Post on 22-Feb-2019
ALTRE APPLICAZIONI
DELLA CRESCITA ESPONENZIALE
• Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo)
• Livello di glucosio nel sangue
• Modello di diffusione dell’AIDS (Modello di Ho)
Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono
in ambiti molto diversi
• Modello di diffusione di una malattia infettiva(Modello di Bernoulli)
Lucia Della Croce – Matematica applicata
alla Biologia
E’ noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadono
in isotopi di altri elementi mediante l’emissione di particelle alpha (nuclei di elio),
particelle beta (elettroni) o fotoni.
Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei
radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale:
La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un
intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza
dell’intervallo e al numero di nuclei presenti all’inizio
dell’intervallo.
DATAZIONE AL
CARBONIO C14
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ttkNtNttN )()()(
Numero di nuclei radioattivi
al tempo t
Intervallo di tempo
)(tN
t
K costante di proporzionalità
)()()(
lim 0 tkNt
tNttNt
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Si ottiene cioè l’equazione differenziale lineare:
)(tkNdt
dN
che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) fornisce
la soluzione:
))(exp()( 00 ttkNtN
0 0( )N N t
Legge di decadimento radioattivo
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Valutazione del parametro K
Half-time (o tempo di dimezzamento) 1
( ) ( )2
N t t N t
0 0 0 0
1exp( ( )) exp( ( ))
2N k t t t N k t t
0 0
0 0
exp( ( )) 1
exp( ( )) 2
N k t t t
N k t t
Conoscendo il tempo di dimezzamento è possibile trovare il
valore di K
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0
0
0
0
exp( )) 1
exp( )) 2
exp( )*exp( )*exp( ) 1
exp( )*exp( ) 2
kt kt kt
kt kt
kt kt kt
kt kt
1exp( )
2kt
1ln( )
2kt
ln(2)k
t
Con tale valore di k il modello può essere utilizzato
per avere predizioni di )(tN per tempi 0tt
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DETERMINAZIONE DELL’ETA’
DI REPERTI ARCHEOLOGICI
Una delle prime strumentazioni utilizzate
al British Museum per la datazione al C14
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E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in
atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14.
Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una
parte su 750 miliardi, cioè
I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta.
Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità
di nuclei radioattivi C14.
ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni):
939 10*)10*33.1(10)750
1(
La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue
la legge:))(exp()( 00 ttkNtN
55702
1t
0N1210*33.1
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Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14:
2
1
)2ln(
tk
5570
693.0
Conoscendo la concentrazione attuale (tempo t) di C14 in un tessuto
si ha allora :N
))(exp( 00 ttkNN
k
NNtt
)/ln( 00
Se ad esempio fosse: 1210N
ktt
)33.1ln(0
anni41024.1
285.0 anni2300
410*24.1
)33.1ln()ln()/ln( 12
12
10
10*33.10 NN
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0
0
exp( ( ))N
k t tN
00*
exp( ( ))N
k t tN
(reciproci)
LIVELLO DI GLUCOSIO
NEL SANGUE
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Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio
attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di
sangue)
Il glucosio viene quindi metabolizzato con una
velocità proporzionale alla sua concentrazione.
)(tx concentrazione di glucosio al tempo t
)(tKxRdt
dx
L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:
K
RttKxttK
K
Rtx ))(exp())(exp()( 000
)( 00 txxLucia Della Croce – Matematica applicata
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Ponendo t0=0
))exp(1()exp()( 0 KtK
RKtxtx
al tendere di t
K
Rtx )(
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
x0*exp(-K*t)+(R/K)*(1-exp(-K*t))
tempo
glu
cosio
mg/l
R/K = 10.7143
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t
t
x
xdt
KxR
dx
0
0
)(tKxRdt
dx
)()log( 00 ttK
KxR
KxR
0 0
1log( ) log( )R Kx R Kx t t
K
))(exp( 00 ttk
KxR
KxR))(exp( 0
0
ttkKxR
KxR
))(exp()( 00 ttkkxRKxR RttkkxRKx ))(exp()( 00
K
RttKxttK
K
Rtx ))(exp())(exp()( 000
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0
0
1log( )
xt
tx
R Kx tK
passando ai reciproci
Calcolo della soluzione
dell’equazione differenziale:
Problema
Il paziente ha un livello iniziale di glucosio
Il medico vuole innalzare questo livello a
Per quanto tempo è necessario tenere il paziente
sotto flebo?
0xxm
0x
Il paziente viene sottoposto a infusione per un tempo T.
Quanto tempo occorre per tornare al livello iniziale?
Problema
Oppure:
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))exp(1()exp()( 0 KtK
RKtxtx
Possiamo utilizzare la precedente formula :
cercando il valore tale che: *t mxtx )( *
0exp( ) m
R RKt x x
K K KRx
KRxKt m
/
/)exp(
0
)/log()/log( 0 KRxKRxKt m
K
KRxKRxt m )/log()/log( 0*
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Se il paziente viene sottoposto a infusione per un
tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello
iniziale?
Problema:
Al tempo T si avrà:
))exp(1()exp()( 0 KTK
RKTxTx
Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la
variazione di concentrazione seguirà la legge :
)(tKxdt
dx
))(exp()( TtKctx )(Txc
(si è posto R=0)
valore iniziale al tempo T
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Riassumendo:
)(tx
))exp(1()exp(0 KTK
RKTx Tt0
))(exp()( TtKTx Tt
Occorre ora trovare Tt tale che: 0)( xtx
0))(exp()( xTtKTxcioè:
è il valore misurato al tempo T , quindi è un valore noto)(Tx
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)())(exp( 0
Tx
xTtk ))(log()log()( 0 TxxTtk
)log()(log1
0xTxK
Tt
Volendo una formula che dipende solo da 0,, xRK
e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato
))exp(1()exp()( 0 KTK
RKTxTx
)1)log(exp()1log(1
0
KTKx
R
Kt
ottenendo: (esercizio)
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MODELLO DI DIFFUSIONE
DI UNA MALATTIA INFETTIVA
Modello di Bernoulli (1760)
Introdotto per valutare l’efficacia dell’inoculazione come protezione del vaiolo
• Due popolazioni all’inizio identiche:
( )x t ( )t (0) (0)xcon
( )x t• sopravvissuti al tempo t di una popolazione che non subisce
contatto con il virus
• sopravvissuti al tempo t di una popolazione che viene
in contatto con il virus( )t
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Confronto dei sopravvissuti nelle due popolazioni
Problema
( )( )
( )
tg t
x t
studio della funzione:
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IPOTESI del modello di Bernoulli
( )( )
dx tx t
dttasso di mortalità
naturale
1. La popolazione diminuisce solo in base al tasso naturale
di mortalità( )x t
2. Un individuo infettato ha solo due possibilità:
muore o si immunizza
I sopravvissuti della popolazione infettata sono formati dagli individui
Suscettibili ( cioè quegli individui che possono essere infettati ) e da quelli
già immunizzati ( Rimossi)
( ) ( ) ( )t S t R t
In questo modello non si considerano gli Infettivi, cioè quegli individui in
grado di diffondere l’infezione.
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3. La proporzione di individui che hanno contratto il vaiolo e non muoio
ma si immunizzano è costante (1 )
4. Il numero di individui colpiti dal vaiolo è proporzionale ai Suscettibili
( ) ( )v t S t Velocità di infezione
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Studio della popolazione ( )t (sopravvissuti tra gli infettati)
( ) ( ) ( )t S t R t
diminuisce per morte naturale e per infezione secondo l’ipotesi 3( )S t
( )( ) ( )
dS tS t S t
dt
morte naturale infezione
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( )R t diminuisce per morte naturale e aumenta secondo l’ipotesi 2
( )( ) (1 ) ( )
dR tR t S t
dt
morte naturale
si sono ammalati
frazione di ammalati
che non sono morti ma immunizzati
Sommando( ) ( ) ( )d t dS t dR t
dt dt dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )S t S t R t S t S t
( ) ( ) ( )S t R t S t
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( )( ) ( )
d tt S t
dt
( )t
( )( )
( )
tg t
x t
E’ possibile ora eseguire il confronto tra le due popolazioni,
cioè è possibile studiare la funzione:
numero di individui che pur
essendo venuti in contatto
con il virus sono sopravvissuti
segue la legge:
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( )( )
( )
tg t
x tPer trovare l’espressione della funzione :
ricaviamo l’equazione differenziale di cui essa è soluzione.
Per confrontare i sopravvissuti non infetti con i sopravvissuti venuti
in contatto con il virus, studiamo come varia nel tempo il loro
rapporto :
( )dg t
dt
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( ) ( )
( )
dg t d t
dt dt x t 2
( ) ( )( ) ( )
d t dx tx t t
dt dt
x
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t x t S t x t x t t
x t x t x t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t S t
x t x t x t
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
t S t S tg t
x t t t
( ) ( )( )
( )
dg t S tg t
dt t
Se si riuscisse ad esplicitare il termine si ridurrebbe ad una equazione differenziale
lineare a variabili separabili …
( )
( )
S t
t
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Studio del termine ( )
( )
S t
t
proporzione di individui ancora
viventi
che non hanno contratto il
virus
E’ tecnicamente più conveniente valutare il reciproco:
( )( )
( )
tf t
S t
2
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
d t dS tS t t
df t dt dt
dt S t2
1 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d t t dS t
S t dt S t dt
( ) ( )t S t ( ) ( )S t S tLucia Della Croce – Matematica applicata
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
S t S t S t
( )f t
( )f t
( )( )
df tf t
dt
(0) 1f
In conclusione:
(0) (0)Sall’inizio tutta la popolazione
che viene in contatto col virus
è suscettibile di ammalarsi
(0) 1f
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( )( )
( )
tf t
S t
( ) (1 )e tf t
Ricordando che
( ) 1
( ) (1 ) t
S t
t e
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Calcolo di ( )
( )( )
tg t
x t
( ) ( )( )
( )
dg t S tg t
dt t
1( )
(1 ) tg t
e
1
( )f t
eq. differenziale
lineare
( )( )
(1 ) t
dg tg t
dt e
( ) 1g oLucia Della Croce – Matematica applicata
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Risolvendo:
( ) (1 ) tg t e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Previsione del modello
tempo
(t)/
x(t
)
1-
0.7
0.6beta
• non dipende da
tasso di mortalità
• dipende da cioè dal
potere di immunizzazione e
dalla velocità d’infezione
,
Il modello prevede che il
rapporto tra i sopravvissuti
nelle due popolazioni si
stabilizzi al valore
Il tempo impiegato per stabilizzarsi dipende da
1
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( )( )
df tf t
dt
0 0
f t
f t
dfdt
f0
0
1f
f
dft t
f
0 0
1log( ) log( )f f t t 0
1log
1
ft t
0 1f
0exp( ( ))1
ft t 0(1 )exp( ( ))f t t
0(1 )exp( ( ))f t tLucia Della Croce – Matematica applicata
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( )( )
(1 ) t
dg tg t
dt e
0 0( ) (1 )
g t
t
g t
dg dt
g t e
0
(1 )log log
1
tg e
g
0 0( ) ( (1 ) )
g t
t
t
t t
g
egd
g t ee
dt
0 0( ) (1 )
g t t
t
g t
dg edt
g t e
0 1g
(1 ) tg eLucia Della Croce – Matematica applicata
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