Esercizi svolti con i limiti -...

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1/13/17 1 Esercizi svolti con i limiti Limiti immediati prerequisiti: Regole di calcolo con infinito, zero , funzione esponenziale e logaritmica. Intorno destro e sinistro di un numero

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1/13/17 1

Esercizi svolti con i limiti

Limiti immediati

prerequisiti: • Regole di calcolo con infinito, zero ,

funzione esponenziale e logaritmica. • Intorno destro e sinistro di un numero

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Limiti: principali regole di calcolo

0N= 0

N= ∞

+∞ + 5 = +∞−∞ + 7 = −∞−∞−∞ = −∞

+∞ +∞ = +∞

+∞( )⋅ +7( )= +∞+∞( )⋅ −5( )= −∞−∞( )2 = +∞−∞( )3 = −∞

e−∞ = 0+

e+∞ = +∞N∞→ 0

N0→∞ATTENZIONE Quando il denominatore tende ad infinito

l’intera frazione tende a ZERO

Quando il denominatore tende a zero l’intera frazione tende ad INFINITO

ln0+ = −∞ln +∞( )= +∞

Funz. ESPONENZIALE con BASE a>1 o BASE=e

Funz. LOGARITMICA con BASE a>1 o BASE=e

y=ln(x)

operazioni con infinito e zero

y=ex

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4- significa intorno sinistro di 4: valori immediatamente a sinistra

[…; 3,7 ; 3,8 ; 3,9 ] consiglio di pensare a 3,9

INTORNO sinistro N- e destro N

+ di un numero N

es1: intorno di 4 devo immaginare il numero sulla retta numerica

44+ 4-

significa intorno destro di 4: [ 4,1 ; 4,2 ; 4,3….…] consiglio di pensare a 4,1

devo immaginare il numero sulla retta numerica

-3-3-

significa intorno destro di -3: [ -2,9 ; -2,8 ; -2,7 …….] consiglio di pensare a -2,9

significa intorno sinistro di -3: [……-3,3 ; -3,2 ; -3,1 ] consiglio di pensare a -3,1

-3+ -2 -4

53

es2: intorno di -3

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CALCOLO di LimitiIl calcolo di un limite si ottiene, per funzioni

continue, semplicemente sostituendo il valore a cui tende la x nella funzione f(x):

LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il risultato finito o infinito

LIMITE CON FORMA INDETERMINATA Se ottengo*: 0 / 0 +∞-∞ ∞ / ∞ in tal caso devo“ togliere” l’indeterminazione con opportuni procedimenti. (*queste sono le principali forme Indeterminate)

ora svolgerò alcuni LIMITI IMMEDIATI —> 4

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limx→52x2 − 4x

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 5 al posto della x Mi esprimo dicendo “ passo al limite”

= 2(5)2 − 4(5) = 50 − 20 = 30limx→52x2 − 4x = “ passo

al limite”

significato del limite: man mano che la x tende a 5 …………… la funzione ( l’ordinata)

tende a 30

Esercizio svolto 1

5

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Esercizio svolto 2 limx→+∞

3− xa

calcola il seguente limite

Devo sostituire +infinito al posto della x “ passo al limite”

significato: man mano che la x tende a + infinito ……la funzione ( l’ordinata) tende a - infinito cioè diverge negativamente

limx→+∞

3− x =

= 3− (+∞) = 3−∞ = −∞

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Esercizio svolto 3 limx→−∞

5x2 − xa

calcola il seguente limite

Devo sostituire - infinito al posto della x “ passo al limite”lim

x→−∞5x2 − x =

= 5(−∞)2 − (−∞) = 5(+∞)+∞ = +∞ +∞ = +∞

significato: man mano che la x tende a -infinito ………..la funzione ( l’ordinata) tende a + infinito cioè diverge positivamente

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Esercizio svolto 4

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 0 al posto della x “ passo al limite”

Quindi: man mano che la x tende a 0 ……

la funzione ( l’ordinata) tende a “0- meno” cioè da sinistra (dai numeri negativi )

limx→0

2x2

x − 3=

limx→0

2x2

x − 3=

= 2(0)2

0 − 3= 0

+

−3= 0−

ricorda

la REGOLA : zero

diviso un numero —>

zero

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Esercizio svolto 5

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire -infinito al posto della x

“ passo al limite”

Quindi: man mano che la x tende a -infinito………

la funzione ( l’ordinata) tende a +infinito cioè diverge positivamente

limx→−∞

x2 + 72

=

limx→−∞

x2 + 72

=

= (−∞)2 + 72

= +∞ + 72

= +∞2

= +∞

ricorda

la REGOLA : infinito

diviso un numero—>

infinito

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Esercizio svolto 6limx→0

4 + x7x2

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 0 al posto della x “ passo al limite”

Quindi: man mano che la x tende a 0 ………

limx→0

4 + x7x2

=

=4 + 07(0)2

=40+

= +∞

la funzione ( l’ordinata) tende a +infinito cioè diverge positivamente

ricorda

la REGOLA : un numero

diviso zero —> infinito

Il denominatore tende a O positivo !!!

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Esercizio svolto 7

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire +infinito al posto della x “ passo al limite”

Quindi: man mano che la x tende a +infinito……

la funzione ( l’ordinata) tende a “0 più” cioè da destra (dai numeri positivi )

limx→+∞

8x − 3

=

limx→+∞

8x − 3

=

= 8+∞− 3

= 8+∞

= 0+

ricorda

la REGOLA : un numero

diviso infinito —> zero

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Esercizio svolto 8

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire +4 al posto della x

“ passo al limite”

limx→4

8 − 5x(x − 4)2

=

= 8 − 5x(x − 4)2

= 8 − 5(4)(4 − 4)2

= −70+ = −∞

limx→4

8 − 5x(x − 4)2

=

Quindi: man mano che la x tende a +4………………… la funzione ( l’ordinata)

tende a - infinito cioè diverge negativamente 12

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a

calcola il seguente limite

inizialmente sostituisco 5 al posto della x “ passo al limite”

limx→5+

x − 30x − 5

limx→5+

x − 30x − 5

=

= 5 − 305 − 5

= −150

= ∞

scrivo infinito senza segno:

ora immagino di sostituire 5+(≃5,1) nella x al denominatore 5,1-5 —>viene positivo —>scrivero’

= −150

= ∞+ - ottenendo il segno del risultato

Esercizio svolto 9 con intorni

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a

calcola il seguente limite

inizialmente sostituisco 2 al posto della x “ passo al limite”

limx→2−

7x +10x − 2scrivo infinito senza segno:

ora immagino di sostituire 2- (≃1,9) nella x al denominatore 1,9-2 —>viene negativo —>scrivero’

= +240

= ∞- ottenendo il segno del risultato

Esercizio svolto 10 con intorni

limx→2−

7x +10x − 2

=

= 7(2)+102 − 2

= 240

= ∞

-

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a

calcola il seguente limite

prima sostituisco -3 al posto della x “ passo al limite”

limx→−3+

x2 + 7x + 3

scrivo infinito senza segno

ora immagino di sostituire -3+(≃-2,9) nella x al denominatore -2,9+3—>viene negativo —>scrivero’

= +160

= ∞- -

Esercizio svolto 11con intorni

limx→−3+

x2 + 7x + 3

=

= (−3)2 + 7

−3+ 3= +160

= ∞

ottenendo il segno del risultato

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a

calcola il seguente limite

“ passo al limite”

limx→−∞

5ex

=Esercizio svolto 12 con funzione esponenziale

limx→−∞

5ex

= = +5e−∞

=

+50+ = +∞

ricordo che e≃2,7…è il numero di Nepero

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a

calcola il seguente limite

“ passo al limite”

limx→+∞

42ex + x

=Esercizio svolto 13 con funzione esponenziale

limx→+∞

42ex + x

= = 42e+∞ +∞

=

= 42(+∞)+∞

= 4+∞ +∞

= 4+∞

= 0+

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a

calcola il seguente limite

“ passo al limite” = ln(0

+ )− 3(0) =

= −∞− 0 == −∞

Esercizio svolto 14con funzione logaritmica

limx→0+

ln(x)− 3x =

limx→0+

ln(x)− 3x

*ricordo che ln(x) rappresenta

il logaritmo naturale in base

e≃2,7 (numero di Nepero)

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a

calcola il seguente limite

“ passo al limite”

Esercizio svolto 15 con funzione logaritmicalimx→+∞

45 ln(x)

=

limx→+∞

45 ln(x)

= = 45 ln(+∞)

=

= 45(+∞)

=

= 4+∞

= 0+