1

Disegno del modello di analisi di dati sperimentali

Lezione 5:modelli MISTIanova annidati

disegno split-plot

2

disegno a blocchi casuali

• Tutti i Trattamenti sono assegnati a tutte le singole unità sperimentali

• Trattamenti sono assegnati in modo ”random”

B C B

A B D

D A A

C D C

blocchi (b = 3)

Trattamenti (a = 4)

3

Dy1

Trattamenti

paziente

A B C D Average

1

2

3

Average

Cy1

Ay2

Ay3

Cy2By2 Dy2

By3 Cy3 Dy3

Ay By

1y

2y

3y

Cy Dy y

55443322110 xxxxxy

blocchi (pazienti) Trattamenti (farmaci )

Ay1 By1

4

An alternative way di writing a GLM

jiijy

Risposta del paziente j ricevente il farmaco i

OverTutti i mean Effect di farmaco i

Effect di paziente j

Residual

αi = μi - μ

βj = μj - μ

5

jiijy ˆˆˆˆ

valori predetti di y

αi = μi - μ

βj = μj - μ

yyyii

yy jj Risposta del paziente j ricevente il farmaco i

6

Trattamenti

paziente

A B C D

1 5.17 5.21 4.91 4.74 5.008

2 6.23 7.34 6.18 6.31 6.515

3 4.93 4.55 4.64 4.61 4.683

5.443 5.700 5.243 5.220 5.402iy

jy

402.5ˆ y042.0402.5443.5ˆ yyAA298.0402.5700.5ˆ yyBB

158.0402.5243.5ˆ yyCC182.0402.5220.5ˆ yyDD

0ˆ i

i

7

Trattamenti

paziente

A B C D

1 5.17 5.21 4.91 4.74 5.008

2 6.23 7.34 6.18 6.31 6.515

3 4.93 4.55 4.64 4.61 4.683

5.443 5.700 5.243 5.220 5.402iy

jy

402.5ˆ y

394.0402.5008.5ˆ11 yy

113.1402.5515.6ˆ22 yy

719.0402.5683.4ˆ33 yy

0ˆ j

j

8

402.5ˆ y042.0402.5443.5ˆ yyAA298.0402.5700.5ˆ yyBB

158.0402.5243.5ˆ yyCC182.0402.5220.5ˆ yyDD

394.0402.5008.5ˆ11 yy

113.1402.5515.6ˆ22 yy

719.0402.5683.4ˆ33 yy

Effetti dei farmaci

Effetti dei pazienti

Es: paziente 2 ricevente il trattamento C:

357.6113.1158.0402.5ˆˆˆ 22 CC yy

9

Considera le due questioni:

• sono i tre pazienti differenti?

• sono pazienti in general differenti?

• Nel primo caso , ”pazienti ” è considerato fattore fisso

• Nel secondo caso , ”pazienti ” è considerato fattore random

10

”pazienti” è un effetto casuale :

jiy

βj è assunta come iid ND(0,σb2)

0

Value of

Pro

babi

lity

di β

Se pazienti sono scelti ”random”, βj è una variabile stocastica

i.e. independentemente , identicamente e normalmente distribute con media zero e Varianza σ²b

11

V(y) = V(μ + αi + βj + ε) = V(μ)+ V(αi)+ V( βj)+ V(ε)

= σa2 + σb

2 + σ2

Varianze

Varianza dovuta a farmaco (fattore a) Varianza dovuta a paziente

(fattore b)

Varianza Residua

12

Entrambi i fattori sono fissi

V(y) = V(μ + αi + βj + ε) = V(μ)+ V(αi)+ V( βj)+ V(ε)

= σa2 + σb

2 + σ2

V(y) = σ2

banyVyV

2

/)()(

Varianza di una singola osservazione:

Varianza di una media:

13

”pazienti ” è un fattore casuale (MISTI anova)

V(y) = V(μ + αi + βj + ε) = V(μ)+ V(αi)+ V( βj)+ V(ε)

= σa2 + σb

2 + σ2

V(y) = σb2 + σ2 Varianza di una singola osservazione:

Varianza di una media: baabab

yV bb

/)( 22

22

14

Entrambi i fattori sono random

V(y) = V(μ + αi + βj + ε) = V(μ)+ V(αi)+ V( βj)+ V(ε)

= σa2 + σb

2 + σ2

V(y) = σa2 +σb

2 + σ2 Varianza di una singola osservazione:

Varianza di una media:

baabbaba

yV baba

/)( 222

222

15

Source df MS E[MS] F

farmaci

pazienti

Error

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

MSa

MSb

MSe

Total ab-1

Means Squares Expected

16

Expected Mean Squares

E[MSa] = bσa2 + σ2

E[MSb] = aσb2 + σ2

E[MSe] = σ2

df = a-1

df = b-1

df = (a-1)(b-1)

H0: αA = αB = αC = αD = 0 → σa2 = 0 →

e

a

MS

MSF

H0: β1 = β2 = β3 = 0 → σb2 = 0 →

e

b

MS

MSF

17

Source df MS E[MS] F

farmaci

pazienti

Error

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

MSa

MSb

MSe

bσa2 + σ2

aσb2 + σ2

σ2

MSa/Mse

MSb/MSe

Total ab-1

18

Source df MS E[MS] F

farmaci

pazienti

Error

3

2

6

0.149

3.824

0.117

bσa2 + σ2

aσb2 + σ2

σ2

MSa/Mse

MSb/MSe

Total 11

19

Hvis ”pazienti ” è a fattore random , σb2 è stimato da

E[MSb] = aσb2 + σ2 →

a

MSMS

a

sMSs ebb

b

22

927.04

117.0824.32

bs

V(y) = σb2 + σ2 = 0.927+0.117 = 1.044

Varianza di una singola osservazione:

Varianza di una media:

0.3190.0100.30912

117.0

3

927.0)(

22

bab

yV b

20

Come fare questo con SAS

21

DATA eks5_1;

INPUT pat $ treat $ y; /* indlæser data */

CARDS; /* her kommer data. Kan også indlæses fra en fil */

1 A 5.17

2 A 6.23

3 A 4.93

1 B 5.21

2 B 7.34

3 B 4.55

1 C 4.91

2 C 6.18

3 C 4.64

1 D 4.74

2 D 6.31

3 D 4.61

;

PROC GLM; /* procedure General Linear modelli */

TITLE 'Eksempel 5.1'; /* medtages hvis der ønskes en titel */

CLASS pat treat; /* pat og treat er klasse (kvalitative) variabile */

MODEL y = pat treat;

RANDOM pat; /* paziente er er en tilfældig faktor */

RUN;

22

Eksempel 5.1 8 13:18 Monday, November 5, 2001  General Linear modelli Procedure Dependent variabile: Y Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F Model 5 8.09475000 1.61895000 13.80 0.0031 Error 6 0.70401667 0.11733611 Corrected Total 11 8.79876667  R-Square C.V. Root MSE Y Mean  0.919987 6.341443 0.34254359 5.40166667  Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F PAT 2 7.64831667 3.82415833 32.59 0.0006TREAT 3 0.44643333 0.14881111 1.27 0.3666 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F PAT 2 7.64831667 3.82415833 32.59 0.0006TREAT 3 0.44643333 0.14881111 1.27 0.3666 

MSb

MSa

MSe

23

Eksempel 5.1 18

09:00 Friday, November 16, 2001

General Linear models Procedure

Source tipo III Expected Mean Square

PAT Var(Error) + 4 Var(PAT)

TREAT Var(Error) + Q(TREAT)

24

disegno annidati

25

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C Dfattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijijjiijky )()(

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

A B C Dfattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijjiiijky )()(

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

paziente j è the same for Tutti i farmaci

paziente j è not the same for Tutti i farmaci

pazienti sono said to be annidati within farmaci

Replicates can also be regarded as annidatiwithin farmaci and pazienti

26

Rules for finding the EMS(after Dunn and Clark)

1. For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σa

2, σab2 and σ(ab)e

2, but not σb2

2. For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ(a)b

2 è the Varianza di β(i)j.

3. For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component

4. For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component

27

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C D

anova a due vie(A and B fissi )fattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijijjiijky )()(

Interazione tra farmaco and paziente

Residual di the kth replicate annidati within farmaco i and paziente j

28

Model: kijijjiijky )()(

0i

i 0j

j i j

ij 0)(

(1) For each effect, write down every possible Varianza component containing every letter di the effect name. For example, in a two way disegno with r replicates per cell, the EMS for fattore A includes σa

2, σab2 and σ(ab)e

2, but not σb2

σa2 + σab

2 + σ(ab)e 2fattore A:

σb2 + σab

2 + σ(ab)e 2fattore B:

σab2 + σ(ab)e 2fattore AB:

σ(ab)e 2Residual:

29

Model: kijijjiijky )()(

0i

i 0j

j i j

ij 0)(

σa2 + σab

2 + σ(ab)e 2

σb2 + σab

2 + σ(ab)e 2

σab2 + σ(ab)e 2

fattore A:

fattore B:

fattore AB:

(2) For any annidati fattore add in parentheses to the effect name the name(s) di the fattore within it è annidati e.g if B è annidati in A, σ(a)b

2 è the Varianza di β(i)j.

σ(ab)e 2Residual:

30

Model: kijijjiijky )()(

0i

i 0j

j i j

ij 0)(

brσa2 + rσab

2 + σ(ab)e 2fattore A:

arσb2 + rσab

2 + σ(ab)e 2fattore B:

rσab2 + σ(ab)e 2fattore AB:

(3) For the coefficient di each Varianza component, use Tutti i letters not in the subscripts di the Varianza component

σ(ab)e 2Residual:

31

Model: kijijjiijky )()(

0i

i 0j

j i j

ij 0)(

brσa2 + rσab

2 + σ(ab)e 2

arσb2 + rσab

2 + σ(ab)e 2

rσab2 + σ(ab)e 2

fattore A:

fattore B:

fattore AB:

(4) For each Varianza component, look at any subscripts outside parentheses that sono not in the effect name; if any di these letters corresponds to a fissi effect, omit that Varianza component

σ(ab)e 2Residual:

32

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C D

anova a due vie(A and B fissi )fattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijijjiijky )()(

0i

i 0j

j i j

ij 0)(

2)(

222)ˆ( rababbayV abryV 2)(

Source df MS E[MS] F

A

B

AB

Error

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

ab(r-1)

MSa

MSb

MSab

MSe

brσa2 +r σab

2+ σ2

arσb2 + r σab

2+ σ2

r σab2+ σ2

σ2

MSa/MSe

MSb/MSe

MSab/MSe

33

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C D

anova a due vie (A fissi , B random)fattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijijjiijky )()(

0i

i

2)(

222)ˆ( rababbayV

Source df MS E[MS] F

A

B

AB

Error

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

ab(r-1)

MSa

MSb

MSab

MSe

brσa2 +r σab

2+ σ2

arσb2 + r σab

2+ σ2

r σab2+ σ2

σ2

MSa/MSab

MSb/MSe

MSab/MSe

i

ij 0)( βj è ND(0, σb2) (αβ)ij è ND(0; σab

2(1-1/a))

abrarabrb

yV bb /)( 22

22

NB!

34

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C D

anova a due vie(A and B random)fattore A:

fattore B:

Replicate

Model: kijijjiijky )()(

2)(

222)ˆ( rababbayV

Source df MS E[MS] F

A

B

AB

Error

a-1

b-1

(a-1)(b-1)

ab(r-1)

MSa

MSb

MSab

MSe

brσa2 +r σab

2+ σ2

arσb2 + r σab

2+ σ2

r σab2+ σ2

σ2

MSa/MSab

MSb/MSab

MSab/MSe

βi è ND(0, σb2) (αβ)ij è ND(0; σab

2)αi è ND(0, σa2)

abrrarbryV abba /)( 2222

35

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

A B C D

anova annidati (A fissi , B random)fattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijjiiijky )()(

2)(

2)(

2)ˆ( rabbaayV

Source df MS E[MS] F

A

B(A)

Error

a-1

a(b-1)

ab(r-1)

MSa

MS(a)b

MSe

brσa2 +r σ(a)b

2+ σ2

rσ(a)b2 + σ2

σ2

MSa/MS(a)b

MS(a)b/MSe

MSe

β(i)j è ND(0, σ(a)b2)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

0i

i

abrrabrab

yV baba /)( 22

)(

22)(

36

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

A B C D

annidati anova (A and B random)fattore A (doctor)

fattore B (paziente )

Replicate

Model: kijjiiijky )()(

2)(

2)(

2)ˆ( rabbaayV

Source df MS E[MS] F

A

B(A)

Error

a-1

a(b-1)

ab(r-1)

MSa

MS(a)b

MSe

brσa2 +r σ(a)b

2+ σ2

rσ(a)b2 + σ2

σ2

MSa/MS(a)b

MS(a)b/MSe

MSe

β(i)j è ND(0, σ(a)b2)

abrrbrabraba

yV baabaa /)( 22

)(2

22)(

2

αi è ND(0, σa2)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

37

40% 20% 0% Four level annidati anova

Tree (b = 2 )

Replicate (r = 2)

Model: rijkkijjiiijky )()()(

2)(

2)(

2)(

2)ˆ( rabccabbaayV

β(i)j è ND(0, σ(a)b2)

abcrrcrabcrabcab

yV cabbacabba /)( 22

)(2

)(

22)(

2)(

Leaf (c = 3 )

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

trattamento (a = 3)

γ(ij)k è ND(0, σ(ab)c2)0

ii

38

Sourcec df MS E[MS] F

Trattamenti

Trees

Leaves

Error

a-1

a(b-1)

ab(c-1)

abc(r-1)

MSa

MS(a)b

MS(ab)c

MSe

bcrσa2 +cr σ(a)b

2+ r σ(ab)c2 +σ2

cr σ(a)b2+ r σ(ab)c

2 +σ2 r σ(ab)c

2 +σ2

σ2

MSa/MS(a)b

MS(a)b/MS(ab)c

MS(ab)c/MSe

MSe

MS(ab)c = rs(ab)c2 + s2 →

r

MSMSs ecab

cab

)(2

)(

MS(a)b = cr s(a)b2+ r s(ab)c

2 +s2 = cr s(a)b2 + MS(ab)c

→cr

MSMSs cabba

ba)()(2

)(

MSa = bcrsa2 +cr s(a)b

2+ r s(ab)c2 +s2 = bcrsa

2 +MS(a)b →bcr

MSMSs baa

a)(2

2

)(2

)(2

)(2)ˆ( rabccabbaayV

22)(

2)(

2)ˆ( ssssyV cabbaa

39

How do it with SAS

40

PROC GLM;

CLASS treat tree leaf disc;

MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat);

/* trattamento è a fattori fissi , while trees and leaves sono random */

RANDOM tree(treat) leaf(tree treat);

/* gives the expected means squares */

RUN;

DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */

INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ;

INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

41

General Linear modelli Procedure

Dependent variabile: NITRO

Source DF Sum di Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 17 134.04000000 7.88470588 8.00 0.0001

Error 18 17.75000000 0.98611111

Corrected Total 35 151.79000000

R-Square C.V. Root MSE NITRO Mean

0.883062 3.271932 0.99303127 30.35000000

Source DF tipo I SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 71.78000000 35.89000000 36.40 0.0001

TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 12.18 0.0001

LEAF(TREAT*TREE) 12 26.21333333 2.18444444 2.22 0.0618

Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 71.78000000 35.89000000 36.40 0.0001

TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 12.18 0.0001

LEAF(TREAT*TREE) 12 26.21333333 2.18444444 2.22 0.0618

NB!These values sono based on MSe as the error term, which è wrong!

42

PROC GLM;

CLASS treat tree leaf disc;

MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat);

/* trattamento è a fattori fissi , while trees and leaves sono random */

RANDOM tree(treat) leaf(tree treat);

/* gives the expected means squares */

RUN;

DATA annidati; /* annidati anova (eks 6-4 in the lecture notes) */

INFILE 'H:\lin-mod\eks6x.prn' firstobs =2 ;

INPUT treat $ tree $ leaf $ disc $ Nitro ;

43

General Linear modelli Procedure

Source tipo III Expected Mean Square

TREAT Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT))

+ Q(TREAT)

TREE(TREAT) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE)) + 6 Var(TREE(TREAT))

LEAF(TREAT*TREE) Var(Error) + 2 Var(LEAF(TREAT*TREE))

44

PROC GLM;

CLASS treat tree leaf disc;

MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat);

/* trattamento è a fattori fissi , while trees and leaves sono random */

RANDOM tree(treat) leaf(tree treat);

/* gives the expected means squares */

TEST h=treat e= tree(treat);

/* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */

TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat);

/* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/

45

General Linear modelli Procedure

Dependent variabile: NITRO

Tests di Hypotheses using the tipo III MS for TREE(TREAT) as an error term

Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 71.78000000 35.89000000 2.99 0.1933

Tests di Hypotheses using the tipo III MS for LEAF(TREAT*TREE) as an error term

Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F

TREE(TREAT) 3 36.04666667 12.01555556 5.50 0.0130

46

PROC GLM;

CLASS treat tree leaf disc;

MODEL Nitro = treat tree(treat) leaf(tree treat);

/* trattamento è a fattori fissi , while trees and leaves sono random */

RANDOM tree(treat) leaf(tree treat);

/* gives the expected means squares */

TEST h=treat e= tree(treat);

/* tests for the difference between Trattamenti with MS for tree(treat) as denominator */

TEST h= tree(treat) e=leaf(tree treat);

/* tests for the difference between trees with MS for leaf(tree treat) as denominator*/

MEANS treat / Tukey Dunnett('Control') e= tree(treat) cldiff;

/* finds possible significant differences between Trattamenti and the control and the other Trattamenti */

RUN;

47

Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variabile: NITRO

NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate.

Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= 12.01556

Critical Value di Studentized Range= 5.910

Minimum Significant Difference= 5.9134

Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'.

Simultaneous Simultaneous

Lower Difference Upper

TREAT Confidence Between Confidence

Comparison Limit Means Limit

20% - 40% -3.663 2.250 8.163

20% - Control -2.513 3.400 9.313

40% - 20% -8.163 -2.250 3.663

40% - Control -4.763 1.150 7.063

Control - 20% -9.313 -3.400 2.513

Control - 40% -7.063 -1.150 4.763

48

Dunnett's T tests for variabile: NITRO

NOTE: This tests controls the tipo I experimentwise error for

comparisons di Tutti i Trattamenti against a control.

Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 3 MSE= 12.01556

Critical Value di Dunnett's T= 3.866

Minimum Significant Difference= 5.4714

Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by '***'.

Simultaneous Simultaneous

Lower Difference Upper

TREAT Confidence Between Confidence

Comparison Limit Means Limit

20% - Control -2.071 3.400 8.871

40% - Control -4.321 1.150 6.621

49

PROC annidati;

CLASS treat tree leaf;

VAR Nitro;

RUN;

50

Coefficients di Expected Mean Squares

Source TREAT TREE LEAF ERROR

TREAT 12 6 2 1

TREE 0 6 2 1

LEAF 0 0 2 1

ERROR 0 0 0 1

Sourcec df MS E[MS] F

Trattamenti

Trees

Leaves

Error

a-1

a(b-1)

ab(c-1)

abc(r-1)

MSa

MS(a)b

MS(ab)c

MSe

bcrσa2 +cr σ(a)b

2+ r σ(ab)c2 +σ2

cr σ(a)b2+ r σ(ab)c

2 +σ2 r σ(ab)c

2 +σ2

σ2

MSa/MS(a)b

MS(a)b/MS(ab)c

MS(ab)c/MSe

MSe

51

annidati effetto casuale s Analisi di Varianza for variabile NITRO

Degrees

Varianza di Sum di Error

Source Freedom Squares F Value Pr > F Term

TOTAL 35 151.790000

TREAT 2 71.780000 2.987 0.1933 TREE

TREE 3 36.046667 5.501 0.0130 LEAF

LEAF 12 26.213333 2.215 0.0618 ERROR

ERROR 18 17.750000

Varianza Varianza Percent

Source Mean Square Component di Total

TOTAL 4.336857 5.213333 100.0000

TREAT 35.890000 1.989537 38.1625

TREE 12.015556 1.638519 31.4294

LEAF 2.184444 0.599167 11.4930

ERROR 0.986111 0.986111 18.9152

Mean 30.35000000

Standard error di mean 0.99847105

r

MSMSs ecab

cab

)(2

)(

cr

MSMSs cabba

ba)()(2

)(

bcr

MSMSs baa

a)(2

52

The problem di pseudoreplication

53

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C

anova a due vie(A fissi , B random)

fattore A (farmaco)

fattore B (paziente )

Replicate

18 measurements

If we want to increase the power di the Analisi , we may e.g. double thenumber di measurements

But be careful about what you do!

54

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 1 2 3

A B C

1 2

1

1 2

2

1 2

3

1 2

4

1 2

5

1 2

6

A

1 2

1

1 2

2

1 2

3

1 2

4

1 2

5

1 2

6

1 2

1

1 2

2

1 2

3

1 2

4

1 2

5

1 2

6

CB

disegno 1

disegno 2

Entrambi experiments have 36 measurements

3 experimental unità/trattamento

6 experimental unità/trattamento

Pseudoreplicates

disegno 2 è best because it uses 6 experimental unità/trattamento

55

40% 20% 0%

Four level annidati anova

Tree (b = 2 )

Replicate (r = 2)

Leaf (c = 3 )

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

1 2 1 2 1 2

1

1 2 3

1 2 1 2 1 2

2

1 2 3

trattamento (a = 3)

Trees sono the experimental unità(2 replicates/trattamento )Pseudoreplicates

56

Split-plot disegnos

• Tre tipi di fertilizers

• Two tipi di soil trattamento

• Interactions between fertilizers and soil trattamento

57

A1

A2

Block 3

A2

A1

Block 1

A2

A1

Block 4

A1

A2

Block 2

2 whole-plots within each block

Soil Trattamenti

58

A1

A2

Block 3

A2

A1

Block 1

A2

A1

Block 4

A1

A2

Block 2

Fertilizer Trattamenti

3 sub- plots within each whole-plot

59

Analisi di intero-disegno

fattore df MS E[MS] FSoil trattamento

(A)

Block (B)

Soil*Block (AB)

Error

a-1 = 1

b-1 =3

(a-1)(b-1) = 3

0

MSa

MSb

MSab

bσa2+σab

2

aσb2+ σab

2

σab2

MSa/MSab

MSb/MSab

Total ab-1 = 7

kijijjiijky )()(

0i

i βj è ND(0, σb2)

Effect di soil treatInterazione tra soil and block

Effect di block

Interaction term serves as error term

60

Analisi di sub-plots

fattore df MS E[MS] FWhole plots

Fertilizer (C)

Soil*Fertilizer (AC)

Block*Fert. (BC)

Soil*Block*Fert. (ABC)

Error

ab-1 = 7

c-1 = 2

(a-1)( c-1) = 2

(b-1)(c-1) = 6

(a-1)(b-1)(c-1) = 6

0

MSc

MSac

MSbc

MSabc

abσc2+σabc

2

bσac2+ σabc

2

aσbc2+ σabc

2

σabc2

MSc/MSabc

MSac/MSabc

MSbc/MSabc

Total abc-1 = 23

0k

k (βγ)jk è ND(0, σbc2(1-1/c))

jkikkijjiijky )()()(ˆ

0)( i k

ik

Effect di fertilizer

Interazione tra soil trattamento and fertilizer

Interazione tra block and fertilizer

61

Analisi di sub-plots

fattore df MS E[MS] FWhole plots

Fertilizer (C)

Soil*Fertilizer (AC)

Block*Fert. (BC)

Soil*Block*Fert. (ABC)

Error

ab-1 = 7

c-1 =2

(a-1)( c-1) =2

(b-1)(c-1) = 6

(a-1)(b-1)(c-1) = 6

0

MSc

MSac

MSbc

MSabc

abσc2+σ2

bσac2+ σ2

bσbc2+ σ2

σ2

MSc/MSe

MSac/MSe

MSbc/MSe

Total abc-1 = 23

0k

k (βγ)jk è ND(0, σbc2(1-1/c))

jkikkijjiijky )()()(ˆ

0)( i k

ik

62

Analisi di sub-plots

fattore df MS E[MS] FWhole plots

Fertilizer (C)

Soil*Fertilizer (AC)

Block*Fert. (BC)

Soil*Block*Fert. (ABC)

Error

ab-1 = 7

c-1 =2

(a-1)( c-1) =2

(b-1)(c-1) = 6

(a-1)(b-1)(c-1) = 6

0

MSc

MSac

MSbc

MSabc

abσc2+σ2

bσac2+ σ2

σ2

MSc/MSe

MSac/MSe

Total abc-1 = 23

0k

k (βγ)jk è ND(0, σbc2(1-1/c))

jkikkijjiijky )()()(ˆ

0)( i k

ik

63

How do it with SAS

64

DATA SplitPlt;

/* Example 6-8 in the lecture notes */

/* block = block effect (fattore random ) */

/* soil = effect di soil trattamento (whole-plot effect) */

/* fert = effect di fertilizer (subplot effect) */

/* yield = dependent variabile */

INFILE 'h:\lin-mod\eks6-8.prn';

INPUT soil $ block $ fert $ yield;

PROC GLM;

TITLE 'Split plot - full model';

CLASS block soil fert;

MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert block*fert ;

RANDOM block; /* declare block as a effetto casuale */

TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */

TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */

RUN;

65

Split plot - full model

The GLM ProcedureDependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F  Model 17 32796.58333 1929.21078 3.24 0.0764 Error 6 3575.41667 595.90278 Corrected Total 23 36372.00000  R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean 0.901699 15.02223 24.41112 162.5000  Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F  block 3 588.33333 196.11111 0.33 0.8050 soil 1 7848.16667 7848.16667 13.17 0.0110 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 2.09 0.2027 fert 2 10950.75000 5475.37500 9.19 0.0149 soil*fert 2 462.58333 231.29167 0.39 0.6942 block*fert 6 9205.91667 1534.31944 2.57 0.1373  Tests di Hypotheses Using the tipo III MS for block*soil as an Error Term  Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F  soil 1 7848.166667 7848.166667 6.29 0.0870 block 3 588.333333 196.111111 0.16 0.9185

Sub-plot effects

NB! These P-values cannot be used!

Instead use these whole-plot results

Whole-plot effects

66

PROC GLM;

TITLE 'Split plot - reduced model

block*fert omitted';

CLASS block soil fert;

MODEL yield= block soil block*soil fert soil*fert;

RANDOM block;

TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */

TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */

RUN;

67

Split plot - reduced modelblock*fert omitted

The GLM Procedure Dependent variabile: yield  Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F  Model 11 23590.66667 2144.60606 2.01 0.1224  Error 12 12781.33333 1065.11111  Corrected Total 23 36372.00000   R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean  0.648594 20.08372 32.63604 162.5000   Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F  block 3 588.33333 196.11111 0.18 0.9051 soil 1 7848.16667 7848.16667 7.37 0.0188 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 1.17 0.3615 fert 2 10950.75000 5475.37500 5.14 0.0244 soil*fert 2 462.58333 231.29167 0.22 0.8079

68

PROC GLM;

TITLE 'Split plot - reduced model

block*fert and soil*fert omitted';

CLASS block soil fert;

MODEL yield= block soil block*soil fert;

RANDOM block;

TEST h = soil e = block*soil; /* tests effect di wholeplot */

TEST h = block e = block*soil; /* tests effect di blocchi */

MEANS soil /TUKEY e= block*soil CLM CLDIFF; /* confidence limits for wholeplot effects */

MEANS fert /TUKEY CLM CLDIFF; /* confidence limits for subplot effects */

RUN;

69

Split plot - reduced model block*fert and soil*fert omitted

97Dependent variabile: yield Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F  Model 9 23128.08333 2569.78704 2.72 0.0457  Error 14 13243.91667 945.99405  Corrected Total 23 36372.00000   R-Square Coeff Var Root MSE yield Mean  0.635876 18.92739 30.75702 162.5000 Source DF tipo III SS Mean Square F Value Pr > F  block 3 588.33333 196.11111 0.21 0.8896 soil 1 7848.16667 7848.16667 8.30 0.0121 block*soil 3 3740.83333 1246.94444 1.32 0.3079 fert 2 10950.75000 5475.37500 5.79 0.0147

70

The GLM Procedure  Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield  NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate.   Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 3 Error Mean Square 1246.944 Critical Value di Studentized Range 4.50067 Minimum Significant Difference 45.879   Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***.   Difference Simultaneous soil Between 95% Confidence Comparison Means Limits  2 - 1 36.17 -9.71 82.05 1 - 2 -36.17 -82.05 9.71

71

The GLM Procedure  Tukey's Studentized Range (HSD) Test for yield  NOTE: This test controls the tipo I experimentwise error rate.   Alpha 0.05 Error Degrees di Freedom 14 Error Mean Square 945.994 Critical Value di Studentized Range 3.70139 Minimum Significant Difference 40.25   Comparisons significant at the 0.05 level sono indicated by ***.   Difference Simultaneous fert Between 95% Confidence Comparison Means Limits  3 - 2 15.38 -24.87 55.62 3 - 1 51.00 10.75 91.25 *** 2 - 3 -15.38 -55.62 24.87 2 - 1 35.63 -4.62 75.87 1 - 3 -51.00 -91.25 -10.75 *** 1 - 2 -35.63 -75.87 4.62