Post on 01-May-2015
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1. Classificazione dei sistemi e dei modelliLa teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze.
Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made.
Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza dell’occorrenza di eventi.Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.
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Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc.
L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente all’interno del sistema vengono ignorati.
Sistemi ad eventi discreti
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Sistemi ibridi
Sis. ad avanzamento temporale
Sis. ad eventi discreti
Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido.
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Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo
Nozione fondamentale sistema
Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune.
Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.
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Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema.
Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo:
• cause esterne al sistema ingressi del sistema
• effetti uscite del sistemau yS
S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.
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Esempio: pantografo
m
Kw
Kb
u
y
umK
ym
K)(Ky
mb
y ww
Y: posizione di equilibrio di m
u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria
ybKyy)(uKfym wi
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In generale l’uscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema.
Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la grandezza che contiene l’informazione necessaria in 0 per determinare univocamente l’andamento dell’uscita y(), per 0, sulla base della conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(), 0 e dello stato in 0.
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I sistemi ad eventi discreti
La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dall’uomo.
La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.
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L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare.
Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto. Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi.
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Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da:
• insieme degli eventi E
• spazio di stato X (insieme discreto)
• evoluzione dello stato regolata dagli eventi
xk+1=(xk,ek) kN
funzione di transizione di stato
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Esempio: il sistema a coda
Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali:
• le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti)
• le risorse (servitori o serventi)
• lo spazio in cui si attente (coda)
arrivo clienti
partenza clienti
coda servitore
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Insieme degli eventi E={a,p}
a : evento di arrivo di un cliente
p : evento di partenza di un cliente
I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc.
I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc.
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Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda
Spazio di stato X={0,1,2,…}=N
0 1 2 3
a a a
p p p
Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo
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Esempio: macchina soggetta a guasti
• X = {F (macchina ferma),
L (macchina che lavora),
G (macchina guasta)} spazio di stato
• E = {inizio,fine,rottura,riparazione} spazio degli eventi
F L
G
inizio
fine
rotturariparazione
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Esempio: circuito elettrico
l1
l2
s
d
L’interruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro.
Ci sono 4 possibili posizioni
s s s
d d dd
s
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Possiamo individuare 3 insiemi:
• X = {x1,x2,x3,x4} posizioni dell’interruttore
• U = {s,d} rotazioni
• Y = {l1,l2,b} condizioni delle lampadeTale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo.
x1 x4
x2 x3
ds
s
s
s d d
d
x1
x2
x3
x4
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Se assumiamo l’insieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo
l1 b
s,d
s,d
l2
s,d
s,d
Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce
l
b
s,ds,d
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A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale
X
x1
x2
x3
x4
tt1 t2
s d s s
s
t3 t4 t5
x1 x4
x2 x3
ds
s
s
s d d
d
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Modellazione di sistemi ad eventi discreti
Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema.
In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito.
A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie:
Modelli logici e Modelli temporizzati
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Modelli logici
La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}.Modelli temporizzati
La traccia è una sequenza di coppie {(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.
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I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema
analisi strutturale.
I modelli temporizzati permettono di studiare l’evoluzione temporale di un sistema analisi prestazionale.
I modelli temporizzati possono essere:
• deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti)
• stocastici (gli intervalli sono variabili casuali)
Una trattazione analitica diventa estremamente complessa simulazione
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Sistemi ibridi
Sistemi ad avanzamento temporale (SAT)
Sistemi ad eventi discreti (SED)
SAT a tempo continuo
SAT a tempo discreto
SAT a t. continuo lineari
SAT a t. continuo non lineari
SAT a t. discreto lineari
SAT a t. discreto non lineari
SED temporizzati
SED logici
SED deterministici
SED stocastici