Studio del segno delle derivate

Lezione 11 del 6/12/2018

Segno della derivata prima

Data una funzione 𝑓(𝑥) derivabile in un intervallo 𝐼, allora

• se 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(𝑥) è strettamente crescente in 𝐼

• se 𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(𝑥) è strettamente decrescente in 𝐼

Se 𝑓′ 𝑥 = 0, che andamento ha la funzione in tale punto?

Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)

Il coefficiente angolare della retta tangente è zero, cioè la retta tangente è orizzontale!

Teorema

Sia 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (𝑎, 𝑏). Se 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) è un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora

𝑓′ 𝑥0 = 0

𝑥0 è detto punto critico (o stazionario) di 𝑓.

Riepilogando

• Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla.

• La retta tangente alla curva in questi punti è parallela all’asse 𝑥.

• Se la derivata prima è nulla in 𝑥0 non vuol dire che in 𝑥0 ci sia un massimo o un minimo locale!

Esempio 1

• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 5

• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 5 ≥ 0

• 𝑥 >5

2⇒ 𝑓(𝑥) è crescente

• 𝑥 <5

2⇒ 𝑓(𝑥) è decrescente

• 𝑥 =5

2⇒ 𝑓

5

2è un minimo locale

Esempio 2

• 𝑓 𝑥 = 𝑥3

• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2

• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅

• 𝑓′ 𝑥 = 0 per 𝑥 = 0

⇒ 𝑓 𝑥 sempre crescente

⇒ 𝑓 0 non è né massimo né

minimo locale

È un flesso a tangente orizzontale (perché cambia la

concavità della funzione)

Derivata seconda

Sia data una funzione 𝑓(𝑥). Se la sua funzione derivata prima 𝑓′(𝑥) è derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di 𝑓(𝑥) e si indica con 𝑓′′ 𝑥 . Nelle stesse condizioni si può derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di 𝑓 𝑥 .

Data una funzione 𝑓(𝑥) derivabile in un intervallo:

• è convessa negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ 𝑥 > 0

(esempio: la parabola con la concavità verso l’alto)

• è concava negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ 𝑥 < 0

(esempio: la parabola con la concavità verso il basso)

• i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavità si chiamano punti di flesso. In tali punti 𝑓′′ 𝑥 = 0

Asintoti (Approfondimento)• Se lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 asintoto verticale

• Se lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇒ 𝑦 = 𝑙 asintoto orizzontale

• Se lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞).

Quindi se

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim

𝑥→+∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅

⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 è asintoto obliquo

• Se lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞).

Quindi se

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim

𝑥→−∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅

⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 è asintoto obliquo

Esempio (Approfondimento)

Sia 𝑓 𝑥 =𝑥2+2

𝑥𝐷 = −∞, 0 ∪ (0, +∞)

lim𝑥→−∞

𝑥2 + 2

𝑥= −∞

lim𝑥→0−

𝑥2+2

𝑥= −∞ lim

𝑥→0+

𝑥2+2

𝑥= +∞

lim𝑥→+∞

𝑥2 + 2

𝑥= +∞

Possibile asintoto obliquo

𝑥 = 0 asintoto verticale

Possibile asintoto obliquo

Ricerca dell’eventuale asintoto obliquo(Approfondimento)

Si cerca l’eventuale asintoto obliquo perché lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = −∞

L’asintoto obliquo di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 esiste se

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim

𝑥→±∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅

lim𝑥→−∞

𝑥2 + 2

𝑥2 = 1 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑚 = 1

lim𝑥→−∞

𝑥2 + 2

𝑥− 1 · 𝑥 = lim

𝑥→−∞

𝑥2 + 2 − 𝑥2

𝑥= lim

𝑥→−∞

2

𝑥= 0 ⇒ 𝑞 = 0

Per 𝑥 → −∞ la funzione tende asintoticamente alla retta 𝑦 = 𝑥.

L’asintoto obliquo esiste anche per 𝑥 → +∞

Studio di funzione

1. Dominio

2. Limiti agli estremi del dominio => eventuali asintoti

3. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi.

4. Concavità e convessità della funzione, punti di flesso

5. Eventuali intersezioni con gli assi cartesiani

Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

Esercizi: studi di funzione

• Disegnare i grafici delle seguenti funzioni

• 𝑓 𝑥 = 𝑒2

1−𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2𝑓 𝑥 =

𝑒𝑥

𝑥

• 𝑓 𝑥 = 3 ln 𝑥2 + 1 𝑓 𝑥 = 2 ln(𝑥2 − 1)

• 𝑓 𝑥 =3𝑥

𝑥−2𝑓 𝑥 = −

2

𝑥−1

• 𝑓 𝑥 = ቊ1 + log 𝑥 , 𝑥 > 1

𝑥2, 𝑥 ≤ 1𝑓 𝑥 = ቊ

𝑒𝑥 − 2, 𝑥 ≥ 0

𝑥3 − 3𝑥, 𝑥 < 0

Esercizi sulle derivate:

• Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

𝑓 𝑥 =𝑥2+3𝑥−1

−𝑥4+2𝑓 𝑥 =

𝑥2+1

−𝑥+2𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⋅ ln(𝑥2 + 1)

𝑓 𝑥 = 2 ⋅ ln1

𝑥𝑓 𝑥 =

𝑒5𝑥

𝑥2 − 3𝑥 𝑓 𝑥 =𝑥5⋅2𝑥

𝑒−𝑥2

𝑓 𝑥 = −10

−𝑥4+2𝑓 𝑥 = 10(−𝑥4 + 2) 𝑓 𝑥 = cos

1

𝑥

Esercizio

Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).

• 𝐷 = −∞, −2 ∪ −2, +∞ lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0 lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = +∞

lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥) = +∞

• 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2

𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −2 ∪ (−2,0)

• 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −2

𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −2, +∞

Esercizio

Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).

𝐷 = 𝑅 lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −1 lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = −∞

𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (−∞, 3) 𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (3, +∞) 𝑓′ 3 = 0, 𝑓 3 = 5

𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −∞, 0 ∪ (6, +∞) 𝑓′′ 𝑥 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 0, −6

𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (0,6) 𝑓 0 = 2, 𝑓 6 = −1

ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 0→ ቊ

𝑥 = 5 𝑉 𝑥 = −3𝑦 = 0

Esercizio

Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).

• 𝐷 = −∞, 2 ∪ 2, +∞ lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 3

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = +∞

• 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −1,2 ∪ (3, +∞) 𝑓′ −1 = 0, 𝑓 −1 = 2

𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −1 ∪ (2,3) 𝑓′ 3 = 0 , 𝑓 3 = 1

• 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −5 ∪ (4, +∞) 𝑓′′ −5 = 0 𝑓 −5 = 5

𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −5,2 ∪ (2,4) 𝑓′′ 4 = 0 𝑓 4 = 2

ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥 = 0→ ቊ

𝑥 = 0𝑦 = 4

Esercizio

Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).

𝐷 = 𝑅 lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

𝑓′ −4 = 0, 𝑓 −4 = −1 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2 𝑓′ 4 = 0, 𝑓 4 = −1

𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −4 ∪ (0,4) 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −4,0 ∪ (4, +∞)

𝑓′′ −1 = 0, 𝑓 −1 = 0 𝑓′′ 1 = 0, 𝑓 1 = 0

𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −1 ∪ (1, +∞) 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (−1,1)

ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 0→ ቊ

𝑥 = −6 𝑉 𝑥 = 6𝑦 = 0