Post on 01-May-2015
Analisi Statistica dei Dati
G.Marsella
Elementi di teoria della probabilità
Eventi aleatori
• Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno
• I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati attraverso la teoria della probabilità
Probabilità di un evento semplice
Un evento può risultare:
• Certo (si verifica sempre)
-estrazione di una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere
• Impossibile(non si verifica mai)
-estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente solo palline nere
• Probabile(può verificarsi o no)
-estrazione di una pallina bianca da un’una contenente sia palline nere che bianche
Eventi e probabilità
impossibile
probabile
certo
P=0 0<P<1 P=1
Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di Erappresenta l’evento complementare E con la relazione
P(E) = 1 – P(E)
La prova genera l’evento con una certa probabilità
Eventi aleatori
• Evento semplice = singola manifestazione di un fenomeno (misura,osservazione, risultato) che esclude altri eventi (eventi incompatibili: testa o croce nel lancio di una moneta)
• Evento composto = è costituito da una combinazione di più eventi semplici. Possono verificarsi simultaneamente ovvero sono compatibili(l’evento testa di una moneta è compatibile con l’evento croce nel lancio di due monete)
Eventi aleatori
• L’insieme di tutti gli eventi di un fenomeno costituiscono l’universo o spazio campione (Ω) delle possibilità.
• Si usa il termine successo per segnalare che si è verificato l’evento considerato e insuccesso in caso contrario. Essi sono eventi incompatibili o mutuamente esclusivi
Spazio campionario
• Lo spazio campionario associato al lancio di due monete comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati
• Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario
•TT•TC•CT•CC
Teoria e calcolo della probabilità
• L’entità di successi in una serie di osservazioni (prove) può essere definita come frequenza relativa o
(percentuale) calcolata come rapporto tra il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di
casi esaminati • Il grado di aspettativa circa il
verificarsi di un evento E, ovvero la probabilità dell’evento P(E) è possibili casi di numero
successi di numero)( EP
Concezione classica della probabilità
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E(n) e il numero di casi possibili (N), purché siano tutti equi - probabili
N
nP(E)
Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08 probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5
Applicazioni della concezione classica
• Probabilità uscita testa
• Probabilità faccia 6 dado
• Qual è la probabilità che lanciando due volte una moneta si presenti prima la faccia testa poi la faccia croce
1°- TT2°- TC
3°- CT4°- CC
p =
p=
p =
2
1
6
1
4
1
Concezione frequentista della probabilità
• La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo in una serie di prove tendenti all’infinito, ripetute sotto identiche condizioni
• Nella concezione frequentista la probabilità è ricavata a posteriori dall’esame dei dati
N
nN
limP(E)
Frequenza relativa su ungran numero di prove
Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ?I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventiFrequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria
Legge dei grandi numeri
• P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E)
La frequenza relativa f al crescere del numero delle prove, tende, pur oscillando, verso un valore
costante (stabilità della frequenza)
Elementi di statistica
Elementi di statistica
• La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità– Si parte dai concetti fondamentali– Si estende la definizione di probabilità– Si introducono delle nuove variabili
Estensione del concetto di probabilità
Estensione del concetto di probabilità
• La probabilità viene fatta passare – da un numero razionale ...– ... ad un numero reale
• La probabilità può essere infinitesima– Anche se poi si darà significato sempre alla
probabilità finita– Tramite integrazioni
Estensione del concetto di probabilità
• Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite
• Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili
Le variabili aleatorie(variate)
Le variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria è una variabile...– ... reale– ... discreta o continua– ... associata ad una probabilità
Le variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria discreta– Assume i valori ...
– ... con probabilità
1 2, , , Nx x x
1 2, , , 1N kk
p p p p
Le variabili aleatorie
• Esempio classico: il dado– Variata: un numero da 1 a 6– Probabilità associata: 1/6
• Si definisce – Valore atteso– Speranza matematica– Valore medio
k kk
E x x x x p
• La variabile aleatoria discreta può essere definita da una tabella
• Esempio:– I numeri riportati sulle facce di un dado
• Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi– Anche le probabilità se il dado fosse truccato...
Il dado
xk Pk
1 0.167
2 0.167
3 0.167
4 0.167
5 0.167
6 0.167
• Ed ecco una rappresentazione grafica– Distribuzione– Spettro
2 3 4 5 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
• Se si conoscono solo valori proporzionali alle probabilità occorrerà normalizzarli
kk
kk
Ap
A
• Una variata continua– Assume valori reali in un dominio D con
probabilità infinitesima
– La è la funzione di distribuzione (spettro)
• Funzione densità
dp f x dx
f x
• Il dominio D sarà per noi, praticamente sempre, uno dei seguenti insiemi– Tutto l’asse reale– Il semiasse reale positivo– Un intervallo (e di solito chiuso)
• Indicheremo in ogni caso l’estremo inferiore con low e quello superiore con high
• Ecco degli esempi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Binomiale
2 1 0 1 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Uniforme
2.5 0 2.5 5 7.5 10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Poissoniana
• In ogni caso vale la condizione di normalizzazione
• ...ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale...
1kkD
f x dx p
k kkD
G x f x dx G x p
E G x G x
• Il momento di ordine 0 corrispnde alla condizione di Normalizzazione
Funzioni di distribuzione
• In sintesi, le principali caratteristiche di una funzione di distribuzione sono:
Le distribuzioni in generale
Le distribuzioni in generale
• Di solito hanno quindi dei picchi– Il picco più alto si chiama moda della
distribuzione– Un picco: unimodale
• Poi bimodale, multimodale...
Le distribuzioni in generale
• Si definisce la mediana
• È definita con un’equazione integrale• Non gode di proprietà di linearità• Molto utile e potente soprattutto nell’analisi
delle serie temporali
highM
Mlow
f x dx f x dx
Le distribuzioni in generale
• Poi ci sono i quartili• Mediane della mediana
• Poi i percentili ...
Le distribuzioni in generale
• Quasi sempre di una distribuzione si fornisce– La media– La standard deviation– La moda– A volte anche il momento secondo (o la sua
radice)» Valore quadratico medio
» È il caso delle velocità in un gas
x 2x
Le distribuzioni in generale
• Attenzione a non confondere
• Facili a confondere se si usa il simbolo
2
2
2
2
D
D
x f x dx
x dx
x
x fx
x x
Distribuzioni discrete e continue
Le principali distribuzioni discrete
Le principali distribuzioni discrete
• Veramente importanti solamente due– Distribuzione di Bernoulli e binomiale– Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari
La distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson
• È la distribuzione di eventi rari
• È ciò che diviene la binomiale quando
• Legge della distribuzione
cost0
nnp
p
!
keP k
k
La distribuzione di Poisson
1 1, 1
!
1 11
!
1 2 1 11 1 1 1
!
n kk
k n k
n kk
n n n kf k n p p p
n
n n n k
n
n k mm
n n n
m
n
n n
m
n
n
La distribuzione di Poisson
1 2 1 1lim 1 1 1 1
!
1li
! !1
1m
n kk
n kk
n
k m
n
k mm
n n n k n
mm m e
kk n
La distribuzione di Poisson
• Media
• Varianza
k
2
La distribuzione di Poisson
• Ed infine un grafico per e 2 5
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Le principali distribuzioni continue
Le principali distribuzioni continue
• Molte hanno interesse limitato
• Qui studiamo solo quelle di maggiore interesse per la misura
• Definite – In un intervallo (solo la uniforme)– Semiasse reale positivo– Tutto l’asse reale
La distribuzione uniforme
La distribuzione uniforme
• Definita fra –1/2 e 1/2
• Di solito però fra 0 e 1– Il calcolatore estrae “numeri a caso” in questo
intervallo– In realtà i numeri sono pseudocasuali
– Estratti con un formalismo causale si verifica a posteriori che rispettino la casualità
• Il caso di
– Sono la base per simulazioni statistiche
2 1 0 1 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
La distribuzione uniforme
• Definizione della distribuzione
• In generale
0 0
1 0 1
0 1
x x
x x
x x
0
1
0
x x m
x m x M
x x M
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
La distribuzione uniforme
• Media
• Varianza
2
m M
2
2
12
1
12
M mM m
UN PROBLEMA INTERESSANTE
Un problema interessante
• Visto che il calcolatore mi dà solo numeri (pseudo)casuali fra 0 ed 1, posso (e se sì come) ottenere dei numeri distribuiti fra A e B con una distribuzione f(x) ?
• La risposta è affermativa
Metodo di reiezione
Un problema interessante
• Uno schizzo grafico...
Un problema interessante
Ricetta1. Calcoliamo anzitutto il massimo della
funzione nel nostro intervallo
1. Poi calcoliamo 2. Estraiamo un numero fra 0 ed 13. Calcoliamo
*X
*X a b a X
1.05 maxa b
M f x
Un problema interessante
• Ora estraiamo un secondo numero fra 0 ed 1, e moltiplichiamolo per M: – Quindi una distribuzione
uniforme fra 0 ed M
• Siamo ora in possesso di due numeri (pseudo)casuali– X fra a e b– Y fra 0 ed M
Y
Un problema interessante
• Calcoliamo la
• Terremo per buono il valore X
se è
• Rigetteremo il valore X
se è
f X
f X Y
f X Y
Un problema interessante
• Il metodo è usatissimo e garantito
• Funziona a spese di estrazioni a vuoto– In pratica
• Si riempie uniformemente il rettangolo verde di punti
• Si tengono per buoni solo quelli sotto la curva
– Funziona anche per più dimensioni• ...e si allungano i tempi...
La distribuzione gaussiana
La distribuzione gaussiana
• Noi ci limiteremo alle variate normali• Sono le più utili• Coprono l’assoluta maggioranza dei casi pratici
– Quando occorre qualcosa di più si è nei guai
• In questo caso bastano due momenti– Media e SD
La distribuzione gaussiana
Caso importante “fuori dal coro”
i conteggiSeguono la statistica di Poisson
PeròRegola a spanne
Quando μ > 10 usate pure Gauss con
La distribuzione gaussiana
• La funzione di distribuzione
2
2
1
2,1
2
x
G x e
La distribuzione gaussiana
• Media
• Varianza
2
La distribuzione gaussiana
• Definiremo a partire da una variata normale x– La variata centrata (detta anche scarto)
– La variata ridotta (detta anche scarto ridotto)
• Vediamo degli esempi grafici
cx x x
x x
-2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
La distribuzione gaussiana
• Una proprietà importante:– Le probabilità di stare dentro un certo numero N di SD sono sempre le stesse
• Attenzione: la funzione d’errore è (storicamente) definita per una gaussiana non normalizzata...
1 erf2
NP x N
La distribuzione gaussiana
• Definizione
2
0
2erf
xtx e dt
2
0
21te dt
222te dt
La distribuzione gaussiana
• In realtà a noi serve 2
21
2 2erf
x t
x
ex
dt
La distribuzione gaussiana
1
2
3
4
5
N P x N 0.317
0.045530.0027 2.7 10
56.33 107 65.73 10 0.573 10
Curva di Gauss
Caratteristiche• E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore
superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità
• L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse
( da + a - ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario
• Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella distribuzione
• La frazione di area compresa tra due valori della variabile è assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo
Le aree sottese alla curva normale
• Spesso è necessario determinare la probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo
• Proprietà della curva normale: l’area sottesa alla porzione di curva che vi è tra le media e una ordinata posta a una distanza data, determinata in termini di una o più deviazione standard, è costante
Applicazione curva di Gauss
• Se una popolazione di unità classificate secondo un certo carattere X si distribuisce normalmente, la conoscenza di media e varianza (o loro stime) consente di calcolare (o di stimare) la frequenza relativa delle unità che presentano un valore di X compreso in un certo intervallo
• Calcolare la probabilità che, estraendo da tale popolazione un’unità questa abbia un valore di X compreso in un certo intervallo
Distribuzione gaussiana standardizzata
• Per agevolare il ricercatore la variabile x viene
trasformata in una nuova variabile
• La distribuzione standardizzata presenta il vantaggio di consentire la predisposizione di tabelle che permettono di calcolare porzioni di area della distribuzione e di stabilire la probabilità statistica di riscontrate valori in relazione a determinati valori z
x
z
Valori notevoli della distribuzione z
z area compresa area esterna all’intervallo
nell’intervallo (- z + z) (code della distribuzione)
(-z + z)
1 (-1<z<+1) 0.683 (≈ 68%) 0.317 (≈ 32%)
1.96 (-1.96<z<+1.96) 0.95 (≈ 95%) 0.05 (≈ 5%)
2.58 (-2.58<z<+2.58) 0.99 (≈ 99%) 0.01 (≈ 1%)
Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• Qual è la probabilità che un individuo estratto a caso da una popolazione con peso medio
72 Kg e deviazione standard
25 Kg pesi tra i 60 e 80 Kg:?
• Occorre calcolare la porzione di area compresa tra 60 e 80 Kg.
ai cui valori corrispondono rispettivamente i valori
48.025
)7260(60
Kg
Kgz
32.025
)7280(80
kg
kgz
Esempio di utilizzazione della distribuzione Z
• Facendo riferimento alla tabella z
per z=0.48 nelle due code è 0.631
• L’area di interesse tra -0.48 e 0 è 0.5 -
• Con analogo procedimento si calcola la porzione di area tra 0 e 0.32
P(60kg<peso<80kg=P(z60<z<z80) =
=P(-0.48<z<0) + (P(0<z<+0.32) =
=1-0.3155 - 0.3745=0.310 31,0%2
631.0
2
749.05.0
2
631.05.0
0 z
0,5
2
v
25,0
v
Ripartizione delle aree di probabilità della distribuzione z
Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• Una popolazione di bambini presenta valori di statura distribuiti in modo gaussiano con media = 120 cm. e deviazione standard = 16 cm.
1. Quale è la probabilità che un bambino scelto a caso presenti una statura inferiore a 132 cm.?
2. Quale è la probabilità che l’altezza sia maggiore di 116 cm., ma inferiore a 132 cm.?
1R 75.016
)120132(132
cm
cmz
%4.777735.02265.01)2
453.05,0(5,0
Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• 2R
• P(Z116<Z<Z132)0.7735-0.4015=0.3720 37.20%
25.016
)120116(116
cm
cmz
4015.02
803.0