1

Ruote Ruote dentatedentate

a denti dritti, interne

a denti dritti, esterne

a denti elicoidali

Ingranaggi cilindriciIngranaggi cilindrici

Sono tra i più importanti organi delle macchine. Caratteristiche della loro diffusione: costanza del rapporto di trasmissione, facilità di costruzione e di montaggio. Permettono di trasmettere il moto tra assi paralleli, concorrenti o sghembi.Una coppia di ruote ingranate costituiscono un ingranaggio.

2

22

ruota elicoidale – vite senza fine

ruote con assi sghembi

ruote coniche

Ingranaggi ad assi sghembi o concorrentiIngranaggi ad assi sghembi o concorrenti

3

Ingranaggi Ingranaggi cilindricicilindrici

Il loro nome deriva dalla forma delle primitive.Gli assi dei denti possono

• essere paralleli all’asse della ruota denti dritti

• Formare un’elica intorno all’asse della ruota denti elicoidali

Rapporto di trasmissione 1/3÷1/10, tipico 1/5÷1/6 .

4

22

11

2

z

22

2

z

2 2 1

1 1 2

z

z

Passi angolari:

Rapporto di trasmissione:

Nell’intervallo t:

1 1 t 2 2 t

Rapporto di trasmissioneRapporto di trasmissione

5

33

1 1 11 2

2 2

221 2

1(1 ) 1

1

z r r ar rz r

a rr aa r r

I raggi primitivi sono funzione della geometria costruttiva, ma anche dell’interasse di montaggio a

Dall’analogia tra le ruote di frizione di raggi r1 e r2 e le circonferenze

primitive:2 1

1 2

r

r

Raggi delle primitiveRaggi delle primitive

6

44

1 1 1 11

2 2 2 22

2

2

p r rz

p r rz

L’arco di primitiva tra due denti successivi è il passo della dentatura

1 1 21 2

2 1 2

1p r z

p p pp z r

Per il corretto funzionamento:

PassoPasso

7

55

Se sulla ruota 1 si applica una coppia M1 imprimendo una rotazione con velocità 1 , la ruota 2 si muove con velocità 2 trasmettendo una coppia M2

Il contatto si realizza sulla superfici laterali dei denti.

La forma del profilo dei denti caratterizza

• il rapporto di trasmissione istantaneo

• le forze scambiate e il legame con le coppie agenti

Profilo dei dentiProfilo dei denti

8

66

1 1 1M F O H

1 1 1

2 2 2

M O H

M O H

2 2 2M F O H 1 1 1' ' 'M F O H

1 1 1 1

2 22 2

' '

' '

M O H M

M MO H

2 2 2' ' 'M F O H

Denti rettangolari: forze scambiateDenti rettangolari: forze scambiate

Un dente della

ruota 1

preme su un un dente della

ruota 2.

Il rapporto tra le coppie è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.

La retta di azione o di pressione è la retta normale alle superfici di contatto.

9

Denti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneoDenti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneo 77

1 1 1V O A 2 2 2V O A

1 1 2 2cos( ) cos( )NV V V

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2cos( ) cos( )

O H O H

O A O A

1 1 1 2 2 2O H O H

2 1 1

1 2 2

O H

O H

Per un contatto regolare le componenti delle velocità normali alla superfici di contatto devono essere uguali.

Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.

2 1 1

1 2 2

O H

O H

2 1 1

1 2 2

O H

O H

10

88

Nelle trasmissioni con ruote dentate si esige che imposta la coppia M1 e la velocità 1 uniformi, la coppia M2 e la velocità 2 siano uniformi. I profili a evolvente, avendo retta di azione con distanza invariante da O1 e O2 , soddisfa questo requisito.

L’evolvente è generata da un punto di una retta (evoluta o retta generatrice) che rotola senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base o circonferenza fondamentale). La retta generatrice è sempre tangente alla circonferenza di base e normale all’evolvente.

OA

Profilo a evolvente di cerchioProfilo a evolvente di cerchio

11

99

( )

tantan anomalia

raggiocos

AP

BPd

AP BP

In coordinate polari

Funzione dell’ evolvente di cerchioFunzione dell’ evolvente di cerchio

OA

12

1100Retta d’azioneRetta d’azione

Il punto P di contatto rimane sulla retta r, tangente a entrambi le circonferenze di base. r è la retta d’azione che quindi rimane invariata.

Per un corretto funzionamento è necessario che il contatto rimanga all’interno del segmento (luogo dei contatti), dove le evolventi hanno la stessa normale.

1 2H H

13

1111

Velocità di strisciamentoVelocità di strisciamento

I profili dei denti sono profili coniugati (hanno tangente e normale

comune).

Per un corretto funzionamento le velocità e devono avere la

stessa componente normale .

1V<<<<<<<<<<<<<<

2V<<<<<<<<<<<<<<

NV<<<<<<<<<<<<<<

2 1SV V V

velocità di strisciamento

Il centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova lungo la retta

per P normale a , cioè lungo r .SV<<<<<<<<<<<<<<

14

1122

Centro di istantanea rotazione del moto relativoCentro di istantanea rotazione del moto relativo

11 cosr

22 cos

r

Quando il contatto avviene in C , le velocità del punto di contatto dei

due denti sono uguali e la velocità è nulla. Quindi C è il centro di

istantanea rotazione.SV

<<<<<<<<<<<<<<

1 1 1 2 2 2V r V r <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Inoltre, C è il punto di contatto tra le primitive poiché:

Quindi tra i raggi primitivi e i raggi di base esiste la relazione:

angolo di pressione

15

1133

Variazione di interasseVariazione di interasse

1 1 1

2 2 2 1 2 1

1 1 1 2 1 2

2 2 2

cos

cos'

' cos ''

' cos '

r

r z

r z

r

Il rapporto di trasmissione istantaneo non varia (quello medio dipende dal numero di denti), ma variano i raggi primitivi e l’angolo di pressione .

16

1144Rocchetto - DentieraRocchetto - Dentiera

Il rapporto di trasmissione può avere valore infinito. La dentiera può essere pensata come ruota dentata limite, con la circonferenza di base che degenera in una retta. Il profilo a evolvente diventa un segmento rettilineo inclinato di rispetto alla normale alla retta di base.

17

1155

Considerando lo sviluppo assiale delle ruote:

• alla circonferenza di base corrisponde il cilindro di base

• alla retta generatrice corrisponde il piano generatore

• la superficie del dente è generata da una retta parallela all’asse della ruota e giacente sul piano generatore

• le superfici dei denti si toccano lungo la linea caratteristica

• durante il movimento la linea caratteristica genera il piano di azione che coincide con il piano generatore

Ruote cilindriche a denti drittiRuote cilindriche a denti dritti

18

1166

Ruote cilindriche a denti dritti: forze scambiateRuote cilindriche a denti dritti: forze scambiate

1 1 1 cosM F F r

2 2 2 cosM F F r

2 2

1 1

u

e

W M

W M

12 1 1

2

M M M

Le forze scambiate, trascurando l’attrito, giacciono sul piano di azione.

La risultante , pensata in mezzeria, ha la direzione della retta

d’azione

F<<<<<<<<<<<<<<

cosTF F

19

1177

Permettono di realizzare ingranaggi con funzionamento regolare e silenzioso.

La superficie del dente è generata da una retta giacente sul piano generatore, ma in questo caso inclinata di un angolo b con la direzione dell’asse della ruota.

L’intersezione tra la superficie del dente con un piano normale (piano frontale) all’asse del cilindro è un’evolvente.

L’intersezione tra le superfici dei denti con cilindri coassiali genera curve elicoidali con passo pe e angoli di inclinazione con l’asse della ruota crescenti con il raggio.

Ruote cilindriche a denti elicoidaliRuote cilindriche a denti elicoidali

20

1188

Ruote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiateRuote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiate

sina bF F

0 cos bF F

0 cos cos cost bF F F 0 sin cos sinr bF F F

1 0 1 1 1 1cos cos cosb b tM F F F r F r

2 0 2 2 2 2cos cos cosb b tM F F F r F r

Le forze scambiate, trascurando l’attrito, sono normali alle superfici a

contatto, e giacciono sul piano di azione. La risultante , pensata in

mezzeria, ha la direzione della retta generatrice inclinata di b rispetto

all’asse della ruota

F<<<<<<<<<<<<<<

21

Criteri costruttivi delle ruote Criteri costruttivi delle ruote dentatedentate

22 2p r r D

mz z z

D r

Dimensionamento modulare:

• addendum = m

• dedendum = 1,25 m

• angolo di pressione = 15°÷22°

Modulo:

22

Ingranaggi Ingranaggi coniciconici

Il loro nome deriva dalla forma delle primitive di funzionamento. Sono usati per trasmettere il moto tra assi concorrenti.Le superfici primitive sono due coni di semiaperture 1 e 2 che rotolano senza strisciare lungo la tangente t.Per ogni punto A di t la velocità relativa è nulla, perciò

assi ortogonali

Vettore velocità relativa diretto lungo t (asse di rotazione del moto relativo)

1 2

2 21 1 1 22 cos

r

r

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

V

23

22

Valore tipico: = 1/5÷1/10Dato il rapporto di trasmissione e l’angolo tra gli assi concorrenti , l’ingranaggio si definisce con le seguenti considerazioni.

Definizione dell’ingranaggioDefinizione dell’ingranaggio

In funzione delle primitive:

1 1 2 2

2 1 1

1 2 2

sin sin

sin

sin

z

z

Tramite la velocità periferica di un qualsiasi punto A:

1 1 2 2 2 1 1

1 2 21 1 2 2

sin

sinsin , sin

AV r r r

rr OA r OA

1 2

24

33Elementi geometriciElementi geometrici

• Coni primitivi semiapertura 1 e 2

• Coni base semiapertura b1 e b2

• Piano d’azione tangente ai coni base e contenente le forze scambiate

• Angolo di pressione formato dal piano d’azione e il piano tangente ai coni primitivi (non rappresentato)

• Coni di troncatura interna ed esterna

• Le ruote sono costruite troncando i coni

• Il modulo m = D/z è definito in corrispondenza della base maggiore

25

44Ingranaggi conici: forze scambiateIngranaggi conici: forze scambiate

Tra i denti sono scambiate forze con componenti radiali, tangenziali e assiali.

Ipotesi semplificative: una sola coppia di denti in presa la risultante

giace nel piano d’azione forma un angolo (angolo di

pressione) con il piano tangente alle primitive

è applicata in mezzeria del denteCoppia e componente

tangenzialecost tC r F F F

r raggio della primitiva in mezzeria

Componenti assiale e radiale

0

0

0

sin

sin sin sin

cos sin cosa

r

F F

F F F

F F F

26

Ruota elicoidale-vite senza Ruota elicoidale-vite senza finefine

Si usa per trasmettere il moto tra assi sghembi con direzioni ortogonali.

• Ruota elicoidale particolare ruota avente una specie di madrevite sulla periferia

• Vite senza fine caratterizzata dal numero di principi

• Rapporto di trasmissione usualmente elevato (anche inferiore a 1/100)

• numero dei principi della vite senza fine z1

• numero dei denti della ruota elicoidale z2

• = 2 / 1 = z1 / z2

• Rendimento basso

27

RotisRotismimi

Una combinazione di ingranaggi che costituisce una catena cinematica.

Se gli assi

• di tutte le ruote sono paralleli rotismo piano

• di tutte le ruote sono incidenti rotismo sferico

• di tutte le ruote sono fissi rotismo ordinario

semplice ogni albero una sola ruota

composto gli alberi intermedi portano due

ruote

• di alcune ruote intermedie sono dotati di moto rotatorio intorno agli assi

delle ruote estreme rotismo epicicloidale

28

Su ogni albero vi è una sola ruota che ingrana contemporaneamente con la precedente e la seguente.

Schematizzando le ruote con le rispettive primitive:

• Rapporto di trasmissione

• Campi di applicazione invertire il senso di rotazione trasmettere il moto a distanza

Rotismi ordinari Rotismi ordinari semplicisemplici

1 11 1 2 2

1

nP n n

n n

r zV r r r

r z

1 2 34

motrice

condotta

ruote oziose

29

Gli alberi intermedi portano due ruote, ciascuna delle quali ingrana solo con un’altra. Un esempio di rotismo a tre stadi:

Rotismi ordinari Rotismi ordinari composticomposti

3 6 52 1 41 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

, ,z zz

z z z

• Rapporto di trasmissione totale

• Rapporti di trasmissione parziali

1 6 6 1

30

22

• essendo

• il rapporto di trasmissione totale risulta

• in generale dipende dai denti di tutte le ruote

6 6 1 3 52 41 6 1 2 3 4 5 6

1 3 5 1 2 4 6

z z z

z z z

2 3 4 5,

1 n

ruote motriprodotto

prod

numero denti

numero denti

ci

ruoteotto mosse

31

Rotismi Rotismi epiclicoidaliepiclicoidali

• Un rotismo si dice epicicloidale quando gli assi delle ruote intermedie sono dotati di moto di rotazione intorno agli assi delle ruote estreme.

• Consideriamo per iniziare il rotismo epicicloidale più

semplice, si ha:.– le ruote A e B hanno assi fissi e coincidenti

A ha dentatura esterna ruota solare

B ha dentatura interna corona planetaria

– le ruote C hanno assi mobili ruote planetarie o satelliti

– il portatreno P ruota intorno all’asse comune di A e B

B

bp

PA

C

a

32

22

• Si chiama così perché i punti delle primitive

dei satelliti descrivono delle epicicloidi.

• Consideriamo le configurazioni P fisso rotismo ordinario A o B fissi rotismo epicicloidale riduttore

• Classificazione del rotismo

P fisso e A e B mobili rotismo ordinario

B fisso e P e A mobili rotismo epicicloidale riduttore o

moltiplicatore

A fisso e P e B mobili rotismo epicicloidale riduttore o

moltiplicatore

A , P e B mobili rotismo combinatore (differenziale)

• Gli assi delle ruote planetarie essendo mobili non possono essere

impiegati per applicare o prelevare il moto l’uso come riduttore o

moltiplicatore è limitato a una delle 2 configurazioni

1) B fissa , P e A mobili

2) A fissa , P e B mobili

B

bp

PA

C

a

33

33

• Quando il portatreno P è fisso, il rotismo è ordinario semplice e, indicando con l’apice “o” le grandezze relative, si ha

• Il rapporto di trasmissione e del rotismo epicicloidale si calcola con la

formula di Willis, tramite la quale “si rende ordinario il rotismo” imprimendo a tutto il meccanismo una velocità –p. Per il rotismo così

ottenuto si calcola il rapporto di trasmissione.

• Rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario, assumendo A come motrice

0,, ppoppb

obpa

oa

0o

b pb ao o

a a p b

z

z

B

bp

PA

C

a

Rapporto di trasmissione: formula di WillisRapporto di trasmissione: formula di Willis

o oo b a a b a br r z z

34

• l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni

1) A fissa , P e B mobili a = 0

2) B fissa , P e A mobili b = 0

0 1 0

1

11

o p a p o a o p

a oe

p o

p oe

a o

0 1 0

1

11

1

o b p p b p o

be o

p

pe

b o

44

aA

C

pP

B

b

a

pa

pboa

ob

o z

z

B

bpPA

C

← con P motore e B condotta

← con B motore e P condotta

← con P motore e A condotta

← con A motore e P condotta

35

0

b

d

c

a

b

d

c

a

pa

pboa

ob

o r

r

r

r

z

z

z

z

• Sinora si sono considerati rotismi epicicloidali semplici: in genere si usano rotismi epicicloidali composti

• La formula di Willis è comunque valida, come si può verificare si riferisce ai 3 assi fissi del rotismo utilizzabili come ingresso e uscita del rotismo

• le espressioni dei rapporti di trasmissione e e e’ sono identiche agli analoghi dei casi precedenti valido per qualsiasi rotismo epicicloidale

• quello che cambia è il valore di o in questo caso con o prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli

• per l’esempio in figura si calcola, riferendosi al rotismo composto ordinario equivalente (portatreno bloccato),

• quello che cambia è il valore di o in questo caso con o prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli

55Rotismo epicicloidale compostoRotismo epicicloidale composto

36

• i rotismi epicicloidali riduttori sono impiegati quando occorre

avere rapporti di trasmissione emolto piccoli.

• Il limite dei rotismi epicicloidali sta nei satelliti le ruote con assi mobili limitano la potenza da trasmettere.

• Per qualsiasi rotismo epicicloidale si ha

66Rotismi epicicloidali riduttoriRotismi epicicloidali riduttori

1

11

a oe

p o

p oe

a o

1

11

1

be o

p

pe

b o

← con P motore e B condotta

← con B motore e P condotta

← con P motore e A condotta

← con A motore e P condotta

con A fissa

con B fissa

37

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

o

e ,

e'

b/p

p/b

a/p

p/a

77Rotismi epicicloidali riduttoriRotismi epicicloidali riduttori

rotismo epicicloidale semplice

1 0

rotismo epicicloidale composto

1

ao

b

a do

c b

z

z

z z

z z

1

11

1

be o

p

pe

b o

1

11

a oe

p o

p oe

a o