APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 1

TEOREMI E DEFINIZIONI

Siano due vettori di

|| + ||= < + ; + >

= < , + > +< , + > = (< , > +< , >) + (< , > +< , >)

=

|| + ||= ||||

2+ 2 < , > +||||

TEOREMA DI PITAGORA

Siano

, ,

Allora

|| + ||2= ||||

+ ||||

Siano , ,

Allora la proiezione di su (proiezione ortogonale) lunico vettore tale che

a) b) =

Dimostrazione:

< ; > =

=

< ; > = < , > < ; > =

< , >

=< , >

< , >=< , >

||||

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=< , >

||||

DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CAUCHY-SCHWARZ

= |< , >| = 0 = |||| ||||

Supponiamo ora e sia

Sia poi la proiezione di su con ( )

=< , >

|||| =

Abbiamo difatti

= ( ) +

( = ;< ; > = 0 < ; > = < ; > = 0)

Il teorema di Pitagora mi dice che:

||||2= ||( ) + ||

= || ||

+ ||||

0

E

|||| ||||

|||| ||||

Ora

|||| = |||| = || ||||

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 3

Con

=< , >

||||2

Quindi

|||| =| < , > |

||||2 |||| =

| < , > |

||||

E

|||| |||| |||| |||| | < , > |

Definizione: un sottoinsieme non vuoto di ( ) si dice sottospazio vettoriale se chiuso rispetto

alla somma e moltiplicazione per uno scalare.

, , , +

Proposizione:

Siano

, , ( 1) vettori di , linsieme di tutte le loro combinazioni lineari un sottospazio vettoriale di

che si indica con

(, , ) = { | 1, , | = 1 + 2

++ }

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Definizione:

Sia un sottospazio di e siano , , , si dice che il sistema {, , } genera se ogni

vettore di combinazione lineare dei , , , cio

= (, , )

N.B: in tale caso = 1, ,

Inoltre il sistema (, , ) anche chiamato sistema di generatori di

Definizione: siano , , , ( 1) vettori di . Sono detti linearmente indipendenti se lunica

combinazione lineare dei vettori , , , che risulta nel vettore ha tutti coefficienti nulli, cio:

1 + 2

++ = 1 = 2 = = = 0

In caso contrario si dice che sono linearmente dipendenti

TEOREMA:

Siano 1, , vettori di sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi combinazione lineare

degli altri rimanenti.

Se uno dei 1, , combinazione lineare di altri allora sono linearmente dipendenti

Sia il vettore in questione, allora rimangono 1 vettori ed esistono ()=1

reali tali che

=

=1

Ovvero:

=

=1

=

=1

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Dove

=

= 1 0

Abbiamo quindi trovato una combinazione lineare dei vettori 1, , che risulta nel vettore 0 e dove NON

tutti i coefficienti valgono zero.

( 0): 1, ,

Adesso supponiamo che una combinazione lineare di questi che risulta in e dove NON tutti i coefficienti

valgono zero. Cio 1, , reali tali che:

= 11 ++

=

=1

E

{1, , } . 0

=

=1

0 quindi possiamo dividere per esso

= 1

=1

=

=1

= = 1

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Definizione: sia un sottospazio vettoriale e siano 1, , , linsieme 1, , si dice base di

se:

1) = {1, , };

2) I vettori 1, , sono linearmente indipendenti

Teorema: supponiamo che {1, , } e {1, , } sono entrambe basi dello stesso sottospazio vettoriale

. Allora =

Tutte le basi di un sottospazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Questo viene chiamato

dimensione del sottospazio

=

Nota bene:

=

Dimostrazione (per contraddizione)

Supponiamo , ad esempio <

Abbiamo

= (1, , )

E

, = 1, ,

Quindi combinazione lineare degli altri vettori

1, , 2, , , , tale che

= 1,1 + 2,

2 + + , = 1, ,

Consideriamo una combinazione lineare di vettori:

1, , che risulta in

= 11 ++

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 7

= 1 (,1

=1

) ++ (,

=1

) = (,

=1

) = ( ,

=1

)

=1

=1

I vettori {1, , } sono linearmente indipendenti

Abbiamo:

, = 0 = 1, ,

=1

Questo un sistema omogeneo di () equazioni e incognite 1 ed equivale a:

{

1,11 + 1,22 ++ 1, = 0

2,11 + 2,22 ++ 2, = 0...

,11 + ,22 ++ , = 0

Siam partiti con >

Quindi ci sono infinite soluzioni che risolvono il sistema. In particolare ne ha almeno pi di una (quindi

almeno due) e pertanto una soluzione NON banale (tutti = 0)

Con questa soluzione: la famiglia {1, , } non linearmente indipendente ed una contraddizione

poich avevamo ipotizzato che fosse una base.

TEOREMA (ESISTENZA DI UNA BASE)

Sia un sottospazio vettoriale. Esiste una base di e quindi .

Dimostrazione:

sottospazio vettoriale

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 8

Sia ora 1 e supponiamo {}

Allora (1)

Se = (1) {1} = 1

Se (1) , 2 \ (1) 1 2

(1, 2)

(1, 2) = (1, 2) = 2

(1, 2) 3 ,3 \ (1, 2) {1, 2, 3 }

Continuo

La procedura finir poich non esistono + 1 vettori linearmente indipendenti in .

N.B: per convenzione {} = 0

TEOREMA:

Sia (), invertibile se e solo se det 0. Allora

1 =1

det()

Dimostrazione (chiesta di sicuro allesame ):

1) Se invertibile, allora 1 () tale che:

1 =

det(1) = det() = 1

Ma sappiamo anche che:

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det(1) = det det1

det 0

(e abbiamo det 1 =1

det )

2) det 0

Sia =1

det()

= (),

Con

=1

det = 1 ; = 1

E sia

=

= ? ? ?

Se riusciamo a dimostrare ci, avremo dimostrato il teorema.

= (),

Abbiamo

=

=1

= 1, , ; = 1

Se =

=

=1

=det

=1

det

=1

=1

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 10

= det

=det

det = 1

Se

=1

det

=1

Sia la matrice ottenuta sostituendo la i-esima riga di alla j-esima

=

(

11 1 111

)

E sia

=

(

11 1 101

0)

() ()

Sappiamo che

det = det

det = 0 det = 0

Ma sviluppando secondo la j-esima riga

det = = 0

=1

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 11

= 0

=

E

=

E

= 1

TEOREMA DI CRAMER

Se det 0 (cio se invertibile), allora , il sistema (S) ammette ununica soluzione

= (1, , )

Questa soluzione data da

= 1

N.B: det 0 1

Dimostrazione:

Sia = 1

abbiamo

= (1) = (1)

1 = 1 = =

Quindi soluzione di =

Perch questa soluzione unica?

Siano due soluzioni del sistema (S)

Ovvero

=

=

1() = 1 1() = 1

(1) = 1 (1) = 1

= 1 = 1

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 12

= = 1

Ovvero la soluzione la stessa, coincide ed unica

TEOREMA:

{1, , }

E

{1, , }

Hanno la stessa dimensione

Definizione:

Si dice rango di e si indica con () la dimensione di questi sottospazi e si noti che:

() min(, )

TEOREMA:

dim({, , }) = dim({, , })

Si chiama () questa dimensione e si noti che:

() min(; )

Dimostrazione:

Sia = dim({, , })

1, , ovvero esistono righe di linearmente indipendenti

{, , } = {, , }

Ogni riga , , combinazione lineare dei , ,

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 13

Cio

= 11 + 12 ++ 1

= 1 + 2 ++

Con

= (1, ,

)

Ma si noti anche che:

= 11 + 12

++ 1

= 1 + 2

++

(

) =

(

11

1) +

(

11

2) +

(

1

)

Colonna

= 1

= (

) = (

11

1) +

(

12

2) ++

(

1

)

Ogni colonna combinazione lineare dei vettori

, ,

dim({, , })

dim({, , }) dim({, , })

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Con lo stesso metodo si potrebbe dimostrare che

dim({, , }) ({, , })

Se

dim({, , }) = ({, , })

() = ()

TEOREMA DI ROUCH CAPELLI

(),

Il sistema =

Ha almeno una soluzione

se e solo se

() = (|)

Inoltre:

Se () = (|) = ( )

Il sistema ammette ununica soluzione

Se () = (|) = <

Il sistema ha uninfinit di soluzioni tutte espresse con parametri liberi

In sintesi:

I. Se () < (|) il sistema non ha soluzioni

II. Se () = (|) = | =

III. Se () = (|) < esistono un numero infinito di soluzioni

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 15

TEOREMA:

Linsieme delle soluzioni del sistema omogeneo

=

un sottospazio vettoriale di , chiamato nucleo (Kernel) di e viene indicato con ()

Inoltre

dim() = ()