Vice direttore/Deputy Editor

Amedeo Petrilli

Spazio & SocietàAnno XX - n. 82,1998Aprile-Giugno 1Aprii-luneTrimestrale 1QuarterlyEdito da 1published byMaggioli EditoreCasella Postale 29047900 RiminiTe!. 0541/626777Divisione PeriodiciTe!. 0541/628666Fax 0541/624457Registrazione presso il Tribunaledi Milano - n. 208 del 10 maggio 1978Direttore responsabileGiancarlo De CarloDirezione e RedazioneVia Pier Capponi, 13 - 20145 MilanoE-mail: spaziosocieta@tin.itTe!. 02/435582

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RIVISTA INTERNAZIONALE DI ARCHITETTURA•S~I,socIetàspace &society

Direttore/Editor

Giancarlo De Carlo

Coordinamento di redazione/Editorial Coordination

Giuliana Baracco

Consulenti/Consultants

Julian Beinart, SABalkrishna B. Doshi, IndiaBengt Edrnan, SwedenSverre Fehn, orwayHerman Hertzberger, HollandLucien Kroll, BelgiumDonlyn Lyndon, USAFumihiko Maki, JapanFrei Otto, GermanyPeter Prangnell, CanadaYorgos Simeoforidis, GreecePeter Smithson, Great BritainLuo Xiaowei, China

Progetto grafico/Graphic Design

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IIIEMAGGIOLIEDITORE

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Redazione/Editorial Board

Paolo FerrarioMauro Manfrin

Corrispondenti stranieri!Foreign Correspondents

Peter Blundell Jones, Great BritainGeorges Descombes, SwitzerlandAntonio Di Mambro, USAPer Olaf Fjeld, orway

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Direzione artistica/ Art Director

Daniele Brandolino

Traduzioni/Translations

Giovanna GlauberRichard SadleirStephen Thorne

Editing

Giorgio Bigatti

Questo numero è pubblicato grazie anche al contributo della San Marco Laterizi

Aprile-Giugno!April-June 1998

In copertinaGabinete Ecologico,Curitiba, progetto <liDomingos Bongestabs

4 G.D.C.

10 Le Corbusier

22 Guido Zordan

40 HugoSegawa

52 RubenPesci

Note di viaggio

Il teatro spontaneo

Dentro uno spazio storico.Piazza Ferretto, MestreGabinete ecologico, Curitiba

Il caso del colera al confineArgentina-Bolivia

Traveller's Notes

Spontaneous Theatre

Piazza Ferretto, Mestre

Alternative Bureaucracy in Curitib

Preventing Cholera:a Holistic Approach

DOCUMENTI/DOCUMENTS

62 Lucia Paola Lucca

Cranbrook Community:Point or Arrivai70 Juhani Pallasmaa

in collaborazione con Dan Hoffman

Emergency Architecture78 Benedetta Masi, Giovannq, Latis

Dance and Architecture88 Monica Mazzolani, Cristina Negro

Timaeus or Proportion96 Mauro Moriconi

Il Parco delle Nazioni San Luis

L'arrivo a Cranbrook

Le architetture di emergenza

La danza e l'architettura

Timeo o la proporzione

Parque de las Naciones, San Luis

RECENSIONI/REVIEWS

Francesco de Agostini, Heres Jedece

DOCUMENTI/DOCUMENTS _

Mauro Moriconi

Timeo O la•proporzione

Timaeus or Proportion

Dialogooccasionale traTimeo di Locrie un architetto

d'oggiArchitetto - Ciao Timeo, ho dato unascorsa al libretto che mi hai prestatoma non capisco bene, con i mille pro-blemi che ho, che fare di questi gingil-li matematici.

Timeo - Questi gingilli, come li chia-mi tu, hanno una qualche utilità perl'architettura esclusivamente se si è per-suasi che l'unità dell'opera sia ~n benee che questo sia raggiungibile attra-verso il controllo razionale delle misu-re. Oggi questa idea, che fmo all'illu-minismo nessuno metteva in discus-sione, è condivisa da pochi e non com-presa da molti. Alcuni di questi riten-gono poi che le misure si possano de-terminare con un altro gioco, molto si-mile allo Shanghai. Ma spero converrai

Dialogue betweenTimaeus of Locriand an architect

oftodayArchitect - Hello, Timaeus. I had a look at

the book you lent me but I don't quite see, withthe thousands of problems l've got, what thesemathematical trifles have to do with me.

Timaeus - These trifles, as you cali them,have some utility for architecture only if one isconvinced that the unity of the work is an assetand can be attained through rational control ofmeasurements. Today this idea, unquestionedtill the Enlightenment, is shared by few andmisunderstood by many. Some of the latterthink that the measurements can be determinedby another game, rather like fiddlesticks. But Ihope you'lI agree that this other game is much

che questo altro gioco è ben più frivo-lo di quello che ti propongo.

Architetto - on c'è dubbio, ma nonvedo perché debbo giocare. lo control-lo le misure attraverso la luce dellescienze sperimentali, utilizzando le mol-te ingegnerie che essa sostanzia. lo so-no razionale mentre ho il dubbio che die-tro le tue misure ci sia una mistica delnumero. Per difendere quella tua ideanon vorrai mica ripropormi la solfa delparadiso perduto del passato?

Timeo - Non voglio. Sono convintoche le scienze moderne abbiano mi-gliorato la condizione dell'uomo e che,come dice un filosofo del XXsecolo, bi-sogna essere "privi di illusioni nei con-fronti dell'epoca e ciò nonostante pro-nunciarsi senza riserve per essa". Il fat-to è che quando si ha uno strumento nuo-vo si tende a buttare via quello vecchio,anche quando questo funziona meglioper certe cose. Le scienze contempora-nee ci permettono certamente di gesti-re un complesso di questioni che nel pas-sato non erano nemmeno immaginabi-

more frivolous than the one l'm suggesting.

Architect - No doubt, but I don't see why Iought to play. I control measurements in thelight of the experimental sciences, using themany engineering methods it embodies. I amrational, while I have misgivings that behindyour measurements tbere's some numbermysticism. You're not going to defend your ideaby bringing up the old story about some pastparadise lost?

Timaeus - Not at ali. l'm convinced thatmodern sciences have improved the humancondition and, as a 20th century philosophersays, we need to be "devoid of illusions aboutour age and ali the same declare ourse/vesunreservedly in favour of it", The fact is thatwhen you have a new instrument you tend tothrow away the old, even when it works betterfor some purposes. Contemporary sciencesdefinite/y enab/e us to cope with a comp/ex set

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Timeo - Il Modular come sistemaper la standardizzazione è certamentefallito. Ma ciò non significa che esso siastato un disastro per l'architettura. Es-so è stato infatti l'unico riferimento perquegli architetti, e ce ne sono molti bra-vi, che hanno voluto continuare a pra-ticare la proporzione. Credo invece chele critiche alla praticità della propor-zione derivino più da preconcetti che daaltro. In primo luogo l'approssimazio-ne di una misura è sempre un compro-messo. Dire 2.00 metri è tanto lontanodalla realtà come dire 2.26. Se hai ese-guito un rilievo di un edificio mi capi-sci. In secondo luogo, cornplementar-mente, proprio oggi che si possono ge-stire, attraverso il computer, misurecomplesse utilizzando un'approssima-zione automatica non si dovrebbe sol-levare una tale questione. Infine il con-cetto di proporzione non esclude l'usodi misure piene (vedi le cosiddette pro-porzioni musicali).

li. Ma esse non dicono nulla circa quel-l'unità dell'edificio di cui parlavo prima.Le misure che provengono dalle diver-se discipline scientifiche per l'architet-to sono un coacervo contraddittorio e avolte si precisano solo grazie a con-venzioni arbitrarie. Le misure che tipropongo sono invece basate sul ragio-namento e oggi sono in antitesi a ogniatteggiamento mistico, se mai questofosse verifica bile nel passato.

Architetto - Ammesso e non conces-so che ciò sia vero, non mi pare chequell'unità di cui parli sia mai stata ot-tenuta attraverso le misure.

Timeo - on dico che quella fossel'unica strada, ma certamente era unadelle principali. Se no perché chiunqueha scritto di architettura, da Vitruvio adAlberti, si è sforzato di affermarlo? Nelpassato la contingenza di prevedere mi-sure per abitare, compito primario del-l'architetto, era sublimata nella neces-sità esistenziale di disporre con ordine.Mi spiego meglio - costruire una stan-za che abbia l'area minima di 14 mq

of questions that were quite unimaginable inthe past. But they don't tell us anything aboutthat unity of the building I was speaking aboutearlier. The measurements that come from thevarious scientific disciplines are a contradictoryjumble for the architect and sometimes ordercan be imposed only through some arbitraryconventions. The measurements l'm proposingare based instead on reasoning and today theyare in antithesis to any kind of mysticism,supposing that it was ever true in the past.

Architect - Granting this for the sake ofargument, I don't believe the kind of unity youmentioned has ever been achieved throughmeasurements.

Timaeus - I don': say it was the only way,but certainly one of the main ones. Otherwisewhy should everyone who wrote aboutarchitecture from Vitruvius to Alberti strive toassert it? In the past, the contingent need to

per rispettare lo standard del cubo d'a-ria è senza dubbio un buon risultato.L'architettura si pone però un compitopiù alto, in qualche modo spirituale. Or-bene, tra tutte le cose che può fare, lacosa più economica è precisare quellamisura in modo che nessun'altra, inquella circostanza, possa sostituirla. Ciòviene ottenuto dando una forma geo-metrica a quella mera necessità, armo-nizzandola con le altre forme che co-stituiscono l'edificio. Così pensava l'ar-chitetto antico e non c'è motivo perchécosì non faccia quello contemporaneo.Ti è chiara l'idea?

Architetto - Si, mi è chiara. Ma se ciòviene raggiunto attraverso delle peri-pezie intellettuali allora credo che lacontemporaneità abbia fatto bene a li-berarsi di questo compito ingombran-te. A me pare che ogni tentativo di at-tualizzare quella strada perduta sia fal-lito miseramente. Guarda il Modular diLe Corbusier. Ma ti immagini andare daun operaio e chiedere di usare, al po-sto di un metro, una radice quadrata?

pro vide measurements for dwellings, thearchitect's primary task, was sublimated into theessential need to arrange with order. I shall tryto be clearer. Building a room to the minimumsize of 14 sq m to respect the standard cubicmetres of air is no doubt an excellent result. Butarchitecture sets itself a higher task, in somesense a spiritual one. Now, of ali the things itcan do, the most economic is to state thatmeasurement in such a form that none other, inthat circumstance, can replace it. This can bedone by giving a geometrical form to thatsimple necessity, harmonising it with the otherforms that constitute the building. This was theway the architect in ancient times went about it,and there's no reason why a modern shouldn'tdo the same. Is that clear?

Arch itect - Ouite clear. But if it is achievedin such a roundabout intellectual way,contemporary architects do rightly to free

Architetto - Senti, per dare unitànon sarebbe più facile disegnare un

themselves from such a tedious task.I feel that any attempt to update this

approach is sure to fail miserably. Look at LeCorbusier's Modular. Imagine going up' to aworkman and asking him to use a square rootinstead of a ruler!

Timaeus - The Modular as a system ofstandardisation has certainly failed. But thatdoes not mean it was a disaster far architecture.It was actually the only scale of reference farthose architects - including some very fine ones- who wanted to continue to work withproportions. Instead I believe that criticisms ofthe practical use of proportion are based onpreconceptions. Firstly the approximation to ameasurement is always a compromise. Saying2.00 metres is just as far from reality as saying2.26. If you have ever surveyed a building you'lIunderstand me. Secondly and complementarily,today we can use computers to carry outcomplex measurements using an automatic

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DOCUMENTI/DOCUMENTS _

reticolo, magari quadrato, e su questoposizionare i pilastri e i muri? Con ilreticolo vedo la migliore realizzazionedella ripetizione, della compiutezza evariazione. Vedo un metodo facile echiaro.

Timeo - Il reticolo carte siano fun-ziona benissimo quando devo ripetereun oggetto n volte secondo assi ortogo-nali. Per esempio una piastrella 10xiO.Ma la realtà è fatta di differenze. È ve-ro che il reticolo rapporta tutte le mi-sure a un minimo comun denominato-re, ma lascia del tutto indeterminata lascelta delle misure stesse. Ciò che essofornisce è solo un sistema di approssi-mazione che lascia tanto più indeter-minate le misure quanto più il moduloè piccolo, e risulta tanto più impratica-bile quanto più il modulo è ampio. Inaltre parole: se definisco una stanza con19x29 ottengo un risultato che è moltovicino al caos dello Shanghai. Certa-mente è diverso se dico 20x30 (cioè dueterzi), ma allora intervengono delle ra-gioni che sono al di là del reticolo: le ra-gioni della proporzione.

approximation that should not raise suchquestions. Final/y, the concept of proportiondoes not exclude the use of fuI/ measurements(see the so-cal/ed musical proportions).

Architect - Look, to confer unity wouldn't itbe easier to draw a grid, perhaps a square, andpIace the wal/s and pillars on this? On a grid Ican see how to make the most of repetition,composition and variation. I see a clear andsimple method.

Timaeus - The Cartesian grid works wel/when I have to repeat an object n times onorthogonal exes, like tiles measuring 70 x 70.But reality is made up of differences. It's truethat the grid relates the measures to a lowestcommon denominator but it leaves the choiceof the measures themselves whol/y indefinite.What it supplies is just a system ofapproximation which leaves the measurementsali the more indefinite the smaller the grid, andali the more impracticable the bigger the grido In

Architetto - Ma allora tutti gli archi-tetti contemporanei che hanno usato ilmodulo quadrato avrebbero sbagliato?Che ne devo fare degli edifici costruitida Mies van der Rohe o Wright? Debbobuttarli via? Preferisco buttare via il tuopassato.

Timeo - Lungi da me l'idea di getta-re via gli autori che hai citato. Qui è indiscussione il metodo non il singolo ri-sultato. Per spiegare l'approccio diWrighto di Mies avrei bisogno di un po' di tem-po, ne parliamo un'altra volta. Ciò cheti deve essere chiaro è che non si puòscambiare lo strumento per il fine. Nel-le loro mani il reticolo è stato uno stru-mento fruttuoso perché il loro fine erala proporzione. Oggi si rischia .di cre-dere che il fine è l'unificazione del mo-dulo e ciò è un errore fatale.

Architetto - Ma scusa, che cosa in-tendi esattamente quando dici propor-zione?

Timeo - Il termine proporzione pre-senta un ampio margine di ambiguitànella lingua contemporanea. L'etìmo-

other words, if I define a room as 19 x 29 Iobtain a result that is very c/ose to the chaos offiddlesticks. Natural/y it's different if I say 20 x30 (i.e. two-thirds), but that brings inconsiderations that go beyond a grid: thereasons of proportion.

Architect - So then contemporary architectswho have used the square are supposed to bewrong? What shall we do with the buildings byMies van der Rohe or Wright? 5crap them? Iprefer to scrap this past of yours.

Timaeus - Far be it from me to scrap thearchitects just mentioned. Here we'rediscussing the method, not the individuaI result.l'd need some time to explain Wright or Mies'approach, we can go into that another time.What I want you to see clearly is that you csn'tmistake the instrument for the end. In theirhands, the grid was a fruitful instrumentbecause their end was proportion. Theetymology - pro portio - signifies something

logia - pro portio - indica qualcosa ingrado di creare un'unità tra singole por-zioni di un tutto. Il termine è affine siaal concetto greco di analogia che a quel-lo di summetria. Euclide quando defi-nisce quello che in matematica inten-diamo oggi come proporzione dice ana-logia e si riferisce a una eguaglianza didue rapporti:

a:b=c:d

Tale problema ha una grande rile-vanza nello sviluppo della matematicama, per l'architettura e le arti figurati-ve, svia l'attenzione dal vero problemache è creare una summetria. La sum-metria risponde alla seguente questio-ne essenziale: date due grandezze dif-ferenti si può trovarne una terza cheinstauri delle relazioni geometriche disimilitudine. A partire da alcune solu-zioni di questo problema si possono ela-borare delle successioni di grandezzecollegate tra loro. In altre parole la pro-porzione si configura come un metodo,intellegibile, che si pone i seguenti ob-biettivi convergenti:

capable of creating a unity between theseparate portions of a single whole. The termhas affinities with both the Greek concept ofanalogia and that of summetria. When Eucliddefines what we mean in mathematics byproportion today he uses analogia, and refers toequality between two ratios: a : b = c : d

This problem is of great improtance in thedevelopment of mathematics bui, inarchitecture and the figurative arts it distractsattention from the true problem, which is tocreate a summetria. The summetria responds tothe fol/owing essential question: given twodifferent magnitudes you can find a third whichbelongs to the geometrica I relationships ofsimilarity. 5tarting from certa in solutions of thisproblem you can work out successions 01magnitude linked to each other.

In other words proportion presents itself asan intelligible method that adopts the followingconvergent objectives:- the repetition of a limited number 01

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pirici, né una ricetta da applicare al pro-getto. Essi giungono a due sintesi. Pri-mo: le infinite rispondenze che possocreare tra le misure (proporzioni o si-militudini tra rettangoli) possono esse-re comprese partendo da tre sole no-zioni fondamentali. Perché non sonotrentanove? Questo non lo so, ma la ma-tematica si basa sempre su un numerolimitato di principi. Secondo: le propor-zioni sono raggruppabili in soli quattrogruppi. Quattro gruppi coprono il cam-po delle proporzioni più studiate nel pas-sato. Il libretto non dà alcuna ricetta,non dice nemmeno se c'è la proporzio-ne migliore (e credo che questo sia unfalso problema definitivamente supera-to). Il libretto fornisce una legge, saraitu a trovare il sistema più appropriatoal tuo particolarissimo modo di affron-tare i problemi. E credo che questo me-todo dia spazio alla fantasia, come in ungioco intelligente, senza costringere a in-ventare forme astruse. Ciò ti convince?

- la ripetizione di un numero limitatodi misure, quindi la somiglianza delleforme che ne derivano;- la conseguente compiutezza dell'in-sieme e, reciprocamente, l'assenza dimisure residue;-la possibilità, entro i suddetti limiti, divariazioni infinite.

Tutto ciò è la proporzione di cui siparla nel libretto che ti ho dato. Pro-porzione possiede oggi significati se-condi che ai miei tempi non esisteva-no. Se si dice un tavolo ben proporzio-nato, ci si riferisce alle dimensioni idea-li dell'oggetto adeguate all'uso che se nevuol fare. Inoltre proporzione indica og-gi una qualità di un oggetto, indecifra-bile e appartenente al mondo dell'irra-zionale. In qualche modo invece di in-dicare una causa del godimento esteti-co lo si usa per descriverne l'effetto. Illibretto non parla affatto di questi altrisignificati che ci porterebbero lontano.

Architetto - Ma come posso proget-tare con quegli schemi complicati ... noncredo proprio che nemmeno gli antichi

measurements, hence the resemblance of theforms that derive from them;- the consequent completeness of the whole,and reciprocal/y, the absence of residua Imeasurements;- the possibility of infinite variations within theabove limits.

Ali this is proportion as IdeaI with it in thebook I gave you. Today Proportion possesesmeanings that did not exist in my time. If yousay "a well-proportioned table" you refer to theideaI dimensions of the object adapted to theuse to be made of it. And proportion todaysignifies a quality of an object, indecipherableand belonging to the sphere of the irrational. Ina certain way, instead of indicating a cause ofaesthetic pleasure, it is used to describe theeffect. The book does not go into these othermeanings which would take us out of our way.

Architect - But how can I design thesecomplicated schemes? I don't believe that even

utilizzassero una simile attrezzatura. Ese anche così fosse, chi mai se ne ac-corgerebbe? Quelle sono misure chenon si vedono.

Timeo - Quanto alla complicazionedegli schemi penso che ti sottovaluti. Di-ci di utilizzare le ingegnerie, che appli-cano la matematica differenziale e tispaventi di fronte a qualche proiezionepiana! Il fatto è che né io né il librettoti abbiamo convinto delle ragioni dellaproporzione. Se no dovrebbe essertichiaro che la proporzione non si vedein singole misure ma nell'insieme! Ledimensioni di una porta sono quelle cheservono, l'ingombro di un uomo un po'ingrandito. Il problema della propor-zione è far si che le misure di una por-ta siano in relazione con quelle della sca-la, della stanza, della finestra ecc. Quel-lo che può provocare il godimento este-tico non è il particolare rettangolo del-la porta ma l'armonia di tutta la casa,dal dettaglio all'insieme.

Gli schemi del libretto non sono néun'analisi storica dei metodi utilizzatidagli antichi, che erano invero più em-

the ancients used equipment of this kind. And ifI did, who would notice? Those aremeasurements that can't be seen.

Tlmaeus - As for the complication of theschemes I think you underrate yourself. You sayyou use engineering systems that applydifferential mathematics and you feelinadequate to deal with pIane projections!

The fact is that neither I nor the book haveconvinced you of the reasons for proportion.Otherwise it should be clear to you that what isneeded is the volume of a man on a slight/ylarger scale. The problem of proportion is toenable the measurements to be related to thatof a staircase, a room, a window, etc. Whatgives aesthetic pleasure is not the particularrectangle of the door but the entire house, fromthe detail to the whole. The schemes in thebook are neither a historical analysis of themethods used by the ancients, who wereactually empirical, nor a recipe to be applied tothe designo They attain two syntheses. First: the

Architetto - Ma ... non so. Devo an-dare ma ne riparliamo ...

infinite correspondences that can be createdbetween measurements (proportions orsimilarities between rectangles! can beunderstood starting from just threefundamental concepts. Why not thirty-nine? thisI don't know, but mathematics is always basedon a limited number of principles. Second:proportions can be arranged into just fourgroups. Four groups cover the field ofproportions most studied in the past.

The book does not give a recipe, it doesn'teven say if there's a best proportion (and this, Ithink, is a false problem, definitively superseded!.The book provides a rules: it's up to you to findthe most appropria te system for your particularway of tackling problems. And I believe that thismethod provides scope for the imagination, as inan intelligent game, without forcing anyone toinvent abstruse forms. Does that convince you?

Archtiect - Well ... I don 't know. I must be off- but we'lI talk about it again. D

~OCUMENTI/DOCUMENTS _

I TREMEDI DEL TlMEO

Platone nel VII dialogo del Timeo defi-nisce con chiarezza il significato di me-dio.Platone enuncia un postulato: "non èpossibile che due cose si componganobene senza una terza: bisogna che inmezzo vi sia un legame che le congiungaentrambe".Senza questa terza cosa le altre due sa-rebbero due mondi inconciliabili. Pla-tone prosegue definendo il primo, quel-lo che egli reputa più importante, tra imedi proporzionali:"E il più bello dei legami è quello chefaccia, per quanto è possibile, un cosasola di sé e delle cose legate: ora lasymmetria compie questo in modo bel-lissimo. Perché quando di tre numerio masse o potenze quali si vogliano, ilmedio sta all'ultimo come il primo staal medio, e d'altra parte ancora il me-dio sta al primo, come l'ultimo sta al me-dio [in altre parole Platone definisceciò che oggi viene chiamato il mediogeometrico. cioè misura b per cui si ve-rifica: a:b = b:c] allora il medio dive-nendo primo e ultimo, e l'ultimo e il pri-mo divenendo a loro volta medi ambe-due, sì di necessità accadrà che tuttisiano i medesimi, e divenuti medesimifra loro, saranno tutti una cosa sola."Che cosa intende dire?Se si costruisce un rettangolo con lati ae b, ABB'A' (fig. 1), tracciando una dia-gonale A'B, e tracciando da B' la per-pendicolare ad A'B in modo da incon-trare AB in C, si hanno gli elementi percostruire il rettangolo CBB'C'.

A· C' B·

cA B

fig. 1

I due rettangoli così ottenuti (ABB'A' eCBB'C') sono simili. La lunghezza CBha il valore c della eguaglianza primaesposta. La lunghezza b è quindi mediogeometrico tra a e c. Essa è "primo e ul-timo": il lato piccolo del primo rettan-golo e il lato grande del secondo.

fig. 2

La sequenza a ;b ; c , se a : b = b : c = x,costituisce un frammento di una pro-gressione geometrica.Una tale successione può proseguirenell'infinitamente grande e nell'ìnfìnì-tamente piccolo (fig. 2). Allora a e c di-vengono "a loro volta medi ambedue".Tutti i termini della successione sono il"medesimo", poiché, anche se diffe-renti, sono legati da un'unica relazio-ne.Più avanti, si trova la definizione di al-tri due medi.Il primo è defmito come una misura che"avanzi e fosse avanzato dallo stessonumero", vale a dire dati a ; c (a > c):

a+cb= --

2Questo è il medio aritmetico (comune-mente indicato come la media di due nu-meri).Il secondo una misura che "avanzi unestremo e fosse avanzato dall'altro del-la stessa frazione", cioè:

2a cb=--

a+c

Questo è il medio armonico che, conuna certa approssimazione concettua-le, risulta da una unione dei due pre-cedenti in quanto coniuga rapporti edifferenze.

PERCHÉ I TREMEDI

Perché Platone definisce solo tre medie non altro?Riprendiamo il problema dall'inizio. Siconsiderino due lunghezze a e c. Se ledue misure fossero uguali, il problemadella mediazione non si porre bbe nem-meno. Il rettangolo ottenuto da a e c sa-rebbe un quadrato: la quintessenza del-l'unità.

B B'

DA A'

fig. :3

Se invece le due misure sono differen-ti, ad es. a > c , si consideri una terzamisura AX=b (a> b > c). Sipotranno va-lutare 6 misure: i tre di partenza a ; b ;c, e le tre differenze positive a-c; b-c ;a-b. (fig. 4) I rapporti (rettangoli) chesi possono formare con quei 6 valori so-no 36 (fig. 5).

B C B' B C B'

o DJ 'iJA c A' A C A'

fig. 4

Le equivalenze di rapporti (similitudinitra rettangoli) che si possono ipotizzaretra questi sono molte. Orbene, risultache i tre medi del Timeo sono quei va-lori di b per cui si ottiene il maggiornumero di equivalenze tra i rapporti diquelle 6 misure (similitudini tra i ret-tangoli di fig. 5).

b-c a-b

~[]ITJDDDD1=======9i=====lDDDD~:==DDDDDDDDF==~i=====lOc:=Jc:=::JDL---lL-_----'

fig. 5

00

I tre medi di Platone, sebbene non sia-no le uniche soluzioni al problema, so-no le più vantaggiose. Questo è il moti-vo per cui la ouuuetptn greca prendevain considerazione quelle tre funzioni enon altre: era la migliore soluzione diun problema.

LE PROPORZIONI

Fino a questo punto si è consideratala relazione tra due misure qualsiasi.Si possono scegliere misure che au-mentino le possibilità di corrispon-denze?Sì. Consideriamo, per cominciare, unaprogressione geometrica (esprimibilecome] (n) = le z") ovvero, in altre pa-role, un insieme di rettangoli simili co-me quelli della fig. 2. Questa è già unabuona scelta. Immaginiamo di impor-re a tre termini di una progressionegeometrica generica ulteriori condi-zioni tali da produrre altre similitudi-ni. Immaginiamo di far ciò utilizzandole funzioni dei tre medi platonici pri-ma descritti. Ebbene, le soluzioni a ta-li ipotesi (quelle che non implicanocalcoli troppo elaborati o numeri com-plessi) appartengono tutte a soli quat-tro gruppi di proporzioni, quattro grup-pi che già conoscevamo dai testi anti-chi e dalle analisi fatte dagli storici del-l'arte.Di seguito si passeranno rapidamentein rassegna questi quattro gruppi, conl'intento di offrire un rapido strumentodi consultazione.Avvertenze:- ogni gruppo sarà introdotto spiegan-do la costruzione e le proprietà note diun gruppo di proporzioni;- queste proprietà non verranno ricon-dotte alle nozioni dei tre medi, sebbe-ne ciò sia possibile;-le equazioni che realizzano le simili-tudini tra i rettangoli di fig. 5 verrannospiegate attraverso uno schema geo-metrico (si adotteranno le seguenti no-tazioni: mat (a ,b) - media aritmetica,mam(a,b) - media armonica).

a. Sezione aurea

• Costruire un rettangolo con modulo<I>è semplice. Si può partire dal latogrande a (fig.6-I) oppure da quello pic-colo b (fig. 6-II).

I

fig. 8

• Si verifica che il mam tra due termi-ni di una progressione aurea è ugua-le al doppio del termine immediata-mente inferiore, mentre il mat deglistessi due termini è uguale alla metàdel termine immediatamente supe-riore (fig. 9).

~

~

1

~

M>1 <1>'

<I> 2 <1>'

1-;- T

iO

fig. 9

• Quindi se si confronta una successio-<1>

ne <1>con una successione - (fig. 10)2

si comprende che ogni termine dellaseconda è medio aritmetico di due del-la prima, mentre ogni termine della pri-ma è medio armonico di due della se-conda.

'\o 1 <I>

I~'2

b

il

'""'1'-'

m"'t Ir-Ir\

k1Y~~fig. 10

Questa proprietà rende possibile laconnessione tra le due scale (rouge ebleue) del Modulor di Le Corbusier(fig. 10).

fig. 6

• Data una lunghezza generica a la suasezione aurea è il medio geometrico tral'intera lunghezza e la parte restante.Cioè: a : x = x: (a - x)=<1>

• In altre parole, risulta la seguente re-lazione:

1-+ 1=<1><1>

Quindi in una progressione <1>ogni ter-mine è costituito dalla somma dei dueprecedenti. Una tal successione è chia-mata progressione di Fibonacci. Natu-ralmente esistono infinite successionidel genere, ad es. 1,2,3,5,8, .... Ma lasuccessione <1>è l'unica progressione diFibonacci che è anche progressionegeometrica.

fig. 7

Ciò, in pratica, significa che un rettan-golo con modulo <1>può essere scompostoin un quadrato e un altro rettangolo <1>e così all'infinito (fig. 7).• In fig. 8, sono illustrati due modi percostruire un rettangolo -v5 . Dal con-fronto della fig. 6-I1 con la fig. 8-I1 ri-sulta evidente che la proporzione conmodulo -v5,è strettamente legata allaproporzione <1>.Esse, quindi, possonoessere considerate come facenti partedi un unico insieme.

CUMENTI/DOCUMENTS _

• Ancora: -v5- mal (1, -v5)= mam(1/-V51) , fig. 11-1. Si può verificare che ilmalseziona il rettangolo -is in manie-ra da formare due rettangoli aurei (fig.11-II).

~l

fig. 11

b. Diagonale del quadrato

• Il termine con cui si indica il numeroirrazionale -V2ricorda chiaramente il si-gnificato geometrico che esso dovevaavere in origine: "radice" di due è lalunghezza che genera un'area di valo-re 2, un quadrato che possiede l'areadoppia di un altro quadrato. Tale qua-drato ha per lato la diagonale del qua-drato unità (fig. 12).

fig. 12

mato UNI (A4, A3, ecc.) ha proporzio-ne -V2.Ovviamente questa è l'unica pro-porzione che permette ciò.• Una proporzione legata a -v2è lapro-porzione di Pell denominata 6 = 1 + -V2.Essa infatti può essere intesa lette-ralmente come la somma di un ret-tangolo -V2più un quadrato (fig. 14-II).

111

fig. 14

• Si dimostra che: 1 - mam(1,1/6) = 1/6,(fig. 15-1),e 1- mal(1,1/6) = mal(1/6,1/62),

fig. 15-11.

l

a

• Due costruzioni di un rettangolo -V3sono mostrate in fig. 17.

a"2

fig. 17

• Il rettangolo -V3è l'unico rettangolosuddivisibile in tre rettangoli uguali adesso simili (fig. 18-1). Inoltre quadri-partendo tale rettangolo si produconoquattro coppie di rettangoli con modu-lo -V3(fig. 18-11).

fig. 18

• Siverifica che: -V3- mam(l, li -V3)=1co-fig.15 me è mostrato in fig. 19.

• Il rettangolo -V2si costruisce con una c. Radice di tresola rotazione (fig. 13).

fig. 13

• Il rettangolo -V2può essere pensatocome la giustapposizione di due ret-tangoli -V2eguali (fig. 14-1), quindi puòessere infinitamente bipartito otte-nendo sempre rettangoli eguali. Que-sto è il motivo per cui un foglio in for-

• Se si considerano due cerchi ugualipassanti l'uno per il centro dell'altro(fig. 16), il rapporto tra il raggio di talicerchi e la distanza dei due punti d'in-tersezione è uguale a -V3). La figura in-tersezione dei due cerchi era chiama-ta, nel medioevo, vescica piscis.

fig. 19

• Sebbene la proporzione -V3non offrauna quantità di rispondenze ampia co-me quella degli altri gruppi, essa è sta-ta spesso usata sfruttando la stretta con-

fig. 16 nessione con il triangolo equilatero (fig.

diapente

EJR

20), figura la cui costruzione è facil-mente eseguibile con una semplice cor-da tripartita.

fig. 20

d. "Proporzioni musicali"

• NelTimeodi Platone si trova enunciatoun sistema che chiameremo, per con-venzione, le proporzioni musicali. Essosi basa su due proporzioni semplicissi-me: la proporzione doppia e quella tri-pla (fig. 21).

El§fig. 21

• I quattro rettangoli costruibili con duetermini in proporzione doppia ed i loromate mam hanno i rapporti di 1/1,2/3,3/4 e 1/2.

ottava

~

--qUinta'• •quarta

I .- ~nf3F1 Witt\Mi SiLa

Questi rapporti erano chiamati, con ana-logia musicale: unison, diapason, dia-pente e diatesseron (unisono, quarta,quinta e ottava). La similitudine tra i rap-porti numerici e le vibrazioni sonore, na-sce da una realtà fisica. Alla base di ta-le teoria, tradizionalmente attribuita aPitagora, si fa riferimento ad un cordatesa, come quella di una chitarra, la cuivibrazione ha intensità inversamenteproporzionale alla lunghezza della cor-da stessa (fig. 22). Detto ciò bisogna an-che affermare che il nostro interesseverso queste proporzioni non dipendedall'analogia musicale ma dalle 'pro-prietà combinatorie che tali proporzio-ni hanno.• Una progressione con ratio 2 è l'uni-ca ove il mal tra due termini sottratto altermine maggiore produce il termine im-mediatamente inferiore, ovvero a-maJl,1/2) = b, fig. 23-1.

fig. 23

• Inoltre si dimostra come (fig. 23-11):1- mam(1,112) = mam(1/2,1/4).• Ciò significa che un rettangolo dia-pason può essere pensato sia come undiapente più un diapason, sia come undiatesseron più un diapente (fig. 24).

diapentediapason

diapente diatesseron

fig. 24

• Si dimostra, poi, che per la proporzionedoppia e solo per essa si verificano le

fig. 22 relazioni mostrate in fig. 25 .

diatesseron

I I Idiatesseron

I I I

diatesseron

diapente

fig. 25

• Per quanto riguarda la proporzione 3si verifica: a-mat(1,1/3) = b (fig. 26).

'g,,",fig. 26

Per questa proprietà, anche un rettan-golo triplo può essere scomposto in unamolteplicità di modi (fig. 27).

§. diapente unison

iapasondiapeme

m

fig. 27

Questi sono i motivi razionali del suc-cesso dei rapporti musicali: le possibi-lità combinatorie, anche in questo ca-so, sono tali da permettere una quan-tità di variazioni illimitata.