Limiti deriv

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Dott.ssa Donatella Cocca

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Page 1: Limiti deriv

Dott.ssa Donatella Cocca

Page 2: Limiti deriv

Definizione di Intervallo

Prima di definire cosa è il Limite di una funzione, dobbiamo capire

cosa è un punto di accumulazione.

Def (Intervallo): Si definisce intervallo chiuso di centro x0 e raggioDef (Intervallo): Si definisce intervallo chiuso di centro x0 e raggio

d un insieme del tipo:

I={{{{x∈∈∈∈R: x∈∈∈∈[x0-d, x0+d]}}}}Si definisce intervallo aperto di centro x0 e raggio d un insieme del

tipo:

I={{{{x∈∈∈∈R: x∈∈∈∈ ] x0-d, x0+d[ }}}}Dunque un intervallo è detto chiuso se contiene gli estremi, aperto seDunque un intervallo è detto chiuso se contiene gli estremi, aperto se

non li contiene. Un intervallo può contenere buchi, ad esempio essendo

definito privo del proprio punto centrale.

Page 3: Limiti deriv

Punto di accumulazione

Def (Punto di accumulazione): Si dice che x0 è punto di

accumulazione se ogni intervallo I di centro x0 contiene infiniti punti.

Il concetto di punto di accumulazione è uno strumento per studiare ilIl concetto di punto di accumulazione è uno strumento per studiare il

comportamento delle funzioni in un intorno infinitamente piccolo di un

punto. Affermare che un punto è di accumulazione significa assicurarsi

l’esistenza di tutti i punti infinitamente vicini a quel punto e, quindi, di

poter operare su di essi.

Nozione di limite finito di una funzione in un punto Nozione di limite finito di una funzione in un punto

Data una funzione reale y = f(x) definita in un insieme X⊆R, detto c un

punto d’accumulazione per X, appartenente o no a X, vogliamo studiare

il comportamento della funzione in un intorno di c, cioè in prossimità di

c.

Page 4: Limiti deriv

Limite finito di una funzione

Ci proponiamo, quindi, di esaminare l’insieme dei valori che assume la

funzione f(x), quando la x si “avvicina indefinitamente” a c.

Precisamente, se avviene che il corrispondente valore di f(x) si

“avvicina indefinitamente” ad una costante L, all’avvicinarsi

indefinitamente di x a c, si dice che L è il limite della funzione y = f(x),indefinitamente di x a c, si dice che L è il limite della funzione y = f(x),

per x tendente a c nell’intorno di c, e si scrive:

La precedente definizione ci dà una cognizione intuitiva del concetto di

L)x(flimcx

=→

La precedente definizione ci dà una cognizione intuitiva del concetto di

limite.

Volendo precisare tale concetto in modo rigoroso, dobbiamo valutare di

quanto la x dovrà avvicinarci a c affinché il valore della funzione si

avvicini a L di quel tanto stabilito.

Page 5: Limiti deriv

Limite finito di una funzione

Una definizione rigorosa del concetto di limite è la seguente.

Def.(Limite finito di una funzione) Sia y = f(x) una funzione

definita in un insieme X e sia c un punto d’accumulazione per X. Si dice

che la funzione f(x) tende a L (o ha per limite L ), per x che tende a c,che la funzione f(x) tende a L (o ha per limite L ), per x che tende a c,

se la f(x) assume valori che differiscono da L, in valore assoluto, per

non più di ε, ossia:

Per verificare se un dato numero L è il limite di f(x) per x→c si deve

( ) { }ε

ε δδδ<

−+−∈∀>∃>∀⇔=→

L-f(x) ha si

cc ,cx:00L)x(flim ccccx

Per verificare se un dato numero L è il limite di f(x) per x→c si deve

risolvere la disequazione |f(x)-L|<ε : se le soluzioni di questa

costituiscono, qualunque sia ε >0, un intorno completo di c, escluso al

più c, allora L è il limite di f(x) per x→c; mentre se la disequazione non

è verificata in un intorno di c, oppure non è mai verificata, L non è

limite di f(x) per x→c.

Page 6: Limiti deriv

Limite di una funzione

Esempio1: Verificare che:

Bisogna verificare che in un intorno di c = 6 la disequazione:

|(x+2)-8|<εè soddisfatta per ogni scelta di ε>0. Si ha:

8)2x(lim6x

=+→

è soddisfatta per ogni scelta di ε>0. Si ha:

Essendo l’intervallo 6-ε<x<6+ε un intorno di c = 6, con δc=ε, segue

che la disequazione |(x+2)-8|<ε è verificata intorno a 6. Pertanto il

( )εεεε

εεε

+<<⇒<<

<−⇒<−+⇒<−+

6x-6 6-x-

cioè 6x82x82x

che la disequazione |(x+2)-8|<ε è verificata intorno a 6. Pertanto il

limite proposto è vero.

Page 7: Limiti deriv

Limite infinito di una funzione

Consideriamo la funzione f(x)=1/(x2) definita per x ≠ 0 e sempre

positiva. Si può osservare che i valori della funzione diventano sempre

più grandi man mano che x si avvicina a zero, cioè .

Ciò significa che se scegliamo ad arbitrio un numero positivo E, grande

∞=→

)x(flim0x

E1 x2 >a piacere, la disequazione è soddisfatta in un intorno di 0.

Def.(Limite infinito di una funzione) Siano y = f(x) una

funzione definita nell’insieme e c un punto d’accumulazione per X. Si

dice che la f(x) tende a + ∞ ( -∞ ), o ha per limite + ∞ (-∞ ), per x → c,

e si scrive se:

E1 x2 >

)(- )x(flim ∞+∞=e si scrive se:)(- )x(flimcx

∞+∞=→

{ }E)(f(x) Ef(x) risulta

,cx: piacere) a (grande 0E II cc

<>

−∈∀∃>∀

Page 8: Limiti deriv

Limite destro/sinistro di una funzione

Def.(Limite destro/sinistro di una funzione) Diremo che L è

limite sinistro della funzione y = f(x) per x tendente da sinistra a c e si

scrive , se:L)x(flimcx

=−→

( ) εε δδ <−∈∀>∃>∀ L-f(x) ha sic,cx:0 0

Analogamente, si dice che L è limite destro e si scrive , se:

Proprietà:

( ) εε δδ <−∈∀>∃>∀ L-f(x) ha sic,cx:0 0 cc

L)x(flimcx

=+→

( ) εε δδ <+∈∀>∃>∀ L-f(x) ha sic,cx:0 0 cc

Proprietà:

• Se una funzione annette limite per x→x0 tale limite è unico

(Teorema dell’unicità del limite).

Page 9: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

• Siano f, g ed h tre funzioni definite in un intorno I di x0 , e tale che

per ogni x∈I risulti f(x)≤g(x)≤h(x) . Se:

allora l)x(hlim)x(flimxxxx 00

==→→

(Teorema del confronto)

• Se esiste un intorno I di x0 , privato al più del

punto x0 , in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Viceversa,

l)x(glim risulteràxx 0

=→

0l)x(flimxx 0

≠=→

0

se esiste un intorno I di x0 , privato al più del punto x0 , in cui

risulta f(x)>0 (f(x)<0), e se esiste il , si avrà:

l≥0 (l≤0).

(Teorema della permanenza del segno)

l)x(flimxx 0

=→

Page 10: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

Page 11: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

Page 12: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

Lo schema seguente mostra il valore di limiti noti:

Page 13: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

Ancora altri limiti noti:

Page 14: Limiti deriv

Proprietà sui Limiti

Page 15: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio1: Calcolare il valore del seguente limite:

A(x)

B(x)6x

2x3lim

x

x2

2

2x −++−

→B(x)

Poiché A(2) = B(2) = 0 la forma è indeterminata ma per lo stesso

motivo, i due polinomi risultano divisibili per 2, cioè x = 2 è uno zero

dei polinomi A(x) e B(x). Scomponendo allora con il metodo di Ruffini

si ottiene:

6xx −+

( )( )( )( )

11xlim

1x2xlim

2x3lim

2x =

−=

−−=

+− ( )( )( )( ) 5

1

3x

1xlim

3x2x

1x2xlim

6x

2x3lim

2x2x22x x

x =+−

=+−−−

=−++−

→→→

Page 16: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio2: Calcolare il valore del seguente limite:

Il limite rientra nella forma 0/0 per cui scomponendo numeratore e

4x85

6xlim

xx

x23

2

2x +++−−

−→

Il limite rientra nella forma 0/0 per cui scomponendo numeratore e

denominatore si trova:

( )( )( ) ( )

=++

−+=

+++−−

±−→−→

3x

1x2x

3x2xlim

4x85

6xlim

22x

23

2

2x xx

x

( )( )±∞=

++−

±−→ 1x2x

3xlim

2x

Page 17: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio3: Calcolare il valore del seguente limite:

Raccogliendo la potenza x3 al numeratore otteniamo:x

xx4

23

x

1x43lim

−++∞→

Raccogliendo la potenza x3 al numeratore otteniamo:

Infatti abbiamo che:

0x

11

x

43

lim

11

x

43

lim1x43

lim xx

x

xxx

x

xx32

x4

32

3

x4

23

x=

−++

=

−++

=−++

∞→∞→∞→

Infatti abbiamo che:

01

lim1

limx

4lim

xx3x2xx===

∞→∞→∞→

Page 18: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio4: Calcolare il valore del seguente limite:

1x

1lim x

3

x −+

±∞→

Raccogliendo la potenza x3 al numeratore ed x ad denominatore

otteniamo:

+∞=

+

=

+

=−+

±∞→±∞→±∞→ 11

11

lim1

1x

11

lim1x

1lim x

xx

xx

3

2

x

3

3

x

3

x

Infatti abbiamo che:

−− ±∞→±∞→±∞→

x

11

x

11x

1x xxx

+∞=±∞→

x2

xlim

Page 19: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio5: Calcolare il valore del seguente limite:

Questo limite lo risolviamo in due modi diversi:1x

1xlim

1x −−

Questo limite lo risolviamo in due modi diversi:

� razionalizziamo il numeratore della funzione:

( )( )

( )111

lim1x

lim

1x

1xlim

1x1x

1x

1x

1x

1x

1x1x

===−

=

=−−

⇒+−

−=

++

⋅−−

� si scompone il denominatore come una differenza di quadrati:

( )( ) 2

1

11

1

1x

1lim

1x1x

1xlim

1x1x=

+=

+=

+−−

=→→

( )( ) ( ) 2

1

11

1

1x

1lim

1x1x

1xlim

1x

1xlim

1x1x1x=

+=

+=

+−−

=−−

→→→

Page 20: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio6: Calcolare il valore del seguente limite:

Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞−∞. Conviene

( )x1xxlimx

+−+∞→

Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞−∞. Conviene

pertanto trasformare la funzione tramite una razionalizzazione del tipo:

( )1x1x

x1x

x1xx1xx1x

−=

−−=

=++++

⋅+−=+−

Pertanto:

x1xx1x ++=

++=

( )x1x

xlim

x1x

1xlimx1xxlim

xxx ++−

=++

−⋅=+−

+∞→+∞→+∞→

Page 21: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

che risulta ancora indeterminato ma della forma ∞/∞. Poichè però il

grado del numeratore e del denominatore sono uguali ad 1/2 ci si

aspetta un limite finito. Difatti:

−−−2

1

11

1

x

x11

1lim

x

x11x

xlim

xx−=

+−

=

++

−=

++

−+∞→+∞→

Page 22: Limiti deriv

Esercizi sui Limiti

Esempio7: Calcolare il valore del seguente limite:

x

24xlim

0x

−+→

Razionalizzando il numeratore:

x

( )24xx

44xlim

24x

24x

x

24xlim

0x0x=

++−+

=++++

⋅−+

→→

4

1

24x

1lim

0x=

++=

Page 23: Limiti deriv

Definizione di rapporto incrementale

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + h

due punti dello stesso intervallo (a, b), in cui la funzione assume

rispettivamente i valori f(x) e f(x+h).

Def: Si definisce incremento della variabile indipendente x ilDef: Si definisce incremento della variabile indipendente x il

segmento P’Q’ (indicato generalmente con ∆∆∆∆x), e incremento della

funzione f il segmento AQ (indicato con ∆∆∆∆y). Si chiama, quindi,

rapporto incrementale della funzione f il rapporto tra l’incremento

della variabile dipendente e l’incremento della variabile indipendente,

cioè:

( ) ( )x

xfxxf

x

y

∆∆

∆∆ −+

=

Page 24: Limiti deriv

Definizione di derivata

Si dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto

(a, b), nel punto c ∈ (a, b) il valore, se esiste ed è finito, del rapporto

incrementale per h (o ∆x) tendente a zero, cioè:

( ) ( )xfhxflim

−+

E si scrive:

(1)

La derivata di una funzione si può indicare anche con uno dei seguenti

simboli:

( ) ( )h

xfhxflim

0h

−+→

( ) ( )h

xfhxflimy

0h

−+=′

( ) ( ) ( ) dydfsimboli:

La (1) può essere scritta nei seguenti modi:

( ) ( )( ) ( )dx

dy ,

dx

df ,xDf ,xf ,xf ,y 1′′

( ) ( ) ( ) ( )cx

cfxflim oppure

x

xfxxflim

cx0x −−−+

→→ ∆∆

Page 25: Limiti deriv

Definizione di ordine superiore

Se la funzione f(x) ammette la derivata finita per ogni x ∈ (a, b) si dice

derivabile in (a, b), e in questo caso la derivata prima è ancora una

funzione di x. Si dice derivata seconda di f(x) la derivata della derivata

prima:( )( ) ( )( )xDx ff

12

=

e di conseguenza risulta:

( )( ) ( )( )xDx ff12

=

( )( ) ( )( )xDx ff1nn −

=

cioè la derivata d’ordine n di f(x) è uguale alla derivata della derivata

d’ordine n – 1.

Page 26: Limiti deriv

Significato geometrico della derivata

I problemi che diedero origine al concetto di derivata furono quelli delle

tangenti ad una curva e della velocità.

a) Problema delle tangenti: Se si vuol definire la retta tangente ad

una circonferenza, diciamo che è la retta che la tocca in un sol punto;

ma tale definizione non si può estendere ad una curva qualsiasi, perché

possono presentarsi anche casi di questo tipo:

Quindi per definire, in una maniera rigorosa la tangente ad una curva in

un punto , consideriamo una curva d’equazione y = f(x) definita in un

intervallo (a, b) e un punto x di tale intervallo.

Page 27: Limiti deriv

Significato geometrico della derivata

Possiamo definire la tangente alla curva nel punto x, la posizione limite

se esiste, a cui tende la secante passante per P e per Q, quando il punto

Q tende a P. Cioè si ha: ( ) ( )h

xfhxflimy =

−+=′

Diciamo, quindi che la derivata

βα tgtglim

hlimy

0h

0h

==

==′

( ) mtgxf ==′ β

è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = f(x) nel suo

punto d’ascissa x. Di conseguenza la retta t tangente alla curva

d’equazione y = f(x) nel punto P d’ascissa c ha equazione:

( ) mtgxf ==′ β

( ) ( )( ) ( )( )cfc,P con cxcfcfy −′=−

Page 28: Limiti deriv

Significato geometrico della derivata

b) Significato cinematico della derivata: Dal punto di vista

cinematico la nozione di derivata può essere interpretata come la

velocità di un punto in un certo istante. Precisamente, la velocità v di un

punto P0 all’istante t0 , in moto rettilineo secondo la legge oraria s=s(t),

è il valore che assume la derivata s′′′′(t) per t = t , ossia:è il valore che assume la derivata s′′′′(t) per t = t0 , ossia:

Inoltre, l’accelerazione dello stesso punto P0 all’istante t0 coincide con il

valore che assume la derivata seconda della funzione (legge oraria)

( ) ( )[ ]tt 0 0

tsv t =′=

valore che assume la derivata seconda della funzione (legge oraria)

s=s(t) per t = t0, ossia:

( ) ( )[ ] ( )[ ]tvtst tt tt 000

a ′′′==

==

Page 29: Limiti deriv

Proprietà sulle derivate

Consideriamo le seguenti proprietà sulle derivate:

� Derivata di una costante:

� Derivata della funzione:

0yky =′⇒=

1yxy =′⇒=� Derivata della funzione:

� Derivata della funzione :

� Derivata della funzione:

� ……..

1yxy =′⇒=

x2yxy 2 =′⇒=1nn nxyxy −=′⇒=

Di seguito è riportato uno schema sulle principali regole di derivazione,

oltre ad uno schema sulle derivate fondamentali.

Page 30: Limiti deriv

Principali regole di derivazioni

Page 31: Limiti deriv

Proprietà sulle derivate

Page 32: Limiti deriv

Proprietà sulle derivate

Page 33: Limiti deriv

Esercizi sulle derivate

Esempio1: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

y=x3+4x+1

La derivata è: y′=3x2+4

Esempio2: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

y=xsenx

Derivata di un prodotto per cui abbiamo: y′=1senx+xcosx

Esempio3: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

y=5x3sen2xcosx

Derivata di un prodotto per cui abbiamo:

y′=5[3x2sen2xcosx +x32senxcos2x+x3sen2x(-senx)]=

=5(3x2sen2xcosx +2x3senxcos2x-x3sen3x )

Page 34: Limiti deriv

Esercizi sulle derivate

Esempio4: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

5

1y

x2 −

=

Ricordando che: ⇒

Esempio5: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

( )( )( )[ ]2xf

xf

xf

1D

′−= ( )22

5

x2y

x −−=′

1y =

La derivata è:

xcossenxy

+=

( )2xcossenx

senxxcosy

+−

−=′

Page 35: Limiti deriv

Esercizi sulle derivate

Esempio6: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

Ricordando che: ⇒

1

1y

x

x2

2

+−

=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

xxxxfxD

ffff ′⋅−⋅′=Ricordando che: ⇒

Esempio7: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

2

2121

2

1

x

xxxxf

x

xD

f

fff

f

f ′⋅−⋅′=

( ) ( )( ) ( )2222

22

1

x4

1

1x21x2y

xx

xx

+=

+

−−+=′

x2seny =La derivata è:

x2seny =

( ) ( ) x2cos2x2senx2y =′⋅′=′

Page 36: Limiti deriv

Esercizi sulle derivate

Esempio8: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:

La derivata è:

e 4x2sen

y

+=

π

La derivata è:

e

e

4x2sen

4x2sen

x2cos2

4x2sen

4x2y

+

+

+=

=

⋅′

+⋅′

+=′

π

π

π

ππ

e 4

4x2cos2

+=