Campo magnetico terrestre

lezione 2

Gaetano Festa

Osservazioni su B

• Principalmente dipolare, di origine interna

• Le sorgenti sono (verosimilmente) contenute nel nucleo

terrestre

• Varia nel tempo su scale comprese tra 1 e 108 yr

• Si inverte nel tempo

• Presenta escursioni

• E’ soggetto ad una deriva occidentale

Struttura del nucleo

• Il nucleo è costituito da una parte esterna fluida ed una interna

solida

• La densità del nucleo è prossima a quella del ferro, ma sono

presenti materiali leggeri come Si, O (30 % nella parte esterna)

• Il nucleo esterno è piuttosto omogeneo, con uno strato limite nei

primi 100 km.

• Il nucleo interno presenta un’anisotropia e una rotazione

differenziata

Struttura termica del nucleo

Come per il mantello terrestre possiamo assumere che la

temperatura aumenta lungo un’adiabatica (in sistemi in cui la

convezione è vigorosa, l’entropia è costante)

vgTdT

dz c

α =

S Pdz c

=

Fowler, 2005

Nucleo interno ed esterno

hanno la stessa composizione

Nucleo esterno è più ricco di

materiale leggero

Possibili sorgenti di B

(1) Raffreddamento secolare della Terra

(2) Energia gravitazionale legata al rilascio di elementi leggeri nel

processo di solidificazione del nucleo interno

(3) Calore latente rilasciato nel processo di solidificazione del (3) Calore latente rilasciato nel processo di solidificazione del

nucleo interno

(4) Rilascio di energia dovuta al decadimento radioattivo (K40)

(esiste ? debole?)

(5) Effetti mareali e precessionali legati all’influenza del sole e

della luna (debole?)

Alla lavagna

Equazione dell’induzione

Correnti in un conduttore ohmico (pre-Maxwell)

( )σ= + ×j E v B

Equazione pre-Maxwell di Ampere

0 0( )µ µ σ∇× = = + ×B j E v B

0

1

µ σ∇× = + ×B E v B

Diffusività magnetica :

0

1η

µ σ=

Equazione per B

η∇× = + ×B E v B

η= ∇× − ×E B v B

Calcoliamo il rotore di questa quantità:

( )η∇× = ∇× ∇× − ∇× ×E B v B

Assumiamo la diffusività costante

2( )

tη η

∂− = ∇ ∇ ⋅ − ∇ − ∇× ×

∂

BB B v B

2

tη

∂= ∇ + ∇× ×

∂

BB v B

Campo statico ?

Se le sorgenti del campo magnetico fossero statiche, allora

v=0 e l’equazione dell’induzione diventa l’equazione del calore

2

tη

∂= ∇

∂

BB

Tempo caratteristico della diffusione (tempo di Cowling)

2

410

diff

Lt yr

πη= =

Moti attuali del nucleo, possibili nella parte fluida (dinamo)

Effetto del moto su B

2

tη

∂= ∇ + ∇× ×

∂

BB v B

Sia U una velocità caratteristica del sistema, L una lunghezza

caratteristica e B un valore caratteristico del campo

22

/

/m

UB L ULR

B Lη ηη

∇× ×= = =

∇

v B

B

Numero di Raynolds magnetico.

4 6 6 7

0(310 )(310 )(0.510 )(4 10 ) 600

m

ULR ULσµ π

η− −= = = ∼

Conduttore perfetto

La dinamo terrestre converte rapidamente energia cinetica in

energia magnetica e viceversa. Essa si auto-sostiene perché

questo processo è più efficiente della dispersione ohmica.

Ipotesi di un conduttore perfetto: m

R = ∞

t

∂= ∇× × = ⋅∇ − ⋅∇

∂

Bv B B v v B

t

∂+ ⋅∇ = ⋅∇

∂

Bv B B v

d

dt= ⋅∇

BB v

Flusso congelato (frozen flux)

Considera un elemento di linea dl trasportata dal fluido

( )( ) ( )

d dd d

dt= + − = ⋅∇

lv r l v r l v

dl

r

r+dl

d= ⋅∇

BB vr

d

dt= ⋅∇

BB v

Le linee del campo magnetico evolvono come gli elementi di

linea, trasportate dal moto delle particelle.

Dinamo

Una dinamo usa il moto di un conduttore elettrico attraverso

un campo magnetico per produrre corrente elettrica

La dinamo terrestre è una dinamo ad auto-

eccitazione : non necessita di campi esterni per eccitazione : non necessita di campi esterni per

essere sostenuta, ma viene generata da un

debole campo magnetico iniziale.

Dinamo cinematiche

Teorema di Cowling (anti-dinamo) : Un fluido in rotazione

intorno ad un asse non può produrre una dinamo ad auto-

eccitazione a simmetria assiale.

Rappresentazione delle linee di

campo : poloidale e toroidale campo : poloidale e toroidale Componente Toroidale

Poloidale :

meridionale + radiale

Toroidale :

azimuthale

Effetto Alpha

Trasformazione del campo da toroidale a poloidale

Sono causati da flussi poloidali

che posseggono vorticità

Questi meccanismi possono

anche trasformare un campo

toroidale in uno poloidale

Effetto Omega

Trasformazione del campo da poloidale a toroidale

Sono causati da moti toroidali differenziali

Teoria del campo medio

Supponiamo che i campi possano separarsi in un contributo

medio ed una perturbazione

2

tη

∂= ∇ + ∇× ×

∂

BB v B

Questo è possibile quando i campi sono

0

0

'

'

= +

= +

v v v

B B B

Questo è possibile quando i campi sono

caratterizzati da due scale spaziali, una

grande L ed una piccola L’, e stiamo

investigando il comportamento del campo

a lunghezze intermedie : L’ << l << L

0

0

; '

; '

< >= < >=

< >= < >=

v v v 0

B B B 0

Fluttuazioni casuali

Teoria del campo medioSostituiamo e mediamo

( )

2 20

0

0 0

''

' ( ')

t tη η

∂ ∂+ < >= ∇ + < ∇ > +

∂ ∂

< ∇× + × + >

B BB B

v v B B( )0 0' ( ')< ∇× + × + >v v B B

Semplificando

20

0 0 0' '

tη

∂= ∇ + ∇× × + ∇× < × >

∂

BB v B v B

Forza elettromotrice derivante dai

moti a piccola scalaε

Teoria della turbolenzaCome rappresentiamo la FEM in funzione del campo medio ?

Sviluppo di Taylor

0

0...

j

i i ijk

k

BB

xε α β

∂= + +

∂ k

0 0ε α β= − ∇×B B

Teoria della turbolenza :

20

0 0 0 0( ) ( )

tα η β

∂= ∇× × + + + ∇ +

∂

Bv B B B

α : contributo rigenerativo del campo medio

β : diffusività di turbolenza

Soluzioni di Beltrami

0 0K∇× =B B

Supponiamo di avere un campo magnetico medio in un fluido

fermo a grande scala (v0=0). Cerchiamo una soluzione di

Beltrami:

20 Kα η∂

= + ∇B

B B

2 2

0 0 0 0K K∇ = −∇×∇× = − ∇× = −B B B B

20

0 0eKt

α η∂

= + ∇∂

BB B

Calcoliamo l’espressione per il Laplaciano

Campo crescente

0

0( )eK K

tα η

∂= −

∂

BB

Sostituendo otteniamo:

Per separazione di variabili

( )

0eK K t

Ceα η−=B

Per separazione di variabili

Il campo cresce esponenzialmenteeKα η>

1K

L∼

Il campo cresce se la scala spaziale del

campo medio è sufficientemente grande

Dinamo sperimentali - 1

Dinamo di Riga

• 3 cilindri coassiali di 3 m

• Il sodio liquido è accelerato verso il basso da un propellente, e

produce un flusso con elicità

• Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 con Rm~20

Dinamo sperimentali - 2

Dinamo di Karlsruhe

• 52 array con cilindro interno a flusso verticale ed esterno con elicità

• Il sodio è immesso all’interno dei cilindri

• Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 che riproduce

la teoria del campo medio

Dinamo sperimentali - 3

Dinamo 3m Maryland

• Sfera di sodio liquido

• Ancora in costruzione, ma promette Rm ~ 680!

Dinamo dinamicheEquazioni del sistema

Eq. dell’induzione2

tη

∂= ∇ + ∇× ×

∂

BB v B

2( ) 2t

∂+ ⋅∇ + Ω× + Ω× Ω× =

∂

∇

vv v v r

Eq. di Navier-Stokes2

0 0

1PTα ν

ρ ρ

∇− + + × + ∇g J B v

Eq. di Navier-Stokes

0∇ ⋅ =v Incompressibilità

0∇ ⋅ =B Eq. di Maxwell (III)

2

0T T

tκ

∂+ ⋅∇ = ∇

∂

Tv Eq. di Fourier

Numero di Raynolds810

VLRν

ν= ≈

710

t

VLPe

k= ≈ Numero di Peclet

1110

m

VLMp

D= ≈

Numero di Massa di

Peclet

Numeri adimensionali

2

14

2

8

10

10

EcL

VRo

L

ν ν

ω ω

ω ω

−

−

∇= ≈ ≈

×

⋅∇= ≈ ≈

×

v

v

v v

v

m

Moto del fluido fortemente turbolento

Numero di Eckman

Numero di Rossby

Onde MAC (Magnetiche - Archimedeiche – Coriolis)

MAC Waves

2

tη

∂= ∇ + ∇× ×

∂

BB v B

0

12( )

P

t ρ ρ

∂ ∇+ Ω× = − + + ×

∂

vv g J B

2 2

02 / 4000MAC L B yrτ µ ρ= Ω ≈

Dell’ordine di grandezza della deriva occidentale

Modelli numerici

Nel 1995 Glatzmeier e

Roberts produssero il

primo modello numerico

di una dinamo ad auto-

eccitazione con campo

prevalentemente dipolare

e inversioni

Cilindro tangente

Cartucciere

La dinamo è prodotta dalla convezione nelle colonne di fluido

esterne al nucleo interno

Meccanismi di auto-sostentamento

Simulazioni del campo

Età del nucleo interno…

Un paradosso ?

• Le osservazioni in superficie indicano che il campo magnetico

ha ca 3.5 Gyr. Senza la presenza del nulceo interno, i modelli

attuali non sono in grado di produrre una dinamo ad attuali non sono in grado di produrre una dinamo ad

autoeccitazione

Età del nucleo interno > 3.5Gyr

• I modelli termici di raffreddamento della Terra indicano che la

nascita del nucleo interno è dell’ordine di 1Gyr, assumendo la

presenza di potassio radioattivo, si arriva al più a 1.5 Gyr

•Età del nucleo interno < 1.5Gyr