultato sarebbe non accettabile inquanto è decaduta l’ipotesi di distanza grande fra EC ed EF indicata ad inizio paragrafo.

1.5.1 Livello di Fermi all’equilibrio

Si consideri una regione di semiconduttore a drogaggio non uniforme: in particolare, immaginiamoche vi siano due zone a concentrazione differente di drogante. Se facciamo l’ipotesi di equilibrio termo-dinamico, la posizione relativa del livello di Fermi rispetto ad EC e EV risulta dipendente dalla posizione(oltre che dal drogaggio e dal materiale). Il livello di Fermi risulta tuttavia costante nella struttura (dunqueil livello di Fermi rimane fisso e sono EC ed EV che si spostano): dati infatti due stati elettronici a medesi-ma energia adiacenti fra loro, ma situati in due zone differentemente drogate, le probabilità di transizionefra l’uno e l’altro sono fra loro uguali per l’ipotesi di equilibrio termodinamico (flusso netto di particelleattraverso una arbitraria superficie identicamente nullo, temperatura uniforme).

P1−2 = g1 (E) F (E) g2 (E) (1− F (E))P2−1 = g2 (E) F (E) g1 (E) (1− F (E))

Imponendo cheP1−2 = P2−1

i due livelli di Fermi vengono a coincidere.

1.6 Legge dell’azione di massa

Se prendiamo ora in considerazione le equazioni 1.8 e moltiplichiamo n per p otteniamo:

np = NC NVeEV−EC

KT−(EV−EC)=EG−−−−−−−−−→ NC NVe−

EGKT (1.9)

In un semiconduttore non degenere all’equilibrio termodinamico il prodotto pn non dipende dalla posi-zione del livello di Fermi (e neanche dal drogaggio), ma solo dalla struttura del cristallo, dalla temperaturae da come sono fatte le bande. Nel caso particolare di semiconduttore intrinseco n = p = ni; segue:

n = p =√

NC NVe−EG2KT

La legge dell’azione di massa ci dice una cosa sottile ma fondamentale: se abbiamo più elettroni a causadi un massiccio drogaggio, abbiamo anche diminuito le lacune, visto che - all’equilibrio - il prodotto fraelettroni e lacune è costante e funzione della temperatura (quindi, ad esempio, raddoppiando gli elettronidimezziamo le lacune).

1.7 Equazioni di Shockley

Mentre le equazioni della legge d’azione di massa hanno come parametri EC ed EV , le leggi di Shockley- che sono a tutti gli effetti un’emanazione delle relazioni esposte nel paragrafo 1.6 - si appoggiano su ni e

15


sul livello di Fermi intrinseco EFi (trattasi del livello di Fermi assunto in caso di semiconduttore intrinseco:in seguito vedremo come valutarlo). Riscrivendo le equazioni già viste abbiamo7:

n = NCe−EC−EF

KT

p = NVe−EF−EV

KT

EF=EFi⇒semic. intrinseco

nintr = pintr = ni = NCe−EC−EFi

KT = NVe−EFi−EV

KT (1.10)

Dunque possiamo dare un legame per n e p che metta a confronto tali parametri con quelli dei semi-conduttori intrinseci. Giocando un po’ con gli esponenti (sottraendo e aggiungendo EFi e comparando leespressioni del semiconduttore intrinseco con quelle del non intrinseco) si ottengono infatti le equazioni diShockley:

ni = NCe−EC−EFi

KT ⇒ nieEC−EFi

KT︸︷︷︸intrinseco

= NC = neEC−EF

KT︸︷︷︸non intrinseco

⇒ nieEC−EFi−EC+EF

KT = n

ni = NVe−EFi−EV

KT ⇒ nieEFi−EV

KT︸︷︷︸intrinseco

= NV = peEF−EV

KT︸︷︷︸non intrinseco

⇒ nieEFi−EV−EF+EV

KT = n

Ed eccoci quindi all’espressione finale:

n = nieEF−EFi

KT

p = nie−EF−EFi

KT

(1.11)

Dalle equazioni di Shockley scopriamo che il drogaggio ha spostato il livello di Fermi rispetto al caso disemiconduttore intrinseco. Per calcolare EFi si impone che n = p = ni nella 1.10 e si ottiene:

NCeEFi−EC

KT = NVe−EFi−EV

KT

NVNC

= e−EFi+EV−(EFi−EC)

KT

lnNCNV

=−2EFi + EV + EC

KT

EFi =EV + EC

2− KT

2ln

NCNV

Ne deduciamo che:

• se NV = NC il parametro EFi è esattamente la media aritmetica fra EC ed EF (sta ’a metà’ del gap);

• tanto più droghiamo con atomi accettori il nostro semiconduttore e minore sarà EFi (che si ’sposterà’quindi verso la banda di valenza);

• tanto più droghiamo con atomi donatori il nostro semiconduttore e maggiore sarà EFi (che si’sposterà’ quindi verso la banda di conduzione).

Si noti che lo spostamento del livello di Fermi non è molto accentuato in quanto il rapporto fra NC ed NVsta all’interno di un logaritmo. Quanto detto può essere riscontrato in figura 1.16.

1.7.1 Equazioni di Shockley in funzione del potenziale elettrostatico

Sapendo che, all’equilibrio,

n = nieEF−EFi

KT

p = nie−EF−EFi

KT

otteniamo, in virtù del fatto che qφ = E:

n = nieq(φ−φF)

KT

p = nie−q(φ−φF)

KT

dove φF è il valore (costante perché all’equilibrio) del potenziale corrispondente all’energia di Fermi.

7Risulta ancora valida l’ipotesi che la banda di conduzione inizi lontano da EF .

16


Figura 1.16: Spostamento del livello di Fermi dovuto al drogaggio

1.8 Piegamento delle bande

L’applicazione di un campo elettrico (e quindi di un potenziale) ha l’effetto di ’piegare’ le bande divalenza e di conduzione, come mostrato in figura 1.17.

Figura 1.17: Il fenomeno di piegamento delle bande

In particolare, un elettrone che decidesse di muoversi ad energia costante (percorrendo una traiettoria’orizzontale’) assumerebbe in questo tragitto una certa quantità di energia cinetica Ecin. In altri termini,per una generica particella avente carica −q (un elettrone) il potenziale elettrico φ è un parametro scalaretale per cui si ha

Epot = −qφ ⇒ φ = −1q(EC − Ere f )

dove Epot è l’energia potenziale della particella ed Ere f un livello energetico di riferimento che possiamoscegliere a nostro piacimento. Siccome siamo furbi, effettueremo tale scelta affinché si abbia, per ipotesi:

EC − Ere f , EFi

Si ha quindi:

φ = −1q

EFi

Essendo il campo elettrico il gradiente del potenziale avremo anche:

E = −∇φ =1q∇EFi

Il campo elettrico si manifesta quindi come gradiente dell’energia di Fermi (o, se vogliamo, con un cam-po elettrico agiamo su EFi, modificandola). Alla luce di quanto detto, la presenza di campo elettricocorrisponde in definitiva ad un piegamento delle bande.

17


1.9 La distribuzione volumetrica di carica e le altre grandezze

1.9.1 Legame con il potenziale

Consideriamo due delle celebri equazioni di Maxwell:{D = εE

∇D = ρ⇒ ∇D = ∇εE =

ε cost.ε∇E =

E=−∇φ−ε∇2φ = ρ⇒ ∇2φ = −ρ

ε

Quella che abbiamo ricavato è la celebre equazione di Poisson, la quale mette in relazione il potenziale φe la distribuzione volumetrica di carica ρ.

L’equazione di Poisson, abbinata alle equazioni di Shockley, costituisce sistema risolvibile in qualunquemodello tridimensionale dello spazio, previa conoscenza delle condizioni al contorno:

∇2φ = −ρ

ε= − q (p− n + ND − NA)

ε

n = nieq(φ−φF)

KT

p = nie−q(φ−φF)

KT

Tuttavia, tale modello smette di funzionare quando elettroni e lacune si muovono generando corrente. Perquesto è stato introdotto il modello drift-diffusion (paragrafo 1.12), che complica un po’ le cose ma è piùaderente alla realtà.

ESEMPIO:Consideriamo una barra di semiconduttore leggermente drogato8: punto per punto la quantità dicarica complessiva sarà nulla. Si avrà quindi esatto equilibrio fra ND, NA, n e p:

ρ = ND − NA + p− n

Se droghiamo la barra di cui sopra in maniera leggermente diseguale la regione non è più rigorosamenteneutra, bensì quasi-neutra. La differenza di carica che si viene a formare in questo caso genera uncampo elettrico che si oppone alla diffusione dei portatori; più precisamente: tutte le volte che èpresente un gradiente di concentrazione di drogante9 scaturisce un campo elettrico che si oppone,all’equilibrio, allo spostamento delle cariche.

Prendiamo ad esempio una porzione di semiconduttore lunga 1 m caratterizzata da un drogaggioND1 ≈ 1016 ad un estremo e ND2 ≈ 1018 ad un altro. Facciamo inoltre l’ipotesi di trovarci in unasituazione di equilibrio. Possiamo allora scrivere:

|E| = −KTq

1ND1

dNDdx≈ 2, 5 · 103 V/cm2

Tale campo è quello che si è formato per impedire che la diffusione distrugga l’equilibrio che vi è peripotesi. Consideriamo ora un campo che varia tra 0 e 104 V/cm in 0, 5 µm (che è all’incirca quellodel nostro caso). Dall’equazione di Poisson abbiamo

ρ

ε=

dEdx

= 2 · 108 V/cm2

Siccome in questo caso ρ = −n + ND, abbiamo:

−n + ND ≈ 1015 � ND1

Pertanto abbiamo all’incircan ≈ ND

ovvero la quantità di elettroni è abbastanza vicina alla quantità di drogante e la zona può essereconsiderata quasi-neutra.

8La situazione opposta a questa è quella di una regione completamente svuotata, ovvero in cui non vi sono elettroni e lacune se nonquelli del solo drogaggio.

9Se questo gradiente è poco consistente allora si parla di regione quasi-neutra.

18


ESEMPIO:Facciamo ora l’esempio opposto: prendiamo il campo elettrico di prima, ma questa volta abbattiamodi un fattore 100 il suo raggio d’azione (da 0 a 104 non più in 0,5 micrometri ma in 5 nanometri).Questa volta si ha:

ρ

ε= 2 · 1010 V/cm2

Questa volta la nostra ρ = −n + ND è circa 1017 e dunque

−n + ND ≈ ND

da cuin� ND

In pratica la regione tende a svuotarsi di portatori. Questo esempio e il precedente intendono quindimostrare che, in base all’entità del campo elettrico, abbiamo tutte le possibili gradazioni che vannoda zona quasi neutra a zona completamente svuotata.

1.9.2 Legame con la densità di corrente

Consideriamo l’equazione di continuità della carica:

∂ρ

∂t= −∇ · J

Applicando l’operatore integrale:∫∫∫V

∂ρ

∂tdV =

∂

∂t

∫∫∫V

ρdV

︸︷︷︸QV

=∂

∂tQV = −

∫∫∫V

∇ · JdV =Gauss

−∫∫S

J · n dS

Dunque la variazione temporale della quantità di carica corrisponde al flusso del vettore J (densità dicorrente) attraverso la superficie S.

1.10 Portatori di carica nel semiconduttore

1.10.1 Neutralità della carica

Ovviamente, punto per punto e all’interno del cristallo, dobbiamo soddisfare la neutralità della carica:

p− n + N+D − N−A = 0

Nella precedente formula:

• p è il numero di lacune;

• n è il numero di elettroni;

• N+D è il numero di atomi donatori ionizzati positivamente (NB: questo parametro è in generale 6= ND!

Solo a temperatura ambiente possiamo scrivere ND ≈ N+D );

• N−A è in numero di atomi accettori ionizzati negativamente (NB: questo parametro è in generale6= NA! Solo a temperatura ambiente possiamo scrivere NA ≈ N−A ).

Se ND � NA alloran ≈ ND − NA

p =n2

in

=n2

iND − NA

e siamo in condizioni di ’doping netto’ (le cariche presenti sono tutte imputate al drogaggio).

19


Figura 1.18: Andamento di n/ND in funzione della temperatura assoluta T

1.10.2 Variazione dei portatori di carica in funzione della temperatura

La concentrazione dei portatori di carica varia in base alla temperatura come indicato in figura 1.18.Possiamo considerare la ionizzazione degli atomi droganti completa per valori di T di ampiezza limita-ta, cioè in un range avente come limite inferiore il cosiddetto freeze-out (punto al di sotto del quale gliatomi droganti non riescono a ionizzarsi e vincolano gli elettroni intorno a sé, cosicché si hanno quindipochi portatori di carica) e come limite superiore il punto dal quale possiamo considerare ni(T) > ND(comportamento di semiconduttore intrinseco: elettroni e lacune liberati a causa della temperatura sonotalmente tanti che ’nascondono’ il drogante). Identico discorso può essere fatto tenendo in considerazioneil parametro NA.

La trattazione svolta fino ad ora si riferisce tuttavia alla condizione di equilibrio termodinamico in cuisi ha:

• assenza di scambi di energia e materia fra semiconduttore e ambiente esterno;

• corrente elettrica nulla (assenza di uno spostamento collettivo di portatori di carica lungo unadirezione preferenziale).

Anche in condizioni di equilibrio i portatori di carica non sono immobili ma si muovono in manieracasuale interagendo con il reticolo (i cui nuclei oscillano nell’intorno della posizione di equilibrio): talimovimenti casuali danno luogo ad una corrente complessiva nulla. Il comportamento di un genericoelettrone nel cristallo può essere descritto mediante le leggi della meccanica statistica10, quindi possiamofare finta che gli elettroni nel cristallo si muovano come le particelle di un gas perfetto e scrivere chel’energia media è pari a

E =32

KT

Non sempre però l’equilibrio viene mantenuto: alcuni fenomeni come la presenza di un campo elettrico,che porta a una risultante 6= 0 per la velocità complessiva della massa di elettroni11, o la temporaneavariazione della concentrazione possono alterare la situazione nel cristallo. Facendo incidere un’ondaelettromagnetica sul reticolo - ad esempio - andiamo a conferire più energia ai portatori di carica permet-tendo ad alcuni di loro di essere promossi (un elettrone finisce in banda di conduzione e una lacuna inbanda di valenza). Viceversa, l’emissione di un’onda elettromagnetica (fotoni) avviene in seguito ad unade-promozione dei nostri portatori di carica. Questi fenomeni, all’interno del cristallo, vengono semprecompensati in qualche modo: tuttavia, anche se momentaneamente, essi sono in grado di portare fuoriequilibrio il sistema.

1.11 Polarizzazione dei portatori

Per descrivere la popolazione di portatori in funzione dello stato del sistema si utilizzano descrizioniglobali e un po’ approssimate. In particolare, la funzione di distribuzione delle cariche diviene funzione della

10Diversamente non potremmo fare, anzitutto perché ce lo impedisce il principio di indeterminazione di Heisenberg, e poi poiperché risulterebbe un po’ difficile trattare matematicamente 1023 particelle distinte!

11I quali tuttavia, presi singolarmente, si muovono ancora in maniera casuale.

20


coordinata spaziale r e del tempo t, oltre che della quantità di moto p. In particolare, la quantità

F(r, p, t)drdp

rappresenta la probabilità che un elettrone abbia posizione compresa fra r e r + dr e quantità di moto fra pe p + dp: tale area 6-dimensionale (tre dimensioni per la quantità di moto e tre per la coordinata spaziale)viene chiamata spazio delle fasi (vedi figura 1.19, in cui per ovvie ragioni si è scelto di disegnare un’unicadimensione per r e p).

Figura 1.19: Spazio delle fasi

Grazie all’equazione di Boltzmann

∂F∂t

= −∇r

(drdt

F)−∇p

(dpdt

F)

+(

∂F∂t

)C

i cui termini sono

• ∂F∂t : variazione della funzione di distribuzione dei portatori di carica nello spazio delle fasi,

• ∇r

(drdt F)

: flusso degli elettroni attraverso le coordinate spaziali dello spazio delle fasi,

• ∇p

(dpdt F

): flusso degli elettroni in termini di quantità di moto attraverso lo spazio delle fasi,

•(

∂F∂t

)C

: termine che tiene conto delle collisioni con gli atomi del cristallo (scattering),

possiamo studiare l’evoluzione, nel tempo, della funzione di distribuzione delle cariche nel semicondut-tore. Tale descrizione è valida solo ad alcune condizioni:

• validità del modello a bande;

• lenta variazione del campo elettrico sulla scala delle dimensioni del pacchetto d’onde che descrivele particelle in moto;

• approccio statistico, valido in presenza di molte particelle;

• trattazione semi-classica (uso della legge di Newton abbinata ad elementi quantistici nel calcolo);

• per descrivere in modo semplice il termine di collisione si considerano solo collisioni binarie, indi-pendenti da F, e che avvengono in tempo nullo.

L’equazione di Boltzmann ha inoltre tutti i connotati di una legge di bilancio e - guarda caso - non èrisolvibile in forma chiusa. Per sbrogliarla si utilizzano due principali metodi: il metodo di Montecarlo(paragrafo 1.11.1) e il metodo dei momenti (paragrafo 1.11.2).

21


1.11.1 Metodo di Montecarlo

L’algoritmo Monte Carlo è un metodo numerico che viene utilizzato per trovare le soluzioni di proble-mi matematici, che possono avere molte variabili e che non possono essere risolti facilmente, per esempioil calcolo integrale. L’efficienza di questo metodo aumenta rispetto agli altri metodi quando la dimensionedel problema cresce. Le sue origini risalgono alla metà degli anni 40 all’interno del Progetto Manhattan.I formalizzatori del metodo sono John von Neumann e Stanislaw Marcin Ulam, il nome Monte Carlo fuassegnato in seguito da Nicholas Constantine Metropolis in riferimento al celebre casinò.

La simulazione Monte Carlo calcola una serie di realizzazioni possibili del fenomeno in esame, conil peso proprio della probabilità di tale evenienza, cercando di esplorare in modo denso tutto lo spaziodei parametri del fenomeno. Una volta calcolato questo campione rappresentativo, la simulazione eseguedelle ’misure’ delle grandezze di interesse su tale campione. La simulazione Monte Carlo è ben eseguitase il valore medio di queste misure sulle realizzazioni del sistema converge al valore vero. Da un altropunto di vista le simulazioni Monte Carlo non sono altro che una tecnica numerica per calcolare integrali.

1.11.2 Metodo dei momenti

Trattasi del più noto metodo d’approssimazione-risoluzione: esso si basa sulla riduzione del numerodelle dimensioni del dominio della funzione incognita, ottenuta sostituendo all’equazione di Boltzmann(in F) una serie di equazioni nei momenti di F rispetto a p. Quel che si fa, in pratica, è di integrarerispetto a p la nostra F per ricavare i momenti dei vari gradi, i quali hanno un ben preciso significatofisico, sacrificando in cambio l’informazione sulla quantità di moto.

momento ordine 0⇒ n (r, t) =∫p

Fdp⇒ legge di bilancio della carica

momento ordine 1⇒ p =∫p

pFdp⇒ legge di bilancio della quantità di moto

momento ordine 2⇒ w =∫p

p2

2mFdp⇒ legge di bilancio dell’energia

1.12 Modello drift-diffusion

Esempio di applicazione del metodo dei momenti è la formulazione modello drift-diffusion. Se con-sideriamo infatti il momento di ordine 1 (ottenuto dall’equazione di Boltzmann integrata in p) ottenia-mo un’equazione in J che, opportunamente semplificata (in particolare è fondamentale l’assunzione chela temperatura elettronica coincida con quella del cristallo), si riduce alla formulazione di corrente nelmodello drift-diffusion:

J = f (termine di deriva, termine di diffusione) = Jn + Jp == −qµnn∇φ + qDn∇n︸︷︷︸

Jn

−qµp p∇φ− qDp∇p︸︷︷︸Jp

(1.12)

Nell’equazione soprastante vale q = +q se le cariche che consideriamo sono lacune e q = −q se ci riferiamoagli elettroni. Questa espressione mette in luce che due sono le condizioni in grado di portare la situazioneall’interno del cristallo semiconduttore fuori dall’equilibrio12 (e generare una corrente):

12Si metta l’accento sul fatto che non esistono davvero due correnti ben distinte: l’azione che associamo alla prima corrente è difatto indistinguibile e contemporanea rispetto a quella che fa capo all’altra. Il modello drift-diffusion è quindi ’poco fisico’ perchéannebbia la realtà delle cose (però funziona, quindi ce lo teniamo! Siamo proprio degli ingegneri. . . ).

22


• disuniformità spaziale delle concentrazioni dei portatori cui consegue l’insorgere di correnti elet-triche (fenomeni di trasporto o diffusione13: gli elettroni tendono a riequilibrare le differenti concen-trazioni di carica spostandosi all’interno del reticolo cristallino)14;

• presenza di campo elettrico impresso dovuto ad azioni esterne: in sua presenza, gli elettroni diconduzione e lacune sono soggetti alla forza coulombiana che determina un orientamento prevalentedel vettore velocità nella direzione del campo elettrico (verso concorde o meno a seconda dellapolarità).

Si noti, in particolare, che la diffusione - in entrambi i casi - va contro i gradienti delle concentrazioni dicarica ∆n e ∆p (effettuare le sostituzioni q = +q per le lacune e q = −q per gli elettroni e verificare chepermane un segno − in entrambi i casi). Per quanto riguarda l’aver impresso un campo elettrico (cioè avervariato l’andamento del potenziale), gli elettroni vanno sempre verso i valori ’alti’ e le lacune in direzionedi quelli ’bassi’ (vedi figura 1.20).

Figura 1.20: Potenziale e spostamento delle cariche

Il modello drift-diffusion necessita di un’adeguata calibrazione dei suoi parametri caratteristici, tra cuitroviamo la mobilità (vedi paragrafo 1.12.1) e la resistività (vedi paragrafo 1.12.2); è bene che questiparametri siano tuttavia pochi, in quanto validarne continuamente un gran numero durante una simula-zione complica di molto il problema rappresenta un costo dal punto di vista computazionale. Fortuna-tamente, tuttavia, mobilità e coefficiente di diffusione D sono parenti dunque il modello drift-diffusion èadeguatamente predittivo.

1.12.1 Mobilità

Consideriamo ora il termine Jn: esso è, per definizione

Jn = ρ 〈v〉

dove 〈v〉 è la velocità media di deriva dei portatori, che chiameremo vnDrift. Tale parametro è legato ad E,campo elettrico, dal parametro mobilità secondo la seguente relazione:

vnDrift = µnE

Dunque:Jn = qnµnE

Si noti che, all’aumentare del campo elettrico, la mobilità dei portatori non cresce in maniera lineare.Esaminando la figura 1.21, in cui è riportato l’andamento della mobilità in funzione del campo elettrico,ci accorgiamo infatti che, ad un certo punto, la velocità satura perché a causa dei troppi urti il reticolo

13Fenomeni di trasporto di carica si verificano anche in assenza di campo elettrico a causa di gradienti di concentrazione: a causadi questi ultimi infatti, si verifica uno spostamento netto di elettroni che tende ad annullare il gradiente che lo ha originato. Inassenza di altre forze, invece, il movimento di portatori è dovuto alla sola agitazione termica; ogni singolo portatore si muove inmodo casuale (distribuzione angolare uniforme del vettore velocità).

14Se la distanza percorsa dalle particelle tra due successivi eventi di scattering (urti con il reticolo) è grande rispetto alle dimensionidel pacchetto d’onde che rappresenta la particella, e piccola rispetto alle dimensioni del dispositivo, è lecito e conveniente adottareun approccio semi-classico al problema del trasporto.

23


cristallino impedisce agli elettroni molto energetici di andare velocissimi come vorrebbero15. Possiamoinfatti considerare il moto della drift-diffusion come un moto viscoso e dunque proporzionale alla forzache sospinge le cariche (che a sua volta dipende dal campo elettrico): al crescere di questa forza, tuttavia,crescono anche gli attriti e ciò rende il rapporto fra la velocità e la forza/il campo non più lineare. Dalla

Figura 1.21: Andamento della mobilità in funzione del campo elettrico

figura emerge anche che la velocità degli elettroni è superiore a quella delle lacune a parità di campoelettrico. Nell’immagine 1.22 scopriamo invece che, nell’ipotesi di completa ionizzazione, la mobilità calaall’aumentare della densità di drogante in quanto - in tal caso - vi sono più elettroni a collidere e piùatomi contro cui andare a collidere. La mobilità dipende inoltre dalla temperatura, in quanto l’aumento

Figura 1.22: Andamento della mobilità in funzione del drogaggio

dell’agitazione termica promuove molti elettroni in banda di conduzione e favorisce un maggior numerodi collisioni.

La mobilità elettronica dipende quindi dal materiale semiconduttore, dal tipo di portatore, dalladensità di drogante e dalla temperatura (in definitiva dipenda da quasi tutto!).

15L’interazione reticolare (scattering fotonico) provoca scambio di quantità di moto ed energia fra portatori e reticolo. Alle vibra-zioni reticolari è possibile attribuire natura corpuscolare facendole coincidere con fotoni dotati di massa nulla, nonché una certaenergia e quantità di moto. Le impurità neutre o ionizzate ionizzate (atomi droganti) perturbano il potenziale elettrostatico delreticolo ideale, producendo scambio di energia trascurabile ma variazione apprezzabile della quantità di moto. Ad ognuno deimeccanismi di scattering è associabile un libero cammino medio e, quindi un valore di mobilità. La mobilità complessiva è unaparticolare combinazione di tutte questi valori.

24


1.12.2 Resistività

Altro parametro importante è la resistività ρ:

ρ =1

q(

pµp + nµn)

drogaggio prevalente N: n ≈ ND, p ≈n2

iND⇒ ρ ≈ 1

qNDµn

drogaggio prevalente P: p ≈ NA, n ≈n2

iNA⇒ ρ ≈ 1

qNAµp

Essa varia (diminuisce) all’aumentare del drogaggio (vedi figura 1.23); inoltre, elettroni e lacune hannodifferenti valori di ρ.

Figura 1.23: Resistività in funzione del drogaggio

1.13 Diffusione

Come già abbiamo detto, fenomeni di trasporto di carica si verificano anche in assenza di campoelettrico a causa di gradienti di concentrazione. In presenza di un gradiente di concentrazione si verificaquindi uno spostamento netto di elettroni che tende ad annullarlo.

Consideriamo un contenitore pieno di molecole di un gas che supporremo perfetto: tali molecole,pur mantenendo singolarmente un moto casuale, tenderanno ad uniformare a densità su tutto il volume.Consideriamo la figura 1.24: fissata nel nostro contenitore una superficie di riferimento e un vettore uperpendicolare ad essa, si ha un flusso pari a

φ = −D∇η · u (1.13)

dove D è il coefficiente di diffusione e ∇η il gradiente della concentrazione. Il segno meno ci suggerisceanche la diffusione va sempre contro il gradiente della concentrazione.

25


Figura 1.24: Apparato per illustrare il principio della diffusione

1.14 Relazioni di Einstein

In condizioni di equilibrio termodinamico si ha:

Jn = Jp = 0

Questo non comporta tuttavia l’annullamento delle singole componenti di deriva e diffusione, ma solo illoro bilanciamento: se prendiamo ad esempio la formula 1.12 e consideriamo il solo termine Jn, ponendolouguale a zero, otteniamo:

Jn = −qµnn∇φ + qDn∇n = 0

qµnn∇φ = qDn∇n

Per semplicità consideriamo una sola coordinata spaziale:

qµnndφ

dx= qDn

dndx

µnndφ = Dndnµn

Dndφ =

dnn

Così facendo abbiamo applicato il metodo della separazione delle variabili, cosicché possiamo applicarel’operatore integrale ad ambedue le parti e risolvere:

ln(

nn0

)=

µn

Dn(φ− φ0)

Applicando ora le equazioni di Shockley nella versione col potenziale (paragrafo 1.7.1) e in particolare larelazione

n = nieq(φ−φF)

KT

otteniamo, fatta l’ipotesi di equilibrio termodinamico (φF = Costante):

n = nieq(φ−φF)

KT ⇒ nni

= eq(φ−φF)

KT ⇒ lnnni

=q (φ− φF)

KT

ln(

nn0

)=

q (φ− φ0)KT

=µn

Dn(φ− φ0)

qKT

=µn

Dn⇒ KT

q=

Dn

µn

Analogamente, per le lacune:KTq

=Dp

µp

Le due relazioni precedenti sono chiamate relazioni di Einstein e, per quanto valide a rigore solo in casodi equilibrio, sono utilizzate anche in caso di piccoli scostamenti dall’equilibrio termodinamico.

26


1.15 Generazione e ricombinazione

Generazione e ricombinazione sono processi fisici che portano rispettivamente alla creazione di coppieelettrone-lacuna o alla loro eliminazione. Le generazioni (ricombinazioni) tendono a ristabilire la condi-zione di equilibrio prendendo il sopravvento su condizioni di fuori equilibrio in cui la concentrazionedei portatori risulta inferiore (superiore) a quella di equilibrio; tali processi comportano uno scambio dienergia fra i portatori coinvolti e il reticolo o l’ambiente esterno. Se G è il numero di generazioni e R ilnumero di ricombinazioni, all’equilibrio si ha G = R; altrimenti valgono le seguenti relazioni:

∂n∂t

=1q∇Jn + G− R

∂p∂t

= −1q∇Jp + G− R

Nelle figure di seguito possiamo vedere graficamente come avvengono tali processi:

• generazione (figura 1.25): un’onda elettromagnetica (fotone, energia hν) fornisce abbastanza energiaad un elettrone per saltare in banda di conduzione; al suo posto rimane una lacuna. Sia elettroneche lacuna saranno entrambi utili alla conduzione: questo tipo di generazione, tuttavia, è moltoimprobabile in quanto bisogna che l’energia fornita all’elettrone sia relativamente elevata, soprattuttoin caso di materiale con ben-gap indiretto;

• ricombinazione (figura 1.26): un elettrone in banda di conduzione decade in banda di valenza,andandosi a ricombinare con una lacuna e formando un legame covalente. Nel processo vieneemessa energia sotto forma di onda elettromagnetica (ancora fotoni);

• generazione e ricombinazione nel caso di semiconduttore drogato (figura 1.27): sono fenomenipiù probabili rispetto a quelli visti nei due punti precedenti in virtù del fatto che abbiamo livelliintermedi possibili a cui far saltare i portatori di carica. In questo caso, nella generazione, unelettrone che saltasse nella banda ’intermedia’ non sarebbe ancora conduttivo (e avrebbe bisogno dialtra energia per arrivare finalmente in banda di conduzione) mentre, nella ricombinazione, l’ondaelettromagnetica emessa nel decadimento non è più nella frequenza del visibile e viene riscontratain calore;

• generazione e ricombinazione nei livelli energetici intermedi (figura 1.28): la ricombinazioneavviene ai livelli energetici ’intermedi’. Trattasi di un modo analogo al precedente di vedere lasituazione;

• ricombinazione Auger16 (figura 1.29): l’energia emessa nella ricombinazione fra un elettrone ed unalacuna viene ceduta ad un elettrone libero;

• generazione da impatto (figura 1.30): un elettrone molto energetico, sospinto da un campo elettri-co, acquisisce una quantità relativamente alta di energia cinetica fino a quando non urta contro ilreticolo cristallino, perdendola interamente. Quest’energia viene però donata ad un altro elettroneche viene promosso suscitando un vero e proprio fenomeno di generazione. Al termine del processoabbiamo quindi tre cariche (2 elettroni, quello promosso e quello decaduto, e una lacuna dovuta allagenerazione) in luogo di una; questo fenomeno ha quindi intrinsecamente un carattere ’pericoloso’soprattutto quando si manifesta come corrente inversa all’interno del diodo: i continui scontri libe-rano infatti cariche che vanno a loro volta a impattare, generando un effetto a valanga (avalanche)che porta la corrente verso +∞ e comporta la rottura della nostra giunzione.

16Pron. ojé, alla francese.

27


Figura 1.25: Generazione

Figura 1.26: Ricombinazione

Figura 1.27: Generazione e ricombinazione nel caso di semiconduttore drogato

Figura 1.28: Generazione e ricombinazione nei livelli energetici intermedi

28


Figura 1.29: Ricombinazione Auger

Figura 1.30: Generazione da impatto

29


30

Capitolo 2

Giunzione PN

Figura 2.1: Con-giunzione di due semiconduttori diversamente drogati

Quando congiungiamo un semiconduttore di tipo p e uno di tipo n creiamo una giunzione: all’equilibrioessa sarà caratterizzata da una regione svuotata (ovvero un’area praticamente senza portatori1, con n �ND o p � NA) e due regioni quasi-neutre agli estremi (in cui si ha circa n− p + NA − ND = 0, ovveroρ = 0). All’istante t = 0+, cioè appena formata la giunzione, ci aspettiamo moti di diffusione (vedi figura2.2): la parte n, traboccante di elettroni, porterà cariche negative verso la parte p la quale, invece, riverseràlacune in direzione della zona drogata con atomi donatori. Questi moti di diffusione portano via caricaall’interfaccia cosicché rimangono scoperte delle cariche fisse, cioè gli atomi ionizzati; tali atomi creanoun campo elettrico in grado di generare una corrente di deriva in grado di opporsi al moto di diffusione,cosicché, all’equilibrio, la diffusione e la deriva si bilanciano e la risultante della corrente è nulla.

Facendo l’ipotesi di non risentire della giunzione a −∞ e +∞, il potenziale elettrostatico varia lungodi essa mentre il livello di Fermi EF è costante lungo tutta la struttura: infatti sappiamo che la probabilitàche un elettrone salti dalla zona p alla zona n è

P1,2 = f1 (E) g1 (E) g2 (E) (1− f2 (E))

dove f1(E) è la probabilità di occupazione dello stato elettronico E nella regione 1, g1(E) è il numero distati elettronici nella regione 1 (g2(E) l’analogo termine nella regione 2), (1− f2(E)) è la probabilità distati disponibili nella regione 2. La probabilità duale (salto dalla zona n alla zona p) è invece

P2,1 = f2 (E) g2 (E) g1 (E) (1− f1 (E))

1Quest’area, ricordiamo, si è formata in quanto gli elettroni degli ND atomi donatori hanno attraversato la giunzione andando araggiungere la zona inizialmente drogata p e, allo stesso modo, gli NA atomi accettori hanno ceduto delle lacune all’altra parte dellagiunzione. Si viene quindi a formare un gradiente di potenziale, che risulta crescente dalla parte p alla parte n. Questo gradiente dipotenziale è causa di un campo elettrico che impedisce la diffusione delle cariche, ovvero un rimescolamento omogeneo di elettronie lacune.

31

32 CAPITOLO 2. GIUNZIONE PN

Figura 2.2: Moti di diffusione

All’equilibrio termodinamico la corrente dev’essere nulla quindi si ha:

f1 (E) g1 (E) g2 (E) (1− f2 (E)) = f2 (E) g2 (E) g1 (E) (1− f1 (E))f1 (E) (1− f2 (E)) = f2 (E) (1− f1 (E))

f1 (E)− f1 (E) f2 (E) = f2 (E)− f1 (E) f2 (E)f1 (E) = f2 (E)

Siccome le probabilità f sono legate al livello di Fermi, quest’ultimo non varierà lungo la giunzione.Scegliendo quindi EF come potenziale di riferimento, si ha:

• ni = n = p (semiconduttore intrinseco) quando EFi = EF;

• il potenziale nella zona neutra p può essere ricavato tramite la seguente equazione di Shockley(valida all’equilibrio)

NA = p = nie−qφKT

• similmente, il potenziale nella zona neutra n si ricava facendo l’inversa di:

ND = n = nieqφKT

Calcolando il delta fra le tensioni delle due zone neutre (che equivale a trovare il delta φ(∞)− φ(−∞),una volta scelto di porre la zona p a sinistra e la n a destra2) si può ricavare la cosiddetta altezza di barriera3:

NA = nie−qϕKT ⇒ ln NA = ln nie−

qϕKT ⇒ ln

NAni

= − qϕ (−∞)KT

ND = nieqϕKT ⇒ ln ND = ln nie

qϕKT ⇒ ln

NDni

=qϕ (∞)

KT

lnNDni

+ lnNAni

= − qϕ (−∞)KT

+qϕ (∞)

KTKTq

lnND NA

n2i

= Vth lnND NA

n2i

= ψB (altezza di barriera)

Facciamo l’ipotesi che la giunzione sia brusca, ovvero che il profilo del drogante cali istantaneamenteda NA a ND: ovviamente questa è una condizione ideale e, in quanto tale, assolutamente irrealizzabilenonché assolutamente desiderabile (la giunzione occuperebbe così pochissimo spazio). Adottiamo inoltrel’approssimazione di completo svuotamento (che si rivela accurata tranne che in forte polarizzazione

2Non si faccia confusione fra i grafici in cui si mostra il potenziale e quelli in cui si mostrano le energie, cioè le bande: si ha infattiuna differenza di segno fra i due (dovuta al fatto che E = −qφ). Il potenziale maggiore si ha infatti a +∞, allo stesso modo in cuil’energia, ivi, è minore.

3L’altezza di barriera ha un limite: non può essere più grande del gap.

32

CAPITOLO 2. GIUNZIONE PN 33

Figura 2.3: Schema dell’andamento del potenziale nella giunzione e altezza di barriera

diretta). In tal caso, allora, abbiamo solo 3 possibili valori per la carica4 in 4 aree spaziali: fissando lacoordinata x = 0 nel punto esatto della giunzione si ha

• per x < −xp la regione è quasi neutra dunque ρ = 0;

• per −xp < x < 0 abbiamo ρ = −qNA;

• per 0 < x < xn abbiamo ρ = qND;

• per x > xn la regione è quasi neutra dunque ρ = 0.

Ovviamente, visto che complessivamente il sistema deve risultare neutro, le quantità di carica da unaparte e dall’altra della giunzione devono essere uguali e quindi deve sussistere:

qNAxp = qNDxn (2.1)

Le aree dell’immagine (a) in figura 2.4, rappresentanti la quantità di carica, sono quindi identiche. Si notiinvece che | − xp| 6= |xn|: le due regioni sono asimmetriche rispetto all’origine e le loro coordinate limitedipendono dalla tensione e dal rapporto fra i due drogaggi. Dall’equazione 2.1, infatti, possiamo ottenerefacilmente5:

NAxn

=NDxp

Siccome NA 6= ND allora sarà vero che | − xp| 6= |xn|; la zona svuotata e la quantità di doping, inparticolare, sono inversamente proporzionali6.

4Possiamo ricavarli utilizzando l’equazione di Poisson:

carica =

−d2φ

dx2 =qND

εper 0 6 x 6 xn

−d2φ

dx2 = − qNA

εper - xp 6 x 6 0

5Potevamo arrivare allo stesso risultato integrando l’equazione di Poisson e ricavando l’espressione del campo elettrico in x = 0sia in funzione di ND e xn che in funzione di NA e xp:

E (x) = − qND

ε(xn − x)

E (x) = − qNA

ε

(x + xp

)In x = 0 si ha:

E (0) = − qND

εxn = − qNA

εxp

ND

NA=

xp

xn

6Da qui una delle leggi fondamentali dello scaling dei dispositivi: se vogliamo diminuire la zona svuotata e l’unico modo è quellodi aumentare il doping

33


Figura 2.4: Grafici di carica, campo elettrico e potenziale a ridosso della giunzione

Facendo l’integrale della quantità di carica otteniamo l’andamento del campo elettrico7 (immagine(b) della figura 2.4): tale campo raggiunge un valore minimo (cioè massimo in modulo) proprio allacoordinata corrispondente giunzione metallurgica8(che è x = 0 in quanto la giunzione è brusca).

Integrando nuovamente, e tenendo conto del fatto che quando si passa da potenziale a campo è neces-sario invertire i segni, otteniamo l’immagine (c) della figura 2.4, la quale rappresenta l’andamento di φ: inx = 0 cambia la derivata di E, quindi si ha un flesso. Il risultato dell’integrazione è9:

in [0, xn]⇒∫

E (x) dx =∫− qND

ε(xn − x) dx = φ (xn)− qND

2ε(xn − x)2 =

KTq

lnNDni− qND

2ε(xn − x)2

in[−xp, 0

]⇒∫

E (x) dx =∫− qNA

ε

(x + xp

)dx = φ

(−xp

)+

qNA2ε

(x + xp

)2 = −KTq

lnNAni

+qNA

2ε

(x + xp

)2

Si badi che il potenziale nel punto x = 0 (ove si ha il flesso) non è in generale uguale a ψB2 , ma si avvicinerà

al potenziale della parte avente regione vuotata più stretta in quanto φ non avrà avuto molto tempo persalire (o scendere). Provando a calcolarla:

φ (0) = −KTq

lnNAni

+qNA

2ε

(0 + xp

)2

︸︷︷︸da sinistra

=KTq

lnNDni− qND

2ε(xn − 0)2︸︷︷︸

da destra

7Il vettore spostamento elettrico D = εE è continuo a meno che non si abbia un doppio strato di carica: non è però questo il casodella giunzione PN, ove D non presenta discontinuità. Considerando che ε per noi è costante (siamo sempre nel silicio), allora ancheE sarà continuo.

8La giunzione metallurgica è quella in cui cambia il doping: in questo caso tale punto è anche quello in cui il campo elettrico èmassimo perché non solo il drogaggio, ma anche la densità volumetrica di carica ρ cambia segno (giunzione elettrica). Se la ρ tenesseconto dei portatori mobili questo non sarebbe ovvio e quasi sicuramente la giunzione elettrica e metallurgica non coinciderebbero.

9Ricordiamo che:φ (+∞) ∼= φ (xn) =

KTq

lnND

ni

φ (−∞) ∼= φ(−xp

)= −KT

qln

NA

ni

34


Siccome in x = 0 abbiamo il campo elettrico massimo

Emax = −qNAxp

ε= −q

NDxn

ε(2.2)

possiamo scrivere:

φ (0) =

visto dalla parte p︷︸︸︷−KT

qln

NAni︸︷︷︸

il potenziale parte basso...

+ |Emax|xp

2︸︷︷︸...poi cresce

=

visto dalla parte n︷︸︸︷KTq

lnNDni︸︷︷︸

il potenziale parte alto...

− |Emax|xn

2︸︷︷︸...poi cala

Chiaro è che se xp è piccolo (ed xn dunque è grande), il potenziale non avrà avuto molto tempo di salireprima della giunzione elettrica. Calcoliamo ora la somma di xn e xp

w , xn + xp

sfruttando due relazioni a noi note:

1. φ (0) = φn −qND

2εx2

n = φp +qNA

2εx2

p

2. NAxp = NDxn ⇒ xn =NAND

xp

Elaborando la seconda e sostituendovi la prima otteniamo, nei vari passaggi:

w = xn + xp =NAND

xp + xp = xp

(NA + ND

ND

)⇒ xp = w

(ND

NA + ND

)analogamente: xn = w

(NA

NA + ND

)sfruttando la prima equazione: φB = φn − φp =

qND2ε

w2(

NANA + ND

)2+

qNA2ε

w2(

NDNA + ND

)2

2ε

qφB = NDw2

(NA

NA + ND

)2+ NAw2

(ND

NA + ND

)2

2ε

qφB = w2 ND NA

NA + ND

(NA

NA + ND+

NDNA + ND

)= w2 ND NA

NA + ND

Sfruttando l’ultima relazione trovata possiamo ottenere w in funzione di xn ed xp oppure, ricordando larelazione 2.2, l’energia massima Emax (cioè il valore massimo del campo elettrico, quello che nel caso digiunzione brusca sussiste esattamente nel punto metallurgico):

w2 =2ε

qφB

NA + NDND NA

⇒ w =

√2ε

qφB

(1

NA+

1ND

)

|Emax| =NAxpq

ε= w

qε

ND NANA + ND

=qε

ND NANA + ND

√2ε

qφB

(1

NA+

1ND

)ESEMPIO:Consideriamo il seguente drogaggio:

NA = 1015 cm−1 ND = 1018 cm−1

In questo caso, effettuando i calcoli e usando il livello di Fermi come riferimento, otteniamo

φB = 0, 755 V che si dividono in

{φp = −0, 288 V all’inizio della zona svuotata nella parte p

φn = 0, 467 V all’inizio della zona svuotata nella parte n

w = 0, 9938 µm che si dividono fra

{xp = 0, 9928 µm

xn = 0, 001 µm

φ (0) = 0, 462 V (dunque solo 0, 467− 0, 462 = 0, 005 V cadono nella parte n)

Emax = 1, 5 · 104 V/cm

35


2.1 Pseudo-livelli di Fermi

Abbiamo ora bisogno di una versione un po’ più sofisticata delle equazioni della corrente: in questeultime compaiono gli pseudo-livelli di Fermi, utili a scrivere l’intera corrente come corrente di deriva (drift).Ricordando il modello drift-diffusion si ha

Jn = −qnµn∇φ + qDn∇n = −qnµn

(∇φ− Dn∇n

nµn

)Se ora sfruttiamo la relazione di Einstein

Dn

µn=

KTq

e dividiamo sopra e sotto per ni otteniamo:

Jn = −qnµn

(∇φ− KT

q

∇nninni

)

Riflettendo ora sul fatto che∇xx

= ∇ (ln x) → il nostro x ènni

otteniamo:

Jn = −qnµn

(∇φ− KT

q∇(

lnnni

)) KTq non dipende dalla coordinata spaziale

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(ipotesi di oggetto interamente alla stessa temperatura)

−qnµn∇(

φ− KTq

lnnni

)Il parametro φn = φ− KT

q ln nni

dipende complessivamente dalla coordinata spaziale e ha la dimensione diun potenziale: è lo pseudo-potenziale di Fermi riferito agli elettroni. Possiamo in maniera analoga definirelo pseudo-potenziale di Fermi riferito alle lacune10:

φp = φ +KTq

lnpni

Si noti che ora possiamo esprimere le densità di corrente Jp e Jn unicamente come correnti di drift:

Jp = −qµp p∇φp

Jn = −qµnn∇φn

Possiamo inoltre scrivere la concentrazione di elettroni nel seguente modo:

n = nie(φ−φn)q

KT

p = nie(φp−φ)q

KT

Si noti che annullando φn e φp otteniamo le equazioni di Shockley11! Inoltre ora, pur in presenza dicorrenti, possiamo scrivere n e p unicamente in funzione del potenziale (cosa che altrimenti potremmofare solo in assenza di correnti, cioè in condizioni di equilibrio). L’entità di φn e φp ci dà dunque unamisura di quanto siamo fuori equilibrio: all’equilibrio il gradiente degli pseudo-potenziali è nullo, manon appena si ha spostamento di cariche (corrente) φn e φp presentano una variazione. In definitiva, glipseudo-livelli di Fermi sono diversi dal livello di Fermi se siamo in presenza di un surplus o una deficienzadi cariche rispetto all’equilibrio.

10In certe condizioni è necessario considerare entrambi questi parametri (φn e φp).11Dobbiamo però essere accorti e ricordare che il legame con le equazioni di Shockley sta in piedi se decidiamo di prendere il

potenziale di Fermi come quello di riferimento. Di seguito adotteremo il livello di Fermi

EF = −qφF

come riferimento. Il segno meno nell’equazione poco sopra dipende dal fatto che consideriamo l’energia potenziale φ dal punto divista di un elettrone, che ha carica negativa.

36


Notiamo inoltre che, se moltiplichiamo fra loro le espressioni di n e di p espresse in funzione deglipseudo-potenziali, otteniamo una formulazione indipendente dal valore di φ:

np = nie(φ−φn)q

KT nie(φp−φ)q

KT = n2i e

(φp−φn)qKT

Ecco quindi un’ulteriore conferma: all’equilibrio si deve avere pn = n2i e questo si può ottenere unicamente

se φn = φp; anche la separazione fra i due pseudo-livelli di Fermi è quindi un importante indice che cirivela di quanto siamo fuori equilibrio.

2.1.1 Andamento degli pseudo-potenziali di Fermi attraverso una giunzione

Figura 2.5: Andamento degli pseudo-potenziali di Fermi

Si faccia l’ipotesi di considerare una giunzione PN in caso di piccole correnti e si esamini la figura 2.5.

• Nella zona quasi neutra n (n ≈ ND) lo pseudo-potenziale di Fermi φn è pressoché costante, anchead elevati livelli di corrente. In virtù del fatto che si hanno tantissime cariche libere che possonocontribuire alla conduzione, nelle regioni quasi neutre possiamo inoltre sostenere una cospicua cor-rente anche se abbiamo un piccolo gradiente del potenziale. Per questo motivo il livello di Fermi èvicinissimo agli pseudo-potenziali12.

• Poiché in condizioni stazionarie∇Jn = qU, dove U è la funzione di ricombinazione la quale, essendotrascurabile, fa sì che Jn sia costante attraverso la regione svuotata.

• Nella regione quasi neutra p la concentrazione di elettroni in eccesso decade esponenzialmente(ricombinazione e generazione sono importanti fattori di variazione per gli pseudo-livelli), pertantoJn decade rapidamente a zero. Altrettanto fa dφn

dx . Dunque lo pseudo-potenziale φn diventa paria zero (cioè coincide con il livello di Fermi EF, visto che abbiamo utilizzato quest’ultimo comeriferimento). Le variazioni spaziali di φn sono perciò tutte confinate entro brevi distanze dal bordodello strato svuotato dal lato p (vedi immagine 2.5).

Notiamo inoltre che:12In soldoni: essendo n piuttosto grande nella parte drogata con atomi donatori, è sufficiente una piccola differenza φ − φn a

generare la nostra corrente.

37


• lontano dalla regione di giunzione le concentrazioni hanno i valori di equilibrio e quindi φn = φp;

• nelle regioni quasi neutre lo pseudo-livello del portatore maggioritario è pressoché costante;

• attraverso le regioni svuotate gli pseudo-livelli sono circa costanti.

Considerazioni duali possono essere fatte per l’andamento dello pseudo-potenziale di Fermi φp: se adesempio siamo nella zona neutra p possiamo percepire, già all’applicazione di una piccola differenza dipotenziale, una cospicua corrente (in questo caso un flusso di lacune) dovuta al fatto che abbiamo unconsistente parametro p ≈ NA. Se tuttavia da qui ci spostiamo, avvicinandoci alla regione svuotata e fattal’ipotesi di aver polarizzato in diretta la nostra giunzione, tali ipotesi decadono e infatti φp inizia a calare(vedi immagine (a) della figura 2.5). La variazione di tale parametro è da imputarsi al fatto che le lacunetendono a ricombinarsi con gli elettroni e ad avvicinarci alla condizione per cui np ≈ n2

i (condizioned’equilibrio, vedi figura 2.6)13.

Figura 2.6: Ricombinazioni di elettroni e lacune

Facendo nuovamente riferimento alla figura 2.5 si ha che quando φp > φn (immagine (a)) allora np �n2

i , mentre quando φn > φp (immagine (b)) otteniamo np� n2i dunque la regione della giunzione è ancora

più svuotata: nel primo caso (tipico della giunzione polarizzata in diretta) la conduzione è facilitata,mentre nel secondo (giunzione polarizzata in inversa) è ostacolata.

2.2 Applicazione di un potenziale su una giunzione: piegamento dellebande

In figura 2.7 vediamo gli andamenti delle bande energetiche nella giunzione in equilibrio: si noti inparticolare il livello di Fermi, che rimane sempre costante e che scegliamo in questa trattazione di prenderecome riferimento.

Applicando ora un potenziale sulla giunzione (vedi figura 2.8) ’spostiamo’ il diagramma a bande inmaniera congruente con la tensione applicata (mantenendo invariato, tuttavia, lo zero del potenziale) comeindicato in figura 2.9. La presenza di un campo elettrico, infatti, è sempre causa del fenomeno denominatopiegamento delle bande: essendo φ = φi −VA l’altezza della barriera φ una volta applicata una tensione VA

• una polarizzazione diretta fa calare la barriera e facilita la conduzione. In tale regime prevale lacorrente di diffusione;

• una polarizzazione inversa fa crescere la barriera. In questa situazione prevale la corrente di deriva,che è comunque autolimitata dalla presenza di pochissimi portatori.

In figura 2.10 viene mostrato l’alzarsi e l’abbassarsi della barriera di potenziale in virtù dell’applica-zione di un potenziale positivo o negativo sulla destra. Si noti che un potenziale positivo alza la barrieradi potenziale rispetto al livello di riferimento (che, lo ricordiamo, è per noi il potenziale di Fermi φF postoper ipotesi pari a zero).

13Ponendoci nel punto fisico della giunzione dovremo infatti avere che n = p = ni : tante lacune arrivano da destra quanti elettronida sinistra.

38


Figura 2.7: Bande nella giunzione in equilibrio

Figura 2.8: Applicazione di un potenziale sulla giunzione: nel caso in questione la tensione applicata è in inversa

Figura 2.9: Spostamento del diagramma a bande in virtù di una tensione applicata sulla giunzione

2.3 Calcolo di potenziali e correnti in una giunzione

Di seguito chiameremo φ(∞) e φ(−∞) i potenziali nelle zone quasi-neutre una volta che abbiamoapplicato una tensione V inversa sulla giunzione (il ±∞ sta ad indicare che siamo molto lontani dallagiunzione vera e propria, ove n ≈ ND e p ≈ NA) e denomineremo φ0(∞) e φ0(−∞) gli stessi potenzialima all’equilibrio. L’applicazione di una tensione inversa, come abbiamo già avuto modo di vedere, hacome effetto l’innalzamento o l’abbassamento della barriera di potenziale:

V = φ(∞)− φ(−∞) < φ0(∞)− φ0(−∞) = φB ⇒ Nuova barriera: V − φB = ∆φ

Supponiamo di trovarci non molto lontani dall’equilibrio e facciamo dunque l’ipotesi di piccole inie-

39


Figura 2.10: Aumento e diminuzione dell’altezza della barriera di potenziale

zioni che consiste nell’immaginare che, immediatamente a destra e a sinistra della zona svuotata, sianopresenti non troppi portatori in eccesso:

a destra della zona svuotata: p = p0 + δp

a sinistra della zona svuotata: n = n0 + δn

max {δp, δn} � min

pp0, nn0︸︷︷︸concentraz. di maggioritari all’equilibrio

Questo significa, ad esempio, che nella zona n l’eccesso di lacune δp è molto minore della concentrazione14

nn0 dei portatori maggioritari all’equilibrio, ovvero degli elettroni. Analogamente nella zona p, ove a titolodi esempio poniamo di avere NA = 1016, l’ipotesi di piccole iniezioni comporta che si possano avere numericome pp0 = 1016 >> np0 = 104. Come sappiamo, a +∞ e a −∞ si ha:

per x → −∞ :KTq

lnpni

=KTq

lnNAni

= ϕp − ϕ (−∞)

all’equilibrio :KTq

lnp0

ni= ϕF︸︷︷︸

Hp: = 0

−ϕ0 (−∞) = −ϕ0 (−∞)

per x → ∞ :KTq

lnnni

=KTq

lnNDni

= ϕ (+∞)− ϕn

all’equilibrio :KTq

lnn0

ni= ϕ0 (∞)− ϕF︸︷︷︸

Hp: = 0

= ϕ0 (+∞)

Nella regione quasi neutra possiamo scrivere che p = p0 e n = n0, dunque è lecito confrontare le equazioniscritte sopra e scrivere:

per x → −∞ : ϕp − ϕ (−∞) = −ϕ0 (−∞)per x → ∞ : ϕ (+∞)− ϕn = ϕ0 (∞)

Se ora effettuiamo la somma membro a membro otteniamo:

ϕp − ϕn + ϕ (+∞)− ϕ (−∞)︸︷︷︸altezza di barriera (dopo)

= ϕ0 (∞)− ϕ0 (−∞)︸︷︷︸altezza di barriera (prima, all’equilibrio)

14Al pedice la lettera n sta a significare che stiamo considerando la zona di tipo n e lo 0 identifica la condizione d’equilibrio.

40


Dunque i due pseudo-livelli, asintoticamente, differiscono esattamente della tensione applicata15 V (vedifigura16 2.11).

Figura 2.11: Schema di riferimento per il paragrafo 2.3

2.3.1 Equazioni della corrente

Scriviamo la corrente come differenza fra la componente fuori equilibrio e quella in equilibrio17:

Jn − Jn0 = qµn (nE− n0E0) + qDn∂

∂x(n− n0)︸︷︷︸

eccesso di elettroni δn

Jp − Jp0 = qµp (pE− p0E0)− qDp∂

∂x(p− p0)︸︷︷︸

eccesso di lacune δp

Se trascuriamo effetti di non idealità, ogni sezione presenta la stessa corrente (è la famosa legge di Kirch-hoff) ma nelle diverse sezioni sarà diverso il contributo degli elettroni e delle lacune. Proviamo a calcolaremeglio la corrente dei minoritari (lacune) nella regione neutra n; iniziamo con l’elaborare il seguentetermine:

pE− p0E0 = (p0 − δp) (E0 − δE)− p0E0 = p0E0 + p0δE + E0δp + δpδE− p0E0

I due termini ’estremi’ si annullano per discordanza di segno, mentre i tre termini centrali possono essereconsiderati trascurabili perché:

• E0 è piccolo e trascina con sé verso lo zero anche δp;

• δp� n per l’ipotesi di piccole iniezioni;

• p0 è piccolo;

• δpδE è piccolo perché è il prodotto di due termini ’delta’.

15Quando lavoriamo con tensione diretta dobbiamo prestare attenzione perché, per V molto grande, abbiamo una grande cadutaresistiva nelle zone quasi neutre: le bande inizieranno quindi a piegarsi prima di raggiungere la zona svuotata e non avremo, aridosso di quest’ultima, un livello sufficiente di potenziale ad annullare la barriera. Nella realtà si cerca quindi di valutare questoeffetto resistivo al fine di dimensionare adeguatamente V.

16Si presti attenzione che nella nostra figura abbiamo graficato i potenziali, i quali hanno segni invertiti rispetto ai livelli energeticidelle bande che possono essere visti in figura 2.7 o nell’immagine 2.5.

17Attenzione: quando si parla di equilibrio, in questo caso, non è vero che la corrente di elettroni compensa quella di lacune.S’intende piuttosto che le due correnti si annullino entrambe. Altra cosa da tenere presente: si ha che

E = −∇φ

Dunque le relazioni scritte di seguito hanno, per i primi termini, segni opposti rispetto alle relazioni viste nel capitolo 1.

41


Dunque si ha che la corrente di lacune è ≈ Jdiffusionep nella zona quasi neutra n:

Jp − Jp0 = qµp (pE− p0E0)︸︷︷︸→0

+qDp∂

∂x(p− p0)︸︷︷︸

eccesso di lacune δp

= qDp∂δp∂x

per x > xn

Sfruttiamo ora l’equazione di continuitàdJp

dx= −qU (n, p)

dove U è la funzione di ricombinazione18 scritta in funzione di n e p:

U (n, p) = a (n, p)(

np− n2i

)' a (n0, p0)︸︷︷︸

all’equilibrio

((n0 + δn) (p0 + δp)− n2

i

)∼= a (n0, p0) (n0δp + p0δn)

Siccome siamo in regime di piccole iniezioni n0δp� p0δn dunque:

U ∝ δp⇒ U =δpτ

Dove τ è il tempo di vita dei minoritari (in questo caso le lacune). Poniamo ora a sistema le equazioni incui compare Jp:

dJp

dx= −q

δpτp

Jp = −qDpdδpdx

⇒ Dpd2δpdx2 =

δpτp⇒ d2δp

dx2 −δp

Dpτp=

d2δpdx2 −

δpL2

p= 0 eq. di Fick

Si noti che tale equazione differenziale è espressa unicamente in funzione di Lp, parametro che chiamere-mo lunghezza di diffusione e che rappresenta la distanza media percorsa da una lacuna (o da un elettrone,se consideriamo Ln) prima della ricombinazione. Risolvendo l’equazione otteniamo:

Figura 2.12: Interpretazione grafica dell’equazione di Fick

δp (x) = Ae− x

Lp + Bex

Lp

Per x → ∞ si ha che δp = 0 dunque B = 0. Rimane:

δp (x) = Ae− x

Lp

18Si noti che l’unità di misura della funzione a, che si trova nella relazione immediatamente di seguito, è s−1 visto che si tratta diun numero di coppie per secondo.

42


Cos’è A? Conoscerlo significa sapere quante lacune vi sono all’inizio della zona quasi neutra n in quantosi ha:

δp (xn) = Ae− xn

Lp

Dunque se troviamo δp (xn) conosciamo A. Derivando l’espressione di δp

δp (x) = δp (xn) e− x−xn

Lp ⇒ dδp (x)dx

= δp (xn)(− 1

Lp

)e− x−xn

Lp

e sostituendo in

Jp (x) = −qDpdδp (x)

dxotteniamo:

Jp (x) = −qDpdδp (x)

dx= −qDpδp (xn)

(− 1

Lp

)e− x−xn

Lp =qDp

Lpδp (xn) e

− x−xnLp (2.3)

Sfruttiamo ora le condizioni al contorno di Shockley

pn = n2i e

∆φVT = n2

i eφp−φn

VT

che, nel punto xn, sono pari a19:

p (xn) n (xn)︸︷︷︸≈ND

= n2i e

∆φ(xn)VT

Possiamo dunque scrivere:

δp (xn) = p (xn)− p0 (xn) =n2

iND

e∆φ(xn)

VT −n2

iND

=n2

iND

(e

∆φ(xn)VT − 1

)(2.4)

Tutta questa fatica, ma almeno ora abbiamo il parametro δp (xn): sostituendo nella 2.3 si ha

Jp (x) =qn2

i Dp

LpND

(e

∆φ(xn)VT − 1

)e− x−xn

Lp

Notiamo che più andiamo verso destra (x crescente), la corrente diminuisce. In particolare, nel punto xnla nostra corrente di lacune ha valore

Jp (xn) =qn2

i Dp

LpND

(e

VVT − 1

)dove V è la tensione applicata. Come calcoliamo la corrente di elettroni che fluisce nella parte opposta?Non possiamo conoscerla in prossimità della sezione xn, perché si tratta di una corrente di maggioritari(e questo ci rende scomodo il calcolo, visto che non possiamo usare le nostre ipotesi semplificatorie),tuttavia possiamo calcolarla alla coordinata xp e scegliere - facendo un’approssimazione - di trascurare lericombinazioni nella zona svuotata:

Jn(−xp

)= −

qn2i Dn

LnNA

(e

VVT − 1

)Fatta l’ipotesi di trascurare la corrente che viene ’sprecata’ nella zona svuotata, possiamo dunque scrivere:

Jp (xn) + Jn(−xp

)= Jp (xn) + Jn

(−xp

)+ Jn (xn)− Jn (xn)︸︷︷︸

aggiungo e tolgo

= JTOT︸︷︷︸Jp(xn)+Jn(xn)

+Jn(−xp

)− Jn (xn)

Da cui si ha, portando alcuni termini da una parte all’altra del segno uguale:

JTOT = Jp (xn) + Jn(−xp

)−[Jn(−xp

)− Jn (xn)

]19Ricordiamo che VT è pari a KT

q .

43


La differenza tra parentesi quadre è pari, per dualità, alla quantità che otterremmo se facessimo i calcoliesplicitando Jp invece di Jn in quanto il rapporto di ricombinazione è esattamente di 1 a 1 per elettroni elacune20; se vogliamo trovare il valore esatto di tale parametro, che risulta trascurabile (rispetto alle altrecorrenti) se ci troviamo in zona di funzionamento diretta ed è invece più prominente se ci troviamo a bassetensioni o sotto-soglia, possiamo ricorrere ad un particolare integrale della funzione di ricombinazione:

JTOT = Jp (xn) + Jn(−xp

)−

xn∫−xp

qU (x) dx

︸︷︷︸Jn(−xp)−Jn(xn)

Si noti inoltre che Jp e Jn non sono in generale uguali (vedi figura 2.13) e che tendono ad un valoreasintotico dovuto alla quantità di minoritari presenti nelle regioni drogate21.

Figura 2.13: Densità di corrente Jp e Jn in funzione della coordinata spaziale

Se la concentrazione di cariche all’interno della regione svuotata è superiore a quella che avremmoall’equilibrio allora chiaramente U avrà un valore diverso da zero. In particolare, trovandoci in polarizza-zione inversa, andiamo a diminuire sempre più tale concentrazione rendendo dominante il termine dellagenerazione spontanea (dovuto unicamente all’agitazione termica). Il grafico della densità di corrente J infunzione della tensione applicata sarà quindi quello in figura 2.14 L’andamento chiaramente esponenziale

Figura 2.14: Densità di corrente in funzione della tensione applicata sulla giunzione

20Dai, è ovvio! Un elettrone si ricombina esattamente con una lacuna quindi il processo va avanti coppia dopo coppia. E checacchio, devo spiegarti proprio tutto!

21Ad esempio, se Np = 1016, avremo nella regione n una quantità di lacune pari a n2i

1016 = 1020

1016 = 104. Tale quantità fornisce ilvalore asintotico della densità di corrente Jp nella zona quasi-neutra n.

44


della densità è ben rappresentato dalla relazione

J = Js

(Ae

VVth − 1

)dove Js è il termine costante contenente tutti i parametri sulla diffusione (Dp o Dn) e sul drogaggio (NA oND). Due diodi aventi la stessa area, ma che si accendono a tensioni diverse, differiranno per tale termineJs: i diodi Schottky, ad esempio, sono caratterizzati da giunzioni metallo-semiconduttore e da una Js moltopiù alta, il che li fa ’accendere’ a soli 0, 2 o 0, 3 V e fa ottenere loro le stesse correnti dei diodi PN con moltameno tensione.

Figura 2.15: Diminuzione della tensione applicata e conseguenze sulla densità di corrente

Comunque, dicevamo, calando la tensione in diretta il punto alla coordinata xn (corrispondente a Jpnel grafico in figura 2.15) scende fino al valore dettato da pn0. Se poi applichiamo una V negativa (cioèuna tensione inversa) la differenza degli pseudo-livelli diventa negativa e invece di un eccesso ci troviamocon una deficienza di lacune (cioè di portatori minoritari) rispetto all’equilibrio.

pn = pn0e∆φVth

∆φ

Vth< 0⇒ pn < pn0

Se V è abbastanza negativa, pn tende rapidamente verso lo zero e poi non calerà più all’aumentare dellatensione inversa22 (vedi figura 2.16). In tal caso c’è comunque corrente perché siamo andati a creare unforte gradiente di lacune, privando di esse un’intera area, il quale metterà in moto una corrente di diffu-sione che andrà da destra a sinistra: questa è la cosiddetta corrente di saturazione ed è tanto più grandequanto sono i minoritari. Rispetto alla corrente di saturazione, l’errore che si commette trascurando le

Figura 2.16: Calo di lacune nell’applicazione di una tensione inversa

ricombinazioni nella regione svuotata è alto (vedi figura 2.14): in particolare si noti che l’effetto indeside-rato di ricombinazione, il quale ’abbassa’ la nostra curva per V < 0, ha un andamento che va con la radicedi |V|.

22Questo è vero già a tensioni di −1V.

45


2.4 Portatori minoritari all’interno della regione quasi neutra

2.4.1 Giunzione brusca

Se chiamiamop′ = p− p0

il numero di lacune in eccesso rispetto alla condizione di equilibrio, e ricordiamo l’equazione 2.4, si ha23

all’inizio della regione quasi neutra n:

p′ (xn) =n2

iND

(e

VVth − 1

)Se vogliamo scoprire qual è l’andamento anche per x > xn è possibile applicare alcune condizioni alcontorno24 all’equazione differenziale che descrive la nostra funzione p(x) per ottenere:

p′ (x) = p′ (xn)sinh

(W−x

Lp

)sinh

(WLp

) (2.5)

L’andamento di tale funzione è riportato in figura 2.17: si noti che p0 , p′(xn) è fissato dalle relazionidi Shockley, che le lacune decadono a zero in x = W cioè al limitare della regione quasi neutra (è questauna delle condizioni al contorno di cui parlavamo prima) e che la derivata di quella curva è il parametroLp visto nel paragrafo 2.3.1. Derivando il nostro risultato, sostituendo e calcolando al bordo della regione

Figura 2.17: Andamento dei minoritari nella regione quasi neutra n

svuotata, otteniamo:

Jp = −qDpdp′ (x)

dx= −

qDp p′ (0)Lp

−cosh(

WLp

)sinh

(WLp

) =

qDp p′ (0)

LpND tanh(

WLp

)n2i

(e

VVth − 1

)(2.6)

2.4.2 Diodi a base corta e a base lunga

Per W piccolo rispetto ad Lp (diodo a base corta) l’andamento del seno iperbolico della 2.5 è moltosimile a quello di una retta e infatti si ha


(W−x

Lp

)sinh

(WLp

) W piccolo−−−−−→ p′ (xn)W−x

Lp

WLp

= p′ (xn)(

1− xW

)Fatta l’approssimazione della tangente iperbolica col suo argomento, anche la 2.6 si semplifica e diventa:

Jp =qDp p′ (0)

LpND tanh(

WLp

)n2i

(e

VVth − 1

)W piccolo−−−−−→ p′ (0)

qDpn2i

NDW

(e

VVth − 1

)23Dal momento che scriviamo V vuol dire che abbiamo applicato il concetto di condizione al contorno di Shockley.24Vedi pagina 93 delle dispense.

46


Per un diodo a base lunga (W � Lp), invece, l’andamento della funzione che quantifica i minoritarip′(x) è quasi esponenziale:


(W−x

Lp

)sinh

(WLp

) W grande−−−−−→ p′ (xn) e− x

Lp

Anche la 2.6, in seguito ad un’altra semplificazione della tangente (questa volta approssimata LpW invece

che con WLp

) si modifica e appare come di seguito:

Jp =qDp p′ (0)

LpND tanh(

WLp

)n2i

(e

VVth − 1

)W grande−−−−−→ p′ (0)

qDpn2i

NDLp

(e

VVth − 1

)

Per il calcolo della corrente vera e propria (I) è sufficiente moltiplicare per la superficie A la seguentesomma delle densità di corrente (ove JGR è il contribuito dovuto a generazioni e ricombinazioni ed è pari

a JGR =xn∫−xp

qU (x) dx):

I = A(Jp + Jn + JGR

)Consideriamo il caso di diodo a base corta: in seguito alle approssimazioni fatte, p′(x) è una funzionelineare di x. Pertanto Jp(x) = −qDp

dp′(x)dx è indipendente da x. Ne consegue che dJp

dx = 0 ma, poichédJpdx = −qU se ne deduce che U = 0. Quindi nell’approssimazione di diodo a base corta i portatori

minoritari raggiungono il contatto in un tempo talmente breve da rendere insignificanti le ricombinazioni.Di seguito riportiamo le espressioni delle correnti I per il diodo a base corta e a base lunga:

I = A(Jp + Jn + JGR

)=

base corta→ A

[qn2

i

(Dp

LpND+

Dn

LnNA

)](e

VVth − 1

)+ AJGR

base lunga→ A[

qn2i

(Dp

WnND+

Dn

WpNA

)](e

VVth − 1

)+ AJGR

Si noti che, all’aumentare dei drogaggi, i denominatori crescono e la corrente cala.

2.5 Ragionevolezza delle condizioni di Shockley

Partiamo facendo la seguente ipotesi per la corrente J:

J� min (Jdrift, Jdiffusione)

Se ciò è vero la seguente differenza è circa zero:

Jdrift − Jdiffusione ≈ 0

Quindi, considerando la corrente di lacune25 e semplificando il termine q, si ha:

pµ∇φ + D∇p ≈ 0

Dividendo per p possiamo usare un trucchettino matematico:

µ∇ϕ + D∇p

p≈ 0

µ∇ϕ + D∇pnipni

≈ 0 ⇒∇pnipni

= ∇ ln(

pni

)⇒ µ∇ϕ + D∇ ln

(pni

)≈ 0

∇ϕ + Vth∇ ln(

pni

)≈ 0

Vth non dipende dalla coord. spaziale−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ϕ + Vth ln(

pni

)≈ costante

φF=0 per ipotesi−−−−−−−−−→ 0

25I parametri D e µ sono da considerarsi pari a Dp e µp.

47


Di conseguenza possiamo scrivere che la concentrazione di lacune p è circa:

p ≈ nie− φ

Vth e si ha anche pn0 ≈ nie− φ0

Vth

Da cui si ha:p

pn0≈ e

φ0−φVth = e

VVth

Si noti che se la differenza di due gradienti (in questo caso il potenziale e la concentrazione di lacune)è più piccola di entrambi ed è proporzionale al gradiente di un’ulteriore quantità (lo pseudo-potenzialedi Fermi), allora quest’ultimo gradiente sarà più piccolo degli altri due e la grandezza che ne fa daargomento avrà un andamento molto più blando (vedi figura 2.18). Per questo motivo ci è permesso di

Figura 2.18: Confronto fra gradienti: concentrazione di lacune, potenziale, pseudo-potenziale di Fermi

utilizzare - anche in questa situazione - le equazioni di Shockley con gli pseudo-potenziali, alla stregua dicome abbiamo fatto nei capitoli precedenti. Questo ragionamento cade in difetto se V è molto intenso e labarriera si abbassa a tal punto da far crescere a dismisura J e violare le nostre ipotesi iniziali.

2.6 Capacità della giunzione PN

La presenza di cariche d’interfaccia presso la giunzione pn porta alla formazione di un condensatorealla stregua di quello a facce piane e parallele. La capacità associata alla variazione di carica nella zonasvuotata è chiamata capacità di giunzione, mentre quella associata all’eccesso di portatori nella regione qua-si neutra è chiamata capacità di diffusione ed è trascurabile (almeno in inversa). La prima domina infatti neidiodi polarizzati in inversa, mentre la seconda prevale in quelli fortemente polarizzati in diretta. Entram-bi i tipi di capacità hanno un andamento non lineare cosicché dobbiamo applicare il modello ai piccolisegnali per calcolarle: la loro somma fornisce la capacità complessiva.

In questa sede tratteremo soltanto della capacità di giunzione: detta xd la larghezza della parte svuo-tata, data dalla somma delle larghezze xn e xp (rispettivamente riferite alla parte n e p della giunzione),

xn =

√2εsi

qNAND

φi −VANA + ND

xp =

√2εsi

qNDNA

φi −VANA + ND

con φi −VA =qNDx2

n2εsi

+qNAx2

p

2εsi

si haCj =

εsixd

La capacità di giunzione dipende quindi dal potenziale complessivo ai capi della giunzione.

48


2.7 Schema riassuntivo delle relazioni notevoli

Assunzioni:

• geometria unidimensionali;

• completa ionizzazione dei droganti;

• semiconduttore non degenere (possiamo utilizzare la statistica di Boltzmann);

• sistema tempo-invariante;

• temperatura costante.

Relazioni:

• densità di carica:ρ = q

(p− n + N+

D − N−A)

(2.7)

• densità di elettroni:n = nie

EF−EFiKT (2.8)

• densità di lacune:p = nie−

EF−EFiKT (2.9)

• ipotesi di completo svuotamento:

ρ = q(

p− n + N+D − N−A

) Hp di completo svuotamento−−−−−−−−−−−−−−−−→ q(

N+D − N−A

)(2.10)

• dimensione della regione svuotata e drogaggio:

All’equilibrio:∣∣−xpqNA

∣∣ = |qNDxn|

NDxn = NAxp ⇒NDNA

=xp

xn

(2.11)

Altro metodo per giungere allo stesso risultato:

dEdx

=ρ

ε

ρ=−qNA−−−−−→= − qNAε

integrazione−−−−−−−→ E (x)− E(−xp

)= − qNA

ε

(x + xp

)Condizione al contorno: E

(−xp

)= 0⇒ E (0) = − qNA

εxp

Idem per la regione n: E (0) = − qNDε

xn

− qNAε

xp = − qNDε

xn ⇒NAND

=xn

xp

• coordinata xn (dimensione della regione svuotata dato VA):

φi −VA =qNAx2

p + qNDx2n

2ε⇒ xn =

√2ε

qNAND

(φi −VA)1

NA + ND(2.12)

• campo elettrico e potenziale:

−dφ

dx= E

φ = −EFiq

(2.13)

Dunque il potenziale attraverso la giunzione varia, a meno del segno, come il potenziale di Fermi intrinseco.

• relazione di Poisson:

∇2φ = −ρ

ε⇒ d2φ

dx2 = −ρ

ε⇒ dE

dx=

ρ

ε(2.14)

49


• calcolo del potenziale di built-in:

Densità di elettroni: n (x)x→+∞

= ND

Densità di lacune: p (x)x→−∞

= NA = nie(EF−E+

Fi)KT , p (x)

x→+∞=

n2i

ND= nie−

(EF−E−Fi)KT

NAND

n2i

= e(E−Fi−E+

Fi)KT ⇒ ln

NAND

n2i

=(E−Fi − E+

Fi)

KT⇒ KT ln

NAND

n2i

= E−Fi − E+Fi

Siccome φ = −EFiq⇒ φ+ − φ− =

KTq

lnNAND

n2i

= ψB (potenziale di built - in)

• continuità di carica:1qdJn

dx−

np − n2i

τn (n + ni) + τp (p + pi)︸︷︷︸R−G

= 0

−1qdJp

dx−

np − n2i

τn (n + ni) + τp (p + pi)︸︷︷︸R−G

= 0

(2.15)

• densità di corrente:Jn = −qµnn∇φ + qDn∇n

Jp = −qµp p∇φ− qDp∇p(2.16)

2.8 Giunzione Schottky

La giunzione Schottky è una giunzione metallo-semiconduttore. In figura vediamo i livelli energeticidel metallo e del semiconduttore presi singolarmente: alcuni parametri notevoli sono

• qφM: distanza tra E0 (energia dell’elettrone libero) e EFM (livello di Fermi nel metallo);

• qψ: affinità elettronica: distanza tra l’inizio della banda di conduzione e l’energia dell’elettrone liberonel semiconduttore;

• qφS: distanza tra E0 e EFS (livello di Fermi nel semiconduttore).

Figura 2.19: Livelli energetici nel metallo e nel semiconduttore (presi separatamente)

Nell’immagine 2.20 vediamo invece cosa accade quando mettiamo a contatto le due regioni: i due livelli diFermi devono coincidere quindi tutti gli altri livelli si modificano perché questo accada. All’atto della for-mazione della giunzione metallo-semiconduttore, infatti, gli elettroni si trasferiscono dal semiconduttoreal metallo. Il trasferimento di carica implica la nascita di un campo elettrico nella regione di giunzionee la formazione di uno strato svuotato dal lato del semiconduttore (mentre nel metallo l’ampiezza dellaregione svuotata è praticamente nulla). In figura vengono evidenziati:

• φi = φM − φS: il potenziale di built-in;

50


Figura 2.20: Livelli energetici nella giunzione Schottky

• d =√

2εφiqND

: lunghezza della regione svuotata;

• l’andamento del campo elettrico, regolato dalla seguente relazione:

E (x) =qND

ε(x− xd)

Il meccanismo di conduzione prevalente è quello dell’emissione dei elettroni dal metallo dovuto al di-slivello delle due work-function (φM e φS). Dispositivi come il diodo Schottky, creato mediante tale tipodi giunzione, ha una tensione di soglia minore del ’classico’ diodo PN ed è molto più veloce a condurrein quanto le particelle - elettroni nel caso di semiconduttore n o lacune nel semiconduttore p - vengonoiniettate invece che diffuse (come nel caso PN). La corrente in diretta viene inoltre fornita dallo sposta-mento dai maggioritari (elettroni, che nel metallo ce ne sono quanti ne vogliamo). La presenza di stati diinterfaccia può alterare in modo sostanziale l’allineamento delle bande ed impedire la formazione correttadella giunzione. A causa di non idealità quali

• il problema delle cariche immagine al di là delle interfacce;

• imperfezioni non controllabili degli stati elettronici;

• altri problemi;

il diodo Schottky tende a comportasi quasi come una resistenza (effetti Ohmici, vedi figura 2.21); perevitare problemi di scarsa riproducibilità della barriera dovuti a stati superficiali, il metallo viene dunquedeposto su silicio ad alto drogaggio in modo che vi sia un abbassamento della barriera e la regionesvuotata risulti molto schiacciata. Per questo la barriera, se anche si forma, viene facilmente penetrataper effetto tunnel quantistico, dando luogo al comportamento desiderato. Se trascuriamo le non idealitàindicate sopra, il diodo Schottky sbaraglia la giunzione PN per la pendenza della caratteristica I(V)(contrariamente a quanto mostrato in figura 2.21).

51


Figura 2.21: Gli effetti di non idealità paiono rendere la caratteristica I(V) del diodo Schottky meno pendente dellacontroparte PN

52

Capitolo 3

Diodo bipolare a giunzione

Il transistore bipolare a giunzione (Bipolar Junction Transistor) è storicamente il primo dispositivo elet-tronico allo stato solido a tre terminali. Dall’anno delle sua invenzione (1947), il BJT si è rapidamenteaffermato in campo analogico, digitale e nell’elettronica di potenza, rimanendo il più importante dispo-sitivo dell’elettronica dello stato solido fino al raggiungimento della maturità delle tecnologie MOS eCMOS (anni ’70). Recentemente i dispositivi MOSFET hanno acquisito una decisa preminenza, soprattut-to nell’elettronica digitale, ma i transistori bipolari conservano una notevole importanza per applicazionianalogiche e miste (analogico-digitali) vista la bassa quantità di rumore prodotta in virtù del fatto che laconduzione avviene attraverso una corrente che scorre nel corpo del semiconduttore e non al di sotto diun’interfaccia (oggetto colmo di impurità) come avviene nel MOS. Il transistore bipolare a giunzione è undispositivo nel quale due giunzioni pn sono accostate in modo che possano interagire con le caratteristi-che che vedremo più avanti. Il termine bipolare si riferisce invece al fatto che la conduzione della correnteall’interno del dispositivo è affidata a portatori di entrambe le polarità. I tre terminali sono detti emettitore,collettore e base. Emettitore e collettore hanno lo stesso drogaggio (n nei BJT npn e p nei transistori bipolaridi tipo pnp), ma l’emettitore ha un numero ben più alto di atomi droganti. Questo rende tali regioni nonintercambiabili e fa sì che il dispositivo non sia simmetrico. Il transistore bipolare è caratterizzato da unguadagno gm ∝ IC: questo significa che la capacità di guadagno dipende dalla corrente. Questo purtroppofa sì che a poca corrente corrisponda un esiguo guadagno. In figura 3.1 vediamo un transistore npn in

Figura 3.1: Transistor BJT di tipo NPN

configurazione di base comune (base posta a massa). Essendo un due porte in grado di amplificare, si ri-chiede al BJT che la corrente d’uscita Iu sia funzione della tensione e della corrente d’ingresso ( f (Vin, Iin)),ma non della tensione d’uscita Vu: dobbiamo insomma garantire che la maggior parte della corrente dellaporta d’uscita sia determinata dalla porta di ingresso. Nella configurazione a base comune, ad esempio, ilcollettore rappresenta l’uscita e l’emettitore l’ingresso, dunque IC deve dipendere poco da VC e molto daVE. Questo tuttavia non può accadere se la base è lunga, in quanto ciò rende emettitore e collettore moltodistanti e quindi disaccoppiati visto che gli elettroni (che sono pari a np(vbe) nel confine tra emettitore ebase) precipiteranno velocemente al livello dei minoritari d’equilibrio della base (livello np0 nella figura3.6). Questo ci aiuta a comprendere come mai un BJT a base lunga perda l’effetto transistore (possiamovedere la versione concentrata di tale componente in figura 3.3): se W > Lp è infatti chiaro che non potràesservi conduzione efficace fra i terminali C ed E visto che al collettore saranno presenti pochissimi elet-

53

54 CAPITOLO 3. DIODO BIPOLARE A GIUNZIONE

Figura 3.2: Andamento degli elettroni nella base

Figura 3.3: Versione concentrata del(l’inutile) BJT a base lunga

troni e il campo elettrico presente nella giunzione B-C non avrà un granché da convogliare verso l’uscita.Se la base è corta, invece, la curva di concentrazione si alzerà e - invece che caratterizzarsi come espo-nenziale negativo - tenderà sempre più ad essere una tangente iperbolica. Ovviamente l’applicazione diuna tensione vbe più alta aiuta la nostra curva di concentrazione ad alzarsi cosicché la corrente aumenta adirombella. Riassumendo, dunque, gli elementi che facilitano la conduzione sono una base corta e una vbe(tensione d’ingresso) sufficientemente alta.

Poco fa si è parlato di un campo elettrico fra base e collettore: tale campo impedisce alle lacune diandare verso l’uscita, mentre incoraggia gli elettroni ad oltrepassare la giunzione com’è giusto che sia.Ovviamente, per massimizzare l’effetto transistore, vorremo non avere la corrente di collettore (che scorrein direzione opposta, cioè dall’uscita verso l’ingresso) - ma ovviamente essa sarà assente solo in condizioniperfettamente ideali, così come in condizioni ideali la corrente di collettore si specchierà esattamente inquella d’emettitore. In tal caso, peraltro, non avremmo corrente di base e il nostro BJT sarebbe una valvolaideale.

3.1 Regioni di funzionamento

Figura 3.4: Le quattro regioni di funzionamento del BJT

54

CAPITOLO 3. DIODO BIPOLARE A GIUNZIONE 55

Il transistore ha quattro regioni di funzionamento (vedi figura 3.4):

• vbe < 0 e vbc < 0: BJT spento (OFF). Non c’è un granché da dire, no?

• vbe > 0 e vbc > 0: BJT saturo. In questo caso sia la regione svuotata fra E e B che quella fra B eC sono in diretta: questo inibisce l’effetto di amplificazione visto che la base si riempie di carica daentrambe le parti (collettore ed emettitore) e le due correnti di verso opposto si annientano1;

• vbe > 0 e vbc < 0: regione normale diretta (RND). Trattasi della nostra regione preferita: qui il nostroBJT si comporta come una valvola (o, se preferiamo, come un generatore comandato di corrente) ealla porta d’uscita abbiamo una corrente comandata dalla tensione d’ingresso;

• vbe < 0 e vbc > 0: regione normale inversa (RNI). Abbiamo unicamente correnti di saturazione: ildispositivo è in questo caso assolutamente inutile.

Supponiamo ora di essere in regione normale diretta: in tal caso le concentrazioni di minoritari lungo ilBJT sono raffigurate in figura2 3.5 (nell’immagine, in particolare, si mettono a confronto le concentrazionidi minoritari in equilibrio (pedice 0) e quelle che si hanno in regime di RND). Tutte le curve non all’equi-librio dipendono da quanto sia consistente la lunghezza del semiconduttore W rispetto alla lunghezza didiffusione Lp e possono somigliare o a un esponenziale o a qualcosa d’altro (arcotangente o retta) a se-conda se W sia maggiore o minore di Lp. A ridosso della giunzione E-B, polarizzata in diretta, la quantitàdi lacune al termine nell’emettitore (pn) e la quantità di elettroni all’inizio della base (np) sono fissati dallecondizioni al contorno di Shockley; presso la giunzione B-C, polarizzata in inversa, i minoritari (elettroniin B e lacune in C) devono invece crollare verso lo zero. Nel collettore le lacune vengono infatti attiratedalla base e abbiamo unicamente una piccola corrente di saturazione (presente anche se annulliamo lavbe). Grazie a questo schema capiamo anche meglio il senso del cosiddetto effetto Early (figura 3.7): esso

Figura 3.5: Concentrazioni di minoritari lungo il BJT: si noti la giunzione EB polarizzata in diretta e quella BC ininversa

si manifesta quando siamo in RND e fa sì che la vce e la corrente d’uscita siano fra loro legate (orrore!).Aumentando vce, infatti, aumentiamo la larghezza della zona svuotata nella giunzione B-E: questo vuoldire che gli elettroni (cioè i minoritari) in base devono crollare più velocemente a zero. La concentrazionedi tali elettroni sarà quindi rappresentata da una retta sempre più pendente e, dunque, aumenterà la cor-rente (vedi figura 3.6). Purtroppo l’effetto Early è aggravato dal fatto che il drogaggio nella zona p dellabase è relativamente basso e dunque la zona svuotata si mangerà buona parte del semiconduttore p alcrescere della tensione vce, aumentando quindi la pendenza della retta di concentrazione (di cui sopra).

Nel caso decidessimo di mettere in diretta la giunzione BC (andiamo nella regione di saturazione) la1La regione OFF e la regione di saturazione sono tipiche di un circuito digitale, ma per il BJT sono passate di moda perché i FET

a confronto sono molto più competitivi.2Una piccola precisazione: np e np0 sono diverse di un fattore che si aggira intorno a 109, dunque il disegno è fortemente fuori

scala.

55


Figura 3.6: Aumenta la vce, si allarga la regione svuotata e aumenta la corrente

Figura 3.7: Saturazione, RND ed effetto Early

pendenza della stracitata retta di concentrazione dei minoritari nella base crollerebbe acciocché3 inonde-remmo quest’ultima di portatori da entrambe le parti: velocemente la corrente calerebbe dunque verso lozero.

3.2 Espressioni della corrente e figure di merito

Per i calcoli che effettueremo di seguito useremo come riferimento la figura 3.8. La corrente di

Figura 3.8: Schema di riferimento per il calcolo delle correnti caratteristiche del BJT

3Mai usata questa congiunzione!

56


emettitore sarà:IE = −A(Jn(O−E ) + Jp(O−E ))

Il segno meno è dovuto alla convenzione per la quale IE è la corrente che entra al morsetto di emettitore, Aè il fattore d’area del diodo, Jn(O−E ) e Jp(O−E ) sono le densità di correnti, ma delle due sappiamo calcolaresolo la seconda: per la prima sarà necessario passare per Jn(O+

E ) e trovare una relazione che mi spostiall’ascissa O−E . Sfruttiamo quindi l’espressione della corrente di collettore:

IC = −A(

Jp(O+

C)+ Jn

(O+

C))

Sfruttiamo ora l’equazione di continuità

div (Jn) = qU U = funzione di ricombinazione

per trovare una relazione per la densità di corrente a diverse ascisse:

Jn (x2)− Jn (x1) = qx2∫

x1

U (x) dx ⇒ Jn (x1) = Jn (x2)− qx2∫

x1

U (x) dx

Dunque, sostituendo nell’espressione IE:

x2 = O+E

x1 = O−E

}⇒ IE = −A

Jp(O−E)+ Jn

(O+

E)− q

O+E∫

O−E

U (x) dx

La giunzione EB è polarizzata in diretta ed è piena di portatori, dunque l’integrale che tiene conto del-la ricombinazione è di importante entità. Viceversa, le ricombinazioni fra B e C sono da considerarsitrascurabili per cui possiamo scrivere:

IC = −A[

Jp(O+

C)+ Jn

(O−C)]

In questo modo le correnti IE ed IC sono espresse attraverso le correnti di portatori minoritari sul bordodella regione quasi neutra. Mettendo a confronto i due termini possiamo scrivere (si tralasciano i passaggiintermedi):

IC , hFB IE + ICB0︸︷︷︸−AJp(O+

C )Questa relazione mette in relazione il fatto che la corrente di collettore è fatta da una componente disaturazione di lacune, ovvero il termine ICB0, e da un termine che è proporzionale ad IE. Facciamoora l’ipotesi che ICB0 sia circa zero, visto che tale corrente di saturazione è piccola perché dovuta allepochissime lacune minoritarie che dal collettore muovono verso l’emettitore (il drogaggio di collettore èinferiore a quello di base). Abbiamo quindi:

ICB0 ≈ −AJp(O+

C)→ 0

Ricordando la formula di IC abbiamo quindi:

IC = −A(

Jp(O+

C)+ Jn

(O−C)) −AJp(O+

C )→0−−−−−−−−→ −AJn

(O−C)

Dunque possiamo trovare un’espressione alla costante di proporzionalità h (in assenza di corrente disaturazione):

IC , hFB IE ∼= −AJn(O−C)⇒ hFB =

−AJn(O−C)

IE

Se ora sostituiamo IE per quello che è, e infine moltiplichiamo e dividiamo per Jn(O+E ), otteniamo:

hFB =−AJn

(O−C)

IE=

Jn(O−C)

Jn(O+

E)︸︷︷︸

fattore di trasporto in base αT

·Jn(O+

E)

Jn(O+

E)+ Jp

(O−E)− q

O+E∫

O−E

U (x) dx

︸︷︷︸efficienza di emettitore γE

Il parametro hFB (che è compreso fra 0 e 1 ed è un’efficienza) è quindi costituito da due parametri:

57


• il fattore di trasporto in base αT , pari ad 1 se decidiamo di trascurare le ricombinazioni. Esso dipendeda quanta corrente di elettroni ci troviamo in fondo alla base (cioè verso il collettore) in rapporto aquanti ne ho iniettati (dalla parte dell’emettitore);

• l’efficienza di emettitore γE (anche lui ≤ 1), che tiene conto di quanto è asimmetrica la giunzione BE.Riusciamo ad incrementare questa figura di merito rendendo l’emettitore molto più drogato dellabase. Perché la differenza fra i due drogaggi sia rilevante è importante, partendo da una barrettauniformemente drogata p, mettere moltissimi atomi donori sull’emettitore (vedi grafico 3.9) perrendere quest’ultimo fortemente n.

Figura 3.9: Profilo (logaritmico) del drogaggio

Il collettore, a differenza dell’emettitore, è drogato all’incirca come la base per evitare che vi sia la rotturaelettrica della giunzione: il campo elettrico che si viene ivi a formare è infatti funzione del drogaggio cosic-ché, se quest’ultimo risulta eccessivo, si generano degli Emax così elevati da farci avvicinare al temutissimobreakdown (VC è applicata in inversa!). Se però droghiamo troppo poco4 ci troveremo con una resistenzadi base molto grande e in grado di provocare una sgraditissima caduta sulla tensione vbe. Operativamente

Figura 3.10: Sezione del BJT

si procede tenendo conto dei seguenti aspetti:

• drogando molto l’emettitore per fomentare l’effetto tunnel quantistico e abbattere la relativa resistenza;

• la corrente di base è piccola dunque si dà per buono il drogaggio della base. Se esso dovesseperò rivelarsi inadeguato potremmo incappare in un altro problema sottile e insidioso: l’effettoohmico che si potrebbe creare provocherebbe una caduta di tensione tale da spegnere una parte dellagiunzione (vedi figura 3.11) e mantenere attiva solo quella vicino al contatto (presso il quale entra lacorrente IB). La cosa è ancor più grave se teniamo conto del fatto che la relazione tensione/corrente èdi tipo esponenziale, quindi una caduta di ’soli’ 100 mV potrebbe farci avere 50 volte meno corrente.Potremmo allora pensare di drogare un po’ di più la base, ma ciò ci sarebbe impedito dall’aggravarsidel parametro γE; tuttavia, per sciogliere quest’ultimo inghippo, la soluzione che normalmente siadotta è quella di predisporre più contatti d’emettitore (figura 3.12);

• anche la resistenza RC del collettore è un parametro di cui tenere conto, visto che toglie potenza alcarico; come sempre potremmo cercare di ovviare al problema modulando il drogaggio, ma ovvia-mente un trade-off interviene solerte a romperci gli zebedei: per poter mantenere una buona tensione

4Che palle ’sti tradeoff !

58


Figura 3.11: Il problema delle resistenze in base

di break-down, il drogaggio non deve infatti aumentare molto. A diminuire la resistività si aggiungeuno strato sepolto molto drogato (è una zona n+, vedi immagine 3.13) sul fondo della zona di col-lettore, avendo cura di impedire che la zona svuotata, al crescere di vce, non arrivi assolutamente atoccarlo5. Si cerca quindi di isolare il più possibile la parte n+ di cui si è appena parlato con la partep del collettore: se le due venissero in contatto, infatti, la catastrofica conseguenza sarebbe quella diavere due giunzioni in parallelo con due tensioni di breakdown differenti.

Figura 3.12: Connessioni d’emettitore multiple

Figura 3.13: Strato sepolto

5Pena: l’equivalente microcircuitale dell’apocalisse. Altro che 2012.

59


3.3 Ulteriori aspetti implementativi

3.3.1 Tempo di attraversamento in base

Nei paragrafi precedenti abbiamo formalmente definito il parametro:

hFB|ICB=0 =JC(O−C)

JE= αT · γE

Vogliamo ora definire una quantità (tempo di trasporto in base) che ci dica quanto tempo impiegano iminoritari6 ad attraversare la base. In figura 3.14 vediamo graficati gli andamenti della concentrazionedi minoritari in base7, sia all’equilibrio (n0(x)) che applicata una tensione vce alla giunzione (n(x)). Lequantità illustrate sono ovviamente fissate dalle condizioni di Shockley. Definiamo:

Figura 3.14: Concentrazione di elettroni nella base

n′ (x) = n (x)− n0 (x) (3.1)

Chiamato n′OE+ il termine n′(0) (ovvero l’eccedenza di elettroni all’ascissa OE+ = 0 presenti nel casopolarizzato rispetto a quello in equilibrio) e tenendo conto del fatto che l’andamento di n(x) è triangolare,si ha:

n′ (x) = n′ (0)− n′ (0)x

W= n′OE+

(1− x

W

)Come possiamo calcolare il tempo medio che questa popolazione elettronica impiega per effettuare il pas-saggio in base? Partiamo dall’espressione della densità di corrente presso il limitare della zona svuotata,lato emettitore8:

Jn(O+

E)

=qn2

i Dn

(e

vbeVT − 1

)WNA

n′OE+=n2

i

e

vbeVT −1

NA

(condizioni di Shockley)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

qDnn′OE+W

Sappiamo altresì che, per definizione:Jn (x) = qn (x) v (x)

Dalla 3.1 sappiamo che il termine n(x) è la somma della componente all’equilibrio n0 (x) e di quella’aggiuntiva’ di fuori equilibrio n′ (x): la corrente, tuttavia, sarà data soltanto da quest’ultimo termine9.

Jn (x) = qv′ (x) n′ (x) = qv′ (x) n′OE+

(1− x

W

)︸︷︷︸

n′(x)

6Cioè gli elettroni, visto che la base è drogata p.7Che per ipotesi consideriamo larga W.8Al denominatore vediamo W in luogo di Ln visto che in tal caso, visto che la base è corta, sono paragonabili.9Abbiamo in particolare che:

n′ (x) , n (x) , Jn (x) −→ 0⇒ v (x) −→ v0 = 0Una velocità media nulla ci indica che - sempre in termini medi - gli elettroni non si muovono, il ché potrebbe anche significare cheun certo quantitativo di elettroni va in una direzione mentre un’altra identica quantità di carica si dirige in quella opposta.

60


Sostituendo x = 0 all’equazione appena ottenuta otteniamo la velocità presso il bordo della zona svuotata(lato emettitore):

Jn(

x = O+E = 0

)= qv′

(x = O+

E = 0)

n′OE+

(1− 0

W

)⇒ v′

(O+

E)

=Jn(O+

E)

qn′OE+

Ricordandoci del valore di n′OE+ otteniamo il seguente notevole risultato:

v′(O+

E)

=Jn(O+

E)

qn′OE+

n′OE+=Jn(O+

E )WqDn−−−−−−−−−→

Jn(O+

E)

qJn(O+

E )WqDn

=Dn

W

Facilmente ci si accorge del fatto che un piccolo termine W (cioè una base stretta) è causa di un’alta velocitàmedia dei nostri elettroni.

Facciamo ora un errore di approssimazione confondendo la corrente all’ascissa 0 con quella che pos-siamo avere negli altri punti della base: così facendo, in pratica, stiamo trascurante il fattore di trasportoin base.

Jn(O+

E) ∼= Jn (x)

qDnn′OE+W

= qv′ (x) n′OE+

(1− x

W

)v′ (x) =

DW(1− x

W)

S’evince che la velocità media, ascissa per ascissa, non è costante. Essa aumenta altresì per x crescente, cioèal calare della concentrazione di elettroni (più o meno quello che accade in un tubo di Venturi10): dove visono meno cariche, queste sono più veloci. Con un integrale è possibile sommare tutti gli infinitesimi trattidella base associando ad essi la propria velocità caratteristica: il risultato sarà il tempo di attraversamentoin base.

1v′ (x)

=W(1− x

W)

D⇒ tnb =

W∫0

dxv′

=W∫

0

W(1− x

W)

Ddx =

WD

W∫0

(1− x

W

)dx =

W2

2D

Purtroppo, in virtù delle pesanti semplificazioni fatte durante la trattazione, questo risultato è approssi-mato e quindi non del tutto veritiero. Esso ci comunica però importanti informazioni: perché il tempodi attraversamento in base sia basso (cosa desiderabile, visto che meno tempo gli elettroni impiegano azampettare da emettitore a collettore e meno ne morranno, se consideriamo che il tempo di vita è quelloche è. . . ) dovremo avere un grande coefficiente di diffusione e una base stretta. In particolare, la riduzionedi W influisce molto nel diminuire il parametro tnb.

Facciamo ora un passo indietro e torniamo al nostro fattore di trasporto in base: con i nuovi fantasma-gorici risultati possiamo giungere infatti ad altre importanti conclusioni. Abbiamo:

αT =Jn(O−C)

Jn(O+

E) =

Jn(O+

E)− q

∫U (x) dx

Jn(O+

E) = 1−

q∫

U (x) dxJn(O+

E)︸︷︷︸

=δT

= 1− δT

Definiamo il termine indicato dalla parentesi graffa mediante un segno meno per sottolineare il fatto cherappresenta un contributo sottrattivo (dato che saranno in maggior numero le ricombinazioni rispetto allegenerazioni e dunque l’integrale in U sarà negativo). Vogliamo ora capire come il termine δT sia parente

10L’effetto Venturi (o paradosso idrodinamico) è il fenomeno fisico, scoperto e studiato dal fisico Giovanni Battista Venturi, percui la pressione di una corrente fluida aumenta con il diminuire della velocità. È possibile studiare la variazione di pressionedi un liquido in un condotto, inserendo dei tubi manometrici. L’esperimento dimostra che il liquido raggiunge nei tubi altezzediverse: minore dove la sezione si rimpicciolisce (in cui aumenta la velocità) e maggiore quando la sezione si allarga (ovveroquando la velocità diminuisce). Dato che la pressione del liquido aumenta all’aumentare dell’altezza raggiunta dal liquido neitubi manometrici, è possibile dire che ad un aumento della velocità corrisponde una diminuzione della pressione e viceversa, cioèall’aumento della pressione corrisponde una diminuzione della velocità. Con esperimenti appropriati, è possibile notare lo stessofenomeno nei gas.

61


del tempo di attraversamento in base. Forti dell’esperienza accumulata nel paragrafo 2.3.1, definiamoanaliticamente U come:

O−C∫O+

E

U (x) dx ⇒ U =n− n0

τ

Quest’integrale rappresenta l’area sottesa dalla curva dei minoritari n′(x) (figura 3.15) e cioè, tenendoconto della banale formula della superficie di un rettangolo11:

O−C∫O+

E

U (x) dx =1

2τW

n2i

(e

vbeVT − 1

)NA

Possiamo quindi sostituire questa espressione in quella di δT (omettiamo il segno meno, ma ricordiamoci

Figura 3.15: Area triangolare descritta dalla curva dei minoritari n′(x)

che è un termine sottrattivo e - quindi - da minimizzare):

δT =q∫

U (x) dxJn(O+

E) =

q2τ

Wn2

i

(e

vbeVT − 1

)NA

·

qDnn2i

(e

vbeVT − 1

)NAW

−1

︸︷︷︸(Jn(O+

E ))−1

= ... =12

W2

D1τ

Nell’espressione testé scritta troviamo il tempo medio di attraversamento in base e il tempo di vita deiminoritari:

δT =12

W2

D1τ

=tnbτ

Per migliorare il fattore di trasporto in base αT , dunque, δT dev’essere piccolo e quindi:

• la base deve essere stretta in modo che tnb sia piccolo;

• τ, cioè il tempo di vita degli elettroni, dev’essere lungo.

Riarrangiando l’espressione di δ possiamo trovare quest’altro modo equivalente di esprimere tale para-metro:

δT =W2

2Dτ=

tnbτ

=12

(WLn

)2

11La vera curva da integrare è il triangolo ’privato’ del trapezio isoscele piccolo piccolo che sta alla base. Siccome facciamo semprele cose un tanto al chilo la approssimiamo con quella di un triangolo, avente altezza pari a quella del triangolo meno l’altezzadel trapezio, ma base W (quella, appunto, del trapezio). In linea di principio, tutte le volte che all’interno della parentesi conl’esponenziale compare il −1, ci stiamo riferendo all’eccesso di portatori.

62


3.3.2 Efficienza di emettitore

Il parametro γE (efficienza di emettitore) dipende essenzialmente dal rapporto fra i droganti. Perdimostrarlo partiamo dalla seguente espressione:

γE =Jn(O+

E)

J(O+

E) =

Jn(O+

E)

JE=

Jn(O+

E)

Jn(O+

E)+ Jp

(O−E)− q

O+E∫

O−E

U (x) dx

︸︷︷︸corrente totale

Possiamo ora dividere questo termine frazionario per il numeratore e individuare parametri notevoli:

γE =Jn(O+

E)

Jn(O+

E)+ Jp

(O−E)− q

O+E∫

O−E

U (x) dx

=1

1 +Jp(O−E)

Jn(O+

E)︸︷︷︸

δE

+

−q

O+E∫

O−E

U (x) dx

Jn(O+

E)︸︷︷︸

δR

=1

1 + δE + δR

Il termine δR è poco interessante: ci dice quanta corrente ’ci sfugge’ all’interno dell’emettitore, ma si pre-suppone che quest’ultimo - essendo molto drogato e stretto - non dia adito a grosse perdite. Trascurandoquindi tale termine abbiamo:

γE =1

1 + δE + δR∼=

11 + δE

Nell’ipotesi di base ed emettitore corti abbiamo:

δE =Jp(O−E)

Jn(O+

E) =

n2i DpE

NDEWE

n2i DnB

NABWB

=DpENABWB

DnBNDEWE

Ecco dimostrato che il parametro γE dipende dal rapporto fra i droganti. Capiamo inoltre che:

• un emettitore troppo corto (WE piccola) fa crescere il parametro δE e dunque peggiora di moltol’espressione della corrente. Viceversa, un emettitore troppo lungo è sconsigliabile per l’elevatoeffetto resistivo;

• per migliorare δE si potrebbe pensare di drogare maggiormente l’emettitore, ma se esageriamo po-tremmo assistere ad una modulazione del gap (ben-gap narrowing) che andrebbe a modificare ilparametro ni.

Per modulare l’efficienza di emettitore γE si ricorre ad escamotage come ad esempio l’uso eterogiunzionisilicio-germanio.

63


64

Capitolo 4

MOSFET: Metal Oxide SemiconductorField Effect Transistor

4.1 Introduzione

Figura 4.1: Sezione raffigurante la struttura del MOS

Il transistor metallo-ossido-semiconduttore a effetto di campo, in sigla MOSFET, anche chiamato tran-sistor MOS, è una tipologia di transistor usata principalmente nei dispositivi digitali grazie al basso con-sumo di potenza dovuto alla ridotta dispersione di calore. Distinguendosi come idoneo a rappresentareil mattone di elaborazione elementare e mostrandosi capace di migliorare le proprie già buone proprietàal diminuire della dimensione, il MOSFET si è imposto il più comune transistor a effetto di campo sia neicircuiti digitali che in quelli analogici. Il MOSFET è composto da un substrato di materiale semicondut-tore di tipo n o di tipo p. Solitamente il semiconduttore scelto è il silicio, ma alcuni produttori di circuitielettronici, in particolare IBM, hanno cominciato a usare una miscela di silicio e germanio (SiGe) nei canaliMOSFET. Sfortunatamente molti semiconduttori con migliori proprietà elettroniche rispetto al silicio, co-me l’arseniuro di gallio (GaAs), non formano buoni ossidi sul gate e quindi non sono adatti per i MOSFET.

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66 CAPITOLO 4. MOSFET: METAL OXIDE SEMICONDUCTOR FIELD EFFECT TRANSISTOR

Il terminale di gate è uno strato di polisilicio (silicio policristallino) posto sopra il canale e da esso separatotramite un sottile strato isolante di biossido di silicio (SiO2). Quando si applica una tensione superiorealla tensione di soglia, tra i terminali di gate e source, il campo elettrico che si genera crea quello che sichiama canale nel substrato sottostante. Il canale è dello stesso tipo (n o p) del source e del drain, quindifornisce un percorso conduttivo tra questi due elettrodi. Variando la tensione tra gate e bulk (substrato)(che di solito si considera implicitamente collegato al source) si modifica di conseguenza la conduttività diquesto strato e rende possibile controllare il flusso di corrente tra drain e source.

4.2 Processo realizzativo

Per creare un MOS si utilizza un sofisticato metodo realizzativo, basato sulla fotolitografia, per il qualesi necessita di quattro maschere strutturali. Tali maschere sono come una fotografia della struttura deldispositivo e vengono utilizzate come ’stampino elementare’1 per definire il layout di ciò che si vuoleandare a realizzare.

Durante tutto il processo realizzativo è importante che la zona attiva del MOSFET rimanga ben isolatarispetto a quella esterna; inoltre bisognerà predisporre un certo spazio ’inerte’ tra un elettrodo e l’altro,affinché non si formino capacità parassite o interazioni indesiderate. A questo scopo, ma anche per crearel’isolante che separerà il semiconduttore dal metallo, è sufficiente ossidare il silicio creando biossido disilicio (SiO2): questo permette tra l’altro di nascondere l’impurità delle interfacce visto che le parti pocopure vengono ossidate cosicché, nella parte sottostante, l’interfaccia rimane linda e pinta2. Con la tecnicadell’ossidazione e l’uso di una prima maschera si riesce a creare uno strato molto spesso di isolante chepermette di mettere al sicuro la parte attiva del MOS nei confronti della parte esterna. A questo puntoviene creato un po’ d’ossido di gate (1-2 nanometri). Fffatto?! Bene. Dopo l’ossido è la volta del materialeche andrà a costituire il gate vero e proprio: siccome tale terminale deve risultare il meno resistivo possibileviene utilizzato del silicio poli-cristallino estremamente drogato. Con una (seconda) maschera si rimuovequindi il silicio dove non serve (la lastra sulla quale stiamo realizzando il dispositivo viene messa a bagnoin sostanze particolari). A questo punto source e drain sono stati creati. Il passo successivo è quello dibombardare il wafer di atomi droganti e di rendere il source un semiconduttore di tipo n+: per fare ciò,fortunatamente, non è richiesta alcuna maschera. Successivamente si scalda tutto in modo da attivareelettricamente gli ioni, senza però essere così incauti da fondere la struttura (ed è per questo che abbiamoutilizzato il termicamente resistente polisilicio invece che il metallo per creare il gate). A questo punto èora di aprire i buchi dei contatti mediante l’uso di una terza maschera; dopodiché si inonda il wafer conil metallo che andrà a coprire quei fori. L’ultima cosa da fare è quindi quella di contattare, grazie ad unaquarta maschera, i vari MOS fra loro.

4.3 Ricerca dei livelli energetici

Possiamo ora lanciarci a bomba (cit.) alla ricerca dell’andamento dei livelli energetici all’interno dellastruttura del transistore MOS (figura 4.3). In figura 4.4 vengono raffigurati i livelli energetici dei tremateriali, senza mostrare le transizioni fra di essi: di seguito faremo riferimento a questa immagine perdefinire le quantità notevoli a caratterizzare le bande energetiche.

Chiameremo φM la funzione lavoro (work function) del metallo, ovvero il salto energetico tra il livello diFermi e il livello del vuoto (vacuum level, vedi figura 4.4). Nel metallo il livello di Fermi si trova all’internodella banda di conduzione.

Nell’ossido di silicio parlare di bande è una forzatura, visto che tale isolante nasce come amorfo (cioèprivo di struttura cristallina) mentre la base teorica dalla quale è scaturito il concetto di banda prevedeinvece l’analisi di un cristallo perfetto. Di seguito però ci spoglieremo di ogni esitazione e non ci faremoproblemi nell’utilizzare questa forzatura a piene mani. Nell’isolante il livello di Fermi si trova all’internodel gap.

1Termine tecnico!2Oggi, sfondata la barriera del nanometro, non si può più utilizzare questa tecnica. Si deve invece ricorrere a materiali (ad alta

costante dielettrica) che a parità di spessore risultano essere meno isolanti dell’ossido di silicio, ma che a parità di tensione induconoun grande campo elettrico sotto di essi.

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CAPITOLO 4. MOSFET: METAL OXIDE SEMICONDUCTOR FIELD EFFECT TRANSISTOR 67

Figura 4.2: Struttura schematica del transistore MOS

Figura 4.3: MOS = Metallo + Ossido (Isolante) + Semiconduttore

Nel silicio (semiconduttore), il diagramma a bande non è univoco, bensì dipende dal drogaggio; univo-ca è invece la distanza energetica tra il fondo della banda di conduzione e il livello di vuoto: chiameremoquesto parametro affinità elettronica ψ. La funzione lavoro nel silicio è φS ed è funzione del drogaggio3;essa può essere ricavata anche come

φS = ψ + distanza tra EC ed EF

Chiameremo infine ψB la distanza fra Ei ed EF nel silicio e presso il bulk, ovvero a −∞, perché sottol’ossido tale distanza può variare in base alla tensione applicata.

Ora dobbiamo mettere a contatto i tre materiali; di tutti i livelli energetici visti fin’ora, solo uno -il livello di Fermi EF - rimarrà costante in tutta la struttura4: perché ciò accada, all’interno del nostrodispositivo deve esistere un processo di ridistribuzione della carica5. Tale passaggio deve però sottostare

3Nel policristallo di silicio drogato n, la φS è numericamente molto simile all’affinità elettronica e alla φM dell’alluminio: si trattadi un caso, niente di premeditato o ingegnerizzato.

4Se così non fosse scorrerebbero, all’equilibrio, correnti fra i tre materiali.5Processo che non accadrebbe nel caso fortuito in cui

φS = φM

come ad esempio accade in un condensatore (in cui si giustappongono metallo - isolante - metallo).

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Figura 4.4: Livelli energetici fra metallo, ossido e semiconduttore

alla legge di conservazione della carica: dato che il quantitativo totale di carica dev’essere nullo, la caricasul metallo dev’essere controbilanciata da una carica uguale e contraria sul semiconduttore.

Ricavare i livelli energetici significa conoscere il potenziale6 nella struttura; per ricavare quest’ultimofa al caso nostro l’equazione di Poisson, la quale lega il potenziale φ alla densità di carica ρ. In partico-lare possiamo considerare tutta la caduta di potenziale come interamente distribuita fra I (isolante) ed S(semiconduttore): il metallo del gate ha infatti così tanta carica che le cariche positive depositantivisi unavolta applicata una tensione occupano uno strato sottilissimo e del tutto trascurabile di alcuni Angstrom.La stessa quantità di carica che si trova in tale esile pellicola è la stessa che si accumulerà a ridosso del se-miconduttore in una zona molto più spessa visto che, confrontato col metallo, tale materiale risulta esseremolto più povero di carica.

Fatta l’ipotesi di drogaggio uniforme, le bande si piegheranno in maniera lineare sull’isolante e inmaniera parabolica al principio del semiconduttore (per la presenza di cariche). In figura 4.5 vediamoappunto come si raccordano le bande energetiche all’interno del dispositivo MOS: si noti l’andamentolineare nell’ossido e le barriere per elettroni e lacune. La distanza del livello di vuoto7 dal quello di FermiEF è pari a φM = 4,1 eV nel metallo e a φS = 4,85 eV nel semiconduttore: abbiamo quindi 4, 85− 4, 1 = 0, 75V di caduta nel dispositivo8. Tale salto di potenziale, che è in grado di farci capire com’è qualitativamentestrutturato il diagramma delle bande, si distribuirà tra isolante e semiconduttore: inoltre, esso corrispondealla quantità di tensione necessaria al gate per pareggiare le bande. Variando il drogaggio è possibilemodulare questa caduta di potenziale: per esempio, drogando maggiormente il semiconduttore, si puòcalare il piegamento delle bande ottenendo una φM − φS = φMS = 0, 45 V.

4.3.1 Variazione dei livelli energetici all’applicazione di un potenziale

Proviamo ora ad applicare una tensione ai capi del nostro transistor9: per esempio, imponiamo VGpresso il contatto di gate. Mentre in situazione stazionaria il livello di Fermi è unico e costante (nonpresenta gradiente), ora EF non sarà univoco: per facilitare la nostra analisi, tuttavia, supporremo cheall’interno di ciascun materiale EF sia costante. Grazie a questa ipotesi semplificativa non abbiamo l’e-mergere di pseudo-livelli di Fermi, né particolari variazioni di concentrazione di carica, né tantomeno

6Convenzionalmente si scrive il potenziale in funzione della banda di conduzione:

φ(x) = − EC(x)q

7Trattasi dell’energia dell’elettrone libero.8Attenzione alle unità di misura: i livelli energetici sono misurati in eV (1 eV = energia acquistata da un elettrone libero quando

passa attraverso una differenza di potenziale elettrico di 1 volt nel vuoto), mentre il potenziale è come al solito quantificato in volt.9Faremo l’ipotesi di avere fra le mani un dispositivo MOS ideale del quale conosciamo con certezza la funzione lavoro φM .

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Figura 4.5: Andamento delle bande energetiche all’interno del dispositivo MOS

una corrente: tutto va come se fossimo in equilibrio e ciò significa che ci è sufficiente sapere il valore delpotenziale in un punto per conoscere il numero di elettroni e di lacune in quel punto. Avendo applicato ilpotenziale VG sul metallo, EF verrà trascinato giù10 di una quantità qVG; le bande, inoltre, si piegherannocome mostrato in figura 4.6. Se il livello di Fermi intrinseco EFi è esattamente pari al livello di Fermi sullasuperficie di interfaccia fra semiconduttore ed isolante, la concentrazione di lacune è uguale a quella dielettroni e pari a

p = n = ni

come accade in un semiconduttore intrinseco. Molto a destra, cioè presso il bulk11, abbiamo invece

p ≈ NA n ≈ n2

NA

Aumentiamo ancora un po’ il piegamento delle bande e pompiamo VG: supponiamo di spingerci fino alpunto in cui EF − EFi sia pari a 0,3 V sull’interfaccia tra semiconduttore ed isolante. Guarda caso, cosìfacendo, tale differenza diventa uguale alla EFi − EF sul bulk (figura 4.7).

Abbiamo quindi:(EF − EFi)tra S e I = (EFi − EF)bulk = ψB + ψB = 2ψB

Questo fantomatico 2ψB è pari al famoso 2φF di Elettronica LA. In tali condizioni abbiamo raggiunto lacosiddetta condizione di inversione: quando essa si realizza si ha

n = pbulk, all’equilibrio ≈ NA

4.3.2 Regioni di funzionamento

Al variare di VG siamo dunque in presenza di diverse regioni di funzionamento (vedi figura 4.8):

• accumulazione (VG < VFB): quando VG è minore di VFB le bande sono piegate, ma sul semicon-duttore S cade poco potenziale perché la tensione applicata ha ivi richiamato moltissime lacune e lazona in questione tende a comportarsi come se fosse un metallo;

10Il livello di Fermi viene trascinato giù ma solo nel gate! EF ha sempre derivata nulla lungo tutta la struttura (sennò ci sarebbecorrente), ma ha diversi valori nel gate nel semiconduttore

11Localizzato sul fondo del semiconduttore.

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Figura 4.6: Piegamento delle bande alla presenza di un potenziale applicato VG sul gate. Più tensione applichiamo algate e più si piegano le bande. Se poniamo tensione negativa sul gate le bande si raddrizzano piuttostoche piegarsi e possiamo raggiungere artificialmente la condizione di banda piatta.

Figura 4.7: Secondo caso di piegamento delle bande: (EF − EFi)tra S e I = (EFi − EF)bulk

• banda piatta, flat-band (VG = VFB ≈ −1 V): in questo caso abbiamo raggiunto artificialmente (cioèmediante l’applicazione della tensione VG) la situazione di banda piatta; in tal caso, supponendo chepn = n2

i = 1020, sulla superficie tra S e I abbiamo12:

pS = e−φSVth = 1017 ≈ NA nS =

n2i

NAe

φSVth = 103

• deplition (VFB < VG < VT): alzando il potenziale oltre la tensione di flat-band, iniziamo a cacciare viale lacune a scoprire la carica negativa sulla superficie del semiconduttore (iniziamo perciò ad incre-mentare una zona svuotata): tale carica è tuttavia ancora troppo poca per permettere la formazionedi un canale tra source e drain, quindi il MOS è ancora spento. Finché siamo in accumulazione e finoa quando non abbiamo raggiunto l’inversione, il vero parametro che conta è NA. Facendo l’ipotesiche il semiconduttore sia drogato accettore, abbiamo infatti:

ρ = q(p− n + ND − NA) = q(p− n− NA) p = 1016, n = 103, NA = 1017

Fra i termini tra parentesi è ovviamente il numero di atomi accettori a prevalere;

• equilibrio (VG = 0): sempre più carica negativa si sta accumulando sotto l’ossido (la regione svuo-tata aumenta inesorabilmente) e sempre più carica positiva viene respinta verso il bulk. QuandoVG = 0, abbiamo cacciato via abbastanza lacune da far sì che:

pS = nS = 1010

Il nostro S è quindi simillimo ad un semiconduttore intrinseco;12Il parametro φS è la tensione presso la superficie fra S e I.

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Figura 4.8: Bande energetiche e regioni di funzionamento

• inversione (VG > VT): quando VG = VT il potenziale di superficie è piegato di 2ψB e abbiamo13

pS = 103 nS = 1017

La situazione è duale rispetto a quella di banda piatta: abbiamo invertito le cariche e sotto l’ossido c’è’na marea di elettroni: il canale è ormai completamente formato ed è possibile un’efficace conduzio-ne tra source e drain. Possiamo dunque definire la tensione VG come quella che induce sotto l’ossido

un valore di elettroni pari ad NA e un valore di lacune pari a n2i

NA= ND. All’ulteriore crescere di

VG, l’extratensione fornita si divide fra ossido e semiconduttore aumentando l’entità del piegamentodelle bande. Chiaramente c’è un limite a tale piegamento: il numero di elettroni a formare il canalenon può certo salire all’infinito! Ad un certo punto infatti, un po’ come accadeva in forte inversio-ne, la quantità di carica sarà tale da rendere la superficie del semiconduttore molto simile ad unmetallo14 cosicché la caduta di potenziale si sposterà tutta sull’ossido.

In figura 4.9 si mostra l’andamento delle cariche (pallini bianchi = elettroni, pallini scuri = lacune) infunzione della tensione VG applicata sul gate. L’andamento è lineare, ma il grafico è logaritmico cosicchéle variazioni sono in realtà esponenziali e quindi molto rapide. La linea tratteggiata nel grafico inferioreindica il parametro NA (drogaggio del semiconduttore): grazie a tale immagine risulterà dunque piùchiaro cosa s’intendesse nell’affermare che ’NA è dominante’ all’interno della fase di deplition.

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Figura 4.9: Andamento della quantità di carica in base alla regione di funzionamento

Figura 4.10: Andamento della quantità di carica nel silicio (l’ascissa zero corrisponde all’interfaccia S-I)

4.4 Calcolo dei parametri notevoli

4.4.1 Carica e lunghezza della regione svuotata

In figura 4.10 vediamo l’andamento della quantità di carica presso il silicio: faremo l’ipotesi che essa siacostante e pari a −qNA tra 0 e Ldepl (lunghezza della regione svuotata) e che poi decada immediatamente

13Si noti che, in questa e in tutte le fasi precedenti, il prodotto nS pS è sempre uguale a 1020 = n2i .

14Il MOS, in tali condizioni, somiglierà maggiormente ad un condensatore.

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a zero, rimanendo tale fino al bulk. Il calcolo della carica totale è quindi molto banale:

Qdepl =

Ldepl∫0

ρ (x) dx = −qNALdepl

La quantità Qdepl corrisponde d’altronde all’area del rettangolo di figura 4.10.

Per arrivare a determinare il potenziale dobbiamo necessariamente passare da Poisson:

d2 ϕ

dx2 = − ρ

εsi=

qNAεsi

Abbiamo ovviamente bisogno di alcune condizioni al contorno per risolvere questa equazione differen-ziale; la prima sia la seguente:

dϕ

dx= ϕ′ ⇒ ϕ′

(Ldepl

)= 0

Possiamo perciò mettere insieme le cose e scrivere:

d2 ϕ

dx2 =dϕ′

dx= − ρ

εsi=

qNAεsi

⇒ dϕ′ =qNAεsi

dx

Quanto scritto fin’ora vale ovviamente fra 0 ed Ldepl , visto che oltre tale ascissa non vi è carica per ipotesi.Ora che abbiamo separato le variabili possiamo integrare (ricordando la nostra condizione al contorno perscrivere gli estremi dell’integrale):

0∫ϕ′(x)

dϕ′ =

Ldepl∫x

qNAεsi

dx

−ϕ′ (x) =qNAεsi

(Ldepl − x

)Ora riapplichiamo il metodo testé abilmente usato: forniamo una nuova condizione al contorno,

ϕ(

Ldepl

)= 0

separiamo le variabili

−ϕ′ (x) =dϕ

dx=

qNAεsi

(Ldepl − x

)⇒ −dϕ =

qNAεsi

(Ldepl − x

)dx

e integriamo:

−0∫

ϕ(x)

dϕ =

Ldepl∫x

qNAεsi

(Ldepl − x

)dx

Otteniamo infine:

ϕ (x) =qNAεsi

[Ldepl

(Ldepl − x

)− 1

2

(L2

depl − x2)]

Possiamo, se proprio lo desideriamo, ottenere il potenziale sulla superficie fra S ed I (ovvero φS) sempli-cemente sostituendo x = 0:

ϕ (0) = ϕS =12

L2depl

qNAεsi

Invertendo questa formula è possibile ricavare Ldepl ovvero il tratto per il quale le bande, all’interno delsemiconduttore, hanno una curvatura parabolica (in altre parole, scopriamo quant’è spessa la regionesvuotata):

2ϕSεsi

qNA= L2

depl ⇒ Ldepl =√

2ϕSεsiqNA

ϕS=2ϕF−−−−→√

4ϕFεsiqNA

Scopriamo dunque che, quando ci troviamo in condizione di forte inversione, il potenziale superficialevaria molto poco al variare della quantità di carica superficiale: in altre parole, con poca tensione sono ingrado di portare molta carica al di sotto dell’ossido. Forti della conoscenza di Ldepl , sfruttiamo il risultatoottenuto precedentemente per la quantità di carica Qdepl per ricavare, in modulo:

Qdepl = qNALdepl =√

2qϕSεsi NA =√

4qϕFεsi NA

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Figura 4.11: Profilo di potenziale nel dispositivo

4.4.2 Tensione di soglia

Figura 4.12: Prima superficie sulla quale andiamo ad applicare il teorema di Gauss

Torna utile, in questo frangente, il teorema di Gauss: in soldoni, questo importante enunciato si puòriassumere affermando che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è pari alla carica in essacontenuta fratto la costante dielettrica del mezzo. Dunque il nostro flusso dipende solamente dalla caricaelettrica contenuta all’interno della superficie, che sceglieremo ad arte:

• superficie parallelepipedoidale15 (superficie delle facce ’laterali’ = A) che comprende parte dell’os-sido e (almeno) la parte svuotata del semiconduttore: questa situazione è illustrata in figura 4.12.Abbiamo in tal caso che l’unica carica influente nella determinazione del flusso Φ è la Qdepl , vistoche consideriamo il canale come appena formatosi (e dunque Qn è trascurabile); si ha perciò:

Φ =qε⇒ Eoxεox A− Esiεsi A = Dox A− Dsi A = Qdepl

Immaginiamo ora di schiacciare le superfici laterali del nostro parallelepipedo, portando δ → 0ma mantenendo pur sempre un’infinitesima quantità di carica Qdepl > 0 all’interno del volumetto inquestione. Avremo allora che, per continuità, i vettori di spostamento elettrico verranno a coincidere:

Dox = Dsi

Ne consegue che:

εoxEox = εsiEsi ⇒Eox

Esi=

εsiεox

A cosa ci serve questo risultato? Facendo l’ipotesi che il potenziale sia nullo sul bulk, abbiamo:

φS + Vox = VG −VFB

15Sei riuscito a leggerlo senza incespicare? Big rispetto per te.

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Si può comprendere questa equazione mediante la figura 4.11: presso il metallo (M) si ha VG, Vox èla caduta di tensione sull’ossido, φS il potenziale sulla superficie fra isolante e semiconduttore, VFBla tensione di flat-band16. Esplicitando Vox:

Vox = VG −VFB − ϕS

Dalle leggi fondamentali dell’elettrostatica:

Eox =Vox

tox=

VG −VFB − ϕStox

Ed ecco che ci torna utile il risultato di prima:

εsiEsi = εoxEox =εox

tox(VG −VFB − ϕS) = Cox (VG −VFB − ϕS)

• superficie parallelepipedoidale (vedi sopra) comprendente solo il semiconduttore, per un volumealmeno esteso quanto la parte svuotata e con una delle facce laterali coincidente con la giunzioneS-I: l’estensione di questa superficie è visualizzata in figura 4.13.

Figura 4.13: Seconda superficie sulla quale andiamo ad applicare il teorema di Gauss

Applicando nuovamente il teorema di Gauss abbiamo:

−Dsi A = −AEsiεsi = Qdepl + Qn

Il segno meno è dovuto ad una convenzione17, Qdepl è la carica fissa di svuotamento e Qn è lacarica mobile. Ebbene: −Esiεsi lo sappiamo esprimere, mentre Qdepl l’abbiamo calcolato nel puntoprecedente, dunque possiamo ricavare l’espressione di Qn:

Cox (VG −VFB − ϕS) =√

2qεsi ϕSNA + Qn ⇒ Qn = −Cox (VG −VFB − ϕS) +√

2qεsi ϕSNA

Alla tensione di soglia VT , il canale non è ancora formato quindi la carica invertita è nulla:

VG = VT Qn = 0

Sostituendo nell’espressione di Qn appena calcolata:

0 = −Cox (VT −VFB − ϕS) +√

2qεsi ϕSNA ⇒ VT = VFB + ϕS +1

Cox

√2qεsi ϕSNA

Agendo sul drogante possiamo quindi variare VT , ma le modifiche non sono molto marcate perchévanno con andamento di radice quadrata. Chiamando γ il coefficiente di effetto Body:

γ =√

2qεsi NA

Cox⇒ VT = VFB + ϕS + γ

√ϕS

ϕS=2ϕF−−−−→ VFB + 2ϕF + γ√

2ϕF

16La tensione di banda piatta è una caratteristica di tipo fisico-tecnologico, che rappresenta la tensione che si deve applicare al gateaffinché il potenziale sia costante nella direzione verticale del dispositivo (quindi nullo perché uguale al valore di riferimento nelsubstrato).

17E più non dimandare.

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Sapendo che VGB = VG − VS + VS − VB = VGS + VSB e che VG = VT , otteniamo la seguenteespressione, valida per valori VSB anche diversi da zero:

VT = VFB + VSB + 2ϕF + γ√

2ϕF

Ci salta immediatamente all’occhio la dipendenza della VT della VSB: questo può essere un problemanon da poco perché è come se vi fosse una capacità interposta fra source e bulk. Chiamando VT0 latensione di soglia quando VSB = 0 (18)

VT0 = VFB + 2ϕF + γ√

2ϕF

è lecito riformulare la nostra equazione in:

VT = VT0 + γ(√

2ϕF + VSB −√

2ϕF

)Dunque, all’aumentare del drogaggio, la variazione di VT diventa più rilevante. Difatti:

dVTdVSB

∝ γ ∝√

NA

4.4.3 Corrente

Facciamo delle ipotesi semplificative:

• VG > VT (inversione avvenuta e canale formato);

• Qn > 0;

• VDS abbastanza piccola da considerare il canale rettangolare e non triangolare;

• Qdepl costante nel canale (conseguenza immediata dell’ipotesi precedente); stessa cosa per Qn.

Possiamo formulare l’espressione della IDS nel seguente modo19:

IDS =carica totale nella regione svuotata

tempo di attraversamento source - drain=

QNtSD

=QnWL

tSD= COX (VG −VT)︸︷︷︸

Qn

·WLtSD

Nella precedente relazione W è la larghezza del canale al di sotto dell’ossido ed L la sua lunghezza; questoci permette di applicare la seguente semplice legge della meccanica classica:

tSD =L

vD= − L

µnE= − L

µnVD−VS

L

= − L2

µnVDS

Sostituendo nell’espressione di IDS:

IDS = −µnCoxWL

(VG −VT) VDS

4.5 Altri aspetti realizzativi

Chiamiamo ora QB la carica presente nella zona svuotata, cioè la carica positiva che si ha quando ilMOS è spento, e Qn la carica di inversione (figura 4.14), cioè quella che abbiamo indotto sotto l’ossido percreare il canale all’accensione del transistor. Se siamo in condizioni di equilibrio (o di quasi-equilibrio20),la caduta di tensione sull’ossido viene espressa tramite questi due parametri:

Vox = Eoxtox =εsiεox

tox

(−Qn + QB

εsi

)= − tox

εox(Qn + QB)

18Siccome supponiamo praticamente sempre che VB = 0, intenderemo che VT0 è la tensione di soglia che si ha quando la tensioneal source è nulla.

19Funziona tutto come in un condensatore a facce piane e parallele: la relazione per capacità e carica è semplicemente Q = CV.20Anche se ci sono forze esterne, noi supporremo nulla la corrente.

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Figura 4.14: Schema della distribuzione di carica e di potenziale. Quando siamo alla soglia i punti massimi di QN eQB si toccano: ecco perché QB è preponderante su QN .

Come si vede dalla figura sopracitata, la parte preponderante della carica è quella che fa capo a QB, mentreQn è minoritaria; quando però viene applicata sul gate una tensione VG = VT , presso l’ascissa tox si ha cheQB = Qn e tale quantità di carica è corrispondente ad un piegamento delle bande pari a 2φF. Lo spessoredella zona svuotata, alla soglia (figura 4.15), è pari a:

xd =

√2εsiqNA

2φF

Figura 4.15: Parametri riferiti alla zona svuotata nel semiconduttore

Abbiamo già detto che, per continuità, si ha

Dox = Dsi

e che dunque:

εoxEox = εsiEsi ⇒Eox

Esi=

εsiεox

Se consideriamo che il silicio ha una costante dielettrica che è circa il triplo di quella dell’ossido, avremoche Esi sarà tre volte più debole di Eox. Ecco che quindi i diagrammi a bande che abbiamo visto fin’orapotrebbero essere resi più corretti21 rendendo la pendenza del profilo di potenziale nell’ossido tre voltesuperiore a quella che si ha, appena prima, nel semiconduttore (figura 4.16). Ecco quindi che ci si profiladavanti una questione piuttosto sottile ma fondamentale in sede di progetto: per far funzionare il MOSdobbiamo, mediante l’applicazione di una tensione sul metallo, indurre nel silicio un potenziale sufficien-te a creare il canale, ma come facciamo a creare questo campo senza sprecare potenza? Se infatti l’ossidoè molto spesso, la caduta di potenziale attraverso di esso sarà molto grande e dovremo applicare moltatensione al gate per creare il canale. Viceversa, se nell’ossido di silicio cadesse meno tensione (cioè se fossemeno spesso), potremmo quindi risparmiare sulla VG e sprecare meno potenza (figura 4.17: vengono raf-figurati diversi spessori per l’ossido assieme alle relative tensioni). Tra gli anni ’70 e gli anni ’90, il grandelavoro degli ingegneri elettronici è stato quello di ridurre il più possibile il tox. Oggi purtroppo siamoarrivati a un limite tale per cui l’ossido è talmente poco spesso che, se fosse ulteriormente più sottile,non isolerebbe adeguatamente. Per migliorare le cose si cerca quindi di calare la pendenza della retta del

21Poi però sarebbe scomodissimo disegnarli. . .

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Figura 4.16: Pendenza della curva rappresentante il potenziale

Figura 4.17: Il problema dello spessore dell’ossido

profilo di potenziale attraverso l’isolante: l’unico modo per raggiungere questo obiettivo è ahimè22 quellodi cambiare materiale, scegliendone un altro (o altri, perché no) avente una costante dielettrica maggiore(hi-key23). Una figura di merito molto diffusa è quindi la EOT (Equivalent Oxide Thickness, spessore equi-valente dell’ossido): dato un certo isolante, complesso quanto si voglia, tale parametro ci dice quantodovrebbe essere spesso un equivalente strato di SiO2 per avere le stesse prestazioni in termini di cadutadi potenziale. Come al solito, la scelta della struttura dell’isolante soggiace ai capricci di un trade-off : si èinfatti scoperto che facendo crescere uno o due strati di ossido di silicio prima di depositarvi altri ossidisopra, il risultato è molto buono24. Tuttavia, questo spazio usato per il silicio ci fa perdere un po’ dellebuone proprietà del materiale alternativo (e avente ε migliore rispetto al SiO2) cosicché l’EOT aumentaimmediatamente.

Figura 4.18: Aumento del potenziale al crescere della VG

22L’interfaccia isolante di ossido di silicio è così comoda! Per crearla basta infatti infilare il semiconduttore in un forno pieno diossigeno, senza bisogno di spalmare meccanicamente del materiale sulla superficie. E poi questo processo elimina anche le impuritàche sarebbero presenti sull’interfaccia S-I. . . Peccato!

23In inglese la epsilon si chiama così. Mah.24Si ha ad esempio un miglioramento della mobilità elettronica.

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Altro accorgimento per sprecare meno potenza: se aumentiamo la tensione sul gate abbiamo unacrescita di tensione sul semiconduttore in grado di richiamare tantissima carica sul silicio. Non servequindi creare un potenziale maggiore dei famosi 2φF per creare il canale: la carica è in tali condizioni giàsufficiente e un aumento (anche infimo) di tensione richiama immediatamente molta altra carica, dunquepossiamo risparmiarci la potenza che sprecheremmo aumentando troppo VG.

4.5.1 Effetto Body, più in dettaglio

Quando la differenza di potenziale tra source e bulk è diversa da zero, si ha il cosiddetto effetto Body(in inglese Body effect) il quale contribuisce ad aumentare la tensione di soglia Vtn0 (vedi paragrafo 4.4.2per le espressioni matematiche). L’effetto Body è dovuto alla presenza di capacità parassite tra il canale,sostanzialmente al potenziale del source, e il substrato del transistore: le variazioni della tensione di co-mando vedono pertanto una partizione capacitiva tra la capacità gate-canale e la capacità canale-substrato.Nel caso in cui il source, e quindi il canale in prima approssimazione, è mantenuto allo stesso potenzialedel substrato questa seconda capacità è ininfluente ai fini del trasferimento del segnale e la tensione disoglia è quella nominale Vtn0. La presenza di una tensione tra source e substrato determina la necessitàdi un caricamento di questa capacità parassita: parte della tensione applicata al gate va dunque a caderesu di essa e, per ottenere l’inversione dei portatori all’interfaccia ossido-substrato, dobbiamo applicare sulgate una tensione più elevata di quella che sarebbe necessaria in condizioni prettamente ideali25, ovvero icanonici 2φF.

Figura 4.19: Effetto Body

Se vogliamo visualizzare la cosa, possiamo affermare che l’effetto Body è causa della comparsa diun terzo elettrodo virtuale (figura 4.19): al crescere di VSB, infatti, presso il source va ad incrementarsi lospessore della zona svuotata. L’estendersi della zona svuotata ha come risultato l’allungamento dell’areaove cade il potenziale (tutta potenza sprecata!). Applicando una tensione di bulk negativa andiamo infattia tirare giù, sul semiconduttore, il profilo di potenziale di figura 4.14, e considerando che non si può avereun cambio di curvatura per il profilo di potenziale (il doping non è cambiato), il risultato è quello di unamaggiore penetrazione della zona svuotata attraverso il silicio.

Ponendo una tensione negativa sul bulk, abbiamo presso il source una quantità di carica QB maggioredi quella che avremmo con il terminale B a massa (il confronto è in figura 4.20). Per cacciare questa(maggiore) quantità di carica nel substrato, e richiamare elettroni sufficienti per creare il canale, serviràpiù tensione. . . e da qui l’effetto Body.

25A causa dell’effetto Body, l’equazione scritta per le correnti nel MOSFET non è accurata. Infatti se supponiamo di mantenereuna certa tensione tra il drain ed il source, la tensione nei punti del canale non è costante, ma varia man mano che ci si sposta da unpotenziale all’altro (solitamente la massa per il source). Una ulteriore approssimazione deriva dall’aumento della tensione di soglia.Il campo elettrico presente nel canale è dettato unicamente dalle tensioni di drain e di source, mentre la carica indotta all’interfacciaossido-silicio dipende dalla tensione di gate. Se si considera la tensione di soglia senza effetto Body si ha una carica indotta nel canaleminore di quella che i calcoli vorrebbero, ossia il trascurare l’aumento della tensione di soglia comporta un errore in eccesso nellavalutazione della corrente del canale. Per questa corrente sarebbe necessario aumentare il campo elettrico, ma ciò non è possibile inquanto E dipende solo dalla tensione tra drain e source. Si ha allora una distribuzione del campo elettrico diversa da quella attesa nellaapprossimazione fatta, e una corrente che risulta essere minore. Si può pensare anche di sfruttare vantaggiosamente questo effettoapparentemente solo negativo. Nella tecnologia scalata sta diventando fondamentale il problema dato dalle correnti di sottosoglia.Esse comportano una dissipazione statica di potenza considerevole e risultano ormai comparabili come ordine di grandezza con lecorrenti a cui funzionano i transistori moderni. Si sfrutta allora l’effetto Body andando a polarizzare ad una tensione bassa (rispettoa quella di source) il substrato, così da diminuire esponenzialmente le correnti circolanti sottosoglia.

79


Figura 4.20: Quantità di carica sul metallo e sul semiconduttore: il valore di φS alla soglia, nel caso VSB > 0, èmaggiore del valore φS senza effetto body. Ne deduciamo che la profondità di svuotamento ed il modulodella carica di svuotamento risulteranno più grandi nel caso di effetto Body. Carica di svuotamento:QD = −γCOX

√2φF + vsb

.

4.6 Calcolo della corrente nel caso di canale non rettangolare

Figura 4.21: La struttura del MOS come combinazione di condensatori

Finché la tensione Vds applicata al transistor è piccola (come abbiamo supposto nel paragrafo 4.4.3),possiamo immaginare l’intera sezione del MOS come un unico condensatore e supporre che il canale dicariche sia uniforme e quindi rettangolare. Se però Vds smette di essere trascurabile, il canale non saràpiù rettangolare bensì triangolare: la carica negativa tenderà infatti ad ammassarsi presso il terminale apotenziale maggiore (fra S e D). Cade inoltre l’approssimazione di unico ’condensatore’: per un’analisipiù accurata della corrente dobbiamo invece dividere il canale in tante striscioline verticali infinitesime,ognuna delle quali assimilabile ad un piccolo condensatore che contiene un profilo costante di carica. Inquesta situazione ogni condensatore contiene una diversa quantità di carica ed ha un proprio overdrive ditensione. Supponiamo ora che l’elettrostatica si manifesti principalmente nella direzione verticale26 y: ov-viamente i nostri condensatori immaginari non sono separati da paratie, tale ipotesi è irrealistica, tuttaviaquesto ci permette di semplificare di molto la trattazione. Per ipotesi, dunque, ad ogni dy corrisponderà

26Questo significa che i campi elettrici in verticale siano molto più consistenti di quelli orizzontali. Questa è un po’ una forzatura,se consideriamo che tale ipotesi cozza contro quella di tensione Vds (orizzontale) relativamente alta.

80


un problema elettrostatico a sé stante. Abbiamo quindi adottato un modello di canale graduale (gradualchannel approximation):

∂ϕ

∂x� ∂ϕ

∂ySe la tensione di drain è troppo grande, questo modello non va più bene e smette di essere predittivo.La corrente che scorre attraverso il singolo condensatore (largo W, con una componente di resistenzadifferenziale per il canale pari a dR) dipende da quanta carica gli scorre ’sotto’:

dVC = I · dR

La resistenza differenziale del canale è pari a27:

dR = ρdyA

= ρdy

WxC

Abbiamo inoltre che:ρ (y) =

1σ (y)

=1

qn (y) µ (y)Si noti che la conducibilità è unicamente funzione di quanti elettroni abbiamo all’ascissa che ci interessa.Sostituendo nell’espressione della resistenza differenziale, compare il termine Qn(y) ovvero la quantitàtotale di carica d’inversione all’ascissa y:

dR = ρdy

WxC=

dyW xCqn (y)︸︷︷︸

=−Qn(y)

µ (y)= − dy

WQn (y) µ (y)

Otteniamo infine un’espressione che vale striscia per striscia (entro le quali la corrente non cambia);notiamo immediatamente che, man mano che andiamo verso il drain, la resistività aumenta:

dVC = I · dR = −Idy

WQn (y) µ (y)

Integrando:L∫

0

Idy = −VD∫

VS

WQn (y) µ (y) dVC ⇒ I = −µWL

VD∫VS

Qn (y) dVC

4.7 Modello GCA e confronto col modello lineare

Abbiamo detto che l’effetto Body ha un’entità differente in base alla coordinata alla quale andiamo adeffettuare l’analisi all’interno del canale (figura 4.22). Man mano che ci spostiamo all’interno di quest’ulti-mo, cambia anche la soglia totale: in figura 4.23 vediamo infatti il profilo energetico del condensatore piùa sinistra (linea continua) e in quello più a destra (linea tratteggiata28) di figura 4.22. Notiamo che il primocaso è quello a profilo energetico più alto, visto che il potenziale è inferiore29, e che il punto indicato conφS è quello che si trova al potenziale del source.

La carica svuotata che si trova presso il drain è molta di più per via del fatto che la tensione ivi presenteè in grado di rendere più influente la giunzione pn che si viene a formare al contatto fra i semiconduttori.Siccome la somma di Qb, carica svuotata, e di Qn, carica di inversione, è costante30, ne consegue che aquell’ascissa si ha meno carica invertita31. La corrente di drain dipende dalla carica di inversione in basealla relazione:

ID = −µnWL

VD∫VS

Qn (VC) dVC

La carica di inversione ha la seguente espressione:27W = larghezza (dimensione entrante nel foglio); xC = altezza (dimensione verticale).28Il valore minimo di EC è parente della carica presente appena sotto l’ossido: è minore rispetto al primo caso per via del fatto è

presente meno carica.29Vi dice niente il famoso segno meno? :-)30La quantità QB + QN è costante una volta che fissiamo VG . All’aumentare di VG aumenta anche il valore assoluto di QB + QN .31Fettina dopo fettina, andando verso destra, Qb cresce e Qn cala.

81


Figura 4.22: Canale e variazione della soglia locale

Figura 4.23: Andamento del profilo energetico nel primo e nell’ultimo condensatore del canale

Figura 4.24: Giunzione pn e zona svuotata presso il drain

Qn = −Cox [VG + VFB −VC − 2 |φF|]︸︷︷︸(1)

+√

2εSqNA (2 |φF|+ VC −VB)︸︷︷︸(2)

Dal termine (1), che dipende linearmente da VC, ci si aspetta una dipendenza quadratica rispetto a VDS;dal termine (2), in cui VC è sotto radice, ci aspettiamo una dipendenza ’alla 3

2 ’ dalla VDS.Introduciamo un’ipotesi semplificativa: consideriamo Qb costante lungo tutta la struttura e avente

valore minimo32, ovvero quello che possiede nella prima fettina presso il source. Questo semplifica note-volmente le cose dato che il termine (2), cioè quello sotto la radice, non va più integrato per ricavare lacorrente, visto che la nostra semplificazione ha lo stesso significato di imporre VC = VS.

32Sottostimando Qb sovrastimiamo Qn.

82


Risolviamo ora il nostro integrale, ma prima ridefiniamo al tensione di soglia VT al source:

VT = VFB + VS + 2 |φF|+1

COX

√√√√√√2εSqNA

2 |φF|+ VS︸︷︷︸=VC

−VB

Sostituiamo VT nell’espressione di Qn: la radice scompare e rimane

Qn (VC) = −COX (VG −VT −VC −VS)

Si noti che, se ci troviamo al source, VC = VS; andando verso destra, cioè verso il drain, VC cresce quindi lacarica cala. Ora possiamo inserire l’espressione di Qn all’interno dell’integrale che ci fa pervenire a ID eche ora, fortunatamente, è abbastanza semplice da risolvere:

ID = −µnCOXWL

VD∫VS

(VG −VT −VC −VS) dVC

ID = −µnCOXWL

[(VGS −VT) VDS −

12

V2DS

]Si ricordi che questo modello (GCA: Gradual Channel Approximation) è stato ricavato mediante approssi-mazione33 su Qb. Questa corrente è inferiore a quella del modello lineare (paragrafo 4.4.3), come si vedechiaramente nel grafico di figura 4.25. Il modello GCA è più preciso, ma non è più valido a partire

Figura 4.25: Confronto fra corrente ID secondo i modelli lineare e GCA

dalla tensione di drain V∗D tale per cui la carica presente al drain stesso è nulla (figura 4.26): aumentandoulteriormente la tensione, portandola cioè a valori VD > V∗D, la carica al drain cambierebbe infatti segnoe diventerebbe positiva. Questo fa evidentemente decadere la validità del modello GCA: in figura 4.25 sivede infatti che la corrente tenderebbe irrealisticamente a calare per via del prevalere del termine V2

DS.

4.8 Strozzamento del canale (pinch-off ) ed effetti di canale corto (chan-nel length modulation)

Per VD > V∗D = VDSsat il canale si strozza, ovvero termina prima del drain: ci troviamo quindi in unaregione in cui non ha più formalmente senso parlare di buca di potenziale. Alzando la tensione di drain,

33Il modello GCA completo, più preciso, fissa il seguente valore per la corrente di drain:

ID = −µnCOXWL

[(VGS −VFB + 2 |φF |) VDS −

V2DS2− 2

3γ((2φF + VDB)

32 − (2φF + VSB)

32)]

83


Figura 4.26: Situazione tale per cui VD = V∗D e la carica presso il drain è nulla

Figura 4.27: Abbassamento della barriera di potenziale

infatti, il profilo delle bande energetiche evolve come in figura 4.27 e, da un certo punto in poi, la barrierascompare cosicché gli elettroni possono andare dove vogliono. Un innalzamento della tensione di gatepermette quindi il passaggio di elettroni nel canale (figura 4.28). La barriera cala inizialmente in maniera

Figura 4.28: Aumento della tensione di gate

lineare, poi, all’aumentare della tensione VDS il suo piegamento è sempre più curvo. Commettendoun’approssimazione un po’ grossolana34, oltre la tensione di saturazione VDSsat il canale si strozza e lacaduta di tensione avviene tutta al drain e non più lungo il canale, il quale non modifica il suo profilo.Quanto detto è mostrato nell’immagine 4.29. Il punto VDSsat = V∗DS può essere ricavato mediante ilmodello lineare del MOS:

ID = β

[(VGS −VT) VDS −

12

V2DS

] ∂∂VDS−−−→ ∂ID

∂VDS= β [(VGS −VT)−VDS] = 0

VDSsat = VGS −VT

Se continuiamo ad aumentare la tensione al drain, il punto di strozzamento35 (pinch-off ) del canale sisposta sempre più verso il source e le cariche si ’ammassano’ sempre più verso di esso. Lo spostamento

34Non è possibile che vi sia una caduta di tensione in spazio zero: parte di essa dev’essere stata persa durante il canale.35Strozzare il canale è come strozzare una gomma d’acqua: li getto che ne fuoriesce è fortissimo.

84


Figura 4.29: Effetti dell’innalzamento della tensione di gate

del punto di pinch-off provoca una variazione della corrente, visto che il canale si è ristretto e la sualunghezza L si trova al denominatore nell’espressione di ID. La lunghezza del canale è un parametroimportantissimo, che dipende dalla tecnologia e dalle caratteristiche elettrostatiche del dispositivo: percanali sempre più corti (è questa la direzione in cui va lo sviluppo tecnologico), la parte lasciata scopertadal pinch-off diventa sempre meno trascurabile rispetto alla lunghezza fisica totale del canale. Questosignifica che l’effetto del pinch-off risulta decisamente più preminente e, in saturazione, la corrente nonrimane costante ma assume una dipendenza di VDS. Ne conseguono due effetti:

• per canali sempre più stretti, in saturazione non abbiamo più corrente costante (figura 4.30);

• il punto avente derivata nulla della curva ID si sposta sempre più a destra all’aumentare di VGS(figura 4.31).

Figura 4.30: Andamento non più costante della corrente in saturazione

Questi effetti, di cui bisogna tenere grandemente conto quando si va a scalare la nostra tecnologia,possono esser meglio compresi se vediamo la situazione nel seguente modo: in un MOS a canale lungoil gate è sufficientemente esteso da regolare in maniera opportuna le linee di campo, prevalendo in tal

85


Figura 4.31: Spostamento del punto avente derivata nulla

senso sugli altri terminali. Un gate molto corto, al contrario, interagirebbe con source e drain fregandosenealtamente di comandare il canale.

Facciamo un passo indietro: avevamo definito come irrealistica la situazione in cui vi era caduta nulla,lato drain, all’aumentare della tensione VDS = VDSsat (figura 4.28). Ed infatti così non accade. Anzi, c’è dipeggio: immaginiamo di essere sottosoglia, con una tensione di gate VG < VT e quindi insufficiente a creareil canale. Se agiamo sul potenziale del drain, portandolo a valori negativi e abbassando il diagramma comeillustrato in figura 4.32, la barriera viene comunque modulata: questo provoca il passaggio di corrente, ilquale avrà un’intensità maggiore tanto più è corto il canale (vedi anche il paragrafo 4.8.2, in cui si parladegli effetti DIBL, Drain Induced Barrier Lowering).

Figura 4.32: Effetti indesiderati di sottosoglia

Se esaminiamo le linee di campo in caso di assenza o presenza di effetti SCE (figura 4.33) notiamo che:

• nel primo caso (assenza di SCE) le linee equipotenziali sono perfettamente simmetriche e paralleleal gate. Possiamo utilizzare con profitto l’approssimazione di canale graduale e non vi sono inoltreeffetti di bordo;

• nel secondo caso li linee sono disordinate e fortemente condizionate dal drain, il cui campo penetradi molto nel canale. Gli effetti DIBL (vedi paragrafo 4.8.2) sono critici e con essi siamo costretti adaccollarci l’alterazione della VT e l’aumento della corrente di perdita.

4.8.1 Velocity Saturation

A causa di questo effetto, la saturazione della corrente di drain in un dispositivo a canale corto avvienea valori inferiori rispetto a quello ’classico’ VDSsat = VGS−VT . La corrente di saturazione si discosta quindidalla dipendenza di VGS che si ha in un dispositivo a canale lungo (vedi figura 4.35). La saturazione dellacorrente si deve alla saturazione della velocità dei portatori. Per tale parametro, le equazioni classiche

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Figura 4.33: Canale lungo vs. canale corto

fissano una diretta proporzionalità con il campo elettrico orizzontale fra il drain e il source: il parametroche fissa la proporzionalità si chiama mobilità (µp per le lacune e µn per gli elettroni).

vn = µnE vp = µpE

In realtà la velocità dei portatori, per campi elettrici elevati, non aumenta linearmente, ma viene limitatadagli effetti di scattering (collisioni) col reticolo del semiconduttore. La conseguenza è che la mobilitànon è costante, ma varia con il campo elettrico orizzontale E; in particolare, esiste un valore critico ECdel campo elettrico oltre il quale la velocità satura e non aumenta più per ulteriori incrementi del campoelettrico. La dipendenza della velocità dal campo non è quindi di tipo lineare e soggiace alla legge:

vn =µnE

1 + EEC

Questo effetto è presente anche nei transistor a canale lungo, solo che in tale caso il campo elettricoorizzontale risulta più piccolo e non raggiunge il valore critico. Si ricorda però che la riduzione delledimensioni e contemporaneamente del potenziale applicato ai transistor fa sì che, nel tempo, il campoelettrico dei vari dispositivi rimanga costante.

Se consideriamo gli effetti della velocity saturation, otteniamo una IDS inferiore rispetto al caso di canalelungo:

IDS =µnCOX

1 + VDSL·EC

WL

[(VGS −VTH) VDS −

V2DS2

]

Tale espressione è uguale a quella classica con, in più, un termine al denominatore. La corrente effettivaè infatti tanto più piccola quanto più è grande il termine VDS

L , il quale fornisce una sorta di misura del’campo medio’ nel canale. Tanto più tale valore si avvicina al valore critico (quindi maggiore è VDS ominore è L), tanto più il transistor è affetto dal fenomeno di saturazione della velocità.

Le equazioni reali, in questo caso, sono di difficile utilizzo dunque useremo una semplificazione delprim’ordine molto utile ed efficace per l’analisi dei circuiti digitali: supporremo quindi che la saturazionedella velocità avvenga bruscamente per un certo campo critico e che prima di allora abbia il valore costantenormalmente utilizzato. In questo modo l’equazione del transistor nella regione di triodo (lineare) rimanequella classica, mentre cambia solo quella della corrente di saturazione, che ricaviamo dall’equazioneclassica sostituendo il nuovo valore della tensione di saturazione (che è la tensione per cui il camporaggiunge valore critico), come mostrato in figura 4.34. In figura 4.35 vediamo i nuovi andamenti dellacorrente lungo il canale. Riassumendo, abbiamo:

• curve di corrente non più a pendenza nulla;

• un abbassamento della tensione di soglia, che non si capisce neanche tanto più bene dove sia.

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Figura 4.34: Approssimazione per tenere conto dell’effetto di velocity saturation

Figura 4.35: Effetto della velocity saturation

4.8.2 Drain-induced barrier lowering (DIBL)

Nella regione di forte inversione vi è una barriera di potenziale interposta fra il source e la regioneove sussiste il canale: tale parametro è il risultato di un equilibrio fra la corrente di drift e quella didiffusione. Idealmente questa barriera dovrebbe essere controllata completamente dal gate36. Gli effettiDIBL avvengono quando l’altezza di tale barriera si riduce a causa di una grande tensione applicata aldrain: questo porta ad un incremento del numero di portatori di carica iniettati all’interno del canale daparte del source e ad un aumento della corrente di sottosoglia. Dunque la corrente di drain viene controllatanon solo dalla tensione di gate, ma anche da quella del drain stesso.

36Questo massimizzerebbe la transconduttanza.

88


L’entità di questo effetto è chiaramente visionabile in figura 4.36: in tale immagine vediamo la transca-ratteristica del MOS sia in scala logaritmica che in quella naturale37 (si noti che vi sono due diverse scaleai lati del grafico, riferite dalle frecce sopra le curve). Prima della tensione di soglia VT , cioè nelle regionidi subthreshold, la crescita della corrente IDS ha andamento lineare in un grafico a scala logaritmica, il chécorrisponde ad una crescita esponenziale della corrente in scala naturale.

Figura 4.36: Transcaratteristica del MOS

In figura 4.37 vediamo invece le componenti di drift e di diffusione: soprasoglia prevalgono le prime,mentre nella subthreshold region sono più consistenti le seconde. Nella regione di sottosoglia l’espressionedella corrente è costituita da due termini esponenziali:

IDS = µe f f COXWL

(m− 1)(

KTq

)2exp

{q (VG −VS)

mKT

}(1− exp

{− qVDS

KT

})

Il primo è il solito termine dipendente da VGS, edulcorato dal parametro m = VG−VTVDS

; il secondo terminedipende da VDS: qui si nota bene l’effetto di cui parlavamo poco fa quando dicevamo che è presente unasgradevole corrente di sottosoglia se abbassiamo di molto il drain quando VG < VT . La presenza di VDS alnumeratore dell’esponente fa sì che VD molto bassa influenzi sensibilmente la corrente di sottosoglia.

Figura 4.37: Componenti di drift e di diffusione

37Attorno alla tensione VT il modello semplice e quello di canale graduale non vanno più bene.

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Può essere interessante capire qual è la pendenza della transcaratteristica nella zona di sottosoglia: ilparametro che si usa in sede pratica viene chiamato slope38 e - attenzione - rappresenta l’inverso dellapendenza.

S =(

d (log IDS)dVG

)−1= 2, 3

mKTq

Con lo scaling del dispositivo (vedi paragrafo 4.11) il termine m si abbassa, quindi S aumenta e la pen-denza della transcaratteristica diminuisce, cosa che ci allontana sempre di più dalla caratteristica idealeavente pendenza infinita presso VT .

In un grafico semilogaritmico la caratteristica della corrente appare come in figura 4.38: abbiamodenominato con IOFF e ION rispettivamente la minima corrente del dispositivo e quella che si ha quandoesso è acceso. La prima dev’essere possibilmente molto bassa, pena un abbassamento della durata dellabatteria; la seconda deve essere la più possibile stabile e netta a partire da VT . Ne consegue che IOFF èil parametro chiave per le Low Stand-By Power Application, mentre ION è fondamentale per le High-PowerApplication. Siccome la differenza fra ION e IOFF dev’essere la più marcata possibile, in modo da coniugarela stabilità della prima con il desiderio di avere una bassissima corrente di sottosoglia, il parametro ION

IOFFè

una figura di merito ottima per descrivere la tecnologia che abbiamo fra le mani.

Figura 4.38: Caratteristica della corrente in forma semilogaritmica

Tanto più il canale del transistor è stretto e tanto più si fanno sentire questi effetti: in figura 4.39vediamo infatti che le curve, allo stringersi di L, si alzano. La corrente, di conseguenza, è maggiore.

Figura 4.39: DIBL effects e lunghezza di canale

38Si misura in mV su decadi di A.

90


Infine si ha il cosiddetto threshold roll-off : a parità di tecnologia, appena cala la lunghezza di canale Lcrolla anche la VT (figura 4.40).

Figura 4.40: Threshold roll-off

4.8.3 Impact ionization e FBE

La ionizzazione da impatto è il processo per il quale una particella portatrice di carica elettrica perdeuna quantità di energia in grado di produrre la liberazione di altri portatori di carica. Nei semiconduttori,un elettrone o una lacuna con un’adeguata energia cinetica può urtare contro un elettrone legato (o instato fondamentale in banda di valenza) e promuoverlo in banda di conduzione, oppure può creare unacoppia elettrone-lacuna. Se il campo elettrico è molto intenso, questo può condurre all’effetto valanga(sfruttato ad esempio in certi diodi in cui piccoli segnali ottici vengono amplificati a monte dell’ingressodi un certo circuito).

A causa della ionizzazione da impatto nei pressi del drain, potrebbero ivi accumularsi lacune tali da fo-mentare la formazione di una polarizzazione diretta col substrato (vedi figura 4.41). Le lacune di cui sopraavrebbero inoltre l’effetto di modulare l’altezza della barriera, riducendo VT (FBE: Floating Body Effects).Questo accade sia in transistor a canale corto che in quelli a canale piuttosto lungo39 (anche superiore ai 2micrometri).

L’abbassamento della barriera dovuto agli effetti DIBL, tuttavia, permette un facile passaggio di lacune,le quali diventano quindi in grado di superare la barriera stessa e di fluire verso il source40: questo hal’effetto di ridurre il numero di lacune accumulate presso il drain e di attenuare il calo di VT indotto daiFBE. Se il canale è corto questo effetto è ancora più evidente, come mostra la figura 4.42.

4.9 Condensatore MOS

Il condensatore MOS ha grosse analogie con il transistor MOS: la struttura è infatti la stessa (figura4.43), tuttavia non sono presenti source e drain.

Anche le regioni di funzionamento del condensatore MOS sono praticamente analoghe alla sua controparte-transistor:

• accumulazione (VG < VB, figura 4.44): a rigore il livello di Fermi non sarebbe definibile perché nonsiamo in equilibrio termodinamico. Fortunatamente, tuttavia, esiste l’ossido a fungere da isolante,dunque possiamo localmente definire il livello di Fermi. Si notino le lacune accumulate appena sottol’ossido, attirate dal potenziale applicato al metallo;

39Anche se, tuttavia, la generazione di lacune dovute alla ionizzazione da impatto s’incrementa tanto più la lunghezza di gate cala.40Un campo elettrico imposto dal drain, soprattutto nel caso di transistor a canale corto, può ulteriormente abbassare la barriera e

permettere alle lacune di attraversarla facilissimamente.

91


Figura 4.41: Ionizzazione da impatto

Figura 4.42: DIBL e canale corto

Figura 4.43: Condensatore MOS

• banda piatta (VG = VB, figura 4.45): tutte le bande energetiche diventano, appunto, piatte;

• svuotamento (VG > VB, figura 4.46): durante lo svuotamento le bande energetiche invertono la lorocurvatura rispetto alla fase di accumulazione e le lacune vengono spinte verso il substrato. Iniziamoinoltre ad essere attirati degli elettroni sotto l’ossido;

• inversione (VG � VB, figura 4.47): le bande sono clamorosamente piegate e sotto l’ossido è presenteun gran numero di elettroni.

Ai lati opposti dell’ossido si accumulano quindi cariche di segno opposto, analogamente a quanto accadein un condensatore a facce piane e parallele.

In figura 4.48 vediamo l’andamento della quantità di carica (in scala logaritmica) in funzione dellatensione con, in evidenza, le varie regioni di funzionamento.

92


Figura 4.44: Condensatore MOS in regime di accumulazione

Figura 4.45: Condensatore MOS in regime di banda piatta

Figura 4.46: Condensatore MOS in regime di svuotamento

93


Figura 4.47: Condensatore MOS in regime di inversione

Figura 4.48: Quantità di carica in funzione della tensione applicata su un condensatore MOS

94


4.10 Capacità del MOS

In accumulazione e in forte inversione la capacità del condensatore MOS è fortemente non lineare

C =dQCdVG

= −dQSCdVG

= −(

dVGdQSC

)−1= −

[d (VFB + VOX + φS)

dQSC

]−1=

= −[

d (VFB + φS)dQSC

]−1=(

C−1SC + C−1

OX

)−1

con:

COX =εOXtOX

[F

um

]Dunque la capacità complessiva è data dalla serie di due capacità, come illustrato in figura 4.49. L’andamento

Figura 4.49: Capacità nel condensatore MOS

di CCOX

è mostrato in figura 4.50. In regione di accumulazione e di forte inversione CSC � COX , con

Figura 4.50: Andamento di CCOX

CSC = −dQSCdφS

95


Abbiamo dunque grandi variazioni di cariche per piccole variazioni del potenziale φS. Se φS < 2φF, ladensità di portatori diventa molto inferiore a quella di atomi droganti.

Inoltre si ha, per la dimensione della regione svuotata:

d2φ

dy2 = − qεS

= − qNAεS⇒ yd =

√2εSqNA

φS ⇒ QS = −qNAyd (φS)

Il ché significa che:

• la regione di svuotamento nel source aumenta con√

φS;

• da quando φS = 2φF la si considera costante;

• a parità di φS, yd cala all’aumentare del drogaggio.

Il potenziale di soglia, cioè 2φF è anche pari a:

2φF = 2KTq

lnNAni

Ad alte frequenze non è più vero che CSC � COX in forte inversione (figura 4.51): a f sempre maggioregli elettroni fanno sempre più fatica a formare lo strato di inversione. Questo perché i fenomeni diricombinazione sono lenti e le lacune hanno mobilità relativamente bassa. Tale effetto avviene sia neisubstrati n che in quelli p, ma nei primi l’entità è più grave. Il profilo di potenziale è invece quello di

Figura 4.51: Andamento di CCOX

ad alta frequenza

figura 4.52.

4.11 Scaling

Allo scopo di realizzare circuiti integrati a MOS sempre più veloci e integrati, la dimensione dei tran-sistor deve continuare a diminuire (scaling). Il consumo di potenza cresce però in maniera significativapiù aumenta l’integrazione: per contrastare questo inconveniente si può pensare di diminuire la tensionedi alimentazione, cosa effettivamente efficace. Questo porta tuttavia a una degradazione della capacitàdi pilotaggio della corrente del MOSFET. Si può a ragione dire che la storia del MOSFET-scaling è quin-di anche la storia di come evitare gli effetti di canale corto (Short Channel Effect, SCE41), i quali causanola dipendenza delle caratteristiche del dispositivo (come la VT) nei confronti della lunghezza del canale.Abbiamo inoltre visto che questi effetti portano ad una degradazione della corrente di sottosoglia e dellapendenza (slope) di subthreshold. Tale degradazione è tanto più grave quanto più la lunghezza del gatesi riduce fino ad essere comparabile con la lunghezza del canale, parametro che si riduce ulteriormentein caso di pinch-off. E non è ancora finita: a complicare la questione intervengono anche gli effetti DIBL(Drain-Induced Barrier Lowering), i quali riducono ulteriormente la VT e degradano la transcaratteristica

41Per prevenirli si può pensare di assottigliare lo strato d’ossido di gate in modo da limitare le giunzioni con il source e con il drain.

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Figura 4.52: Profilo di potenziale all’interno del transistore MOS

Figura 4.53: Una piccola cronologia dello scaling

del nostro MOSFET (e con essa controllabilità della corrente di canale da parte della VG: il gate scambiaquindi sempre più carica direttamente con drain e source, perdendo il controllo sul canale).

Chiaramente noi vorremmo evolvere la tecnologia senza subire le conseguenze negative: in tal caso siparla di field scaling (Dennard, 1978), o di scaling ideale. In tal caso si avrebbe una riduzione delle dimen-sioni accompagnata dal miglioramento delle performance: il termine field sta ad indicare che si vorrebbemantenere costante il campo nel processo di scaling, agendo sulle quantità fisiche legate ad esso.

Ahimé la natura si oppone allo scaling e gli effetti di non idealità si sprecano più si restringono ledimensioni, dunque abbiamo bisogno di regole che ci suggeriscano come ridurle in maniera opportuna:potremmo ad esempio pensare di assottigliare lo spessore dell’ossido (figura 4.54), di ridurre k voltela lunghezza di canale e anche la tensione. Questo però ci obbliga a ridimensionare al ribasso anche laprofondità delle giunzioni nonostante la regione svuotata, in particolare quella nel substrato (il doping nonè cambiato), sia rimasta inalterata. Questo potrebbe portarci a decidere di variare il drogaggio. Insomma,fare scaling non è cosa semplice e richiede molta attenzione da parte del progettista.

Per quanto sia faticoso e problematico, vale sempre la pena di fare scaling; i vantaggi sono infattimolteplici:

• riduciamo le capacità→ aumentiamo le prestazioni;

• riduciamo i consumi per transistor;

• facciamo stare più transistor all’interno dello stesso spazio;

• cala il cosiddetto cost per function.

I tre scenari problematici di cui tenere principalmente conto sono invece:

• gli effetti di canale corto;

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Figura 4.54: Assottigliamento dell’ossido e campi da esso tollerati

• i problemi legati alla potenza impiegata per il funzionamento;

• l’affidabilità (reliability).

Ma abbiamo dei limiti ultimi e invalicabili? Nel tempo (figura 4.55) si è più volte pensato di esseregiunti nei pressi di questi: negli anni ’70, per esempio, si credeva che la lunghezza limite assumibiledal canale fosse L = 1

4 um. In realtà questa era una grossa baggianata; l’esperienza ha dimostrato chefortissimi investimenti di denaro possono abbattere (quasi) ogni barriera tecnologica. Ovviamente suglieffetti quantistici non possiamo agire, ma sembriamo essere ancora ben lontani da tali limiti42.

Figura 4.55: Presunti limiti ultimi dello scaling

Si è parlato spessissimo della lunghezza del canale per indicare la bontà di una certa tecnologia: edinfatti tale parametro è importantissimo in quanto è legato, oltre che alle dimensioni complessive deldispositivo, anche allo spessore dell’ossido. Altro esempio storico: in passato si pensava di non potertollerare la di corrente di leakage dovuta a un sostenuto assottigliamento dell’ossido. In realtà l’economiaha imposto questo ’sacrificio’, visto che i benefici dello scaling si sono rivelati ben maggiori: abbiamoinoltre trovato altri materiali, alternativi al SiO2, e siamo riusciti a migliorare ancora le prestazioni.

Per essere il più possibile oggettivi si parla anche di nodo tecnologico: esso rappresenta la distanza fradue bit di memoria (che è sempre superiore alla lunghezza di gate). Tale parametro è molto indicativoin quanto possiamo anche pensare di progettare transistor con canale strettissimo e ossido supersottile,ma se poi essi devono essere tenuti reciprocamente a distanza per ragioni tecnologiche la bontà dell’interatecnologia ne risente. Considerare la distanza fra i bit di memoria non nasconde invece ’inganni’ di questotipo.

4.11.1 I parametri dello scaling

In figura 4.56 vediamo come variano i parametri di progetto una volta che si decide di effettuare unoscaling di fattore k.

42L’incubo odierno (sic) è la variabilità della tensione di soglia all’abbassamento di quella di alimentazione.

98


Figura 4.56: Parametri coinvolti nello scaling

Notiamo che rimane invariato il campo elettrico (come da definizione di field scaling), ovvero la quan-tità più rappresentativa di un dispositivo ’ad effetto di campo’ come il MOSFET. Lo spessore della zonasvuotata diminuisce di un fattore k, mentre la capacità specifica per unità d’area aumenta con k. Se ag-giungiamo il fatto che l’area cala di un fattore k2, la capacità complessiva si ridurrà con k2

k = k. Rimangonoinvariati sia la carica di inversione (pur avendo diminuito le tensioni) sia la resistenza di canale, in quantocorrente e tensione contemporaneamente si riducono del solito fattore k. Il delay introdotto dal circuito,consistendo in CV

I , cala di fattore k, mentre la potenza dissipata rimane invariata: se infatti la potenza percomponente si riduce k2 volte, la densità di componenti incrementa dello stesso parametro, cosicché lapotenza complessiva non varia. Infine l’energia dissipata, essendo pari al prodotto P · t, viene abbattutak3 volte.

4.11.2 I principali ostacoli allo scaling

Purtroppo ci sono grandezze, come ad esempio la regione svuotata al source o al gate, che proprio nonne vogliono sapere di scalare. La legge di Dennard imporrebbe inoltre di cambiare le tensioni, ma questoal produttore scoccia assai in quanto così perde compatibilità con le tecnologie precedenti. Si scegliequindi di scalare le tensioni di un fattore α

k : se α = 1 ricadiamo nel caso di ’Dennard-puro’, mentre sek > 1 lo scaling non sarà ideale. Non riuscivamo inoltre a scalare il built-in potential, né a variare il ben-gapdel silicio. Cercare di far calare VT , inoltre, non è mica banale; la sua espressione è infatti:

VT = VFB + VSB + 2φF + γ√

2φF

Ahimé VFB non scala, in quanto è data dai materiali; 2φF si alza perché droghiamo maggiormente ilsemiconduttore per limitare l’ampiezza della zona svuotata; il γ scala, ma è moltiplicato per una radiceche s’alza col doping. Inoltre la pendenza di sottosoglia non scala, in quanto è legata al KT

q , e lo spessoreEOI dell’isolante presso il gate addirittura aumenta, visto che nel polisilicio si crea una sottilissima regionesvuotata se andiamo a porre carica positiva sul gate (figura 4.57).

Vogliamo inoltre che le resistenze al drain e al source (figure 4.58) non varino: ma perché questo accadadobbiamo compensare il W, che dobbiamo ridurre, con una minore distanza fra il contatto di source equello di drain. Inoltre, siccome stiamo stringendo lo spessore di source e drain e, contemporaneamente, laloro lunghezza, dobbiamo alzare il doping di tali due terminali per ristabilire l’equilibrio.

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Figura 4.57: Spessore EOI dell’ossido di gate

Figura 4.58: Resistenze di source e drain: problemi con lo scaling

4.12 Il futuro del MOS

Non si sa esattamente come sarà fatto il MOS di domani, ma si hanno delle linee guida a proposi-to. Anzitutto si cercherà di non cambiare i principi base di funzionamento: le aziende sono reticenti arivoluzionare la tecnologia e, per ragioni di costi, non lo fanno finché la transizione non è inevitabile.Sicuramente si procederà con lo scaling e si pensa di ottenere EOT inferiori al nanometro; le strade che sipensa di percorrere sono la scelta di nuove architetture (DG-SCI43, MG-FET44) o l’uso di nuovi materiali(high-K, metal gate, high mobility channel materials). Gli elementi da tenere sotto controllo sono l’elettrosta-tica, che dipende dal particolare tipo di tecnologia che andiamo ad utilizzare, gli effetti parassiti45 e laconducibilità. La conducibilità - in particolare - può essere migliorata riducendo la lunghezza di canale,riducendo la resistenza fra source e drain o aumentando la mobilità dei portatori di carica.

43Cioè Source on Insulator.44Cioè Multi-Gate FET.45Più il dispositivo è piccolo e maggiormente tali effetti incidono.

100

Capitolo 5

Seminario: le celle solari

5.1 Introduzione

La potenza che colpisce l’atmosfera terrestre è di circa 170 milioni di miliardi di watt (170 PW): inmeno di un’ora il sole invia sulla Terra una quantità di energia pari all’intero consumo complessivo mon-diale annuale. Ma non è tutt’oro quel che luccica: purtroppo il flusso di energia solare è molto diluito edintermittente anche se, fortunatamente, il costo di picco per l’energia elettrica si ha nelle ore più calde deimesi estivi, quando il contributo dell’energia solare è potenzialmente massimo.

La conversione fotovoltaica sfrutta il meccanismo di generazione di carica elettrica (coppie elettrone-lacuna) prodotto dalla radiazione luminosa in un materiale semiconduttore. Come viene illustrato infigura 5.1, quando la luce incide sulla superficie di un semiconduttore abbiamo una parte trasmessa, cioèassorbita dalla cella e potenzialmente trasformata in energia elettrica, e una parte riflessa, persa per sempre(cosicché si cerca di effettuare sulla cella solare un trattamento speciale che argini il più possibile talefenomeno). L’energia associata alla luce trasmessa favorisce la transizione di elettroni dalla banda divalenza ai livelli d’energia superiore (banda di conduzione); affinché la creazione di una corrente avvengain maniera efficace, alla generazione dei portatori è necessario portare gli elettroni ove vi siano pochelacune (zona n) e le lacune in zone con pochi elettroni (parti p): fortunatamente, il campo elettrico dellagiunzione pn è efficace a realizzare tale scopo, dunque basta che l’energia fornita dai fotoni, dovuti allaluce, e dai fononi, pseudo-particelle che incarnano l’energia fornita dal reticolo cristallino, sia sufficiente apromuovere gli elettroni che la nostra cella solare sarà in grado di erogare corrente verso il carico.

Figura 5.1: Potenza riflessa e potenza trasmessa

Purtroppo la conversione di energia solare in energia elettrica non è molto efficiente: parte della luce,come abbiamo detto, viene riflessa e persino la componente assorbita non viene sfruttata ottimamentevisto che buona parte si disperde sotto forma di calore. Quando infatti un elettrone viene colpito da unfotone particolarmente energetico avremo un salto energetico ben più grande del necessario verso banda

101

102 CAPITOLO 5. SEMINARIO: LE CELLE SOLARI

di conduzione (elettrone caldo, vedi figura 5.2). Il surplus di energia, inutile ai fini della conduzione, vienerilasciato dall’elettrone sotto forma di fononi: questi potrebbero fornire ad altri elettroni energia per esserepromossi, ma in caso contrario essi costituiranno energia sprecata a tutti gli effetti. Questo pone un severolimite sulla massima efficienza teorica delle celle solari (circa il 32-33% se usiamo il silicio).

Figura 5.2: Elettrone caldo e perdita di energia in calore

5.2 Spettro della radiazione solare e figure di merito

Come già abbiamo detto, lo spettro solare è variabile nel tempo e nello spazio, dunque è impossibilecaratterizzarlo in maniera univoca: le sue peculiarità dipenderanno infatti dai vari momenti della giornata,dalla latitudine, dagli andamenti ciclici che caratterizzano la nostra amata stella e da tanti altri parametri.Si decide quindi di utilizzare, ad ogni latitudine, uno spettro medio standard: un esempio di tale spettropuò essere trovato in figura 5.3: in ordinata troviamo l’irradianza, misurata in W (potenza) su m2 (riferitoalla superficie irradiata) su nm (di lunghezza d’onda), mentre in ascissa vediamo la lunghezza d’onda λche, come sappiamo dalla fisica quantistica, è pari a:

λ =hcE

Come si nota, sono presenti dei minimi di irradianza dovuti all’assorbimento di molecole da parte del-l’atmosfera. In un semiconduttore a ben-gap diretto (vedi figura 5.4), particolarmente adatto al nostroscopo in quanto la transazione diretta banda-banda è altamente probabile e possiamo perciò assorbireutilmente molta radiazione1, il cosiddetto coefficiente di assorbimento (che ha come dimensione l’inversodella lunghezza) ha un andamento simile a quello dell’immagine, che si riferisce all’arseniuro di gallio(GaAs, energia di gap EG ≈ 1, 41 eV). Il coefficiente di assorbimento decade in maniera rapidissima al disotto degli 1,41 eV: questo è molto ragionevole visto che in tal caso l’energia fotonica non è sufficiente apromuovere elettroni e dunque, a fornire il quantitativo necessario di energia, dovranno entrare in giocoi fononi. In tale zona assistiamo dunque ai cosiddetti fenomeni di sub-band-gap. Al di sopra degli 1,41eV, invece, l’energia E = hν dei fotoni associati alla luce di frequenza ν è sufficiente a promuovere glielettroni senza l’ausilio dei fononi e dunque il coefficiente d’assorbimento risulta elevato (e in crescitaall’aumentare di E).

Si noti che il reciproco del coefficiente di assorbimento è una lunghezza e ha un preciso significato fisi-co: trattasi infatti della distanza media che un fotone, all’interno di un semiconduttore, riesce a percorrereprima di essere assorbito. Più efficace è il semiconduttore e più piccola sarà questa lunghezza: questoimplica che un grande coefficiente di assorbimento ci permette di costruire una cella solare più sottile macomunque in grado di garantire un adeguato assorbimento dei fotoni. Nelle applicazioni spaziali, in cuisi necessita di materiali leggeri e ad altissima efficienza, si cerca quindi di impiegare materiali a ben-gapdiretto e con grande coefficiente di assorbimento.

Come s’è già detto, nei materiali a ben-gap indiretto la conduzione possibile ma comunque menoefficace: si richiede infatti una variazione ∆k del vettore d’onda perché sia possibile la promozione diun elettrone verso la banda di conduzione. Siccome sono i fononi a dover sopperire a tale mancanza, e

1Il massimo teorico d’efficienza che possiamo raggiungere con l’arseniuro di gallio è quindi maggiore di quello che otteniamocon l’uso del ben meno costoso silicio.

102

CAPITOLO 5. SEMINARIO: LE CELLE SOLARI 103

Figura 5.3: Esempio di spettro solare medio

Figura 5.4: Profilo delle bande energetiche in un semiconduttore a ben gap diretto

Figura 5.5: Andamento del coefficiente di assorbimento per il GaAs

visto che l’energia fornibile da parte del reticolo cristallino dipende dalla temperatura cioè dall’agitazionetermica dello stesso, la dipendenza dal parametro T è cruciale in tale categoria di semiconduttori. Risulta

103


Figura 5.6: Promozione di un elettrone in un materiale a ben-gap indiretto

infatti che, all’aumentare di T, il coefficiente di assorbimento aumenta (figura 5.7).

Figura 5.7: Coefficiente di assorbimento in funzione della temperatura assoluta T

5.2.1 Altri meccanismi di assorbimento

Gli ulteriori possibili meccanismi di assorbimento dell’energia proveniente dai fotoni, rispetto a quelliesaminati precedentemente, sono:

• promozione assistita dai fononi in un materiale a ben-gap diretto;

• promozione di un elettrone già in banda di conduzione (assolutamente inutile);

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• promozione multi-step, cioè attraverso livelli energetici intermedi fra la banda di valenza e la bandadi conduzione: trattasi di un’arma a doppio taglio, visto che gli step intermedi possono fungereanche da centri di ricombinazione;

• promozione assistita da campo elettrico;

• elevata concentrazione di drogaggio e restringimento (narrowing) del band-gap.

5.3 Relazioni per lo studio dell’assorbimento dei fotoni

Figura 5.8: Flusso di fotoni in funzione della lunghezza d’onda associata ai fotoni stessi

Siano:

• F(x) il flusso di fotoni, cioè il numero di fotoni in grado di attraversare l’unità d’area nell’unità ditempo (unità di misura: cm−2 s−1);

• α(x) il coefficiente di assorbimento (misurato in cm−1);

• F(x)α(x) = Gopt il rate di generazione;

• Goptdx il numero di assorbimenti per unità di tempo in uno spessore dx di semiconduttore;

• dF = −α(x)F(x)dx il differenziale della funzione F (il segno meno indica che F, cioè il flusso difotoni, cala in virtù del fatto che i fotoni vengono assorbiti);

• x0 un’ascissa di riferimento.

L’equazione che regola il flusso di fotoni, fatta l’ipotesi di α costante, è:

F(x) = F(x0)e−α(x−x0)

5.4 Caratteristiche di funzionamento delle celle solari

I requisiti richiesti perché le celle solari funzionino a dovere sono:

• un materiale suscettibile alla luce;

• un campo elettrico di built-in;

• un basso tasso di ricombinazione (favorito da una bassa densità di difetti).

105


Figura 5.9: Struttura della cella solare

In figura 5.9 è mostrata la struttura di una cella solare; si noti che i contatti metallici, tipicamente inalluminio, oscurano la regione illuminata dalle radiazioni solari: questa particolare struttura è foriera diun trade-off fra effetti resistivi (meno importanti se più grandi sono i contatti) e oscuramento della regione(tanto meno grave quanto più piccoli sono i contatti). Anche per questi motivi l’efficienza teorica dellacella solare in silicio crolla dal 31% al 20%.

A titolo informativo, le celle solari vengono costruite anche con materiali alternativi al silicio: inparticolare si usa

• film sottile silicio amorfo (efficienza tra il 7 e il 9 %);

• celle multigiunzione (molto complicate, ma contraddistinte da efficienza fino a 40%);

• celle in materiale organico (basso costo, bassa efficienza: 5%).

5.4.1 Celle solari costruite mediante giunzione pn

Figura 5.10: Giunzione PN usata per costituire una cella solare

Faremo l’ipotesi di considerare una giunzione pn brusca cortocircuitata (vedi 5.10); come si nota si pos-sono distinguere due caratteristiche I(V) (separate da un dislivello pari a IL, corrispondente ai portatori

106


generati direttamente nella zona svuotata, i quali vengono immediatamente spinti al di là della giunzionedal campo elettrico di built-in, senza praticamente possibilità che vi sia ricombinazione): una in assenzadi illuminazione (dark) e una in presenza di radiazione solare (illuminated). Quest’ultima, in particolare,ha un consistente tratto nel quarto quadrante, ove VI < 0 (eroghiamo potenza sul carico). Sotto l’ipotesidi Gopt costante in tutta la struttura si ha, per la regione n:

d2∆pdx2 =

∆pL2

h− G

Dh

Nella precedente formula ∆p rappresenta l’eccesso di minoritari (lacune), Lh è la lunghezza di diffusionedelle lacune, G è il rate di generazione per assorbimento ottico e Dh è il coefficiente di diffusione riferitoalle lacune. Lasciati a sé stessi, e trascurando l’effetto di generazione ottica (cioè il secondo termine),i portatori minoritari in eccesso diffonderebbero nella regione quasi neutra, ricombinandosi man mano:fortunatamente il campo elettrico della giunzione fa sì che le lacune vengano spazzate verso la regione povvero nella giusta direzione. Effettuando calcoli simili a quelli già esaminati nel capitolo ??, possiamoricavare l’espressione della densità di corrente:

Jh (x) =qDh pn0

Lh

(e

qVkT − 1

)e−

xLh − qGLhe−

xLh

Osservando il decadimento esponenziale

e−x

Lh

deduciamo che i portatori fotogenerati diffondono bene se sono stati creati non troppo distanti dalla giun-zione, cioè non più distanti di Lh da quest’ultima: in caso contrario, i minoritari non riceveranno la spintadel campo elettrico e saranno destinati alla ricombinazione. Elaborando ulteriormente le nostre relazio-ni otteniamo una corrente di generazione (regolata ovviamente dal coefficiente G) dovuta alla regionedi carica spaziale W e alle due lunghezze di diffusione (cioè, lo ricordiamo, tratti che elettroni e lacunemediamente percorrono prima di ricombinarsi (vedi figura 5.11).

I = I0

(e

qVkT − 1

)− IL

con corrente di generazione IL = qAG (Le + W + Lh)

Figura 5.11: Lunghezze di diffusione

Esaminando più in dettaglio la caratteristica I(V) illuminated della giunzione PN usata nella cella solare(figura 5.12), possiamo individuare alcune quantità notevoli:

• Voc (oc = open circuit): tensione a circuito aperto2 (dev’essere la più grande possibile);

• Isc (sc = short circuit): corrente di cortocircuito3 determinata dalla generazione ottica (più è elevatain modulo e meglio è);

2Si dimostra in particolare che esiste una correlazione fra ampiezza del gap e la Voc.3Anche Isc, come ci si può aspettare, può essere scritta in funzione di Voc.

107


• Imp e Vmp: corrente e tensione corrispondenti al punto in cui IV, cioè la potenza, è massima.

Figura 5.12: Caratteristica della giunzione PN usata nella cella solare I(V) in dettaglio

Possiamo inoltre scrivere:

Voc =kTq

ln(

ILI0

+ 1)

η =Vmp Imp

Pin=

Voc IscFFPin

dove FF sta per field factor ed è una figura di merito pari ad 1 in caso ideale4:

FF =Vmp Imp

Voc Isc

Preme sottolineare che Voc, Isc e FF sono in diretto collegamento con le caratteristiche costruttive dellacella: dunque, se si desidera migliorare uno di questi parametri, si sa benissimo su cosa agire. Dallerelazioni appena scritte capiamo che, per avere un’alta efficienza, è desiderabile che sussistano

• elevate Voc e Isc (quest’ultima favorita in caso di piccolo band-gap, vedi oltre);

• un basso tasso di ricombinazione, cioè una bassa corrente di saturazione I0 dove quest’ultima è paria:

I0 = A

(qDen2

iLeNA

+qDhn2

iLhND

)con n2

i = NC NVe−EekT

• un piccolo band-gap: questo ci permette di avere più promozione di elettroni, ma dobbiamo ricorda-re che ciò comporta anche la perdita di energia in calore (o, meglio, in fononi) a causa degli elettronicaldi. In figura 5.13 possiamo vedere l’andamento della corrente di corto circuito Isc in funzione delgap energetico (elettronvolt): com’è ovvio che sia, un grande gap ostacola una grande corrente5.

Facendo una botta di conti con le relazioni poco fa presentate ci salta all’occhio che, purtroppo, la Voc haun limite: essa aumenta per piccoli tassi di ricombinazione (I0 piccole, grandi lunghezze di diffusione) econ piccole concentrazioni intrinseche (NA ed ND, che però fanno aumentare il band-gap). Questo provocaun andamento dell’efficienza come mostrato in figura 5.14, ove viene mostrata η in funzione del band-gap.

Il band-gap ottimo viene determinato confrontando i due diversi andamenti di Isc e Voc in funzione diEG.

4In tal caso la caratteristica I(V) assume la forma di una scatola.5Neanche un grande pennello può salvarci, in questo caso.

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Figura 5.13: Corrente di corto circuito Isc in funzione del gap

Figura 5.14: Limiti all’efficienza in funzione del band-gap

5.5 Possibili miglioramenti all’efficienza

La superficie della cella è parzialmente riflettente, ma un rivestimento antiriflettente può ridurre talefenomeno del 10%. Un’altra cosiddetta perdita estrinseca è quella dovuta alla superficie dei contatti elettrici,la quale oscura una consistente parte (circa il 5-10%) della regione esposta alle radiazioni elettromagneti-che. Inoltre, se la cella è troppo sottile (in rapporto all’inverso del coefficiente di assorbimento), parte dellaluce potrebbe non essere assorbita. Altri fattori di perdita sono la ricombinazione che avviene nel bulk esulla superficie della giunzione nonché la presenza di resistenze parassite: entrambe queste non idealitàdegradano la tensione Voc e il FF.

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Tipo di cella solare Peculiarità Efficienza η

A silicio Basso numero di difetti e bassa ricombinazione 15 - 20%A silicio amorfo Economico, sottile e leggero 7 - 10%Multigiunzione Complicate, costose, altissimo rendimento Fino e oltre il 50%

Tabella 5.1: Peculiarità e rendimenti di alcune celle solari

5.5.1 Circuito equivalente di una cella solare

In figura 5.15 vediamo il circuito equivalente di una cella solare. Si notano la Rsh, che incarna le perditeper i difetti del wafer, e RS, che è associata ai contatti metallici e all’oscuramento da loro comportato:entrambi questi parametri dovrebbero essere minimizzati.

Figura 5.15: Circuito equivalente a quello della cella solare

5.6 Sviluppi futuri

Si veda la figura 5.16.

110


Figura 5.16: Possibili linee di sviluppo ed evoluzione per la tecnologia delle celle solari

111


112

Capitolo 6

Seminario: LED e OLED

6.1 LED

6.1.1 Introduzione

Figura 6.1: Schema della giunzione pn

LED è l’acronimo di Light Emitting Diode (diodo ad emissione luminosa). Il primo LED è stato svi-luppato nel 1962 da Nick Holonyak Jr. Il dispositivo sfrutta le proprietà ottiche di alcuni materiali semi-conduttori per produrre fotoni a partire dalla ricombinazione di coppie elettrone-lacuna. Gli elettroni ele lacune vengono iniettati in una zona di ricombinazione attraverso due regioni del diodo drogate l’unan e l’altra p (vedi figura 6.1). Il colore della radiazione emessa è definito dalla distanza in energia tra ilivelli energetici di elettroni e lacune e corrisponde tipicamente al valore della banda proibita del semi-conduttore in questione (vedi figura 6.2: in (a) vediamo il diagramma a bande di una giunzione pn (moltodrogata n), senza alcuna tensione applicata. In tal caso si forma un potenziale di built-in che previene ladiffusione degli elettroni dalla parte n+ alla parte p. In (b), invece, vediamo come una tensione applicatariduca V0 e permetta la diffusione di elettroni nella parte p. La ricombinazione che avviene nei pressidella giunzione, e quasi totalmente nella zona svuotata, permette l’emissione di fotoni). Quando sonosottoposti ad una tensione diretta per ridurre la barriera di potenziale della giunzione, gli elettroni dellabanda di conduzione del semiconduttore si ricombinano con le lacune della banda di valenza rilasciando

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114 CAPITOLO 6. SEMINARIO: LED E OLED

Figura 6.2: Bande energetiche all’interno del dispositivo.

energia sufficiente da produrre fotoni. A causa dello spessore ridotto del chip un ragionevole numero diquesti fotoni può abbandonarlo ed essere emesso come luce. L’energia dei fotoni emessi è proporzionalea λ, ovvero alla lunghezza d’onda della luce emessa. Si ha:

λ =hcEg

dove h è la costante di Planck, c è la velocità della luce (cioè la velocità dei fotoni nel vuoto) ed Eg èl’ampiezza del gap. L’emissione fotonica non è predicibile e i fotoni ’escono da tutte le parti’: questo limitadi molto l’efficienza di tali dispositivi, ma fortunatamente è possibile migliorare il rendimento tramiteastuti stratagemmi come l’introduzione di strati di trappola o di una capsula epossidica che concentri iraggi verso la direzione desiderata. Purtroppo anche la legge di Snell

n1 sin θincidente = n2 sin θtrasmesso

ci rema contro: la trasmissione della luce da un materiale ad alto indice di rifrazione n verso uno a bassoindice di rifrazione implica una riflessione parziale o totale della luce incidente (a seconda dell’angolo diincidenza).

Anche se è cosa poco nota, i LED sono macchine reversibili: infatti, se la loro giunzione viene espostadirettamente ad una forte fonte luminosa o ai raggi solari, ai terminali appare una tensione, dipendentedall’intensità della radiazione e dal colore del LED in esame (massima per il blu). Questa caratteristicaviene abitualmente sfruttata nella realizzazione di sensori, per sistemi di puntamento (inseguitori solari)di piccoli impianti fotovoltaici o a concentratore e per molti altri scopi.

6.1.2 Perché i LED?

Dal punto di vista applicativo i LED sono ad oggi molto utilizzati quando l’impianto di illuminazionedeve avere le seguenti caratteristiche:

• miniaturizzazione

• colori saturi

• effetti dinamici (variazione di colore RGB)

• lunga durata e robustezza

• valorizzazione di forme e volumi

I vantaggi dei LED dal punto di vista illuminotecnico sono:

• durata di funzionamento (i LED ad alta emissione arrivano fino ad oltre 100.000 ore, vedi figura 6.3);

• assenza di costi di manutenzione;

114

CAPITOLO 6. SEMINARIO: LED E OLED 115

• elevato rendimento (se paragonato a lampade ad incandescenza e alogene);

• luce pulita perché priva di componenti IR e UV;

• facilità di realizzazione di ottiche efficienti in plastica;

• flessibilità di installazione del punto luce;

• colori saturi;

• possibilità di un forte effetto spot (sorgente quasi puntiforme);

• funzionamento in sicurezza perché a bassissima tensione;

• accensione a freddo (fino a -40 ◦C) senza problemi;

• insensibilità a umidità e vibrazioni;

• assenza di mercurio;

• durata non influenzata dal numero di accensioni/spegnimenti.

Figura 6.3: Luminosità dei LED in funzione delle ore di funzionamento

6.1.3 Struttura

Nell’imm In figura 6.5 vediamo un’illustrazione schematica di una sezione appartenente a un disposi-tivo LED: nell’immagine (a) lo strato p viene accresciuto epitassialmente su una parte n+. Nell’immagine(b) viene prima accresciuto tramite epitassia e solo successivamente la parte p viene costruita diffondendodel drogaggio nella zona n+.

In figura 6.6, infine, si mostra la semplice modalità di connessione di un LED, con una resistenza alimitare la corrente che l’attraversa.

6.1.4 Materiali

I semiconduttori a ben-gap indiretto non sono idonei alla costruzione di LED: i processi radiativi,tra i quali la ricombinazione con emissione di fotone, sono infatti penalizzati dalla necessità di conser-vare il momento e pertanto dominano i processi di ricombinazione assistiti da trappole e smaltimentodell’energia tramite produzione di calore. Nei semiconduttori a gap diretto, invece, i processi di ricombi-nazione radiativa sono molto probabili ed efficienti nello smaltire l’eccesso dei portatori: possono pertantocostituire la base per lampade allo stato solido.

Non è facile trovare materiali adatti per un’alta efficienza:

• i semiconduttori IV-IV hanno un gap troppo piccolo ed indiretto;

115


Figura 6.4: Struttura di un LED

Figura 6.5: Sezione dei LED

Figura 6.6: Connessione del LED

• i semiconduttori III-V sono a gap indiretto, ma hanno un miglior valore di EG (gap energetico);

• i semiconduttori II-IV: hanno gap diretto e un buon valore di EG, ma sono difficili da maneggiare.

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I LED sono formati da GaAs (arseniuro di gallio), GaP (fosfuro di gallio: sono a gap indiretto e sonocaratterizzati dalla presenza di trappole isoelettroniche appena al di sotto della banda di conduzione.Queste trappole presentano un’ampia distribuzione di k permessi a favorire la transizione assistita versola banda di valenza), GaAsP (fosfuro arseniuro di gallio: sono stati i primi LED rossi (1970) e sonocaratterizzati da gap diretto), SiC (carburo di silicio: materiale non tossico e utile per la costruzione deiLED blu) e GaInN (nitruro di gallio e indio). L’esatta scelta dei semiconduttori determina la lunghezzad’onda dell’emissione di picco dei fotoni, l’efficienza nella conversione elettro-ottica e quindi l’intensitàluminosa in uscita.

6.1.5 Colori

I primi LED erano disponibili solo nel colore rosso. Venivano utilizzati come indicatori nei circuitielettronici, nei display a sette segmenti e negli optoisolatori. Successivamente vennero sviluppati LED cheemettevano luce gialla e verde e vennero realizzati dispositivi che integravano due LED, generalmente unorosso e uno verde, nello stesso contenitore permettendo di visualizzare quattro stati (spento, verde, rosso,verde+rosso=giallo) con lo stesso dispositivo. Negli anni novanta vennero realizzati LED con efficienzasempre più alta e in una gamma di colori sempre maggiore fino a quando con la realizzazione di LEDa luce blu fu possibile realizzare dispositivi che, integrando tre LED (uno rosso, uno verde e uno blu),potevano generare qualsiasi colore. A seconda del drogante utilizzato, i LED producono i seguenti colori:

• AlGaAs - rosso ed infrarosso;

• GaAlP - verde;

• GaAsP - rosso, rosso-arancione, arancione, e giallo;

• GaN - verde e blu;

• GaP - rosso, giallo e verde;

• ZnSe - blu;

• InGaN - blu-verde, blu;

• InGaAlP - rosso-arancione, arancione, giallo e verde;

• SiC come substrato - blu;

• Diamante (C) - ultravioletto;

• Silicio (Si) come substrato - blu (in sviluppo);

• Zaffiro come substrato - blu.

La tensione applicata alla giunzione dei LED dipende dall’atomo drogante, il quale determina il coloredella luce emessa: l’elevatissima efficienza nel trasformare la corrente elettrica in luce (i LED non produ-cono calore o quasi), con conseguente bassissimo consumo in rapporto alla luce emessa, ne fanno il futurosostituto di tutte le tipologie di lampadina.

6.2 OLED

6.2.1 Introduzione

OLED è l’acronimo di Organic Light Emitting Diode ovvero ’diodo organico ad emissione di luce’. Que-sti dispositivi non sono infatti realizzati mediante l’introduzione di particolari molecole organiche: laricombinazione, in questo caso, avviene esattamente in uno strato organico (vedi figura 6.8).

Tale tecnologia permette di realizzare display a colori con la capacità di emettere luce propria: a dif-ferenza dei display a cristalli liquidi, i display OLED non richiedono infatti componenti aggiuntivi (ades. una fonte di luce retrostante) per essere illuminati, ma producono luce propria; questo permette direalizzare display molto più sottili e addirittura pieghevoli e arrotolabili, e che richiedono minori quantità

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Figura 6.7: Variazione dell’intensità luminosa in funzione della temperatura e del colore

Figura 6.8: Ricombinazione nello strato organico

di energia per funzionare. A causa della natura monopolare degli strati di materiale organico, i displayOLED conducono corrente solo in una direzione, comportandosi quindi in modo analogo a un diodo; diqui il nome di O-LED, per similitudine coi LED. Benché la proprietà di elettroluminescenza posseduta daalcuni elementi organici sia conosciuta da lungo tempo, i primi tipi di display OLED non andarono maioltre lo stadio di prototipo, in quanto richiedevano tensioni di alimentazione troppo alte (oltre 100 V) perrisultare utili nelle applicazioni pratiche. Successivamente, furono sviluppate con successo sottili pellicoledi materiale organico elettroluminescente, le cui piccole dimensioni permettevano l’alimentazione tramitetensioni più modeste. I primi modelli di display utilizzanti questa tecnologia erano strutturalmente moltosemplici: una pellicola di sostanza organica era posta tra due elettrodi (anodo e catodo): applicando unatensione ai due elettrodi, il passaggio di corrente nello strato organico ne causava l’emissione luminosa.Tuttavia, questo tipo di elettrodi non era molto pratico, in quanto richiedevano, per funzionare, un’estremaprecisione in fase di produzione; un allineamento non perfetto, infatti, causava grandi perdite di energia econseguente inefficienza dei display. I primi display efficienti e a bassa tensione furono presentati nel 1987da Ching Tang e Steve Van Slyke; tali display facevano uso di due strati organici: uno predisposto perricevere lacune, l’altro per ricevere elettroni; in questo modo, e con successivi miglioramenti, fu possibilecostruire display ad alta luminosità alimentati da basse tensioni (circa 10 volt). In questo caso il materialeorganico è ad esempio un polimero conduttivo elettroluminescente simile alla plastica (in questo caso sipuò parlare più correttamente di POLED: polymer organic LED) oppure materiali organici non polime-rici di peso molecolare relativamente basso. Un elemento viene definito organico in quanto contenenteuna struttura costituita prevalentemente da carbonio. Da qui il nome di led organico. Normalmente,gli strati organici sono in grado di emettere solo luce bianca, ma con opportuni drogaggi (di compostielettrofosforescenti) è possibile renderli in grado di emettere luce rossa (drogante fluorescente a base di

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perilene dicarbossammide), verde (cumarina) o blu (β - DNA): essendo questi i colori primari, è possibilecombinarli per produrre tutti i colori dello spettro visibile, in modo analogo a quanto accade in qualunquedisplay a colori. Ogni punto (pixel) di un’immagine è costituito da 3 microdisplay affiancati (figura 6.9),che producono luce rossa, verde e blu; visto da lontano, ogni elemento composto da tre microdisplayappare all’occhio umano come un singolo punto, il cui colore cambia secondo l’intensità della luce di varicolori emessa dai singoli microdisplay.

Figura 6.9: Pixel formato da tre OLED

La Universal Display Corporation, tuttavia, ha recentemente annunciato di aver realizzato un differentetipo di display, in cui i tre microdisplay di ogni elemento sono sovrapposti anziché affiancati (figura 6.10),il che permette un notevole incremento della risoluzione.

Figura 6.10: Pixel creati con OLED sovrapposti piuttosto che affiancati

6.2.2 Peculiarità

La tecnologia OLED ha grandi vantaggi (vedi anche figura 6.11):

• bassa tensione di alimentazione;

• ottimo contrasto;

• brillantezza dei colori;

• grande area attiva;

• aumento della luminosità con la semplice iniezione di corrente supplementare;

• consumi ridotti per la possibilità di spegnere completamente l’OLED se si vuole ottenere il colorenero (la quantità di corrente consumata dipende dall’immagine e dai colori);

• grande flessibilità e compattezza.

Nonostante tutto questo ben di Dio, la tecnologia OLED presenta ancora dei limiti:

• costo ancora elevato del processo produttivo;

• gli schermi OLED hanno una durata molto inferiore agli schermi a cristalli liquidi e agli schermi alplasma. Il materiale organico di cui sono composti, infatti, tende a perdere la capacità di emettereluce dopo poche decine di migliaia di ore di esercizio;

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Figura 6.11: Peculiarità e punti di forza degli OLED

• bassa efficienza per effetti ottici di riflessione/rifrazione dovuti alla sovrapposizione degli stratiriflettenti e semiriflettenti che costituiscono il dispositivo;

• alta vulnerabilità se insufficientemente protetti dall’ambiente circostante.

6.2.3 Struttura

Figura 6.12: Struttura degli OLED

Un display OLED è composto da vari strati sovrapposti: su un primo strato trasparente, che ha funzioniprotettive, viene deposto uno strato conduttivo trasparente che funge da anodo; successivamente vengonoaggiunti 3 strati organici: uno per l’iniezione delle lacune, uno per il trasporto di elettroni, e, tra di essi,i tre materiali elettroluminescenti (rosso, verde e blu), disposti a formare un unico strato composto datanti elementi, ognuno dei quali formato dai tre microdisplay colorati. Infine, viene deposto uno stratoriflettente che funge da catodo. Nonostante la molteplicità di strati, lo spessore totale, senza considerarelo strato trasparente, è di circa 300 nanometri.

120

Elenco delle figure

1.1 Leggi di Ohm: schema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Livelli energetici permessi (esempio: atomo di idrogeno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Struttura di un reticolo cristallino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Struttura a bande di un semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Curve d’ampiezza del gap in funzione della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Energy gap fra banda di valenza e banda di conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 La struttura a bande non è sempre bella lineare! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Andamento periodico delle bande in un reticolo cristallino (non silicio) . . . . . . . . . . . . 101.9 Valori di k e definizione di k0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 Andamento parabolico dell’energia in funzione del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Stadio introdotto (già occupato a 0 K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.12 Densità degli stati elettronici in funzione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13 Andamento reale della densità di stati in funzione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.14 Funzione di Fermi a diverse temperature T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.15 Confronto fra le curve della statistica di Boltzmann e di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . 141.16 Spostamento del livello di Fermi dovuto al drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.17 Il fenomeno di piegamento delle bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.18 Andamento di n/ND in funzione della temperatura assoluta T . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.19 Spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.20 Potenziale e spostamento delle cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.21 Andamento della mobilità in funzione del campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.22 Andamento della mobilità in funzione del drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.23 Resistività in funzione del drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.24 Apparato per illustrare il principio della diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.25 Generazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.26 Ricombinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.27 Generazione e ricombinazione nel caso di semiconduttore drogato . . . . . . . . . . . . . . . 281.28 Generazione e ricombinazione nei livelli energetici intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.29 Ricombinazione Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.30 Generazione da impatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Con-giunzione di due semiconduttori diversamente drogati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Moti di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Schema dell’andamento del potenziale nella giunzione e altezza di barriera . . . . . . . . . . 332.4 Grafici di carica, campo elettrico e potenziale a ridosso della giunzione . . . . . . . . . . . . 342.5 Andamento degli pseudo-potenziali di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Ricombinazioni di elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Bande nella giunzione in equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8 Applicazione di un potenziale sulla giunzione: nel caso in questione la tensione applicata è

in inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Spostamento del diagramma a bande in virtù di una tensione applicata sulla giunzione . . . 392.10 Aumento e diminuzione dell’altezza della barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Schema di riferimento per il paragrafo 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.12 Interpretazione grafica dell’equazione di Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

121

122 ELENCO DELLE FIGURE

2.13 Densità di corrente Jp e Jn in funzione della coordinata spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.14 Densità di corrente in funzione della tensione applicata sulla giunzione . . . . . . . . . . . . 442.15 Diminuzione della tensione applicata e conseguenze sulla densità di corrente . . . . . . . . . 452.16 Calo di lacune nell’applicazione di una tensione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.17 Andamento dei minoritari nella regione quasi neutra n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.18 Confronto fra gradienti: concentrazione di lacune, potenziale, pseudo-potenziale di Fermi . 482.19 Livelli energetici nel metallo e nel semiconduttore (presi separatamente) . . . . . . . . . . . . 502.20 Livelli energetici nella giunzione Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.21 Gli effetti di non idealità paiono rendere la caratteristica I(V) del diodo Schottky meno

pendente della controparte PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1 Transistor BJT di tipo NPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Andamento degli elettroni nella base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Versione concentrata del(l’inutile) BJT a base lunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Le quattro regioni di funzionamento del BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Concentrazioni di minoritari lungo il BJT: si noti la giunzione EB polarizzata in diretta e

quella BC in inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Aumenta la vce, si allarga la regione svuotata e aumenta la corrente . . . . . . . . . . . . . . 563.7 Saturazione, RND ed effetto Early . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Schema di riferimento per il calcolo delle correnti caratteristiche del BJT . . . . . . . . . . . . 563.9 Profilo (logaritmico) del drogaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.10 Sezione del BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.11 Il problema delle resistenze in base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.12 Connessioni d’emettitore multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.13 Strato sepolto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14 Concentrazione di elettroni nella base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.15 Area triangolare descritta dalla curva dei minoritari n′(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1 Sezione raffigurante la struttura del MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Struttura schematica del transistore MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 MOS = Metallo + Ossido (Isolante) + Semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Livelli energetici fra metallo, ossido e semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Andamento delle bande energetiche all’interno del dispositivo MOS . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Piegamento delle bande alla presenza di un potenziale applicato VG sul gate. Più tensione

applichiamo al gate e più si piegano le bande. Se poniamo tensione negativa sul gate le bandesi raddrizzano piuttosto che piegarsi e possiamo raggiungere artificialmente la condizionedi banda piatta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Secondo caso di piegamento delle bande: (EF − EFi)tra S e I = (EFi − EF)bulk . . . . . . . . . . 704.8 Bande energetiche e regioni di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.9 Andamento della quantità di carica in base alla regione di funzionamento . . . . . . . . . . . 724.10 Andamento della quantità di carica nel silicio (l’ascissa zero corrisponde all’interfaccia S-I) . 724.11 Profilo di potenziale nel dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.12 Prima superficie sulla quale andiamo ad applicare il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . 744.13 Seconda superficie sulla quale andiamo ad applicare il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . 754.14 Schema della distribuzione di carica e di potenziale. Quando siamo alla soglia i punti

massimi di QN e QB si toccano: ecco perché QB è preponderante su QN . . . . . . . . . . . . 774.15 Parametri riferiti alla zona svuotata nel semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.16 Pendenza della curva rappresentante il potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.17 Il problema dello spessore dell’ossido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.18 Aumento del potenziale al crescere della VG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.19 Effetto Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.20 Quantità di carica sul metallo e sul semiconduttore: il valore di φS alla soglia, nel caso

VSB > 0, è maggiore del valore φS senza effetto body. Ne deduciamo che la profondità disvuotamento ed il modulo della carica di svuotamento risulteranno più grandi nel caso dieffetto Body. Carica di svuotamento: QD = −γCOX

√2φF + vsb . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.21 La struttura del MOS come combinazione di condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

122

ELENCO DELLE FIGURE 123

4.22 Canale e variazione della soglia locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.23 Andamento del profilo energetico nel primo e nell’ultimo condensatore del canale . . . . . . 824.24 Giunzione pn e zona svuotata presso il drain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.25 Confronto fra corrente ID secondo i modelli lineare e GCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.26 Situazione tale per cui VD = V∗D e la carica presso il drain è nulla . . . . . . . . . . . . . . . . 844.27 Abbassamento della barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.28 Aumento della tensione di gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.29 Effetti dell’innalzamento della tensione di gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.30 Andamento non più costante della corrente in saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.31 Spostamento del punto avente derivata nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.32 Effetti indesiderati di sottosoglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.33 Canale lungo vs. canale corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.34 Approssimazione per tenere conto dell’effetto di velocity saturation . . . . . . . . . . . . . . . 884.35 Effetto della velocity saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.36 Transcaratteristica del MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.37 Componenti di drift e di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.38 Caratteristica della corrente in forma semilogaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.39 DIBL effects e lunghezza di canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.40 Threshold roll-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.41 Ionizzazione da impatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.42 DIBL e canale corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.43 Condensatore MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.44 Condensatore MOS in regime di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.45 Condensatore MOS in regime di banda piatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.46 Condensatore MOS in regime di svuotamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.47 Condensatore MOS in regime di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.48 Quantità di carica in funzione della tensione applicata su un condensatore MOS . . . . . . . 944.49 Capacità nel condensatore MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.50 Andamento di C

COX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.51 Andamento di CCOX

ad alta frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.52 Profilo di potenziale all’interno del transistore MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.53 Una piccola cronologia dello scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.54 Assottigliamento dell’ossido e campi da esso tollerati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.55 Presunti limiti ultimi dello scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.56 Parametri coinvolti nello scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.57 Spessore EOI dell’ossido di gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.58 Resistenze di source e drain: problemi con lo scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1 Potenza riflessa e potenza trasmessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Elettrone caldo e perdita di energia in calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Esempio di spettro solare medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Profilo delle bande energetiche in un semiconduttore a ben gap diretto . . . . . . . . . . . . 1035.5 Andamento del coefficiente di assorbimento per il GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6 Promozione di un elettrone in un materiale a ben-gap indiretto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Coefficiente di assorbimento in funzione della temperatura assoluta T . . . . . . . . . . . . . 1045.8 Flusso di fotoni in funzione della lunghezza d’onda associata ai fotoni stessi . . . . . . . . . 1055.9 Struttura della cella solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.10 Giunzione PN usata per costituire una cella solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.11 Lunghezze di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.12 Caratteristica della giunzione PN usata nella cella solare I(V) in dettaglio . . . . . . . . . . . 1085.13 Corrente di corto circuito Isc in funzione del gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.14 Limiti all’efficienza in funzione del band-gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.15 Circuito equivalente a quello della cella solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.16 Possibili linee di sviluppo ed evoluzione per la tecnologia delle celle solari . . . . . . . . . . 111

6.1 Schema della giunzione pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

123

124 ELENCO DELLE FIGURE

6.2 Bande energetiche all’interno del dispositivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3 Luminosità dei LED in funzione delle ore di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 Struttura di un LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.5 Sezione dei LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.6 Connessione del LED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.7 Variazione dell’intensità luminosa in funzione della temperatura e del colore . . . . . . . . . 1186.8 Ricombinazione nello strato organico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.9 Pixel formato da tre OLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.10 Pixel creati con OLED sovrapposti piuttosto che affiancati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.11 Peculiarità e punti di forza degli OLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.12 Struttura degli OLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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Dispositivi elettronici LS - prima edizione

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