Appunti del secondo modulo

Non citare da queste note (che sono in parte una rielaborazione

del testo di Huggett)

Kant e la geometria euclidea• “La certezza apodittica di tutte le proposizioni

geometriche, e la possibilità della loro costruzione a priori, è fondata su questa necessità a priori dello spazio” (p. 217 Huggett).

• Se togliessimo dalla rappresentazione del mondo esterno tutti i contenuti, resterebbero le relazioni spaziali, la struttura geometrica dello spazio, la forma delle sensazioni come è stata descritta da Euclide

• Lo spazio è intuizione perché è rappresentazione immediata del mondo esterno, forma del senso esterno.

• Lo spazio è solo per il soggetto, e non esiste in sé!! (p. 219) realtà o validità intersoggettiva dello spazio se riferito ai fenomeni, ma sua idealità se riferito alle cose

La geometria come basata sul sintetico a priori

• Carattere universale e necessario (apriori) ma anche ampliativo (sintetico) degli assiomi di Euclide:

• Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.

• Si può prolungare una retta oltre i due segni indefinitamente. • Dato un segno e una lunghezza, è possibile descrivere un

cerchio. • Tutti gli angoli retti sono uguali. • Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato

angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Il 5 postulato

• Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Il carattere euclideo delle percezioni (spazio percettivo) e della geometria del mondo fisico

(spazio fisico)• Poiché la forma di ogni esperienza possibile è

euclidea, ogni esperienza o teoria sul mondo deve essere conforme alla geometria euclidea

• Se la matematica non è sintetica, non se ne spiega l’applicabilità al mondo.

• L’ESISTENZA DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE NON UCCIDE IL KANTISMO, E IN PARTICOLARE IL SINTETICO A PRIORI?

• In quanto è certa, dice Einstein, “la geometria non ci dice nulla sul mondo”, in quanto ci dice qualcosa sul mondo, è incerta"

Geometrie und Erfarhung• A questo punto salta fuori un enigma, che ha assai disturbato

i ricercatori di tutti i tempi. Com’è possibile che la matematica, che è un prodotto del pensiero umano indipendente da ogni altra esperienza, se la cavi così bene al confronto con l’esperienza? Può quindi la ragione umana senza l’esperienza mediante il puro pensiero penetrare a fondo nelle proprietà delle cose reali? Su questo punto secondo me si deve rispondere in breve: laddove le leggi della matematica corrispondono alla realtà, esse non sono certe, e laddove sono certe, esse non corrispondono alla realtà. Piena chiarezza su questo stato dei fatti mi pare derivi in primo luogo da quella linea di pensiero sulla proprietà generali della matematica che `e conosciuta sotto il nome di “assiomatica”. Il progresso raggiunto dall’assiomatica sta nel fatto che con essa si separa nettamente il contenuto logico-formale da quello empirico o intuitivo; solo quello logico formale costituisce secondo l’assiomatica l’oggetto della matematica, e non il contenuto intuitivo o d’altro tipo accoppiato a quello logico-formale.

La geometria ellittica

• Sia la geometria ellittica che l’iperbolica mantengono i primi 4 assiomi ma modificano quello sulle parallele.

• La geometria ellittica afferma che non esistono “linee” parallele e due qualunque rette si incontrano se continuate indefinitamente. Linea sostituisce “linea retta”

Gli assiomi della geometria ellittica sono consistenti (esiste un modello

in cui sono tutti veri)

• Due punti qualunque stanno su una “linea” (arco di cerchio massimo)

• Ogni segmento di linea può essere prolungato indefinitamente (diventando cerchio massimo)

• Due punti qualunque (il centro e un punto sulla circonferenza) definiscono un cerchio (non necessariamente massimo)

• Tutti gli angoli retti sono uguali

45N 10E Roma

R

N

170 W

• R= 6300 Km

• R’ = R cos 45 ½ (6,28R’) > ¼ (6,28 R) ½(2/2 R) > ¼ R 2 = 1,41 > 1

R’

Verifica del terzo assioma

raggi

(segmenti di cerchio massimo)

centro

Secondo punto

La negazione del 5 postulato euclideo

Qualunque coppia di linee rette si interseca in due punti: le “linee rette” su una superficie ellittica si incontrano: non ci sono parallele (ovvero “linee rette” che non si incontrano, nel senso di Euclide)

La consistenza della geometria ellittica

• Le proprietà metriche, come quelle geometriche, si aggiungono agli insiemi di punti di uno spazio topologico: non sono intrinsiche ai punti

• Gli assiomi sono consistenti (sono tutti veri) nel modello fornito dalla superficie curva bidimensionale di una sfera (non si deve pensare alla sfera come a un oggetto che vive in un uno spazio tridimensionale piatto, e che ha un interno)

• La verità della geometria euclidea non è logicamente necessaria: la necessità consiste nella deducibilità dei teoremi dagli assiomi, che è una faccenda a priori.

• La geometria dello spazio è una faccenda empirica e Kant ha torto, a meno che non limiti la sua tesi allo spazio fenomenologico

La somma degli angoli interni di un triangolo sferico può arrivare a 270

• Si possono misurare gli angoli di un triangolo terrestre, come fece Gauss: se il risultato è diverso da 180, possiamo fare esperienza di un mondo non euclideo

Il convenzionalismo di Poincaré

• Due possibilità alternative:• Lo spazio ha una geometria vera ma non la

possiamo scoprire e siamo costretti a una scelta convenzionale;

• Lo spazio non ha una geometria (non ci sono fatti da scoprire circa la natura euclidea o non-euclidea) e la convenzione è tutto ciò che c’è

• Per un neopositivista, tra queste due alternative non c’è alcuna differenza, perché postulare fatti che non riusciremo mai a scoprire è privo di senso, o comunque superfluo

Il modello euclideo delle geometrie di BL di Poincaré come esempio di

sottodeterminazione delle teorie da parte dei fatti

• “nessun esperimento sarà mai in contraddizione con il postulato euclideo e nessun postulato sarà in contraddizione con il postulato di Lobachevski” (Poincaré, Scienza e ipotesi)

• Equazione di Poincaré secondo Huggett:• Geometria dello spazio + comp. degli strumenti di misura =

risultati di misurazione dello spazio

Raggi di luce e geometria• Se misurando gli angoli fatti da

raggi di luce trovassimo somme diverse da 180, per P. non potremmo concludere che lo spazio è ellittico (linee luminose blu) o iperbolico (linee luminose rosse) senza l’ipotesi aggiuntiva che la luce viaggia in linea retta; infatti potremmo anche affermare che lo spazio è euclideo ma la luce non viaggia in linea retta, per esempio perché incurvata da qualche meccanismo rifrattivo

Il disco di Poincaré

r

L(R2- r2)/R2

L

• C’è una variazione di temperatura dal centro alla circonferenza che fa contrarre gli oggetti di un fattore proporzionale alla differenza indicata in figura: è una forza che agisce su qualunque oggetto, anche sui regoli, e i suoi abitanti non possono rendersene conto, almeno all’inizio; concluderanno che il loro spazio è infinito, perché gli oggetti misuratori diventano sempre più piccoli verso il bordo. Si immagini un ciclometro la cui circonferenza si restringe sempre più e non raggiunge mai il bordo

In questo esempio, si hanno due interpretazioni alternative tra le

quali i fatti non possono decidere

• La geometria è euclidea ma esiste una forza universale che fa contrarre gli oggetti e incurva i raggi di luce

• La geometria è non-euclidea, e i suoi abitanti misurano proprietà tipicamente non euclidee. Vediamo perché

Le esperienze di chi è ignaro della forza contrattiva sono non-

euclidee

D

Supponiamo che un ciclometro lungo 1m al centro del disco sia lungo 0,5m sulla circonferenza tratteggiata, la cui lunghezza euclidea è C; sia quella misurata con la ruota c. Si ha che c = 2C ; infatti se si suppone che il ciclometro abbia lunghezza invariata di 1m, la circonferenza rossa misurata a distanza D risulta di lunghezza doppia rispetto a C, perché ogni giro, che in realtà è mezzo metro, per i misuratori vale sempre 1 m. Ma il diametro misurato d < 2D, perché misurando il diametro muovendosi dalla periferia al centro e poi di nuovo alla periferia il ciclometro si mantiene sempre maggiore di 0.5 e diventa 1m al centro

Circonferenza = C

• c/d > 2D/2C=

Conclusioni• Contro Kant, è possibile fare esperienze del mondo

non-euclidee, e ciò vale indipendentemente dal problema di risolvere quale sia la geometria del mondo (ovvero, in mancanza o in presenza di forze universali di contrazione). La geometria matematica per P è a priori

• Reichenbach e l’interpretazione convenzionale della metrica della relatività generale: per R. non si può dire che lo spazio-tempo relativistico è curvo

• Ma la lettura che prevede le forze universali di contrazione sembra ad hoc

La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi

Il paradosso del saltatore d’asta nel capanno

L’orologio luminoso

'cTL

L

L’orologio luminoso in moto visto dal sistema “fermo”

vT

cTL

(cT)2 = L2 + (vT)2.

• (cT)2 = (cT')2 + (vT)2 • T'2 = T2 - (v/c)2T2 • T' = T(1 - (v/c)2)1/2 = T/ ,      = 1/(1 - (v/c)2)1/2

• What about other clocks? The choice of this rather peculiar clock was made only because it is one that so clearly depends on a simple electromagnetic phenomena. Other clocks (quartz crystals, springs, even biological clocks) depend on complicated combinations of electromagnetic phenomena such as the forces between atoms and molecules, and on Newton's laws. If they didn't differ from the moving clocks by the same factor of γ, then we would conclude that the laws of mechanics and/or electromagnetism are different between the two frames, contrary to the principle of relativity. So time dilation would affect biological clocks as well, and Jasper thinks that Zoe is getting older more slowly than he is.

1

• Some particles striking the Earth's upper atmosphere have energies that exceed 2*1020 eV. If such particles are protons (with mass of about 1 GeV), their speeds would be 0.999 999 999 999 999 999 999 995 c. For them, γ is 1011. Now the age of the universe is about 13 billion years for us, but for such particles, the age of the universe would be about (13 billion  years/1011), ie about a month. Such a particle could cross the visible universe in a matter of months (their time).

• (dal sito http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/module4_time_dilation.htm#length

Anche la lunghezza dei sistemi in moto (L=cT) si contrae

• Se misuriamo le distanze con nanosecondi luce (30cm/sec), poichè la velocità che la luce impiega a percorrerle è la stessa nei due sistemi in virtù del secondo postulato della teoria, e i tempi sono diversi a causa della dilatazione del tempo nei sistemi in moto, ci sarà anche una diversità delle lunghezze misurate. In particolare, l’orologio che misura intervalli temporali dilatati di un fattore , percorrerà distanza contratte dello stesso fattore! Altrimenti il loro rapporto non potrebbe essere c

Contrazione delle lunghezze• Se il guidatore dell’auto segna con della vernice

le due estremità del garage quando passa e calcola il tempo che la luce impiega a percorrere le distanza relativa, calcola la lunghezza del garage in secondi luce (il tempo intercorso tra I due spruzzi). Supponiamo che per il guidatore siano passati 2T’ dal primo al secondo segno, allora la lunghezza del garage sarà L’= 2T’v (v= velocità relativa). Poichè però per il garagista 2T=2T’ (T>T’) la lunghezza che egli misura per il suo garage (lunghezza propria), sarà

L= 2vT = 2vT' =L’ L>L’

Asta e capanno

• Immaginate che Eric costruisca un capanno lungo quanto un’asta da saltatore in movimento. La sua asta e quella di Erica sono della stessa lunghezza a riposo, lunghezza che eccede quella del capanno. Ma quando Emma corre verso il capanno, l’asta si contrae ed entra tutta nel capanno.

Il punto di vista di Eric

Il capanno ha due porte alle estremità. Emma, with her contracted pole, will run into the shed and he will shut both doors just when her pole fits inside. For an instant at least, Emma's pole will be entirely inside the shed and he will have proved that her pole has shrunk

Il punto di vista della saltatrice

"You cheated," she says "you closed the back door when my pole had already poked through the front door! My pole was always longer than your shed." Their disagreement is now about the timing of the closing of the doors. Did two distant events happen simultaneously or not?

• Due lampi di luce quando le porte si chiudono. Here is his view of events, with the flash bulbs represented by white circles. It just so happens that, according to Eric, Emma was at the midpoint of the shed when the flash bulbs went off.

•

Paradosso asta-saltatore

Le linee intere rappresentano la storia spazio-temporale dell’asta, quelle tratteggiate la storia del capanno. Per Eric l’asta è nel capanno al tempo t=0,L0=l , per Emma non lo è mai a nessun

Come ricavare un “punto di vista” da un altro: le trasformate di Lorenz• Si noti che entrambi hanno ragione, dal

loro punto di vista, perchè in relatività “non c’è un punto di vista assoluto”.x Due sistemi in moto reciproco lungo l’asse delle x