Teoria della relatività-5 17 dicembre 2012
Trasformazionie dell’energia e della QM
Trasformazione della densita` di corrente e di carica
Invarianza delle eqq. di Maxwell
Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali
Tensore del campo elettromagnetico
22
Trasformazioni di p e E
• Si può dimostrare che le tre componenti della QM e l’energia si trasformano come le tre coordinate e il tempo
x
zz
yy
xx
vpEE
pp
pp
Ec
vpp
'
'
'
'2
33
Trasformazioni di p e E
• Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py, p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica
• Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un 4-vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro, in particolare ‘mescolano’ QM ed energia
33
22
101
100
'
'
'
'
pp
pp
ppp
ppp
44
Trasformazioni di j e • Si può dimostrare che anche le tre componenti del
vettore densità di corrente j e la densità di carica formano un 4-vettore dello spazio-tempo
• Le eqq. di trasformazione sono quindi
jx ' jx v jy ' jy
jz ' jz
' v
c 2 jx
5
Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Dal principio di relatività possiamo concludere che le eqq. di Maxwell devono avere la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale, devono cioè essere invarianti
• Vediamo come da questa affermazione possiamo ricavare le leggi di trasformazione dei campi E e B tra due sistemi inerziali
6
Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono presenti i campi E e B e le eqq. sono
• allora nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e le eqq. devono essere
'
E '
B '
t '
'
E '' 0
'
B '0
J '0 0
E '
t'
'
B '0
E
B
t
E 0
B 0
J 0 0
E
t
B 0
7
Trasformazioni di E e B• Per semplicità consideriamo le eq. in cui non
compaiono e J, e usiamo le componenti cartesiane
• Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la derivata rispetto al tempo
E z
y
E y
z
Bx
t
Bx
x
By
y
Bz
z0
E x
z
E z
x
By
t
E y
x
E x
y
Bz
t
8
Trasformazioni di E e B• Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x
• Dalle trasformazioni di Lorentz
• Ne segue
• Allo stesso modo si trova
x
x '
x
x'
y'
x
y '
z'
x
z'
t'
x
t'
y'
x
z'
x0
t '
x
v
c 2
x'
x
x
x '
v
c 2
t'
y
y '
z
z'
t
t '
vx'
9
Trasformazioni di E e B• L’eq. di Faraday diviene
• E l’eq. di Gauss per B
E z
y '
E y
z'
Bx
t ' v
Bx
x '
Bx
x '
v
c 2
Bx
t '
By
y '
Bz
z'0
E x
z'
E z
x '
v
c 2
E z
t'
By
t' v
By
x '
E y
x '
v
c 2
E y
t '
E x
y '
Bz
t' v
Bz
x '
10
Trasformazioni di E e B• Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq. di
Faraday
• E imponiamo la condizione di invarianza alla componente y’ del sistema S’
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
zyyzx E
c
vB
tvBE
xz
E2'''
E 'xz'
E 'zx'
B'yt '
B'y By v
c 2 E z
E 'x E x
E 'z E z vBy
11
Trasformazioni di E e B• Possiamo ripetere il calcolo per la componente z
• E imporre la condizione di invarianza alla componente z’ del sistema S’
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
B'z Bz v
c 2 Ey
E 'x E x
E 'y E y vBz
E y
x '
v
c 2
Ey
t '
Ex
y '
Bz
t' v
Bz
x '
E 'yx'
E 'xy'
B'zt '
12
Trasformazioni di E e B• Infine dalla componente z della legge di Faraday
e dalla legge di Gauss
• troviamo la legge di trasformazione di Bx
B'x Bx
E z
y '
E y
z'
Bx
t ' v
Bx
x '
Bx
x '
v
c 2
Bx
t '
By
y '
Bz
z'0
1313
Trasformazioni di E e B
• Riassumendo
• Cioè le componenti del campo E in S dipendono sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’
• Idem per le componenti del campo B
yzz
zyy
xx
vBEE
vBEE
EE
'
'
'
yzz
zyy
xx
Ec
vBB
Ec
vBB
BB
2
2
'
'
'
1414
Relazioni tra E e B• L’esempio classico della relazione tra un campo E e un
campo B in due sistemi di riferimento è quello di una particella carica a distanza r da un filo percorso da corrente
• Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto con velocità v rispetto al filo
• In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale
F m q
v
B qvB ˆ r
Fm qv0
2ir
B
0
2ir
ˆ
i-
v
B
FmS
1515
Relazioni tra E e B• Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli
elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è uguale e contraria
• Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente al filo con velocità v, di modo che la particella risulti (anche se per un solo istante) ferma
• In S’ non c’è campo magnetico e neppure forza magnetica
0
i’S’
1616
Relazioni tra E e B
• Vediamo qual è la densità di carica nel filo• Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando
per la sezione del filo, otteniamo
i' i v
' v
c 2 i
ajc
vaa
ajaj
ajaj
avajaj
x
zz
yy
xx
2'
0'
0'
'
1717
Relazioni tra E e B
• Per la carica positiva e negativa avremo rispettivamente le densità
• e in totale una densità negativa per il filo
• In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza elettrica radiale diretta verso il filo
' v
c 2 i
' v
c 2 i
'' ' v
c 2 i
v
c 2 i v
c 2 i
F 'e q
1
2 0
'
rˆ r
i’F’e
S’
1818
Relazioni tra E e B
• Sostituiamo il valore della densità di carica
• Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm, in S’ c’è un campo elettrico, ma non un campo magnetico, e quindi c’è solo una forza elettrica F’e
• Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al fattore motiplicativo
F 'e q1
2 0
'r
q1
2 0
vc 2
ir
q
12 0
00vir
qv0
2ir
qvB Fm
1919
Tensore del campo e.m.
• In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene resa palese
• Si può infatti pensare alle tre componenti del campo E e alle tre di B come le sei componenti di un unico ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico
0 E x E y E z
E x 0 Bz By
E y Bz 0 Bx
E z By Bx 0
Top Related