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Risolvere sistemi lineari

Daniela Valenti, Treccani Scuola1

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Risoluzione grafica e algebrica

y = 2x

y = −3x + 5

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico delle rette trovo la soluzione (1, 2).Ma c’è anche un procedimento algebrico per ottenere la soluzione. Ecco qui sotto i calcoli da eseguire con carta e penna.

Come trovo la soluzione del sistema qui sotto?

METODO DI SOSTITUZIONE

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Un sistema impossibile

y = 2x

y = 2x + 5

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico trovo due rette parallele, con la stessa pendenza 2, che non si incontrano.Con il procedimento algebrico arrivo a un’equazione di 1° grado impossibile.Perciò il sistema è IMPOSSIBILE.

Uguaglianza sempre falsa, cioè EQUAZIONE IMPOSSIBILE

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Un sistema indeterminato

y = 2x

y = 2x

⎧ ⎨ ⎩

Con il grafico trovo due rette coincidenti, che hanno tutti i loro punti in comuneCon il procedimento algebrico arrivo a un’equazione di 1° grado indeterminata.Perciò il sistema è INDETERMINATO.

Uguaglianza sempre vera, cioè EQUAZIONE INDETERMINATA

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Riconoscere equazioni di rette parallele

y = mx + p

y = mx +q

⎧ ⎨ ⎩

Uguaglianza vera, cioè EQUAZIONE INDETERMINATASISTEMA INDETERMINATO

RETTE COINCIDENTI

Il procedimento seguito prima si può ripetere in generale, a partire dalle equazioni esplicite di una qualunque coppia di rette con la stessa pendenza m: ecco che cosa si trova.

Uguaglianza falsa, cioè EQUAZIONE IMPOSSIBILESISTEMA IMPOSSIBILE

RETTE PARALLELE

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Riconoscere equazioni di rette paralleleE se le rette sono scritte in forma implicita?

Se b ≠ 0Esplicito y e confronto le pendenze ESEMPIO3x + 2y = 0 e 6x + 4y – 8 = 0

Nelle equazioni trovo la stessa pendenza, perciòle rette sono parallele

Equazioni del tipo ax + by + c = 0

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Riconoscere equazioni di rette paralleleE se le rette sono scritte in forma implicita?

Equazioni del tipo ax + by + c = 0

Se b = 0 e a ≠ 0Esplicito x ESEMPIO3x + 2 = 0 e 4x – 8 = 0

Equazioni del tipo x = k, perciò le rette sono parallele fra loro, perché entrambe parallele all’asse y.

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Attività 2

Ora un’attività per impadronirsi dei concetti e delle tecniche appena acquisiti sui sistemi lineari.

Per lavorare dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare.

Avete 30 minuti di tempo

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Che cosa abbiamo trovato

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Sistemi e grafici con il computer

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Sistemi e grafici con il computer

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Sistemi e grafici con il computer

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B(−2, 1) si trova solo sulla retta g, perché la coppia (−2, 1) compare solo nella tabella della retta g.

C(−2,−4) si trova solo sulla retta f, perché la coppia (−2, −4) compare solo nella tabella della retta f.

A(−1,−2) si trova su entrambe le rette, perché la coppia (−1,−2) compare in entrambe le tabelle.

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Sistemi e grafici con il computer

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Calcolo letterale con carta e penna

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E se le equazioni sono più di due?

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Un esempio per riflettere

CALCOLIGRAFICO

Uguaglianza falsa

La terza retta NON passa per il punto A di intersezione delle prime due

La soluzione (2, -1) NON soddisfa la terza equazione

Sistema incompatibile

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E se le equazioni sono più di due?

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Un secondo esempio

CALCOLI GRAFICO

Uguaglianza vera

La terza retta passa per il punto A di intersezione delle prime due

La soluzione (2, -1) soddisfa la terza equazione

Sistema compatibilecon soluzione (2, -1)