Unità di misura naturaliUnità di misura naturali1c

2mcmcm massamassa

momentomomento

energiaenergia GeVGeV

sec.106.6 25GeV

125

sec106.6

11

GeV

cm

cmc10

10

103sec1

sec/103

2282

2227

113

1039.01

56.2101

5110

cmGeV

GeVcmmb

GeVfermicm

kgm

cmhm

cmcmh

m

MeVcmcmm

e

ee

ee

eee

31

1212

111

2

101,9

sec103.1

1

/

1

104

1

/

12

1

Fattori di Fattori di conversioneconversione

esempioesempio

Utile per passare Utile per passare dalla “larghezza” dalla “larghezza” di una particella o di una particella o risnanza alla vita risnanza alla vita

mediamedia

Utile per Utile per esprimere le esprimere le

sezioni sezioni d’urto in cmd’urto in cm

3210 ,,; aaaaa

3210 ,,; aaaaa

3210 ,,; aaaaa

zyxtx ,,;

xtx

;

pEp

;

quadrivettorequadrivettore esempiesempi

Notazioni relativisticheNotazioni relativistiche

1

1

1

1

g

Tensore metricoTensore metrico

aga

Prodotto scalareProdotto scalare33221100 bababababa

bababa

00

GradienteGradiente

;,,; 0

zyxtx

;0 x

at

aa

o

2202

2

2

2

2

2

2

2

zyxt

ELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHEELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHE

jt

EB

0

t

BE

E

0 B

txxext iii

,

txxtxextj iii

.

,

le equazioni di Maxwell

le equazioni di Maxwell

carica e corrente di una particella puntiforme

carica e corrente di una particella puntiforme

n

iii txxext

1

,

n

iii txxtxextj

1

.

,

carica e corrente di n particelle puntiformi

carica e corrente di n particelle puntiformi

t

AVE

AB

AAAVA

;; 0

jjjJ

;; 0

quadrivettori

eletromagnetismoquadrivettori

eletromagnetismo

Lagrangiane classicheLagrangiane classiche

VTLagr Lagrangiana della meccanica classica:Lagrangiana della meccanica classica:energia cinetica – energia potenzialeenergia cinetica – energia potenziale

vettorialeescalarepotenzialiAV

caricadidensitàecorrentedidensitàJ

classicimagneticoeelettricocampiBE

,

,

,

Un esempio: Un esempio: Lagrangiana Lagrangiana dell’elettromagnetismodell’elettromagnetismo

AB

t

AVE

Intensità dei campi in Intensità dei campi in funzione dei potenzialifunzione dei potenziali

AJVBELagr

22

2

1

JJ

AAAVA

;

;, 0

QuadrivettoriQuadrivettori

Tensore antisimmetricoTensore antisimmetrico

AJFFLagr

4

1

Lagrangian density dell’elettromagnetismo,formalismo relativisticoLagrangian density dell’elettromagnetismo,formalismo relativistico

t

AVE

iii AAE 00

AAF

kijkijjiij

iiii

BAAF

EAAF

000

03,2,1 i

0

1

1

112223

132213

231123

simbolo di Levi Civita, adimensionale

kijkij

iii

BF

EFF

00

0

0

0

0

123

132

231

321

BBE

BBE

BBE

EEE

F

0

j

jF

E

z

E

y

E

x

E zyx

0

3

3

2

2

1

1

jx

E

x

E

x

E

0332211 jEEE 030

320

210

1 jFFF 00 jF

ANTISYMMETRIC TENSORANTISYMMETRIC TENSOR

The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current and charge densities take a simple form.and charge densities take a simple form.

The current conservation is contained in this formula and is a direct The current conservation is contained in this formula and is a direct consequence of the antisymmetry of Fconsequence of the antisymmetry of F and of the commutativity of and of the commutativity of andand ..

L’elettrone è rappresentato da l campo L’elettrone è rappresentato da l campo fermionicofermionico

A

AJAJV

Elettrodinamica quantistica: Elettrodinamica quantistica:

La Lagrangiana contiene la La Lagrangiana contiene la interazione fondamentale: interazione fondamentale:

Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle particelleparticelle

La energia potenziale nella Lagrangiana definisce La energia potenziale nella Lagrangiana definisce la teoria. Essa infatti specifica le forze in gioco. la teoria. Essa infatti specifica le forze in gioco.

(Interaction Lagrangian(Interaction Lagrangian))

il fotone è il quanto del campo ed è il fotone è il quanto del campo ed è rappresentato dal potenziale vettorerappresentato dal potenziale vettore

Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0)Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0)

22

2

1 mLagr

2m

02 m

è la sua Lagrangianaè la sua LagrangianaSi puo’ Si puo’ dimostrare dimostrare che la :che la :

Si può anche dimostrare che Si può anche dimostrare che soddisfa l’eq. delle ondesoddisfa l’eq. delle onde

Ogni campo che descrive Ogni campo che descrive una particella di massa m una particella di massa m deve soddisfare questa deve soddisfare questa relazionerelazione

x

ipiE

0

220

22 pE

E’ un campo libero, quindi senza energia potenziale, o termine di interazioneE’ un campo libero, quindi senza energia potenziale, o termine di interazione

1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa 1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa equazione sostituendo gli operatori nell’equazioneequazione sostituendo gli operatori nell’equazione

222 mpE

trkA

cos zionenormalizzafattoreAmk ,222

agr

al

agragr

al

Linoltrehasi

xHdE

LL

H

;

;

3

Hamiltoniana Hamiltoniana

associata con associata con

unaLagrangianaunaLagrangiana

22223

2222

2

12

1

mxdE

mH al

22

2

1 AE

2

A

energiaenergia

Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato ad un singolo Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato ad un singolo quanto di energia definita e momento quanto di energia definita e momento k

Sostituendo nell’equazione dell’energia

trkitrki ee

..

2

1Per un singolo quanto con energia

In una teoria quantistica dobbiamo parlare diIn una teoria quantistica dobbiamo parlare di creazione e distruzione creazione e distruzione di particelledi particelle::

trkitrki eaae

..

2

1

trkitrki ee

..

2

1

Stato con Stato con particelle, tutte particelle, tutte con energia con energia e momento e momento allo stesso allo stesso isrante isrante

k

n

tkn

tnik

tink

en

en

11

;

campocampo

Passando da campo ad Passando da campo ad operatoreoperatorea

a

crea i quanti crea i quanti associati al campoassociati al campo

li distruggeli distrugge

Operatori Operatori creazione creazione edistruzioneedistruzione

Da ricordare:Da ricordare:

OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO CREARE O DISTRUGGERE CREARE O DISTRUGGERE PARTICELLE. QUANDO LO FA,C’E’ PARTICELLE. QUANDO LO FA,C’E’ UN FATTORE ASSOCIATO CHE E’ UN FATTORE ASSOCIATO CHE E’ LA FUNZIONE D’ONDA della LA FUNZIONE D’ONDA della PARTICELLAPARTICELLA

scritto in scritto in questo modo questo modo facilita le cosefacilita le cose

coefficiente operatore distruzione

ATTENZIONEATTENZIONE

Questo è stato un approcio “euristico” al problema della quantizzazione di un campo scalare

Abbiamo solo visto che deve avere una certa forma e può essere interpretato in termini di creazione e distruzione di particelle con spin = 0, (scalare) con fattori che sono la funzione d’onda

In una trattazione completa avremmo dovuto procedere alla quantizzazione del campo sclare, così come si fa con il campo elettromagnetico (vettoriale), che porta all’interpretazione del fotone come il quanto del campo elettromagnetico, che coincide con A.

02 2 t

mi

2

0

Jt

Equazione Equazione di di SchroedingSchroedingerer

Densitá Densitá di di probabiliprobabilitátá

Densitá Densitá di di correntecorrente

**

2

m

iJ

Si Si ottieneottiene

ParticellParticella liberaa libera tirpiC

exp 2

Cm

pJ

Sorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizioSorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizio

02

*22**

*

m

i

tt

02 2*

t

mii

02*

*2

t

mii

*iMoltiplichiamo questa equazione perMoltiplichiamo questa equazione per

i

Moltiplichiamo la Moltiplichiamo la complessa coniugata di complessa coniugata di questa equazione per questa equazione per e sommiamo. e sommiamo.

Definiamo Definiamo adessoadesso

Invarianza per rotazione Invarianza per rotazione

22

222

21

211 2

1

2

1

mmLagr

Costruiamo un Costruiamo un campo complesso campo complesso stessa massa mstessa massa m

2/

2/

21*

21

i

i

lagrangianalagrangiana

1 2

Un sistema di due Un sistema di due campi scalari reali , campi scalari reali , stessa massa mstessa massa m

*2*

2

1mLagr

lagrangianalagrangiana

cossin 21'2

sincos 21'

1 Campi Campi equivalentiequivalenti

2/cossinsincos 21121' ii

Che implicazioni ha questo esempio?Che implicazioni ha questo esempio?

niente ha niente ha prefissato la prefissato la direzionedirezione didi 1 2

2/'''

2/'''

21*

21

i

i

Possiamo formare un Possiamo formare un campo complessocampo complesso

2/21' ii iee

*'*' ; ii ee La lagrangiana La lagrangiana non cambia: non cambia: essa è essa è proporzionale aproporzionale a*

trasfornmazione trasfornmazione di “gauge” di di “gauge” di prima specieprima specie

è una costante realeè una costante reale

Consideriamo una Consideriamo una rotazione rotazione infinitesima, per infinitesima, per semplificare i contisemplificare i conti

ii1' i ** i

COME VARIA LA LAGRANGIANA ?COME VARIA LA LAGRANGIANA ?Dimostreremo che la variazione della Lagrangiana è =0, il che implica che laDimostreremo che la variazione della Lagrangiana è =0, il che implica che la

ESISTE unaESISTE una CORRENTE che SI CONSERVACORRENTE che SI CONSERVA

*2*

2

1mLagr

•::

riscriviamo il riscriviamo il secondo terminesecondo termine

Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella parte del primo termine doveparte del primo termine dove opera sulla derivata opera sulla derivata della Lagrangianadella Lagrangiana

*

x

L

x

LL agragr

agrper ogni variazione per ogni variazione

*,

agragragr LLL

***

agragragragragr

LLLLL

***

agragragragragr

LLLLL

le variazioni rispetto le variazioni rispetto e e , , * e * e * sono tutte indipendenti.* sono tutte indipendenti.

*

*

*2

agr

agr

agr

L

L

mL

*2*

2

1mLagr

02 m 0**2

mLL agragr

**

agragragr

LLL

Considerazioni sulla variazione della lagrangiana

la variazione della lagrangiana può essre scritta la variazione della lagrangiana può essre scritta come la derivata della quantità tra parentesi graffecome la derivata della quantità tra parentesi graffe

la variazione della lagrangiana deve essere nullala variazione della lagrangiana deve essere nulla la quantità tra parentesi graffe deve essere nullala quantità tra parentesi graffe deve essere nulla questa quantità può essere interpretata come la questa quantità può essere interpretata come la

divergenza di una corrente divergenza di una corrente quindi, una corrente che si conservaquindi, una corrente che si conserva

**

agragragr

LLL

Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli della particolare trasformazione che abbiamo usatodella particolare trasformazione che abbiamo usato

La variazione della Lagrangiana può essere scritta come la La variazione della Lagrangiana può essere scritta come la derivata della quantità tra parentesi. derivata della quantità tra parentesi.

Sappiamo che la variazione deve essere 0. Sappiamo che la variazione deve essere 0.

Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0.conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0.

**

agragragr

LLL

**iS

SLagr indipendente dai parametri indipendente dai parametri

della trasformazione della trasformazione

00 SLagr

0dt

dQ

conservazione locale di caricaconservazione locale di carica

Se scambiamo Se scambiamo ** , , SS cambia segnocambia segno. . Una teoria relativistica ha particelle Una teoria relativistica ha particelle

con la stessa massa ma carica opposta: con la stessa massa ma carica opposta: le antiparticellele antiparticelle..

Se Se rappresenta rappresenta una una particella di caricaparticella di carica e e , , ** rappresenta rappresenta l’antiparticella di carica l’antiparticella di carica –e, –e, alloraallora S S è è interpretato come una interpretato come una densità di corrente di carica. di carica.

L’equazione L’equazione S S = = 00 dice che il cambiamento della densità di carica dice che il cambiamento della densità di carica SS00(x)(x) in una regione è uguale al flusso di corrente in una regione è uguale al flusso di corrente S (x)S (x) fuori dalla ragione. fuori dalla ragione.

Quindi Quindi la carica si conserva localmentela carica si conserva localmente , e può essere usata per , e può essere usata per “ etichettare gli stati”“ etichettare gli stati”

Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere necessariamente una carica necessariamente una carica elettrica.elettrica. Vedremo le particelle hanno molte Vedremo le particelle hanno molte ““carichecariche”,”, alcune delle quali possono essere messe in relazione a alcune delle quali possono essere messe in relazione a conservazione di correnteconservazione di corrente

trasformazioni di gaugetrasformazioni di gauge

Trasformazione di Trasformazione di gaugegauge di “prima di “prima specie”specie” o trasformazione di o trasformazione di gauge gauge globaleglobaleSe il parametro Se il parametro che descrive la che descrive la trasformazione dipendesse dallo trasformazione dipendesse dallo spazio x,y,z o dal tempo t , allora spazio x,y,z o dal tempo t , allora la trasformazione di gauge la trasformazione di gauge sarebbe di sarebbe di “seconda specie”“seconda specie” o o localelocaleTrasformazione di gauge è un nome Trasformazione di gauge è un nome storico. storico. Sarebbe molto più comprensible Sarebbe molto più comprensible usare usare le espressioni trasformazioni le espressioni trasformazioni locali o globali di fase ed locali o globali di fase ed invarianza di fase.invarianza di fase.

**'

'

i

i

e

e

conscons

t.t.

*

agragr

LL

xxSdtQ 03

0

dt

tdQ

Il teorema di NoetherIl teorema di Noether

L’equazione è molto generale. L’equazione è molto generale. E’ un esempio di una proprietà basilare delle teorie quantistiche di campo:E’ un esempio di una proprietà basilare delle teorie quantistiche di campo:e cioè che se un sistema è invariante per una certa trasformazione questo porta e cioè che se un sistema è invariante per una certa trasformazione questo porta necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica. necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica.

teorema di Noetherteorema di Noether

In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione continua che lasci invariata l’azione, porta necessariamente ad una corrente continua che lasci invariata l’azione, porta necessariamente ad una corrente conservata conservata SS,, con con S S = 0 . = 0 . E’ sempre possibile definire una carica che si conservaE’ sempre possibile definire una carica che si conserva

dtLagr

invarianze e conservazioneinvarianze e conservazione

invarianza per rotazione invarianza per rotazione

conservazione momento angolareconservazione momento angolare

invarianza per traslazioneconservazione momento (quantità di moto)

invarianza per traslazione temporaleconservazione energia

I mesoni KI mesoni K

KK11 e K e K2 2 sono come sono come 11 e e 2 2

KK0 0 e anti K e anti K0 0 sono come sono come e e **

La “carica” è la stranezzaLa “carica” è la stranezza

00 KK

I K neutri sono un esempio pratico del sistema descrittoI K neutri sono un esempio pratico del sistema descritto

Per i K, la conservazione della “carica”, cioè Per i K, la conservazione della “carica”, cioè della stranezza, è “rotta” da una doppia della stranezza, è “rotta” da una doppia interazione debole che trasforma Kinterazione debole che trasforma K0 0 in anti- in anti-KK00 e introduce una piccola degenerazione e introduce una piccola degenerazione di livello: la differenza di massa tra Kdi livello: la differenza di massa tra K11 e K e K22

00

2

1KffKffKL

2121

1KKKL

Anomalie e MODELLO Anomalie e MODELLO STANDARDSTANDARD

L’analisi presentata è di tipo classico. L’analisi presentata è di tipo classico. Una simile analisi potrebbe essere fatta in Una simile analisi potrebbe essere fatta in teoria quantistica, generalmente con gli stessi teoria quantistica, generalmente con gli stessi risultati. risultati. Correzioni quantistiche radiative di ordine più Correzioni quantistiche radiative di ordine più elevato possono dare risultati diversi da elevato possono dare risultati diversi da 00 nella nella S S, , anche quando il risultato classico anche quando il risultato classico darebbedarebbe 0. 0. Questi termini sono chiamati Questi termini sono chiamati anomalie.anomalie. Richiedere che le equazioni non contengano Richiedere che le equazioni non contengano anomalie è una guida importante nel anomalie è una guida importante nel determinare la struttura della teoria, in determinare la struttura della teoria, in particolare perché qualche volta le particolare perché qualche volta le anomalie anomalie scompaiono se il modello ha certe simmetriescompaiono se il modello ha certe simmetrie. . Questo è quello che succede con il MODELLO Questo è quello che succede con il MODELLO STANDARDSTANDARD

Il campo mesonico di Youkawa: predizione delIl campo mesonico di Youkawa: predizione del ““mesone”mesone” (1935)(1935)

Introduciamo sorgentesorgente e interazioneinterazione di un campo

2m

txLagr ,int

la Lagrangiana di la Lagrangiana di interazione viene interazione viene aggiunta alla aggiunta alla lagrangiana del lagrangiana del campo liberocampo libero

L’equazione delle onde diventa L’equazione delle onde diventa

Analogia con e.m.:

sorgente di sorgente di

22

2

1mLagr

che consegue che consegue dall’ eq. di Euler dall’ eq. di Euler LagrangeLagrange

agragr LL

Esempio semplice:Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo

xg

Risolveremo il problema con il Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di metodo della trasformazione di Fourier.Fourier.

2m

é indipendente é indipendente dal tempodal tempo xgm

22

Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” .(2) .(2)

kkedx xki ~

32/32

1

xxedkxki

3

2/3

~

2

1

22

332 mk

ekd

gx

xki

Trasformata di Fourier Trasformata inversa

k~

Si ricava

tenendo conto cheSostituendo Sostituendo si ottiene si ottiene:

k~

Osservazione : se avessimo una sorgente Osservazione : se avessimo una sorgente dipendente dal tempodipendente dal tempo, il denominatore sarebbe: , il denominatore sarebbe:

kkkkmmkk 222222

0 ,

e apparirebbe come un e apparirebbe come un propagatore,propagatore, se una particella è scambiata in una interazione se una particella è scambiata in una interazione

2/3

~22

2 g

kmk

22 k

22

2/3~ 2

mk

gk

ottenendo infine k~

xgm

22

Valutiamo l’integrale.Valutiamo l’integrale.

coskrxk

krmk

dkk

r osin

222

2

ikrikr

oee

mk

dkk

ir 22

2

o

ikrikr emk

dkke

mk

dkk

ir 22

2

022

2

ikre

mk

dkk

ir 22

2 r

eg mr

4

cos2

0

1

122

2

cos ikr

oedd

mk

dkk

Poniamo:

Questo integrale può essere Questo integrale può essere calcolato, ottenendocalcolato, ottenendo

Yukawa : Yukawa : è un campo è un campo mesonico che ha il nucleone mesonico che ha il nucleone

come sorgente.come sorgente.

Gli effetti del campo sono Gli effetti del campo sono trasmessi da particelle trasmessi da particelle

(“mesoni”).(“mesoni”).

Se le particelle hanno massa Se le particelle hanno massa mm, , il campo ha un raggio d’azione il campo ha un raggio d’azione

mr /1come si vede da questa equazionecome si vede da questa equazione

Youkawa interpretava Youkawa interpretava come il campo mesonico del nucleone. Il nucleone aveva come il campo mesonico del nucleone. Il nucleone aveva una carica forte; il mesone una carica forte; il mesone , massa , massa mm ,trasmetteva il campo. Il raggio d’azione ,trasmetteva il campo. Il raggio d’azione della forza forte è della forza forte è r~1/mr~1/m

Il campo mesonico di YoukawaIl campo mesonico di Youkawa

22

332 mk

ekd

gx

xki

r

eg mr

4

L’interazione di Youkawa

xxxdH

23

'

''4

1 '

2133

12 xx

exxxdxdH

xxm

Un nucleone interagisce con un altro nucleone “Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo”sentendo” il suo campo mesonico il suo campo mesonico

Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto daHamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da x

2

'

''4

1 '

13

xx

exxdx

xxm

Utilizziamo l’espressioneUtilizziamo l’espressione ''1 xgx

L’haniltoniana di interazioneL’haniltoniana di interazione

possiamo scrivere iI potenzialepossiamo scrivere iI potenziale

Notare il ruolo della massa. Se la massa =0, questo diventa il potenziale elettrostatico

Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .

Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momentielementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti.

22

332 mk

ekd

gx

xki

In generale la quantità che rappresenta la particella In generale la quantità che rappresenta la particella scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il propagatore: propagatore:

22

1

mk

r

erV

mr

4

1)(

CONCLUDENDOCONCLUDENDO

Per nuclear forces con range Per nuclear forces con range ~10~10-13-13cm, l’ ipotesi di cm, l’ ipotesi di Youkawa predice un quanto spinless con una Youkawa predice un quanto spinless con una massa ~ 100MeVmassa ~ 100MeV

ee

0,

GeV

cm

cmGeV

r

cm

2,0

10

103.sec.106,613

1025

Cosmic rays and Cosmic rays and nuclear emulsionnuclear emulsion

Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide d’argento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini d’argento anneriti.

mass GeV mean-life smass GeV mean-life s00 0,135 8,4.10 0,135 8,4.10-17-17 - 0,140 2,6.10- 0,140 2,6.10-8-8

0,105 2,2.100,105 2,2.10-6-6

Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a due corpi. Il due corpi. Il ha la stessa energia ha la stessa energia cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso ““rangerange” (600 ” (600 m) nella emulsione.m) nella emulsione.

Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno spettro di energia continuo.spettro di energia continuo.

Due parole sui raggi cosmiciDue parole sui raggi cosmici

I pioni sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di I pioni sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di protoni cosmici. La vita media del pione è abbastanza breve protoni cosmici. La vita media del pione è abbastanza breve da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). coppie di elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il mu vive 2200ns puó arrivare sulla superficie della terra. (la Il mu vive 2200ns puó arrivare sulla superficie della terra. (la componente” hard”).componente” hard”).

L’ esperimento di Pancini Piccioni ConversiL’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi

L’interazione di Yukawa l’eqauazione di KleinGordon e il propagatore sono trattati anche dal Perkins, paragrafi 2.2 e 2.3

Sommario delle Lagrangiane

AJFF

4

1

Vector field, mass=0Vector field, mass=0

(elettromagnetismo)(elettromagnetismo)

22

2

1 m

02 m

Real Scalar or Pseudoscalar fieldReal Scalar or Pseudoscalar field

Campo reale di massa m e spin=0Campo reale di massa m e spin=0

Complex scalar or Complex scalar or pseudoscalar field of mass mpseudoscalar field of mass m 2

22

222

12

11 2

1

2

1

mm

2/

2/

21*

21

i

i

*2*

2

1m

0*

0*2

2

m

m

fotone fotone

pione pione

anti-Kanti-K00

KK00

KK11

KK22

Le regole di FeynmanLe regole di Feynman

AQ

AJLagr

int

Abbiamo inserito una corrente: =Abbiamo inserito una corrente: =

è la carica elettricaè la carica elettrica

Il fattore è tale per cui il termine è un Il fattore è tale per cui il termine è un quadrivettore.quadrivettore.

J Q

Q

k,

pe ,

', pe

Un elettrone di quadrimomento p emette un Un elettrone di quadrimomento p emette un fotone e rincula con un quadrimomento pfotone e rincula con un quadrimomento p

VL

eA

epu

epu

eQ

agr

xik

xip

xip

int

.

.

'.'

Interazione elettromagneticaInterazione elettromagnetica

A

intagrL

REGOLE DI FEYNMANREGOLE DI FEYNMAN

Scrivere il fattore appropriato per ogni veritice

Mettere il propagatore di ogni linea interna di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2)

Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne: u fermione iniziale, anti-u fermione finale, 1 per bosoni scalare ed per i bosoni vettoriali