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7/23/2019 C. Idrostatica
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C. Statica dei fluidi
Eq. indefinita della statica dei fluidi
Legge di Stevin - Distribuzione idrostatica delle pressioni
Pressioni relative ed assolute - Piano dei carichi idrostatici
Spinte idrostatiche su superfici piane
Equazione globale equilibrio statico
Spinte idrostatiche su superfici curve
Galleggianti
Fluidi piccolo peso specifico
Equazione Mariotte
C0
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Si esamini un fluido in quiete, o più in il caso generale in moto in assenza di moto relativo tra particelle
adiacenti 0
Obiettivo: studiare il campo di pressione, p( x, y, z ) nel fluido e gli effetti di p su superfici immerse.
Variazione della pressione in un punto con l’orientamento di un piano passante per
il punto stesso - F = m a
z x
y
p y x z
p z x y
p s x s
s
x y z
2
y
x
z Lungo le direzioni z ed y
Dalla geometria:
y = s cos ; z = s sin
p y – p s = r a y ( y/2)
p z – p
s = (r a
z + ) ( z /2)
Prendendo il limite per x, y, z 0 (mantenendo fisso ) p y = p s; p z = p s p y = p z = p s
La pressione in un punto di un fluido in quiete (o in moto) è indipendente dalla direzione finché gli
sforzi tangenziali sono identicamente nulli.
Pressione in un fluido in quiete
C1
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z
x
y i
j
k
rf x y z
Equazione indefinita della statica dei fluidi
Bilancio di forze di massa e di superficie
Forza di superficie risultante in direzione y
Forze di superficie risultanti in direzione x, z
Campo di forze specifiche di massa f [F/M]
Espansione di p in serie di Taylor
Forza di superficie totale
C2
z y x y
p z x y
y
p p z x p F
y
z y x x
p
F x
z x y y
p p
z x p
y x p
y x z z
p p
Seconda legge di Newton F = ma = 0
F = Fs +rf x y z = 0
p z
p
y
p
x
p
k j i
Gradiente di pressione
(grad p o p )
- p d xdydz + rf d xdydz = 0
p = rf
Sostituendo le forze di superficie, essendo
si ha
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Equazione globale dell’equilibrio statico
r
W
dV p grad dV f
A
dA p n
Risultante delle forze
di massa su W
Risultante delle spinte
elementari p n sugli
elementini della superficie di
contorno
G +P
= 0
C3
V
A
A
n
Integrando l’equazione indefinita su un volume di
controllo finito V di superficie A e applicando il lemma di
Green (parte A)
L’equazione esprime l’equilibrio tra le forze di massa applicate ad un volume finito e le forzedi superficie che agiscono sul contorno dello stesso
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1) In un fluido pesante = sottoposto sola azione gravità f = – g k
0
y
p
x
p
z
p
La pressione decresce muovendoci verso l’alto in un fluido in quiete.
La legge di distribuzione delle pressioni nel fluido in quiete è determinata dalla soluzione
delle
1. Equazione indefinita p + k = 0
2. Equazione di stato r = r( p, temperatura)
3. Condizioni al contorno forniscono la soluzione particolare
2) r = costante (z + p / 0; z + p / = costante
z + p / = quota piezometr ica o carico piezometr ico LEGGE DI STEVIN
Legge di Stevin
p + k = 0
ovvero per componenti
C4
quota geodetica altezza piezometrica
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Dati due punti qualunque 1 e 2, di quota z 1 e z 2
rispetto a un riferimento
p2 – p1 = – ( z 2 – z 1) p1 – p2 = ( z 2 – z 1)
x
z
y
z 2
z 1
h = z 2 – z 1
p 2
p 1
p1 – p2 = h; p1 = h + p2
Distribuzione idrostatica delle pressioni
La pressione varia linearmente con la profondità
Se p = costante (superfici isobariche) z = costante Le superfici
isobariche sono dei
piani orizzontali
La pressione aumenta col diminuire della quota Esiste piano orizzontale a quota z 0 nel quale la pressione si annulla = piano dei carichi idrostatici assoluto
Distribuzione idrostatica delle pressioni
C5
Superficie libera, atmosfera ( p = patm )
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Vuoto; p = 0
z = 0
A
z A
z 0
p
p A
p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)
Piano dei carichi idrostatici assoluto
h A
La pressione in un punto A ad una profondità h A rispetto al p.c.i. è p A = h A
C6
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Pressioni relative ed assolute – Piano dei carichi idrostatici relativi
La pressione vista sinora si indica come pressione assoluta pass = p*
Nei problemi applicativi, con recipienti in atmosfera, si utilizza la pressione relativa prel = pass – patm
con patm = pressione atmosferica; prel può anche essere negativa, pass no !Si definisce allora il p.c.i. relativo come quel piano su cui si annulla la pressione relativa; per
recipienti a pelo libero, esso concide con la superficie libera
p.c.i. Relativo; z a = z M + p M /
= z M + (p *M - p atm ) /
z = 0
M
z M
h
h * = p *M /
p atm /
z 0z a
p.c.i. Assoluto; z 0 = z M + p *M /
Il p.c.i. assoluto e relativo sono utili per trovare la p nei punti della massa fluida considerata
p M = ( z a – z M ) = h p* M = ( z 0 – z M ) = h*
patm= 101.330 Pa 10.33 m (altezza piezometrica della pressione atmosferica in m di colonna
d’acqua)
C7
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Vuoto; p * = 0
p atm
z = 0
M
z M
h Mz 0
z a
p
p *M
p M
p atm
p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)
p.c.i. relativo
Piani dei carichi idrostatici assoluti e relativi
C8
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A B
h
La pressione in un punto non dipende dalla
forma del recipiente che contiene il fluido
F 1 = p A1 F 2 = p A2
Trasmissione della pressione fluida
(torchio idraulico)
Una piccola forza può originare unaforza più grande
p = F 1 /A1 = F 2 /A2
C9
Applicazioni
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MISURA DELLA PRESSIONE
• M
h
p.c.i.Piezometro : consente di visualizare la quota del p.c.i.
p M =
h
r1
r2
A
h 1
h 2
Aria (p = 0) p.c.i.(1)
p.c.i.(2)
arctan 1
arctan2
h ’
2 h ’ = p A = 1 h 1
h ’ =
2
1
h 1
C10
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p.c.i.
hp.c.i.
M N ’
N
M
M
D
M > p M = p N + M D
D
M M h p
Manometro Semplice
M > p N =0 = p N ’
p M = M D
D
M M h p
h
M
N ’ N
M
p.c.i.
M
D
p.c.i.
C11
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Manometro Differenziale 1/2
p N = h
p M = (h – D – )
p N = p M + D M
(h – D – ) + D M = h
D M
M >
D
h – D
h
N
M
p.c.i.
M
h
(h – D)
arctg
M
arctg
C12
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Manometro Differenziale 2/2
1
2
M >
D
h – D
h
N
M
p.c.i.
M
A
B
p.c.i.
1
p.c.i.
2
arctg
2
arctg
1
arctg
M
2
12
2
2
D h M
C13
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Spinta Idrostatica su Superficie Piana
Spinta su superficie infinitesima d S = pn dA = hdAn
Spinta su superficie finita
C14
S R = p A ; p = h Spinta superficie;
Spinta applicata nel baricentro
H
p
S R
p = patm
Superf icie orizzontale
dA
d S
A
h
p.c.i.
A
R R R S hdAS nS ;
Spinta superficie (larga L);
Spinta appl. nel centro di spinta baricentro
Superf icie verticale
H
S R
p = patm
h
2 H /3
A
H
G R A p HL H L H hLdhhdAS 0
2
22
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Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (1/2)
yG
y
S
d S hG
h
O
yC x
y
xG
xC
x
G
C A
dA
p.c.i. L inea di sponda
S R = pG A
C15
Ah A y
ydAdA yhdAS
S hdAdA pd
GG
A A A
A A A
sen
sensen
nnnSS
Modulo dell a spinta
M
I
A y
I
A y
I
S
I y
dA y I I dA y
dA yhydA pydASy
x
G
x
G
x xC
A x x
A
A A AC
sen
sensen
;sensen
sen
22
2
Punto di applicazione della spin ta
I x: momento d’inerzia dell’area A rispetto all’asse
x, formato dall’intersezione tra il piano
contenente la superficie e la superficie libera
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Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (2/2)
yG
y
S
d S hG
h
O
yC x
y
xG
xC
x
G
C A
dA
p.c.i. L inea di sponda
C16
M
I
A y
I
A y
I
S
I x
xydA I I xydA
dA xyhxdA pxdASx
xy
G
xy
G
xy xy
C
A xy xy
A
A A A
C
sen
sensen
;sensen
sen
Punto di applicazione dell a spin ta
I xy: momento centrifugo dell’area A rispetto agli assi x e y
Le espressioni precedenti si trasformano
ricordando che (teorema di Huygens-
Steyner) I x = I xG + A y2
G, con I xG: momento d’inerzia dell’area rispetto a un asse passante per il suo
baricentro G e parallelo all’asse x; ne consegue
M
I y y xG
GC
ESEMPI
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b/2
b/2 s
eS
B
C
A
h
Paratoia rettangolare verticale alta b e larga L incernierata in C.
Determinare il modulo della spinta S sulla paratoia e il suo momento
M rispetto C, nell’ipotesi che l’acqua a monte della paratoia abbia
una profondità h = 2b sulla cerniera stessa..
Ah A pS GG
e
2
12
222
3
0
b AB Lb
Lbb
M
I bb s
Spinta
braccio
sS M Momento
A
C
B
a
L
H
Determinare la più piccola lunghezza L della base AB in modoche l’elemento non si ribalti e l’angolo a per cui la lunghezza è
minima.
Affinché la struttura non si ribalti la spinta complessiva
sull’elemento ABC deve passare al limite per B, ossia che sia
nullo il momento rispetto B delle spinte su AB e BC.
(Si considera un elemento di larghezza unitaria)
HLS AB
2
1
2
1
2 HL
LS M AB
a
sen
H H S
BC 2
1
a
2
3
2
6
1
sen
H braccioS M
BC
21 M M
a
sen
H L
3
L è min per sena max ossia per a = p/2
C17
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Spinte su superfici curve 1/4
dS = p n dA
dSx = p (cos [nx ] dA) = p dAx
dSy = p (cos [ny ] dA) = p dAy
dSz = p (cos [nz ] dA) = p dAz
(ha per normale l’asse x )
xox A
x A
x A
x x AhdAhdA pdS S x x x
La superficie Ax è piana
h 0x è il baricentro di Ax piana
yoy
A
y
A
y
A
y y AhdAhdA pdS S
y y y
1. Proiezione Ax , Ay
2. h 0 = p 0 baricentro
3. Applicata (S x , S y ) nel centro di spinta
In genere non riconducibile ad un’unica forza (2 forze: 1 orizzontale, 1 verticale)
C18
A
dA
dAx
pz
x
y
Ax
CP
Sx
y
z
S i fi i /
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Spinte su superfici curve 2/4
W dW dAhdA pdS S
z z z z A A
z z
A
z
A
z z
1. Peso cilindro con generatici verticali poggiante
sulla curva che forma il contorno di A
2. Applicata nel baricentro del cilindro
S x
, S y
non complanari - Sistema equivalente
S oriz. = ; S vert . = S z
S vert . non passa più per il baricentro del volume della
colonna sovrastante, a meno che S x e S y siano complanari
(coppia = 0)
In generale si calcola così: S x in C x , S y in C y , S z nelbaricentro di W .
22
y x S S
Sz
Az
C19
S i t fi i 3/4 i l b l d ll’ ilib i t ti
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Spinte su superfici curve 3/4 : uso equazione globale dell’equilibrio statico
C
B
O
P1
O
G
C
BA
C
BA
(baricentro)
Si isola un volume finito W (volume di controllo): la sua scelta
dipende dal tipo di problema che si affronta
G + P1 + P2 + P0 = 0
G + P = 0
C20
P2
P0
S=P0
S = P0 = G + P1 + P2
La forza incognita (spinta su superficie curva) è determinata infunzione di forze note (peso e spinte su superfici piane)
S i t fi i 4/4
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Spinte su superfici curve 4/4
p.c.i.
h 0
G + P0 + P1 = 0
S =P0 = –
P1 – G
P1 = h 0 A (applicata nel centro di spinta)
G = W (peso; applicato nel baricentro)
P1
P1G
- G
P0
C21
I) Sup. concava:
S = – P0 = G + P1
II) Sup. convessa: riempio V di fluido
S = P0 = – G – P1
I )
V
P0
P0
G
P
1
II )
V
C i i i ll i ti
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Corpi immersi o galleggianti
GALLEGGIANTI (parz. immersi)
G
G + P = 0; P = S;S = spinta liquido sul corpo;
S = -G
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso di un volume di liquido uguale a quello del corpo
immerso; esso passa per il baricentro del volume di fluido
(PRINCIPIO DI ARCHIMEDE).
S
P peso proprio corpo
P > S corpo affonda;P = S eq. indifferente;
P < S corpo si innalza;
P
B
C
S
B = baricentro nave;
V = volume di carena;C = centro di carena(baricentro di V)V
C22
Caso della nave :
P V S
Applicata nel baricentro del volume
immerso (CENTRO DI CARENA)
L’equilibrio è indifferente per traslazioni
orizontali, stabile per traslazioni verticali
P
S
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO ASSE ORIZZONTALE
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Per piccoli sbandamenti (sena tga a) si dimostra che
con J momento d’inerzia della superficie di
galleggiamento rispetto all’asse di rotazione scelto e V volume di carena.V
J MC
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO ASSE ORIZZONTALE
S
C
M
G
P
a
C’ GC
a
MS
P
a
M
G
C C’
G = baricentro; C = centro di carena; C’ = centro di carena in posizione sbandata; M = metacentro
= intersezione della verticale per C’ con GC
a) G sotto C; equilibrio sempre
stabile (STABILITA’ DI PESO)
Momento stabilizzante
a senGC MC V M s
b) G C; equilibrio sempre
stabile
Momento stabilizzante
a sen MC V M
s
c) G sopra C
Momento stabilizzate
) a senGC MC V M
s
Equilibrio stabile se
Equilibrio indifferente se
Equilibrio instabile se
GC MC
GC MC
GC MC
C23
Fluidi di piccolo peso specifico
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Fluidi di piccolo peso specifico,
Anche fluidi sottoposti ad elevate pressioni in piccoli contenitori
1. Gas (modeste altezze); nei gas p costante
Aria 20 ºC
p A = 9.806 N/cm2 9.8 x 104 N/m2 [Pa]
= 23.24 N/m3 cost.
p B = p A + x 5 = p A + 116 (p B – p A) / p B x 100 1.2 ‰
B
A
Spinta su superficie piana Spinta su superficie curva
S = p A
S A
p dS x = p dA cos a = p dAx
S x = p Ax
S y = p Ay
S z = p Az
Ax
p S x
S a
C24
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2. Liquidi con p elevate
Come nei gas, p cost
2 dT = S S = p D dL
dT = s e dL
e = dT / s dL
Formula di Mariotte
dL
D e e
dT dT
p
C25
e
pD
2s