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Page 1: Teorie Della Rottura

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Teorie della rottura

Le teorie della rottura individuano una funzione dello stato tensionale il cui valore è una misura della sua pericolosità.

Ogni stato tensionale può quindi essere rappresentato da una quantità scalare, ovvero da un solo numero, che può essere

messo in relazione con un valore critico del materiale.

A tale valore scalare viene dato il nome di tensione equivalenteIl rapporto tra il valore critico del materiale e la tensione equivalente è il

coefficiente di sicurezza della struttura.

Teorie della rottura

Page 2: Teorie Della Rottura

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caso generaletriassiale

1 ,2 ,3

F’=f( ’1 , ’2 , ’3) F* =f(1* ,2* ,3*)

I due stati di tensione sono

ugualmente pericolosi se F’ = F*

caso monoassiale (prova di trazione)

1

Particolarmente significativo è il confronto con lo stato di tensione che si verifica nella prova del materiale

e

Concetto di tensione equivalente

Le teorie della rottura possono essere divise in tre gruppi

Teorie basate sullo stato di tensioneMassima tensione normale (Rankine-Lamé-Navier) Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr)Massima tensione tangenziale ottaedrica (Rôs Eichinger)

Teorie basate sulla energia di deformazioneMassima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig) Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency)

Teorie basate sullo stato di deformazioneMassima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof)

Classificazione delle teorie

Page 3: Teorie Della Rottura

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Massima tensione normale (Rankine)

Il materiale subisce danno quando la massima tensione principale raggiunge un valore critico.

1 > t

2 > t

3 > t

1 < c

2 < c

3 < c

si ha rottura se:

t = tensione di rottura a trazione

c = tensione di rottura a compressione

all’interno del volume il materiale resiste

all’esterno del volume c’è rottura

superficie critica definita dal criterio di Rankine nello spazio delle tensioni principali

2

3

1

la superficie è la zona critica

Condizione limite

caso triassiale: L = 1 oppure L = -3

caso monoassiale: L = 1 = e

e = 1 oppure

e = -3

Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo è individuato sul piano x-y, z= 2) la tensione equivalente vale:

e = 2

x - y+ xy

222

x +y

Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

e = xy

L = L

L / L = 1quindi, in base alla teoria di Rankine, la tensione limite a taglioè pari alla tensione limite misurata nella prova di trazione

Massima tensione normale (Rankine)

Page 4: Teorie Della Rottura

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all’interno dell’area il materiale resiste

Il materiale subisce danno quando la massima tensione tangenziale raggiunge un valore critico.

1 = ½ ( 2 - 3)

2 = ½ ( 1 - 3)

3 = ½ ( 1 - 2)

max = ½ ( 1 - 3)

C’è rottura se: max L

L = Valore critico del materiale

all’esterno dell’area c’è rottura

Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

3 2 1

1

2

3

Condizione limite

caso triassiale: L = ½ ( 1 - 3)

caso monoassiale: L = ½ 1 = ½ e

e = 1 - 3

C’è rottura se e L ovvero se e 2 L

L = L / 2

L / L = 2quindi, in base alla teoria di Tresca, la tensione limite a taglioè la metà della tensione limite misurata nella prova di trazione

Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo èindividuato sul piano x-y, z= 2) la tensione equivalente vale:

e =(x - y)2 + 4xy2

Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

e = 2xy

Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

Page 5: Teorie Della Rottura

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Nel caso di stato di tensione piano:

1 ,2 0

3 =0

1

2

rottura

resistenza

limite

Zone che, secondo la teoria di Tresca Guest,si trovano nella regione di rottura

mentre, in base al criterio di Rankine,dovrebbero trovarsi nella regione di resistenza

Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

superficie critica definita dal criterio di Tresca nello spazio delle tensioni principali

Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

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Curva intrinseca del materiale

Ipotesi dell’attrito interno

Mohr osservò che in alcuni materiali il taglio massimo sopportabile è maggiore in presenza di uno stato di compressione

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

all’interno dell’area il materiale resiste

all’esterno dell’area c’è rottura

C

D

+A

LC

LT

+B

sen =ADAB

=LC / 2 - LT / 2

LC / 2 + LT / 2

LC / LT - 1

LC / LT + 1=

k =LC

LT

OC = OB + BC = LT

2

1

sen 1+

k+1

k-11+=

LT

2

k-1

k+1sen =

OC =k

k-1LT

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

O+

Page 7: Teorie Della Rottura

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O

CP+

rr'

P’+1

3

OP’ = 1 + 3

2r’ =

1 - 3

2

Si è in condizione limite se il circolo di Mohr è tangente alla curva intrinseca:

r’ = (OC-OP’)sen

kk-1

LT

1 + 3

2-

1 - 3

2=

k-1

k+1

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

OC =k

k-1LT

k-1

k+1sen =

LT

e = LT

kk-1

LT

1 + 3

2-

1 - 3

2=

k-1

k+1

Nel caso monoassiale la tensione equivalente vale la LT

kk-1

e

1 + 3

2-

1 - 3

2=

k-1

k+1

Quindi, introducendo la e si ottiene:

Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo èindividuato sul piano x-y, z= 2) la tensione equivalente vale:

2x + y

2e =

k-1k

+k+1k

x - y

2+ xy

2Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

k+1

kxye =

k+1

kL=

L

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

ke3

1

Page 8: Teorie Della Rottura

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[1 - (2 +3 ) ]= 1 E1

= L

[3 - (1 +2 ) ]= 3 E1 = L

Nel caso monoassiale si ha:

= eE

Dal confronto si ha:

e = 1 - (2 +3 )

oppure:

e = 3 - (1 +2 )

superficie critica definita dal criterio di St. Venant nello spazio delle tensioni principali

Il materiale subisce danno quando la massima deformazione principale raggiunge un valore critico.

1 = 1E = L

Massima deformazione normale (St. Venant)

Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale:

2x + y

2e = (1 - ) +

x - y

2+ xy

2(1+ )

Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

e = (1 + ) xy

Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:

L

L= (1 + )

Massima deformazione normale (St. Venant)

Page 9: Teorie Della Rottura

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Il materiale subisce danno quando l’energia accumulata per deformazione raggiunge un valore critico.

1

2

3F U1 = ½F•L = ½(1 dy dz) 1 dx

U1s =U1

dx dy dz= ½1 1

U2s = ½2 2 U3s = ½3 3 Us = ½(1 1 +2 2 +3 3)

Us = [12 +2

2 +32 - 2(12 + 23 +31)]1

2E

Nel caso monoassiale si ha: Us = 121

2Ee

21 2E

=

La tensione equivalente si può quindi scrivere come segue:

Massima energia di deformazione (Beltrami)

32312123

22

21 2 e

all’interno del volume il materiale resiste

all’esterno del volume c’è rottura

la superficie rappresenta la condizione

limite

2

1

3

Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale:

e = x2 +y

2 - 2xy + 2 (1+ ) xy2

Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

e = 2 (1+ ) xy2

Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:

L

L= 2 (1 + )

Massima energia di deformazione (Beltrami)

Page 10: Teorie Della Rottura

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Il materiale subisce danno quando l’energia di distorsione accumulata raggiunge un valore critico.stato di tensione

triassiale

= +

stato di tensionesferico (idrostatico):variazione di volume

stato di tensione deviatorico:variazione di forma

Variazione di volume = V = Vf - V0 = dx dy dz [(1+ 1 ) (1+ 2 ) (1+ 3 ) -1]

V = dx dy dz [1+ 1 + 2 + 3 + 1 2 + 2 3 + 3 1 + 1 2 3 -1]in campo elastico i termini 2 ed 3 sono trascurabili

V = dx dy dz (1 + 2 + 3) = (1 + 2 + 3)dx dy dzVv =

Massima energia di distorsione (von Mises)

1 = S +1 ”2 = S +2 ”3 = S +3 "

S = (1 + 2 +3) / 3

v = (1 + 2 + 3) = [1 +2 +3 - 2 (1 + 2 +3)]1 E

vs = 3s =

(1 + 2 +3)1 - 2E=

3S1 - 2E=(1 + 2 +3)1 - 2

E

La variazione di volume è dovuta alla sola parte sferica della tensione

UT = [12 +2

2 +32 - 2(12 + 23 +31)]1

2E

Ricordando che l’energia specifica (totale) di deformazione è data da:

la quota parte dovuta al cambiamento di volume è data da:

UV = [3S2 - 2 (3S2)]1

2ES23(1 - 2 )

2E= =

3(1 - 2 )

2E

(1 + 2 +3)

3

2

Massima energia di distorsione (von Mises)

Page 11: Teorie Della Rottura

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UD = UT - UV

-3(1 - 2 )

E

(1 + 2 +3)

3

2

[12 +2

2 +32 - 2(12 + 23 +31)]

1

2EUD =

UD = [(1 -2 )2 + (2 -3 )

2 + (3 -1 )2]1+ 2

3E

1

2

Nel caso monoassiale si ha:

Quindi, l’energia di distorsione nel caso triassiale si può scrivere:

UD = 1 21+ 2

3E= e

21+ 23E

In conclusione, la tensione equivalente è data dalla relazione:

Massima energia di distorsione (von Mises)

222222 62

1zyxyzzxyxe

oppure 2322

312

212

1 e

superficie critica definita dal criterio di von Mises nello spazio delle tensioni principali

Massima energia di distorsione (von Mises)

Page 12: Teorie Della Rottura

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Nel caso di stato di tensione piano (con z direzione principale e z=0) la tensione equivalente vale:

e = x2 +y

2 - xy + 3xy2

Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:

e = 3 xy2 3 xy=

Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:L

L= 3

Massima energia di distorsione (von Mises)

Confronto con i dati sperimentali

Materiali duttili

Page 13: Teorie Della Rottura

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Materiali fragili

Confronto con i dati sperimentali

Confronto tra le varie teorie

Page 14: Teorie Della Rottura

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Massima tensione normale (Rankine-Lamé-Navier)

Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr)

Massima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof)

Massima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig)

Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency)

1

2

1.252

1.25

1.61

1.73

L

L

Valori sperimentali

Materiali fragili = 1 1.25

Materiali duttili = 1.75 1.80

L

LRapporto caratteristico

Confronto tra le varie teorie

Teorie della rottura