Consideriamo l’insieme D8 dei divisori di 8, e l’insieme D12 dei divisori di 12:

D8 = {1, 2, 4, 8} D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}e rappresentiamoli graficamente.

Eseguendo l’intersezione dei due insiemi, otteniamo:D8 D12 = {1, 2, 4}

che è l’insieme dei divisori comuni di 8 e di 12, in quanto contiene i numeri naturali che sono

sia divisori di 8, sia divisori di 12.

INTERSEZIONE = INSIEME DEI DIVISORI COMUNI

Considerando l’intersezione degli insiemi D8 e D12, possiamo osservare che 1, 2 e 4 sono i divisori comuni di 8 e 12;

M.C.D.(8, 12) = 4

il numero 4 è il più grande divisore in comune tra 8 e 12, cioèil Massimo Comun Divisore di 8 e 12 e si scrive:

In generale: se Da e Db rappresentano gli insiemi dei divisori di due numeri naturali a e b, si chiama Massimo Comun Divisore (M.C.D.) dei due numeri il maggiore degli elementi dell’insieme Da Db.

Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri è il maggiore dei divisori

comuni a quei numeri.

• Determiniamo il M.C.D. fra 56 e 40:D56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} D40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

D56 D40 = {1, 2, 4, 8}8 è il maggiore dei divisori comuni;

è il M.C.D.:M.C.D.(56, 40) = 8

• Cerchiamo il M.C.D. di 3 numeri, per esempio 12, 18 e 20: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

• Considera l’insieme D12 dei divisori di 12 e l’insieme D18 dei divisori di 18 e completa le scritture.

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D12 D18 = {…................} M.C.D.(12, 18) = .........

D12 D18 D20 = {1, 2}2 è il maggiore dei divisori comuni, per cui:M.C.D.(12, 18, 20) = 2

61,2,3,6

Determiniamo ora il M.C.D. fra 12 e 6:D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D6 = {1, 2, 3, 6}D12 D6 = {1, 2, 3, 6} = D6

M.C.D.(12, 6) = 6

Dati due numeri a e b, se b è divisore di a allora M.C.D.(a, b) = b.

Possiamo notare che 6 è divisore di 12 ed è anche il più grande divisore comune ai due numeri dati.

• Considera l’insieme D20 dei divisori di 20 e l’insieme D10 dei divisori di 10;

poiché D10 D20, allora: M.C.D.(10, 20) = ....... 10

Consideriamo la tabella dei divisori di un numero naturale n diverso da 0. Osserviamo che per qualunque coppia di numeri naturali (a, b), esiste sempre almeno un divisore comune che è 1.

Nei casi in cui il numero 1 è l’unico divisore comune tra due

numeri, questi si dicono primi fra loro.

Osservando la tabella possiamo concludere che 2 e 3 sono primi tra loro, come anche 4 e 9, o 7 e 12.

• Calcoliamo il M.C.D. fra 15 e 28.D15 = {1, 3, 5, 15} D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

D15 D28 = {1}

M.C.D.(15, 28) = 1

M.C.D.= (7, 5) = 1

• Calcoliamo il M.C.D. tra 7 e 5D7 = {1, 7} D5 = {1, 5}

D7 D5 = {1}

I numeri 7 e 5 sono perciò primi fra loro.

L’unico divisore comune, che è quindi anche il M.C.D., è il numero 1. I numeri 15 e 28 sono quindi primi fra loro.

• Sottolinea le coppie di numeri primi fra loro.

(3, 7) (6, 25) (8, 9) (10, 30) (25, 49) (34, 17) (24, 28)

• I numeri 5 e 17 sono primi tra loro, in quanto sono entrambi numeri primi.

• I numeri 6 e 35, pur non essendo numeri primi, sono primi tra loro. Infatti, sapendo che:

D6 = {1, 2, 3, 6} e D35 = {1, 5, 7, 35}, possiamo vedere che

D6 D35 = {1}.

• I numeri 4 e 10 non sono primi tra loro, in quanto sono entrambi numeri pari.

(3, 7), (6, 25), (8, 9), (25, 49)

Per determinare il M.C.D. di numeri elevati conviene sempre scomporli in fattori primi. Vediamo un esempio.

Calcoliamo il M.C.D.(48, 180):• scomponiamo i due numeri in fattori primi:48 = 24 × 3 180 = 22 × 32 × 5

• prendiamo i fattori comuni a 48 e 180:22, che è divisore di 48 e di 180, 3, che è divisore di 48 e di 180

• moltiplichiamoli: il M.C.D. fra 48 e 180 è allora 22 × 3 = 12.

Il M.C.D. di due numeri naturali scomposti in fattori primi si ottiene moltiplicando i fattori primi comuni, presi una volta sola, col minimo esponente.

• Determiniamo il M.C.D.(540, 150, 200):540 = 22 × 33 × 5150 = 2 × 3 × 52

200 = 23 × 52

48 = 24 × 3 60 = 22 × 3 × 5M.C.D.(48, 60) = .............

I divisori comuni ai tre numeri sono 2 e 5.Allora:

M.C.D.(540, 150, 200) = 2 × 5 = 10

22 × 3 = 12

• Completa le scritture.54 = 2 × 33

72 = 22 × 32

M.C.D.(54, 72) = .............

2 × 32 = 18

28 ragazzi e 16 ragazze vogliono formare delle squadre con lo stesso numero di persone tutte dello stesso sesso.

Qual è il numero massimo di componenti che ogni squadrapuò avere, senza che nessunorimanga escluso?

Basta calcolare il M.C.D.tra i numeri 16 e 28:16 = 24 28 = 22 × 7M.C.D.(16, 28) = 22 = 4

Ogni squadra può essere formata, al massimo, da 4 persone.

• Completa le seguenti scritture.- Il Massimo Comun Divisore è il ............................. dei divisori comuni a due o più numeri.- Dati due numeri a e b, se b è divisore del numero a allora il M.C.D. è ...........- L’insieme dei divisori comuni a due o più numeri (diversi da zero) non è mai vuoto: tutti i numeri hanno come divisore comune il numero .......• Calcola i seguenti M.C.D.M.C.D.(12, 15) = ............ M.C.D.(14, 21) = ................M.C.D.(6, 12) = .............. M.C.D.(30, 15) = ................M.C.D.(5, 7) = ................ M.C.D.(11, 15) = ................

• Considera l’insieme D8 dei divisori di 8 e l’insieme D6 dei divisori di 6:D8 = {1, 2, 4, 8} D6 = {1, 2, 3, 6}

I divisori comuni dei numeri 8 e 6 sono dati da: D8 D6 D8 D6 D8 D6

• Quale, tra le seguenti, è l’interserzione corretta dei due insiemi? D8 D6 = {1, 2, 3, 4, 6, 8} D8 D6 = {1, 2} D8 D6 = {2}x

x

maggiore

b

1

3

6

1

7

15

1

• Completa le seguenti scritture. Due numeri si dicono ............ fra loro se hanno come unico divisore comune il numero ...............• Due numeri primi fra loro: sono numeri primi possono non essere primi non sono primi

• Completa la regola scegliendo tra i termini moltiplicando, dividendo, comuni, non comuni, comuni e non comuni, massimo esponente, minimo esponente.

Il M.C.D. di due o più numeri scomposti in fattori primi si ottiene ..................................... i fattori primi .........................., presi una sola volta, col ........................................

• Trova il M.C.D. tra: 22 × 3 × 5 e 2 × 52 M.C.D. = .......................... 22 × 3 e 5 × 72 M.C.D. =........................... a × b × c2 e a3 × b × c M.C.D. = .........................

moltiplicando comuni

minimo esponente

a × b × c

2 × 5 = 10

1

primi

1

x