A A AAAAAAA A AAAAAAAA -...

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

502 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan

Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Per ogni kT si genera una v.a. Y Bernoulliana con ( ) ( )AAP P 0.5= = Se { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − + k 1,2,...= { }X 0 0= { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − − k 1,2,...= { }X 0 0=

A A AAAAAAA A AAA AAAAA

Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

0 100 200 300 400 500 600-40

Passeggiata casuale

Spettro della “passeggiata casuale”

Pendenza di 20 dB per decade

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Power Spectral Density Estimate via Burg

Rumore Bianco: forma d’onda (nel tempo)

Rumore Bianco: Spettro (in frequenza)

Rumore Rosa o In acustica si definisce rumore rosa o rumore 1/f un particolare

tipo di rumore in cui le componenti a bassa frequenza hanno potenza maggiore, a differenza del rumore bianco in cui la potenza è uguale per qualsiasi frequenza.

o Questo tipo di rumore è strutturato in modo tale da compensare la

sensibilità dell'orecchio umano alle varie frequenze, e viene utilizzato per l'equalizzazione del suono in ambito professionale.

Rumore Rosa: Forma d’onda (nel tempo)

Rumore Rosa: Spettro (in frequenza)

Esempio di Processo Aleatorio – Il rumore nel clock GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee

⇓ OOsscciillllaattoorrii ee CClloocckk

⇓ Fluttuazioni dell’oscillatore:

o Fluttuazioni sistematiche: principali cause di divergenza dal “vero” tempo e dalla “vera” frequenza nel lungo periodo (giorni od anni)

o Fluttuazioni random: osservate sul breve periodo (frazioni di secondo o minuti)

⇓ o La tensione d’uscita di un oscillatore di precisione reale

non è una sinusoide perfetta a frequenza nominale ν0 a causa del rumore.

GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee

o L’instabilità in frequenza è “il cambiamento di frequenza spontaneo e/o causato dall’ambiente, all’interno di un determinato intervallo di tempo”.

o Le fluttuazioni in frequenza corrispondono a fluttuazioni nel tempo. Per caratterizzare le fluttuazioni si definisce la deviazione di frequenza frazionaria rispetto al valore nominale ν0:

( ) ( ) 0

ν νν−

= (numero puro)

integrando si ottiene la deviazione del tempo ( )x t , in secondi:

( ) ( ) [ ]t

0x t y t' dt', s= ∫

( ) ( )( ) ( )[ ]0 0 0V t V sin 2 t x t V sin tπ ν= ⋅ + = Φ⎡ ⎤⎣ ⎦

Deviazione del tempo

E’ dovuta alla somma di un contributo sistematico e di uno random: ( ) ( ) ( )sist .x t x t tε= +

o Fluttuazioni sistematiche:

( ) ( ) ( ) 2sist

1x t x 0 y 0 t Dt termini di ordine superiore (trascurati )2

= + + +

con: ( )x 0 offset nel tempo

( )y 0 offset in frequenza

D drift in frequenza (dovuto a fattori come l’invecchiamento, i cambiamenti nell’ambiente e altri fattori esterni all’oscillatore)

Fluttuazioni frazionarie dell’oscillatore nel tempo

o Fluttuazioni random: Sono dovute essenzialmente a:

Rumore di Johnson (fluttuazioni di carica indotte

dall’agitazione termica);

Difetti del cristallo, il rumore dovuto ai circuiti dell’oscillatore

(elementi passivi e attivi);

Vibrazioni casuali.

Stabilità di un oscillatore: accuratezza e precisione

Preciso manon accurato

Non accuratoe non preciso

Accurato manon preciso

Accurato epreciso

Tempo TempoTempoTempo

Stabile manon accurato

Non stabile enon accurato

Accurato(in media)

ma non stabileStabile eaccurato

Preciso manon accurato

Non accuratoe non preciso

Accurato manon preciso

Accurato epreciso

Tempo TempoTempoTempo

Stabile manon accurato

Non stabile enon accurato

Accurato(in media)

ma non stabileStabile eaccurato

Processi Aleatori

Definizione:

Un processo aleatorio è una corrispondenza ( )X t,ζ tra le funzioni (reali) di

una variabile indipendente t (normalmente t è il tempo) e gli elementi ζ

dello spazio campione S , cioè i risultati di un definito esperimento.

Notazione:

Un processo aleatorio è anche indicato con ( )X t .

Realizzazione di un Processo:

( )X t,ζ pensata come funzione di t è una realizzazione del processo.

Processi Aleatori Complessi

Definizione:

Un processo aleatorio complesso ( )Z t è definito come:

( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +

in cui ( )X t e ( )Y t sono due processi reali.

Esempio di Processo Aleatorio Reale

( ) ( )X t Acos 2 ft Y= π +

dove: f ed A sono due numeri reali positivi (costanti);

Y è una variabile aleatoria compresa tra 0,2π.

Il processo ( )X t descrive la famiglia di funzioni cosinusoidali con ampiezza

A e frequenza f fissate e fase iniziale variabile Y . Per A 1= :

( )cos 2 ft Yπ +

Y=0Y=Y1

cos 2 ft Yπ +

Uguaglianza tra Processi

• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso quadratico se:

( ) ( ) 2E X t Y t 0 t⎡ ⎤− = ∀⎣ ⎦

• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso stretto (ovunque) se:

( ) ( )X t, Y t , t , ζ = ζ ∀ ∀ζ

Classificazione dei Processi

Si definiscono quattro tipi di processi in base a:

• l’insieme dei valori assunti dal processo;

• il dominio della variabile indipendente t .

1. Processi Aleatori tempo-continui a valori continui;

2. Processi Aleatori tempo-continui a valori discreti;

3. Processi Aleatori tempo-discreti a valori continui;

4. Processi Aleatori tempo-discreti a valori discreti.

Processo aleatorio tempo-continuo a valori continui, caso (1)

x t, ( )i

Processo aleatorio tempo-continuo a valori discreti, caso (2)

x t ( )

Processo aleatorio tempo-discreto a valori continui, caso (3)

n 2x k+

n 1x k+

,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .

Processo aleatorio tempo-discreto a valori discreti, caso (4)

n 2x k+

n 1x k+

,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .

Riduzione di un Processo Aleatorio

Un Processo aleatorio si riduce ad uno dei casi seguenti:

o Se si fissa 0ζ = ζ , si ha un campione (o realizzazione o funzione

membro) di ( )X t , indicato con ( )0x t ,ζ o ( )0x t o semplicemente ( )x t ,

cioè una funzione (reale se il processo è a valori reali) del tempo.

o Se si fissa 0t t= , si ha la variabile aleatoria ( )0X t ,ζ o ( )X ζ o

semplicemente X .

o Se si fissano 0t t= e 0ζ = ζ , si ha il numero ( )0 0x t ,ζ .

Processi Regolari e Processi Predicibili • Un processo regolare ha realizzazioni non predicibili, cioè noti i valori

passati del processo non è possibile predirne i valori futuri.

• Un processo regolare non è esprimibile in forma analitica, ma le sue

realizzazioni possono essere rappresentate in forma grafica.

, 1x t ς

, 2x t ς

, 3x t ς

Esempio di un processo regolare (moto Browniano).

Processi Regolari e Processi Predicibili (segue)

• In un processo predicibile ( )X t (detto anche quasi deterministico) i

valori di una realizzazione ( )iX t ,ζ per *t t> , sono noti se si conoscono

i valori di quella realizzazione per *t t< .

• La conoscenza di una realizzazione ( )iX t ,ζ non permette in generale

di ricavare le statistiche ( )0X t ,ζ del processo con 0t assegnato.

Processi Regolari e Processi Predicibili (segue) Un esempio di processo predicibile è:

( ) ( )X t Asin 2 ft= π +Φ

in cui A e Φ sono due variabili aleatorie.

Le sue realizzazioni sono completamente note per *t t> se si conosce il

loro andamento per *t t< .

x t( , )

Gerarchie di un Processo Aleatorio

Da ogni processo si può “estrarre” un insieme di variabili aleatorie in alcuni

istanti di tempo:

( )1 2 3 nt ,t ,t ,...,t ,...

( )1 1X X t ,= ζ , ( )2 2X X t ,= ζ , ( )3 3X X t ,= ζ , … , ( )n nX t ,ζ , …

Gerarchia del 1° ordine:

Assegnato t , ogni v.a. ( )X X t,= ζ o semplicemente ( )X t è caratterizzata

dalla propria distribuzione di probabilità:

( ) ( ){ },XF x t P X t x= ≤

che è detta distribuzione (o gerarchia) del 1° ordine del processo.

Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue)

La derivata:

( ) ( )X

F x,tf x,t

è la funzione di densità del primo ordine del processo.

Gerarchia del 2° ordine:

La funzione di distribuzione congiunta

( )1 2X X 1 2 1 2F x ,x ;t ,t

ottenuta campionando il processo in due istanti di tempo 1 2t ,t è detta

distribuzione (o gerarchia) del 2° ordine.

Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue) La densità del 2° ordine è:

( ) ( )1 2

2X X 1 2 1 2

X X 1 2 1 21 2

F x ,x ;t ,tf x ,x ;t ,t

x x∂

=∂ ∂

Gerarchia di ordine n:

Si possono definire analogamente la distribuzione e la densità di ordine n

considerando le v.a. estratte in n istanti temporali:

( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nF x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅

( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nf x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅

Dalla gerarchia di ordine n si possono ricavare le distribuzioni di ordine

inferiore per integrazione.

Descrizione Statistica di un Processo Aleatorio

• La conoscenza della distribuzione di ordine n comunque elevato

equivale alla conoscenza completa del modello probabilistico del

processo.

• In molti casi ci si limita a valori attesi relativi alla distribuzione del 1° e

del 2° ordine.

• Dalle distribuzioni del primo e del secondo ordine è possibile ricavare

alcuni momenti di particolare interesse: la media, l’autocorrelazione e

l’autocovarianza del processo.

Descrizione Statistica di un Processo Reale • Media

( ) ( ) ( )Xt E X t x f x;t dx+∞

−∞⎡ ⎤η = = ⋅⎣ ⎦ ∫

In generale la media risulta funzione di t .

• Autocorrelazione

( ) ( ) ( ) ( ), , ; ,1 2X 1 2 1 2 1 2 X X 1 2 1 2 1 2R t t E X t X t x x f x x t t dx dx

+∞ +∞

−∞ −∞⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∫ ∫

• Potenza Media

( ) ( ),2XE X t R t t⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Descrizione Statistica di un Processo Reale (segue)

• Autocovarianza (o brevemente Covarianza)

( ) ( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 2C t ,t R t ,t t t= −η η

• Coefficiente di Correlazione

( )( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 2 2

1 2 2 21 1 2 2

E X t t X t tr t ,t

E X t t E X t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η ⋅ −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦

che si può scrivere come

( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 21 2

1 2 1 2

C t ,t R t ,tr t ,t

−η η= =

σ σ σ σ

Descrizione Statistica di due Processi Reali

• Mutua Correlazione tra due processi reali

( ) ( ) ( )XY 1 2 1 2R t ,t E X t Y t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

• Mutua Covarianza tra due processi reali

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }XY 1 2 1 X 1 2 Y 2C t ,t E X t t Y t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −η ⋅ −η =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 2 X 1 Y 2E X t Y t t t⎡ ⎤= −η η⎣ ⎦

Processi Ortogonali e Processi Incorrelati

Definizione:

Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti (mutuamente) ortogonali se:

( )XY 1 2 1 2R t ,t 0 t ,t= ∀

Definizione:

Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti incorrelati se:

( )XY 1 2 1 2C t ,t 0 t ,t= ∀

Indipendenza Statistica di Processi

Due processi ( )X t e ( )Y t si dicono statisticamente indipendenti se le

variabili aleatorie

( ) ( ) ( )1 2 NX t , X t ,..., X t

sono indipendenti dalle variabili aleatorie

( ) ( ) ( )1 2 MY t ,Y t ,...,Y t′ ′ ′

per qualunque insieme dei tempi

1 2 N 1 2 Mt ,t ,...,t ; t ,t ,...,t′ ′ ′

Il Concetto di Stazionarietà

Stazionarietà in Senso Stretto

Un processo aleatorio ( )X t è detto “stazionario in senso stretto” se la sua

densità di probabilità di qualsiasi ordine è invariante rispetto ad una

traslazione dell’origine:

( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t c,t c,..,t c= + + +

per ogni N e per ogni c .

Stazionarietà di ordine M Un processo è stazionario di ordine M se l’invarianza rispetto ad una

traslazione dell’origine si verifica solamente fino all’ordine M .

Il Concetto di Stazionarietà (segue)

Se un processo ( )X t è stazionario di “ordine uno”, il suo valore atteso non

dipende dal tempo:

( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦

Infatti se

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

X 1 X 1

f x;t f x;t c c

E X t x f x;t dx

E X t c x f x;t c dx

x f x;t dx E X t

−∞+∞

−∞

= + ∀

⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤+ = ⋅ + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ = ⎣ ⎦

∫∫

Per un processo ( )X t stazionario di “ordine due” si ha:

( ) ( )X 1 2 1 2 X 1 2 1 2f x ,x ;t ,t f x ,x ;t c;t c c= + + ∀

Di conseguenza oltre all’invarianza del valore atteso si ha

( ) ( ) ( )

( )( )

X 1 2 1 2

1 2 X 1 2 1 2 1 2

R t c,t c E X t c X t c

x x f x ,x ;t c,t c dx dx

x x f x ,x ;t ,t dx dx

R t ,t

+∞ +∞

−∞ −∞+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤+ + = + ⋅ + =⎣ ⎦

= ⋅ + + =

= ⋅ =

∫ ∫∫ ∫

cioè la autocorrelazione non dipende dal valore di 1t e 2t ma solamente

dalla loro differenza.

Stazionarietà in Senso Lato

Un processo aleatorio ( )X t è stazionario in “senso lato” se:

( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦

( ) ( )X XR t ,t R t+ τ = τ ∀

cioè se il valore atteso del processo è costante e l’autocorrelazione dipende

solo dalla differenza dei tempi 2 1t tτ = − .

Rumore Bianco

Si dice Rumore Bianco un processo ( )X t tale che:

• ( )E X t 0⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;

• presi due istanti 1t e 1t + τ, le variabili aleatorie ( )1X t e ( )1X t + τ sono

incorrelate per 0τ ≠ , cioè:

( ) ( ) ( )X 1 1 1R t ,t q t+ τ = δ τ

dove ( )1q t è una funzione non negativa e ( )tδ è l’impulso di Dirac.

In termini intuitivi, la funzione impulsiva di Dirac vale 0 per 0τ ≠ e vale ∞

per 0τ = ed ha area unitaria.

Rumore Bianco (segue)

Se ( )X t è stazionario, la proprietà delle funzioni di autocorrelazione del

rumore bianco si riduce a:

( ) ( )XR Kτ = ⋅δ τ

dove K è una costante.

In pratica un tale processo (avente potenza infinita) non esiste nella realtà

fisica, tuttavia questo modello costituisce una utile schematizzazione di

numerosi processi aleatori.

( ) ( )0N

τ δ τ= ( ) 0N

ω ω= ∀

S ( )R ( )NNNN

N /2 N /20

(a) (b)

Possibili Autocorrelazioni di processi che approssimano il rumore bianco.

Rumore Bianco a banda limitata

P WWS0 W

π ωω

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

( ) ( )N

sin WR P

Realizzazione di un rumore bianco

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

tempo (sec)

zaRumore Bianco

Spettro del rumore bianco

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-60

Frequenza (kHz)

Rumore Bianco

Il Concetto di Stazionarietà Congiunta

Definizione:

Data una coppia di processi:

( )X t e ( )Y t

essi si dicono congiuntamente stazionari (in senso stretto o di ordine n) se

le loro densità di probabilità congiunte sono invarianti rispetto alla

traslazione (rispettivamente per qualunque ordine e fino all’ordine n).

Un processo complesso:

( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +

è stazionario se lo sono congiuntamente i processi ( )X t e ( )Y t .

Il Concetto di Ciclostazionarietà

A volte l’invarianza rispetto alla traslazione si può avere, non per qualunque

spostamento, ma quando ci si sposta di multipli di un intervallo T , cioè:

( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t T ,t T ,..,t T= + + +

In questo caso si parla di Processo Ciclostazionario.

Se da un processo ciclostazionario di periodo T si deriva per

campionamento con passo T un processo tempo-discreto, questo risulta

stazionario.

Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione

Simmetria Hermitiana:

Considerando per generalità il caso di un processo complesso stazionario,

la sua funzione di autocorrelazione gode della proprietà di simmetria

coniugata (detta anche hermitiana), cioè:

( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*

X XR R−τ = τ

Infatti

( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤−τ = − τ⎣ ⎦

con il cambio di variabile z t= − τ diviene

( ) ( ) ( ) ( )* *X XR E X z X z R⎡ ⎤−τ = + τ = τ⎣ ⎦

Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)

Analogamente per la correlazione mutua vale la proprietà di simmetria

hermitiana:

( ) ( ) ( )*XYR E X t Y t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*

XY YXR R−τ = τ

Infatti con il cambio di variabile z t= − τ, si ha

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

R E X t Y t

E Y z X z

⎡ ⎤−τ = − τ =⎣ ⎦⎡ ⎤= + τ =⎣ ⎦

Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:

La funzione di autocorrelazione nell’origine è:

( ) ( ) ( ) ( ) 2*XR 0 E X t X t E X t 0⎡ ⎤⎡ ⎤= = >⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )X XR R 0τ ≤

per dimostrare quest’ultima relazione si fa uso della disuguaglianza (valida

per la coppia di v.a. complesse Z ,W ):

[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:

Ponendo ( )*Z X t= e ( )W X t= + τ

si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2*E X t X t E X t E X t⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ τ ≤ ⋅ + τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ovvero

( ) ( ) ( )2X X XR R 0 R 0τ ≤ ⋅

e quindi

( ) ( )X XR R 0τ ≤

Periodicità della Funzione di Autocorrelazione:

Per un processo reale ( )X t , se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = allora la funzione di

autocorrelazione è periodica di periodo 1τ .

Verifica:

Applicando ancora la diseguaglianza

[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

in cui

( ) ( )1Z X t X t= + τ+ τ − + τ

( )W X t=

si ottiene:

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ }

E X t X t X t

E X t X t E X t

⎡ ⎤+ τ+ τ − + τ ≤⎣ ⎦

⎡ ⎤≤ + τ+ τ − + τ ⋅⎣ ⎦

ovvero

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2X 1 X X X 1 XR R 2R 0 2R R 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ + τ − τ ≤ − τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = il secondo membro della diseguaglianza è nullo e

quindi deve risultare ( ) ( )X 1 XR Rτ + τ = τ .

Si può ripetere la dimostrazione con 1mτ invece di τ (m intero):

( ) ( )X 1 XR m Rτ + τ = τ

la funzione di autocorrelazione è periodica con periodo 1τ .

• Se risulta ( ) ( ) ( )1 2R R R 0τ = τ = e 1τ , 2τ sono incommensurabili (cioè il

loro rapporto è un numero irrazionale) allora la funzione di

autocorrelazione è costante.

Se il processo ( )Z t è complesso e si verifica

( ) ( )Z 1 ZR R 0τ =

allora la funzione di autocorrelazione di ( )Z t ha la forma:

( ) ( ) ( )Z Z 0R R 0 exp jτ = ⋅ ω τ

cioè è un esponenziale complesso di ampiezza ( )ZR 0 .

Esempio: Somma di esponenziali complessi Se il processo X(t) è la somma di n esponenziali complessi, pesati

medianti n coefficienti aleatori Ai, tra loro scorrelati, con media

nulla e varianza 2iσ :

X t A e ω

= ⋅∑

La funzione di autocorrelazione è:

( ) ( ) ( ) ( )

n nj tj t* *

i ki 1 k 1

n nj t j

i ki 1 k 1n n n

2 j j j2 f2 2i i i

i 1 i 1 i 1

R E X t X t E A e A e

E A A e e

E A e e e

ω τω

ω ω ω τ

ωτ ωτ π τ

− −∗

⎡ ⎤⎡ ⎤= + = =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

∑ ∑

∑∑

∑ ∑ ∑

Lo spettro è quindi: ( ) ( )2i i

S f f fσ δ= ⋅ −∑ , cioè costituito da n

righe nei punti fi.

Ergodicità Il concetto di Ergodicità è connesso alla situazione, che spesso si presenta,

nella quale si desiderano stimare delle statistiche di un processo, avendo a

disposizione una sola realizzazione ( )X t,ζ del processo stesso.

Un esempio è fornito dalla stima del valore atteso ( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦ per la quale ci

si chiede se si può utilizzare la media temporale:

( ) ( ) ( )T2

1X lim X t, dt lim XT

→∞ →∞−ζ = ζ ζ∫

Ergodicità (segue)

L’uso della media temporale estesa ad un intervallo al limite infinito

presenta diversi problemi:

a) Sotto quali condizioni esiste il limite di X per t →∞ ?

b) Se questo limite esiste, esso dipende in generale dalla particolare

realizzazione: ( )X X= ζ . Sotto quali condizioni esso è invece

costante ?

Ergodicità (segue) Teorema di Birkhoff

Se il processo ( )X t è stazionario e ( ){ }E X t < ∞ , allora X esiste per

“quasi tutte” le sue realizzazioni.

(Questo significa che X può non esistere per realizzazioni con probabilità

nulla).

Definizione di Ergodicità:

Un processo stazionario ( )X t è ergodico se le sue medie di insieme (medie

statistiche) sono uguali ad opportune medie temporali.

• Ogni statistica di un processo ergodico può essere calcolata da una

singola realizzazione.

Ergodicità (segue) Calcolo della media statistica

( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦

Dato un processo ( )X t con valor medio ( )E X t⎡ ⎤ = η⎣ ⎦ costante, si forma la

media temporale TX calcolata su un intervallo di ampiezza T :

T1X X t dtT

−= ∫

[ ] ( )T2

T1E X E X t dtT

−⎡ ⎤= = η⎣ ⎦∫

Ergodicità (segue)

Ergodicità rispetto alla media:

Il processo ( )X t è ergodico rispetto alla media se, con “probabilità 1” si ha:

1lim X lim X t dtT

→∞ →∞ −= ∫

cioè se la media temporale coincide con il valore atteso del processo.

Ciò e vero se e solo se la varianza della media temporale

[ ]2T TVar Xσ =

tende a zero per T che tende a infinito: 2TT

lim 0→∞

Ergodicità (segue) Ergodicità rispetto alla correlazione:

Un processo stazionario in senso lato ( )X t è ergodico rispetto alla

correlazione se la sua autocorrelazione:

( ) ( ) ( )XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦

può essere ricavata da una singola realizzazione.

Se si considera il processo ( ) ( ) ( )Z t X t X tτ = ⋅ + τ il processo ( )X t risulta

ergodico rispetto alla correlazione se ( )Z tτ è ergodico rispetto alla media.

Infatti in questo caso si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+T / 2

XT T / 2

1lim X t X t dt E X t X t RT→∞ −

⎡ ⎤⋅ + τ = + τ = τ⎣ ⎦∫

A A AAAAAAA A AAAAAAAA -...

Documents

Transcript of A A AAAAAAA A AAAAAAAA -...

Regressione: processi Gaussiani e Machine Learningboccignone.di.unimi.it/FisMed_2016_files/Lez4-FM_RegressioneGP.pdf · Processi stocastici // Simulazione di processi Gaussiani 94

Concorso dirigente scolastico Scrivere il testo per il ... Induttivi.pdf · 1.Processi percettivi 2.Processi mnestici 3.Processi induttivi o di astrazione 4.Processi deduttivi 5.Processi

aaaaaaaa · 2018. 6. 19. · aaaaaaaa . 2 APPROVAZIONE Titolo: Manuale Funzionalità Codice Documento: DIET+_manuale_funzionalità Tipologia Documento: Analisi Funzionale . Autore/i

4.1 Sistemi Operativi Processi Concetto di processo Scheduling dei processi Operazioni sui processi Processi cooperanti Comunicazioni fra processi.

Processi: 1.Modelli a stati 2.Rappresentazione di processi 3.Liste di processi e scheduling 4.Processi in sistemi operativi attuali (NT/UNIX) Sistemi Operativi.

1 2 che soffrono di infezioni respiratorie acute 3 4€¦ · aaaaaaa aaa aaaaa assofarm@ FARMACIE COMUNALI AZIENDE E SERVIZI SOCIO-FARMACEUTICI ANIPIO SOCIETÀ SCIENTIFICA NAZIONALE

Gestione dei processi di supporto e controllo 6... · La procedura che riguarda la gestione dei per processi speciali PSO 07 – Gestione di processi speciali 18 Gestione dei processi

PARTECIPAZIONE E PROCESSI NEGOZIALI ... - Contratti di Fiumenuke.a21fiumi.eu/Portals/0/Partecipazionbe e processi negoziali per i… · FRAMMENTAZIONE DEI PROCESSI DECISIONALI e INSUFFICIENZA

Gli Insediamenti Produttivi - sit.provincia.ancona.itsit.provincia.ancona.it/sit/Files per WEB new/Tav_II-3 (Gli... · ddddddd bbbbbb bbbbbb cccccc aaaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa aaaaaa

Fondamenti di VHDL - unirc.it · Processi (1/3) IL VHDL gestisce l’utilizzo di processi I processi inglobano parti di un progetto I processi hanno una lista di sensibilità che

image processi

I Processi. Sistemi Operativi a.a. 2007-08 3.2 I processi Definizione di processo Scheduling dei processi Operazioni sui processi Processi cooperanti.

Processi Culturali e Comunicativi Elementi costitutivi e definizioni dei processi comunicativi.

AA AAAAAAAA ccccccccuuuuuuuuuuurrrrrrrrraaaaaaaaaaa ......Gino Pollini, Carlo Enrico Rava e Giuseppe Terragni (verrà chiamato poi "Il gruppo 7") varano il razionalismo italiano con

9 - La gestione per processi La natura del processo Analisi e progettazione dei processi Organizzazione per processi La reingegnerizzazione dei processi.

PROCESSI BIOLOGICI INDUSTRIALI - unipi.it · PROCESSI BIOLOGICI INDUSTRIALI Le BIOTECNOLOGIE rientrano nella “ scienza dei processi biologici applicati” o “ insieme dei processi

I Processi Stocastici - dei.poliba.itdei.poliba.it/guccioneweb/downloads/thsegnali/Processi aleatori.pdf · CAPITOLO 3 I Processi Stocastici 3.1. Deﬁnizione di Processi Stocastici

PROCESSI ALEATORI

UNITÀ Processi tecnologici per semiconduttoriprofzanotti.altervista.org/alterpages/files/processi...117 Unità 1.Processi tecnologici per semiconduttori Per capire meglio il concetto

AAAAAAAA - Schede tecniche · AAAAAAAA + it CALDAIA MURALE A GAS A CONDENSAZIONE Manuale per l’uso destinato all’utente e all’installatore en CONDENSING GAS WALL-HUNG BOILERS