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Riassunti di Fisica
Fisica 1
Versione 1.03.05, 8 marzo 2005Materiale scaricabile da www.studentibicocca.it
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Introduzione
Tratto dalle lezioni di Fisica 1 del prof. Antonino Pullia, durante lanno accademi-co 2003/04, dalle lezioni di Fisica 2 del prof. Marcello Fontanesi, durante lannoaccademico 2004/05, dalle lezioni di Fisica 3 del prof. Baldini durante lannoaccademico 2004/05, e altre fonti nella bibliografia. Composto con LATEX2
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Ultimo aggiornamento: 8 marzo 2005.
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Notazioni
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Fingerprint: 4DC8 E630 A911 49B5 8247 117C D149 62D3 F111 C07B
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Indice
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiDisclaimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiNotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiChiave Pubblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
I Fisica 1 1
1 Grandezze e misure 21.1 Grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Unita` di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Unita` fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Prefissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Vettori 52.1 Versori e coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Individuazione vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Passaggio da individuazione geometrica a individuazio-ne analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Operazioni tra i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Cinematica 103.1 Vettore posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Vettore spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Vettore velocita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Velocita` Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Velocita` Istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.3 Velocita` Scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Vettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5.1 Velocita` in funzione dello spazio . . . . . . . . . . . . . 12
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3.6 Moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 Moto qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.9 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.9.1 Moto armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.10 Trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.10.1 Invarianza e covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Dinamica 174.1 Forze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Altre forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.1 Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Resistenza del mezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.3 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.4 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Forze variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4.1 Forze variabili nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4.2 Forze variabili nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4.3 Forze variabili nella velocita` . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.1 Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Quantita` di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.1 Sistema di N punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.7 Centro di Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7.1 Corpo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7.2 Teorema di PappoGuldino . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 Impulso di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.9 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.9.1 Urti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.9.2 Urti completamente anelastici . . . . . . . . . . . . . . 29
4.10 Momento dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.10.1 Calcolo Momenti di Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10.2 Teorema di Steiner o degli assi paralleli . . . . . . . . . 33
4.11 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.12 Momento angolare o della quantita` di moto . . . . . . . . . . . 34
4.12.1 Sistema di N punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.12.2 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . 354.12.3 Rotazione intorno a O mobile . . . . . . . . . . . . . . 354.12.4 Rotazione intorno ad un asse . . . . . . . . . . . . . . 354.12.5 Corpo simmetrico rispetto allasse di rotazione . . . . . 36
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4.13 Analogia tra grandezze lineari e rotazionali . . . . . . . . . . . 36
5 Lavoro ed energia 375.1 Lavoro definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Lavoro nei moti rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Potenza nei moti rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1 Teorema lavoroenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Complementi Funzioni in due variabili . . . . . . . . . . . . 39
5.4.1 Circuitazione di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Energia Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5.1 Conservazione dellenergia meccanica . . . . . . . . . . 41
6 Gravitazione 456.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1.1 Leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Teorema di Gauss (per la gravita`) . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1 Caso crosta sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.2 Caso sfera piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Interpretazione delle leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . 486.3.1 Seconda legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3.2 Terza legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4 Accelerazione di gravita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.5 Misurazione della costante di gravitazione universale . . . . . 506.6 Massa gravitazione e massa inerziale . . . . . . . . . . . . . . 506.7 Principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.8 Energia associata ad unorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Meccanica dei fluidi 527.1 FluidoStatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.1.1 Pressione e densita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.1.2 Legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.1.3 Legge dei vasi comunicanti . . . . . . . . . . . . . . . . 547.1.4 Esperimento di Torricelli 1664 . . . . . . . . . . . . . . 547.1.5 Esperimento delle due semisfere . . . . . . . . . . . . . 557.1.6 Principio di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.1.7 Principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.1.8 Condizione generale di equilibrio . . . . . . . . . . . . 577.1.9 Fluido in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2 Dinamica dei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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7.2.1 Equazione di continuita` . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.2 Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Viscosita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3.1 Legge di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Termodinamica 658.1 Principio zero della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 668.2 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.1 Termometro a gas perfetto a volume costante . . . . . 678.3 Legge dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4 Dilatazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4.1 Dilatazione termica dei solidi . . . . . . . . . . . . . . 678.4.2 Dilatazione termica dei liquidi . . . . . . . . . . . . . . 68
8.5 Teoria cinetica del gas perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.5.1 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.5.2 Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.5.3 Distribuzione delle velocita` . . . . . . . . . . . . . . . . 718.5.4 Distribuzione dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.5.5 Riassunto teoria cinetica dei gas perfetti . . . . . . . . 75
8.6 Trasferimenti di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.6.1 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.6.2 Conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.6.3 Convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.7 Capacita` termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.8 Energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.8.1 Principio di equipartizione dellenergia . . . . . . . . . 788.8.2 Calore specifico molare dei solidi . . . . . . . . . . . . 788.8.3 Calore specifico dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.9 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . 798.10 Trasformazioni di un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.10.1 Calcolo del lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.10.2 Relazione di Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.10.3 Adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.10.4 Trasformazioni politropiche . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.11 Trasformazioni cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.11.1 Ciclo di Carnot per un gas perfetto . . . . . . . . . . . 848.11.2 Frigorifero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.11.3 Ciclo Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.11.4 Diagrammi di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.12 Secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . 888.12.1 Kelvin Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
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8.12.2 Teorema di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.13 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.13.1 Entropia nei cicli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.13.2 Entropia per qualsiasi trasformazione . . . . . . . . . . 938.13.3 Entropia e secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . 938.13.4 Interpretazione statistica dellentropia . . . . . . . . . . 948.13.5 Grafici S/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.13.6 Generalizzazione del principio di Carnot . . . . . . . . 97
8.14 Scala termodinamica o assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.15 Riassunto trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Relativita` speciale 989.1 Esperimento di MichelsonMorley . . . . . . . . . . . . . . . . 989.2 Postulati di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2.1 Simultaneita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.3 Trasformate di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.3.1 Trasformate di Lorentz e Galileo . . . . . . . . . . . . . 1059.4 Contrazione delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.5 Dilatazione dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.6 Composizione delle velocita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.7 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.8 Quantita` di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.9 Energia Relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.9.1 Teorema lavoroenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.9.2 Energia cinetica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.9.3 Urti ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.9.4 Conservazione dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.10 Quantita` di moto ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.11 Elettronvolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.12 Forza e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.12.1 Casi Particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.13 Spazio di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.13.1 Dilatazione dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.13.2 Curve di calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.14 Dubbi di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Onde 11910.1 Onde sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.2 Corda Tesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.3 Equazione differenziale di unonda . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.4 Velocita` e accelerazione trasversale . . . . . . . . . . . . . . . 122
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10.5 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.5.1 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.6 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.7 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.7.1 Effetto Doppler relativistico . . . . . . . . . . . . . . . 12410.8 Suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.9 Grandezze caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11 Ottica geometrica 12711.1 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.2 Riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2.1 Specchio piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.2.2 Elissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.2.3 Specchi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3 Rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.3.1 Lenti sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A Costanti 131A.1 Costanti matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131A.2 Costanti universali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.3 Costanti elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.4 Costanti atomiche e nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4.1 Generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.4.2 Elettrone, e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.4.3 Muone, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.4.4 Tau, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.4.5 Protone, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.6 Neutrone, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.7 Particella alfa, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5 Costanti fisicochimiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.6 Dati astronomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B Unita` derivate 137B.1 Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C Momenti dinerzia 138
D Formule che nessuno ricorda mai 139D.1 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139D.2 Sviluppi in serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140D.3 Operatori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
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x Materiale disponibile gratuitamente su www.studentibicocca.it
D.3.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
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Parte I
Fisica 1
Meccanica, Energia, Gravitazione, Fluidi,Termodinamica, Relativita` Speciale, Onde
1
Se non si capisce e` matematicaSe non funziona e` fisicaSe puzza e` chimicaSe e` verdognolo e si muove e` biologia
1Grandezze e misure
1.1 Grandezze
Le grandezze sono enti di cui si occupa la fisica. Esse devono essere misura-bili attraverso un metodo operativo, richiedono unita` di misura con le qualiavviene il confronto.
Le grandezze si dividono in:
grandezze scalari (numero,unita`)
grandezze vettoriali (numero,unita`,direzione,verso)=(vettore,unita`)
grandezze tensoriali
Lunita` di misura deve essere definita rispetto a qualcosa di invariante eriproducibile. La lunghezza e` da considerarsi scalare, mentre la posizionevettoriale.
2
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1.2 Unita` di misura
1.2.1 Unita` fondamentali
Nel sistema internazionale (SI) sono definite 7 unita` di misura fondamentali:
Grandezza Nome Simbolo Definizione
lunghezzametro m . . . la lunghezza e` la distanza
percorsa dalla luce nel vuoto in1/299792458 di secondo
massa kilogrammo kg . . . questo prototipo (un par-ticolare cilindro di platinoiri-dio) potra` dora in poi essereconsiderato lunita` di massa
temposecondo s . . . la durata di 9192631.770 pe-
riodi della radiazione corrispon-dente alla transizione tra i duelivelli iperfini dello stato fon-damentale dellatomo di cesio133
corrente elettricaampere A . . . quella corrente costante che,
passando in due conduttoriparalleli rettilinei infinitamentelunghi, di sezione circolare tra-scurabile, posti a 1m di distanzanel vuoto produce tra i due con-duttori una forza di 2 107 Nper metro di lunghezza
temperaturatermodinamica
kelvin K . . . la frazione 1/273.16 dellatemperatura termodinamica delpunto triplo dellacqua
quantita` di sostan-za
mole mol . . . la quantita` di sostanza di unsistema che contiene tale entita`elementari quanti sono gli atomicontenuti in 0.012 kg di carbonio12
intensita` luminosacandela cd . . . lintensita` luminosa, in una
data direzione, di una sorgen-te che emette una radiazio-ne monocromatica di frequenza540 1012 Hz e la cui intensita`energetica in tale direzione e` di1/683 W/sr
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1.2.2 Prefissi
Spesso si usano i seguenti prefissi1:
fattore prefisso simbolo1024 yotta Y1021 zetta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 etto h101 deca da101 deci d102 centi c103 milli m106 micro 109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a1021 zepto z1024 yocto y
1personalmente preferisco di gran lunga la notazione esponenziale, luso dei prefissi laconsidero roba da ingenieri
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2Vettori
Un vettore e` simile a un segmento orientato. In fisica ci si occupa di vettorinello spazio, cioe` elementi di R3. Ogni vettore e` identificato con una ternadi coordinate rispetto ad un riferimento cartesiano (ortonormale), oppurecon: modulo, direzione e verso. Il modulo e` la lunghezza del segmento, ladirezione e` la retta passante per il segmento, quindi per direzione si intendeun angolo minore dellangolo piatto, il verso indica lorientazione del vettore.Ogni vettore si indica un una freccia sopra1. ~v e` un vettore, |~v|, ~v osemplicemente v e` il modulo del vettore.
I vettori sono da intendersi applicati nellorigine. Si puo` anche trattare divettori non applicati nellorigine, chiamandoli vettori applicati, ma si rivelanodel tutto equivalenti ai vettori usuali, infatti spesso gli si pensa come elementidi classi di equivalenza i cui rappresentati sono i vettori applicati nellorigine.
2.1 Versori e coordinate
I versori sono vettori della base ortonormale di R3 (lo spazio) consideratocon il prodotto scalare canonico. In parole povere sono sono vettori di mo-dulo unitario ortogonali a due a due. Solitamente si indicano con ~i, ~j e ~k iversori applicati nellorigine, nella direzione degli assi cartesiani del sistema
1altre notazioni sono v, v
5
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di riferimento.
~i =
100
~j = 01
0
~k = 00
1
Utilizzando i versori si possono esprimere i vettori in modo unico attra-
verso le coordinate:
~v =
vxvyvz
= vx~i+ vy~j + vz~k
2.2 Individuazione vettori
I vettori si possono individuare in un sistema di riferimento per via geometriao per via analitica. Individuando un vettore per via geometrica si indica ilmodulo, e gli angoli che il vettore forma con gli assi cartesiani. Nello spazio:{ |~v|
, , con cos2 + cos2 + cos2 = 1
Per via analitica invece bisogna indicare le componenti del vettore rispetto
agli assi, che sono le coordinate rispetto alla base {~i,~j,~k}:
vxvyvz
2.2.1 Passaggio da individuazione geometrica a indivi-duazione analitica
vx = |~v| cosvy = |~v| cos vz = |~v| cos
|~v|2 = v2x + v2y + v2zcos =
vx
|~v|cos =
vy
|~v|cos =
vz
|~v|
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2.3 Operazioni tra i vettori
Vettore inverso
Il vettore inverso ha stesso modulo del vettore, stessa direzione, ma versoopposto.
~v = (vx~i+ vy~j + vz~k) = vx~i vy~j vz~kNaturalmente ogni vettore ha inverso e la loro somma e` nulla e ~0 = ~0.
Somma
Per sommare due vettori per via geometrica si usa la regola del parallelo-gramma, per via analitica si sommano le componenti:
~s = ~a+~b = (ax~i+ay~j+az~k)+(bx~i+by~j+bz~k) = (ax+bx)~i+(ay+by)~j+(az+bz)~k
a
a+b
b
Figura 2.1: Regola del parallelogramma
Differenza
La differenza di due vettori e` la somma del primo con linverso del secondo.Graficamente ~a~b e` il vettore che congiunge ~b ad ~a.
Prodotto per uno scalare
Per via geometrica il prodotto scalare di un vettore per uno scalare corri-sponde al vettore con stessa direzione, con modulo moltiplicato per il valoreassoluto dello scalare e verso invertito se lo scalare e` negativo.
h R ~p = h~a = h(ax~i+ ay~j + az~k) = hax~i+ hay~j + haz~k
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Prodotto scalare
Il prodotto scalare usato in fisica e` il prodotto scalare canonico della geome-tria in R3 rispetto alla base canonica {~i,~j,~k}:
x, y= (x1y1 + x2y2 + x3y3)
ps = |~a||~b| coscon langolo compreso tra i due vettori. Da qui si deduce che ~i ~i = 1,~i ~j = 0, ecc., che due vettori ortogonali hanno prodotto scalare nullo e chedue vettori hanno prodotto scalare massimo quando sono paralleli.
ps = ~a ~b = (ax~i+ ay~j + az~k) (bx~i+ by~j + bz~k) = axbx + ayby + azbz
Prodotto Vettoriale
Matematicamente il prodotto vettoriale non e` facile da definire. Esso resti-tuisce un vettore che ha direzione ortogonale al piano individuato dai duevettori, verso ricavabile dalla regola della mano destra, e modulo:
|~pv| = ab sincon angolo tra i due vettori.
~pv = ~a ~b = ~a~b = (ax~i+ ay~j + az~k) (bx~i+ by~j + bz~k)= (aybz azby)~i+ (azbx axbz)~j + (axby aybx)~k
Il prodotto scalare puo` essere calcolato come determinante di una matrice3 3:
~pv =
~i ~j ~kax ay azbx by bz
Il prodotto vettoriale e` anticommutativo cioe` ~a~b =
(~b ~a
). Il modulo
del prodotto vettoriale e` larea del parallelogramma avente come lati i duevettori.
Prodotto Misto
Il prodotto misto e` definito come:
pm = ~c (~a ~b
)Esso rappresenta larea del parallelepipedo avente come spigoli i vettori ~a, ~b, ~c.
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Derivata di un vettore
La derivata di un vettore e` la derivata delle coordinate per i rispettivi versori,(i versori sono costanti). Per esempio la derivata della velocita` rispetto altempo e`:
d~v
dt=
dvxdt~i+
dvydt
~j +dvzdt
~k
Gradiente
I matematici hanno inventato un nuovo simbolo, , detto grad o gra-diente che non e` una quantita`, ma un operatore matematico che generaun vettore da uno scalare. Esso ha le seguenti componenti: la componentex di questo grad e` /x, la componente y di questo grad e` /y, lacomponente z di questo grad e` /z, e dunque abbiamo il divertimento discrivere le nostre formule per esempio in questo modo[10]:
~F = ~Uinvece di
~F = (U
x~i+
U
y~j +
U
z~k
)
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3Cinematica
3.1 Vettore posizione
Fissato un sistema di riferimento cartesiano1 il vettore che congiunge loriginecon un punto e` il vettore posizione ~r che individua il punto in quel sistemadi riferimento.
r(t)
r(t+delta t)
s
O
Figura 3.1: vettore posizione e spostamento
1per semplicita` quasi sempre si parlera` del piano piuttosto che dello spazio, ma i risultatisono del tutto analoghi
10
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3.1.1 Vettore spostamento
~s (t,t) = ~r
= ~r (t+t) ~r (t) = x (t+t)~i+ y (t+t)~j x (t)~i y (t)~j= [x(t+t) x(t)]~i+ [y(t+t) y(t)]~j = x~i+y~j
3.2 Vettore velocita`
3.2.1 Velocita` Media
~vm(t, t+t) =~r(t+t)
t=
1
t{x~i+y~j} = x
t~i+
y
t~j
3.2.2 Velocita` Istantanea
~vi(t) = limt0
~vm(t, t+t) = limt0
~r
t(t) =
d~r
dt
t
=dx
dt
t
~i+dy
dt
t
~j
3.2.3 Velocita` Scalare
vs =spazio totale percorso
t
3.3 Vettore accelerazione
~a =d~v
dt=
d2~v
dt2
3.4 Moto rettilineo uniforme2
d~r
dt= ~v =
const
d~r = ~v dt
~r~r0
d~r =
t0
~v dt
~r ~r0 = ~vt ~r = ~vt+ ~r02usiamo sempre condizioni iniziali implicite, del tipo t0 = 0, ~r(0) = ~r0, ~v(0) = ~v0, . . .
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3.5 Moto uniformemente accelerato
d~v
dt= ~a =
const
~a dt = d~v
t0
~a dt =
~v~v0
d~v ~at = ~v ~v0
~v = ~at+ ~v0
~v = ~at+ ~v0 =d~r
dt
d~r = (~at+ ~v0) dt
~r~r0
d~r =
t0
(~at+ ~v0) dt ~r ~r0 = 12~at2 + ~v0t
~r =1
2~at2 + ~v0t+ ~r0
3.5.1 Velocita` in funzione dello spazio
In certi casi puo` risultare molto comoda la formula relativa al moto unifor-memente accelerato scritta in questo modo:
v2 v20 = 2a(r r0)
3.6 Moto circolare uniforme
Per moto circolare uniforme si intende quel moto su traiettoria circolare incui il modulo del vettore velocita` rimane costante nel tempo, mentre varia lasua direzione che e` sempre tangente alla circonferenza. Definiamo la velocita`angolare: = d
dte laccelerazione angolare = d
dt; in realta` sono dei vettori.
|~v| = const
per convenzione ~r0 :
{x = Ry = 0
~r = R cos ~i+R sin ~j
=arco
raggio=vt
R= t = =
v
R= const
~r = R cos(t)~i+R sin(t)~j
~v =d~r
dt= R sin(t)~i+R cos(t)~j
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|~v|2 = v2x + v2y = R22 sin2(t) +R22 cos2(t)= R22
(sin2 (t) + cos2 (t)
)= R22
v = R
~v ~r = 0 ~v~r
~v ~r = vxx+ vyy = R sin(t)R cos(t) +R cos(t)R sin(t) = 0
~a =d~v
dt= R2 cos(t)~iR2 sin(t)~j
= R2(cos (t)~i+ sin (t)~j
)= 2~r
|~a|2 = R24 cos2(t) +R24 sin2(t) = R24
a = 2R = v =v2
R
3.7 Moto circolare
theta
r
u
u
r
theta
O
Figura 3.2: Coordinate polari
~r = R~ur{~ur = cos (t)~i+ sin (t)~j
~u = sin (t)~i+ cos (t)~j
d~udt
= cos ~i sin ~j = ~ur
~v =d~r
dt=
d (R~ur)
dt= R
d~urdt
= R( sin ~i+ cos ~j
)= R~u
~a =d~v
dt=
d(R~u
)dt
= R~u+Rd~udt
= R~uR2~ur
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3.8 Moto qualsiasi
~r(t) = r~ur
~ur = cos ~i+ sin ~j ~u = sin ~i+ cos ~jd~urdt
= sin ~i+ cos ~j = ( sin ~i+ cos ~j
)= ~u
d~udt
= cos ~i cos ~j = (cos ~i+ sin ~j
)= ~ur
~v =d~r
dt= r~ur + r
d~urdt
= r~ur + r~u
~a =d~v
dt= r~ur + r~u + r~u + r~u r2~ur = ~ur
(r r2
)+ ~u
(2r + r
)I vettori velocita` e accelerazione vengono scomposti in due componenti:
Velocita` radiale: vr = r
Velocita` perpendicolare: v = r
Accelerazione radiale: ar = r r2
Accelerazione perpendicolare: a = 2r + r
3.9 Moto armonico
Il moto armonico e` un moto con equazione differenziale:
x = kx
cioe`:
x = A sin(t+ )
v =dx
dt= A cos(t+ )
a =dv
dt= A2 sin(t+ ) = 2x = x
k =1
2x = 1
2x
Per esempi (pendoli, molle) vedi sezione 4.4.2 a pagina 20
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3.9.1 Moto armonico smorzato
Introduciamo nel moto armonico una forza smorzatrice, per esempio unaforza dattrito che varia con la velocita`:
F = dxdt
mx = kx x mx+ x+ kx = 01
=
me` un tempo
k
m= 20
x+
mx+
k
mx = 0 x+
1
x+ 20x = 0
se = allora il moto non e` piu` smorzato.La soluzione generale e`:
x(t) = Aest
x(t) = sx(t) x(t) = s2x(t)
s2x(t) +1
sx(t) + 20x(t) = 0
s1/2 =1
1
2 420
2= 1
2
1
4 2 20
1 caso1
4 2 20 > 0
1
2> 0 attrito molto forte
s1/2 = 12 radici reali e < 0
x(t) = A1es1t + A2e
s2t
2 caso1
4 2 20 < 0 20
1
4 2> 0
s1/2 =1
1
2 420
2= 1
2 i
x(t) = A1es1it + A2e
s2it = A1e t
2it + A2e
t2+it =
= et2
(A1e
it + A2eit)
et2 fattore frenante
=
0 1
4 2
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3.10 Trasformazioni di Galileo
Le trasformazioni di Galileo sono equazioni valide nella meccanica classicache consentono di descrivere le coordinate di un sistema rispetto alle di coor-dinate di un altro sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispettoal primo, che e` detto sistema inerziale.
Primo osservatore fermo: O ~r ~v ~aSecondo osservatore in moto: O ~r ~v ~a
In meccanica classica si assume: t = t
~u velocita` di O rispetto ad O.
Legge 3.1 ~r(t) =(O O) + ~r = ~ut+ ~r
Legge 3.2 (composizione delle velocita`)
~v =d~r
dt=
d
dt(~ut+ ~r ) =
d
dt(~ut) +
d~r
dt= ~u+
d~r
dt= ~u+ ~v
velocita` assoluta = velocita` relativa + velocita` di trascinamento
Legge 3.3 (invarianza dellaccelerazione)
~a =d~v
dt=
d
dt(~u+ ~v ) = 0 +
d~v
dt=
d~v
dt= ~a
Laccelerazione quindi e` invariante~r = ~r + ~ut trasformate di Galileo~v = ~u+ ~v somma delle velocita`~a = ~a invarianza dellaccelerazionet = t ipotesi del tempo assoluto
Esse valgono nellipotesi che se t = 0 = t allora ~r = ~r. Non esiste un sistemadi riferimento assoluto.
3.10.1 Invarianza e covarianza
Una grandezza si dice invariante se e` numericamente uguale alla sua trasfor-mata, cioe` x = T (x) = x. Nelle trasformazioni di Galileo laccelerazionee` invariante rispetto alla trasformazione che trasforma le coordinate di Oin quelle di O. Nella relativita` galileiana la lunghezza e` invariante, nellarelativita` ristretta no.
Una legge si dice covariante se la sua espressione e` uguale alla sua tra-sformata, cioe` f(x) = T (f(x)).
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4Dinamica
4.1 Forze fondamentali
1. forza gravitazionale
2. forza elettromagnetica
3. forza nucleare debole
4. forza nucleare forte
Tutte le altre forze non sono altro che combinazioni di queste.
4.2 Altre forze
Molte forze sono descritte con leggi che approssimano il loro comportamen-to, consentendo unanalisi dinamica del sistema, senza dover consideraredirettamente le forze fondamentali.
4.2.1 Forza elastica
~F = k~xcon ~x lallungamento. Questa legge e` valida per i corpi elastici e perallungamenti limitati.
17
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4.2.2 Resistenza del mezzo
La resistenza del mezzo e` quella forza che il fluido in cui e` immerso un corpoin movimento esercita sul corpo. La forza e` proporzionale alla velocita`, mapuo` essere anche proporzionale al quadrato della velocita`.
~F = k~v
oppure:~F = kv~v
dove dipende dalla geometria del corpo, k dalla natura del mezzo.
4.2.3 Attrito statico
Le leggi sullattrito vengono chiamate leggi di Leonardo.
Legge 4.1 (Prima legge di Leonardo) fs sN con scoefficiente diattrito statico
Legge 4.2 (Seconda legge di Leonardo) La forza di attrito e` indipen-dente dalla superficie dappoggio
4.2.4 Attrito dinamico
Fc = cN
c = coefficiente di attrito dinamico. c < s
4.3 Leggi di Newton
Le leggi di Newton sono i principi della dinamica, legano due mondi distinti,quello del mondo esterno e quello della cinematica attraverso le forze. Inquanto principi non hanno nessuna giustificazione.
Principio 4.1 (Primo principio della dinamica) Quando un corpo e` sog-getto ad una forza risultante nulla e` possibile individuare una classe di rife-rimenti rispetto ai quali la sua accelerazione e` zero.
Principio 4.2 (Secondo principio della dinamica)~F = m~a
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In realta` Newton formulo` questa espressione come ~F = d~p
dt
Principio 4.3 (Terzo principio della dinamica) Se un corpo esercita unaforza su un altro corpo, il secondo corpo esercita una forza sul primo. Questedue forze sono uguali in modulo, hanno la stessa direzione e versi opposti.
4.4 Forze variabili
In generale la forza e` una funzione del tipo:
~F = ~F (~r,~v, t)
il caso piu` semplice e` quello in cui ~F e` una costante. La risoluzione diproblemi con forze variabili si traduce spesso nella risoluzione di equazionidifferenziali.
4.4.1 Forze variabili nel tempo
Una macchina viaggia alla velocita` di 100 km/h, la forza dei freni varia neltempo e quindi laccelerazione impressa dai freni segue la legge a = ct conc = 3 m/s3. Quanto ci mette la macchina a fermarsi?
v0 = 100 km/h ' 27.7 m/sc = 3 m/s3a = ctF = ma = mct
a =dv
dt= ct dv = ct dt
vv0
dv =
t0
ct dt
v v0 = ct2
2v =
ct2
2+ v0
v =dx
dt
t0
v dt =
x0
dx
t0
ct2
2+ v0 dt =
x0
dx
ct3
6+ v0t = x x = v0t+
ct3
6
vf = 0 vf = 0 =ct2
2+ v0 t =
2v0c
' 4.30 s
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4.4.2 Forze variabili nello spazio
Moto armonico delle molle
F = kx = ma
a =dv
dt=
d2x
dt2
kx = md2x
dt2md2x
dt+ kx = 0 x = mx
k
Notare che una funzione del genere e` il seno, cioe:
x(t) = A sin(t+ )
x(t) = A cos(t+ )
x(t) = A2 sin(t+ ) = 2x
x = 12
x
Confrontando questa funzione con quella trovata prima si ha che:
1
2=m
k2 =
k
m =
k
m
x = A sin
(k
mt+
)xmax = A
k
m(t+ T ) + =
k
mt+ + 2pi
k
mT = 2pi T = 2pi
m
k=
2pi
Moto del pendolo
l
ur
mg
T
utheta
theta
Figura 4.1: Pendolo semplice
~F = m~g + ~T = m~a{ar = v2l = 2la =
dvdt{
mg cos T = m2l = mv2l
mg sin = dvdtm
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=v
l=
d
dt
|v| = l = lddt
v = lddt
mg sin = mld2
dt
g sin = ld2
dt
per piccole oscillazioni1: sin '
g = ld2
dt
g = l = A sin (t+ )
= lg = A2 sin (t+ ) = 2
= 2
1
2=
l
g2 =
g
l =
g
l
= A sin
(g
lt+
)
2pi +
g
lt+ =
g
l(t+ T ) +
g
lT = 2pi T = 2pi
l
g=
2pi
4.4.3 Forze variabili nella velocita`
Su un corpo in caduta agisce la forza di Stokes: Fs = v, proporzionalealla velocita`. dipende dalla viscosita` del mezzo e dalla geometria del corpo.
~F = m~g + ~Fs = m~a
mg Fs = ma
mg v = ma = mdvdt
mg v = mdvdt
dt (mg v) = mdv1e` il primo sviluppo del polinomio di Taylor
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v0 0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Figura 4.2: Grafico forza variabile nella velocita`
t0
dt =
vv0
m
mg v dv
t =
[mln (mg v)
]vv0
= m(ln (mg v) ln (mg v0)) =
= mln
mg vmg v0
t
m= ln
mg vmg v0
etm = e
ln mgvmgv0 =
mg vmg v0
(mg v) = (mg v0)etm
v =mg
(1 etm
)+ v0e
tm
se t + allora v mg
se 0 allora v gt+ v0
4.5 Forze apparenti
Le forze apparenti non sono delle vere forze, sono degli strumenti che consen-tono di usare la seconda legge delle dinamica anche in sistemi non inerziali.In particolare le forze apparenti non rispettano il terzo principio della dina-mica. Siano O e O due sistemi di riferimento; O si muova verso destra con
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accelerazione ~aO rispetto ad O. ~rO il vettore che individua O rispetto ad O.
O
y y
r
P
r
O x x
~r = ~r + ~rO ~v = ~v + ~vO ~a = ~a + ~aO
m~a = m~a +m~aO = ~F
m~a = ~F m~aO = ~F + ~Fapp~Fapp = m~aO
4.5.1 Terra
La Terra non e` un sistema inerziale, infatti ruota intorno al Sole e ruotaattorno al proprio asse. Consideriamo questultimo moto:
P
x
x
x
x
y
yy
y
theta
omega
{x = x cos y sin y = y cos + x sin {
x(t) = x(t) cos(t) y(t) sin(t)y(t) = y(t) cos(t) + x(t) sin(t)
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vx =dx
dt= vx cos (t) x sin (t) vy sin (t) y cos (t)
ax =dvxdt
= ax cos (t) vx sin (t) vx sin (t) 2x cos (t) ay sin (t) vy cos (t) vy cos (t) + 2y sin (t)
=ax cos (t) ay sin (t) 2 [x cos (t) y sin (t)] 2 [vx sin (t) + vy cos (t)]
=ax = ax 2x 2vy
~ ~v =~i ~j ~k0 0 vx v
y v
z
= vy~i+ vx~j{ax = a
x 2x+ 2 (~ ~v)x
ay = ay 2y + 2 (~ ~v)y
~a = ~a 2~r + 2 (~ ~v)m~a = m~a m2~r + 2m (~ ~v) = ~Fma = ~F + m2~r
forza centrifuga
2m (~ ~v) forza di Coriolis
~Fcent = m2~r ~FCor = 2m (~ ~v)
Esempio 4.1 (pendolo di Focault) Se mettiamo un pendolo al polo laforza centrifuga sara` nulla perche r = 0, ma esiste ancora la forza di Coriolis.Sperimentalmente si osserva che il piano di rotazione del pendolo ruota acausa della non inerzialita` della Terra.
4.6 Quantita` di moto
~pdef= m~v
d~p
dt=
d (m~v)
dt= m~a = ~F
Newton disse: ~F =d~p
dt
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4.6.1 Sistema di N punti
La quantita` di moto totale di un sistema di N punti e` la somma delle quantita`di moto.
~p =NI=1
~pi =Ni=1
mi~vi
d~p
dt=
d
dt
Ni=1
mi~vi =Ni=1
d (m~vi)
dt=
Ni=1
mid~vidt
=Ni=1
mi~ai =
=Ni=1
Est
~Fi +Ni=1
Int
~Fi=Ni=1
Est
~Fi
Nellultimo passaggio abbiamo usato il terzo principio della dinamica. Si con-
clude che in un sistema isolato, cioe` conN
i=1
Est
~Fi vale la legge di conservazione
della quantita` di moto: ~p =const.
Esempio 4.2 (carrellini) Due carrellini di massa m e M si urtano frontal-mente con velocita` iniziali v e V .
Pi = Pf = 0 Pf = MV +mv = 0
MV = mvV
v=
m
M
Esempio 4.3 (decadimento) Luranio decade in questo modo:
U23892 Th23490 + 42~pf = mTh~vTh +m~v = ~p0 = 0
mThvTh = mv v = 2 107 m/svTh =
mvmTh
= 3.4 105 m/s
4.7 Centro di Massa
Sistema di N punti: ~rCM =
Ni=1 (~rimi)Ni=1mi
=
Ni=1 (~rimi)
M
xCM =
Ni=1 (ximi)
MyCM =
Ni=1 (yimi)
MzCM =
Ni=1 (zimi)
M
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~vCM =d~rCMdt
=
Ni=1
ddt(mi~ri)N
i=1mi=
Ni=1 (mi~vi)
M
M~vCM =Ni=1
mi~vi = ~p
d~p
dt=
d
dtM~vCM = M~aCM =
Ni=1
Est
~Fi
M~VCM = ~P M~aCM = Est
~Fi
Se il sistema e` isolato Est~F = 0
M~aCM = 0 ~aCM = 0Si muove di moto rettilineo uniforme.
4.7.1 Corpo continuo
~rCM =
V~r dm
M
=m
V
densita` locale (x, y, z) =dm
dV
dm = dV
M =
dm =
V
dm =
V
dV
~rCM =
V~rdV
M=
V~r dV
V dV
Se la densita` e` uguale in tutti i punti il centro di massa e` solo un fattoregeometrico:
~rCM =
V~r dV
V
Esempio 4.4 (semicirconferenza)
xCM = 0 per simmetria
dm
M=
ds
pirds = rd
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dm =Mds
pir=Mrd
pir=Md
pi
y = r sin
yCM =
ydm
M=
r
pi
pi0
sin d = rpi[cos ]pi0 =
r
pi(1 1) = 2r
pi
Esempio 4.5 (cerchio bucato) Luna e` il cerchio grande meno la piccolo(C) di raggio r
2yCM = 0 per simmetria
MC = pi(r2
)2= pi
(r2 r
2
4
)=
3
4pir2 M luna =
(pir2 pi
(r2
)2)
xpienoCM = 0 =xlunaCM + x
CCMM
C
MC +M luna
0 = xlunaCMxCCM
MC
M luna= xlunaCMx
CCM
4MC
3pir2= xlunaCMx
CCM
4pir2
4 3pir2 =xlunaCMx
CCM
3
xlunaCM = 3xCCM =
R
6
4.7.2 Teorema di PappoGuldino
Teorema 4.1 (PappoGuldino) Il volume generato dalla rotazione di unasuperficie e` uguale allarea della superficie per la distanza percorsa dal centrodi massa durante la rotazione.
Esempio 4.6 (Semicerchio) Larea generata dalla rotazione del semicer-chio e` il volume della sfera: 4
3pir3, la distanza percorsa dal centro di massa e`
2piy con y lordinata del centro di massa, la superficie del semicerchio e` pir2,
quindi
2piypir2
2=
4
3pir3
y =4
3pir
4.8 Impulso di una forza
~J(t1, t2) =
t2t1
~Fdt =
t2t1
m~adt = m
t2t1
d~v
dtdt = m
t2t1
d~v
= m [~v2 ~v1] = ~p2 ~p1 = ~p
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~J =
t2t1
~Fdt = ~p
Se il sistema e` isolato si ha:
~p1 =
t2t1
~F1,2 dt ~p2 =
t2t1
~F2,1 dt
~p1 +~p2 =
(~F1,2 + ~F2,1
)dt = 0 = ~ptotale
~piniziale = ~pfinale
4.9 Urti
Gli urti si classificano in elastici ed anelastici. Gli urti reali sono una viaintermedia. Negli urti elastici si conserva tutta lenergia cinetica, agisconosolo forze conservative; durante lurto lenergia cinetica si trasforma in energiapotenziale, per poi tornare completamente energia cinetica. La quantita` dimoto si conserva sempre in quanto non agiscono forze esterne.
4.9.1 Urti elastici
Urti in 1 dimensione{m1vi,1 +m2vi,2 = m1vf,1 +m2vf,2 v1,f =?12m1v
2i,1 +
12m2v
2i,2 =
12m1v
2f,1 +
12m2v
2f,2 v2,f =?
v1,f =2m2
m1 +m2vi,2 vi,2m2 m1
m1 +m2
v2,f =2m1
m1 +m2vi,1 vi,2m1 m2
m1 +m2
casi limite
1. m1 = m2vf,1 = vi,2
vf,2 = vi,1
vi,2 = 0vf,1 = 0
vf,2 = vi,1
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2. m2 m1m1m2
' 0vf,1 = vi,1 + 2vi,2
vf,2 = vi,2
vi,2 = 0vf,1 = vi,1vf,2 = vi,2 = 0
Urti in due dimensioni
Due corpi di massa m1, m2, prima dellurto velocita` ~vi,2 = 0, ~vi,1, il secondocorpo e` fermo, dopo lurto velocita` ~vf,1, ~vf,2.{
m1~vi,1 = m1~vf,1 +m2~vf,212m1v
2i,1 =
12m1v
2f,1 +
12m2v
2f,2
m1vi,1 = mivf,1 cos1 +m2vf,2 cos20 = m1vf,1 sin1 m2vf,2 sin212m1v
2i,1 =
12m1v
2f,1 +
12m2v
2f,2
Il sistema e` formato da 3 equazioni, ma da 4 incognite (1, 2, vf,1, vf,2), ha1 soluzioni.
Nel caso particolare di m1 = m2 si ha:
1
2mv2i,1 =
1
2mv2f,1 +
1
2mv2f,2{
v2i,1 = v2f,1 + v
2f,2
m2v2i,1 = m2v2f,1 +m
2v2f,2 + 2m2v1,fv2,f cos{
v2i,1 = v2f,1 + v
2f,2
v2i,1 = v2f,1 + v
2f,2 + 2v1,fv2,f cos
quindi cos = 0 = 90, oppure v1,f = 0 e v2,f = v1,i
4.9.2 Urti completamente anelastici
Negli urti anelastici il sistema perde la massima energia cinetica possibile, chenon e` tutta in quanto se il sistema perdesse tutta lenergia cinetica violerebbela conservazione della quantita` di moto. Si dimostra che questo caso e` quelloin cui dopo lurto i due corpi rimangono attaccati.
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Esempio 4.7 (pendolo balistico) Un proiettile di massa m, velocita` v ur-ta un pendolo balistico di massa M > m e velocita` V = 0. Prima dellurtola quantita` di moto totale del sistema e` mv, dopo (M +m)V .
mv = (M +m)V
V =mv
M + v
Dopo lurto il pendolo balistico, con il proiettile incorporato oscilla come unpendolo, lenergia meccanica si conserva, quindi KA = U(B)
1
2(m+M)V 2 = (m+M)gh
1
2
(mv
M +m
)2= (m+M)gh
1
2
m2v2
M +m= (m+M)gh
v2 =(m+M)gh 2(m+M)
m2=
2(m+M)2gh
m2
v =m+M
m
2gh
Consideriamo un sistema di riferimento inerziale rispetto al CM con lastessa velocita` del CM.
~P prima = (m+M)~VCM = 0
~P dopo = 0 sono attaccati ~v = 0
Quindi tutta lenergia cinetica e` persa.
4.10 Momento dinerzia
Corpo rigido(CR): presi due punti qualsiasi la loro distanza rimane inalterata.Servono tre punti, quindi 9 coordinate, ma le distanze rimangono fisse neltempo, quindi il corpo ha 6 gradi di liberta`. Per descrivere il moto di uncorpo bisogna dare 6 coordinate in funzione del tempo. Se fissiamo un assedi rotazione si ha un solo grado di liberta`. In questo caso si ha una rotazioneintorno ad un asse fisso. Ogni punto del CR descrive una circonferenza. e`comune a tutti, quindi anche e
dsi = dri
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vi = ri at =dvidt
= ri
K =i
1
2miv
2i
K =i
1
2mi
2r2i =1
22
(i
mir2i
)=
1
2I2
I = momento dinerzia =Ni=1
mir2i
Nel caso di corpo continuoi=1
dmir2i =
V
r2 dm
Essendo ~r relativo a un punto O allora anche I sara` relativo ad O. Bisognasempre specificare rispetto quale punto si calcola I.
4.10.1 Calcolo Momenti di Inerzia
Barra Sottile per lestremo
M
x
l
dx
O
dm
M=
dx
l
I0 =
l0
M
ldxx2 =
M
l
[x3
3
]l0
=M
l
l3
3=M
3l2
Barra sottile per il centro di massa
Ic =
l/2l/2
M
ldxx2 =
M
l
l/2l/2
x2dx =M
3l
(l3
8+l3
8
)=M
12l2
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r+drr
R
Disco
dm
M=
2pirdr
piR2
dm = M2dr
R2r
IO =
RO
M
R22drr3 =
2M
R2
RO
r3dr =2M
R2 R
4
4=
1
2MR2
Sfera omogenea
Dividiamo la sfera in tanti dischetti:
R
R
rdhds
theta
dtheta
r = R cos ds = Rd dh = ds cos = Rd cos
dm = dV = pir2dh = piR2 cos2 R cos d = R3pi cos3 d
Idischetto = dI =1
2dmr2 =
1
2piR3 cos3 dR2 cos2 =
1
2piR5 cos5 d
m = 4
3piR3
Isfera = 2
pi2
0
dI =3
4mR2
pi2
0
cos5 d =2
5mR2
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4.10.2 Teorema di Steiner o degli assi paralleli
Teorema 4.2 (Steiner o degli assi paralleli) Sia d la distanza da un as-se di rotazione I0 parallelo allasse ICM passante per il centro di massa.Allora:
I0 = d2M + ICM
C
O
i
r
r
ri
C
i
~ri = ~rC + ~ri
~ri ~ri = r2i = (~rC + ri ) (~rC + ~ri ) r2i = r2C + ri 2 + 2~rC ~ri
I0 =
mir2i =
r2Cmi +
ri2mi +
mi 2~rC ~ri
= r2C
mi + IC + 2~rC
mi~ri = d2M + IC + 2~rC
mi ~ri
Per ipotesi C e` il CM del sistema
I0 = d2M +ICM +2~ri
mi~ri
MM = d2M +ICM +2~ri ~r CMCMM = d2M +ICM
Ma Md2 > 0 quindi ICM e` il momento minimo possibile.
Esempio 4.8 Il momento dinerzia di una circonferenza rispetto al centrodi massa e` ICM =
12MR2, per un estremo e`:
I0 = ICM +MR2 =
1
2MR2 +MR2 =
3
2MR2 > ICM
4.11 Momento di una forza
Rispetto al polo 0 fisso: ~0 = ~r ~F =~i ~j ~kx y zFx Fy Fz
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L = dK d~s = ~rd
L = Fds cos = Frd cos
K =1
2I2 dK = Id
Frd cos = Id
Frd
dtcos = I
d
dt
Fr cos = I
Fr cos = I
Fr sin = I
~ = I~ analoga a ~F = m~a
4.12 Momento angolare
o momento della quantita` di moto
~l0 = ~r m~v rispetto al polo 0 fisso.
d~l0dt
=d
dt(~r m~v) = d~r
dtm~v + ~r dm~v
dt
= ~v m~v + ~r m~a = ~r m~a = ~r ~F = ~0
d~l0dt
= ~0 analoga ad~p
dt= ~F
4.12.1 Sistema di N punti
~L0 =Ni=1
~l0i
d~L0dt
=Ni=1
d~l0idt
=Ni=1
d
dt(~ri ~vi) =
Ni=1
~vi mi~vi + ~ri mi~ai =
=Ni=1
~rimi~ai =Ni=1
~ri ~Fi =Ni=1
~riInt
~Fi +Ni=1
~riEst
~Fi=Ni=1
~riEst
~Fi=Ni=1
Est
~0
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DimostrazioneInt
~0= 0
~F1,2 = ~F2,1~r1 ~F1,2 + ~r2 ~F2,1 = ~r1 ~F1,2 ~r2 ~F1,2 = (~ri ~r2) ~F1,2 = 0
perche (~r1 ~r2) ~F1,2
4.12.2 Conservazione del momento angolare
Se il sistema e` isolato si ha:Est
~F = 0Est
~ = 0
d~L0dt
= ~0 = 0 ~L0 =const
e quindi I = const. Tutto cio` per la simmetria per rotazioni.
4.12.3 Rotazione intorno a O mobile
~ri = ~rO + ~ri ~ri = ~ri ~rO
LO =
~ri m~vi =
(~ri ~rO)m~vi
dLO
dt=
(vi vO)m~vi + ri m~ai =
~vO mi~vi +
~ri ~Fi
= ~vO
mi~vi + ~O = ~vO ~P+ EstO
dLOdt
= ~vO ~P+ EstO
se vO = 0 allora vO ~P = 0se O = CM allora M~VCM = ~p ~vCM ~P ~vO ~P = 0
4.12.4 Rotazione intorno ad un asse
~li = ~ri mi~viliz = |~li| sin i
|~li| = rimivi liz = rimivi sin i di = viliz = mididi = md
2i
liz = miR2i
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Lz =
liz =
(mid2i ) = I
Lz = I
dlizdt
= Id
dt= I
Estz= I
4.12.5 Corpo simmetrico rispetto allasse di rotazione
~li +~li = ~k
L = I = Lz
4.13 Analogia tra grandezze lineari e rotazionali
Grandezze lineari Grandezze rotazionalivelocita` ~v = d~r/dt velocita` angolare ~ = d/dtAccelerazione ~a = d~v/dt Accelerazione angolare ~ = d~/dtMassa m Momento dinerzia I =
mr2
Forza ~F Momento di una forza ~ = ~r ~FSeconda legge di New-ton
Est~F = m~a Seconda legge di New-ton per moto rotatoricon asse fisso
Est~z= Iz
Condizione di equilibrio Est~F = 0 Condizione di equilibrio Est~ = 0
quantita` di moto di unaparticella
~p = m~v Momento angolare diuna particella
~l = ~r ~p
quantita` di moto di unsistema di particelle
~P =M~vCM Momento angolare di unsistema di particelle
~L = I
Forma generale della se-conda legge di Newton
Est~F = d~P/dt Forma generale della se-conda legge di Newtonper i moti rotatori
Est~ = d~L/dt
Conservazione dellaquantita` di moto di unsistema di particelle per
il quale Est~F = 0
~P =
~pn ==const
Conservazione del mo-mento angolare di un si-stema di particelle per il
quale Est
~ = 0
~L =~ln =
=const
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5Lavoro ed energia
5.1 Lavoro definizione
Il lavoro e` una grandezza scalare. Distinguiamo i seguenti casi particolari:
a) Forza costante e parallela allo spostamento
L = Fs
b) Forza costante non parallela allo spostamento
L = Fs cos = ~F ~s
c) Forza parallela ma variabile
L =
BA
F (x)dx
d) Forza variabile, traiettoria qualsiasi (caso generale)
L = ~F d~s
L =
BA
L curvilineo
37
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Definizione 5.1 (lavoro) Definiamo lavoro L della forza ~F sul punto Plungo il percorso :
L =
~F d~r (5.1)
Esempio 5.1 (attrito costante su traiettoria semicircolare)
FA = N = mg L = ~FA d~s = mgds
L =
BA
L =
BA
mgds = mg BA
ds = mgpiR
5.1.1 Lavoro nei moti rotatori
Corpo rigido ruotante attorno ad un asse. ds lo spostamento infinitesimalecorrispondete a d, langolo compreso tra la forza e il vettore ~r:
L = (F sin)ds = (F sin)(rd) = (rF sin)d = zd
L =
fi
zd
Se durante la rotazione il momento torcente resta costante, il lavoro svoltoda questo momento torcente e`:
L = z
5.2 Potenza
La potenza si misura nellSI in J/s cioe` W(watt).
P =dL
dt
P =dL
dt=
~F d~sdt
= ~F d~sdt
= ~F ~v
5.2.1 Potenza nei moti rotatori
P =dL
dt=zd
dt= z
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5.3 Energia Cinetica1
Definizione 5.2 (energia cinetica)
K =1
2mv2
A volte indicata con T .
5.3.1 Teorema lavoroenergia
L = ~F d~s = ~F d~sdtdt = ~F ~vdt = m~a ~vdt = md~v
dt~vdt = m~vd~v = mvdv
dK = d
(1
2mv2
)= d
(1
2mvv
)=
1
2m (dvv + vdv) =
1
2m2vdv = mvdv
L = dK
BA
L =
BA
dK
Teorema 5.1 (lavoroenergia)
L = KB KA = KIl lavoro e` allora la variazione dellenergia cinetica
5.4 Complementi Funzioni in due variabili
z = f(x, y)
derivata parziale:
z
x=f
x=
df
dxconsiderando y costante
derivate seconde parziali:
2z
x22z
y22z
xy
2z
yx
Teorema di Shwartz: le derivate seconde parziali incrociate sono uguali:
2z
xy=
2z
yx
1classica. Per quella relativistica vedi 9.9 a pag.110
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40 Materiale disponibile gratuitamente su www.studentibicocca.it
Differenziale totale o esatto:
dz =z
xdx+
z
ydy
e` una forma differenziale lineare. Forma Differenziale lineare:
G = H(x, y)dx+K(x, y)dy
Una forma differenziale lineare e` un differenziale esatto se e solo se:
H
y=K
x
Il lavoro elementare e` una forma differenziale lineare:
L = ~F d~s = Fxdx+ Fydy = Fx(x, y)dx+ Fy(x, y)dy
LBA =
BA
L =
BA
Fx(x, y)dx+ Fy(x, y)dy
seFxy
=Fyx
L = differenziale totale
L = dL = dV
Allora si avra`, qualunque sia il cammino percorso:
LBA =
BA
dV = V (B) V (A)
e la forza si dice conservativa.
Fx(x, y) =V
xFy(x, y) =
V
y
In termini sintetici:~F = ~V
Per dettagli sulloperatore gradiente vedi sezione 2.3 a pagina 9.
5.4.1 Circuitazione di una forza
E` il lavoro calcolato su una traiettoria chiusa~F d~s = 0 se la forza e` conservativa
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5.5 Energia Potenziale
U = VLBA = U(A) U(B) = U
Considerando lenergia potenziale in 0 nulla si ha2:
LP0 = U(0) U(P ) = 0 U(P )
U(P ) = LP0 = P0
~F d~s
~F = ~U
5.5.1 Conservazione dellenergia meccanica
Considerando solo forze conservative:
LBA = UA UB LBA = KB KAUA +KA = UB +KB
U(P ) +K = E = const
La somma di U e K e` lenergia meccanica totale ed e` costante.Per verificare se una forza e` conservativa:
1.Fxy
=Fyx
se s` allora e` conservativa, se no non lo e`
2.U(0) = 0 LP0 = U(0) U(P ) = U(P )
U(P ) = P0
~Fd~s
3. VerificaU
x= Fx U
y= Fy
Esempio 5.2 (Forza peso Fx = 0 Fy = mg) 1.Fxy
= 0 = Fyx
2ce` molta confusione sulle notazioni, frequentemente quello che qui e` chiamato V e`chiamato U e lenergia potenziale U e` chiamata V
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2. U(P ) = P0~F d~s =
P0Fx dx+ Fy dy =
P0mg dy = mgy
3. Ux
= 0 = Fx Uy = mg = Fy
Esempio 5.3 (Forza elastica Fx = kx Fy = ky) 1. Fxy = 0 = Fyx
2. U(P ) = P0~F d~s =
( P0Fx dx+
P0Fy dy
)= 1
2kx2 + 1
2ky2 = 1
2kr2
3. Ux
= kx = Fx Uy = ky = Fy
Esempio 5.4 (Forza gravitazionale ~F = GMmr3~r r =
x2 + y2) 1.
Fx =GMm
r3x = GMmx(x2 + y2) 32
Fy =GMm
r3y = GMmy(x2 + y2) 32
Fxy
= GmMx3
2(x2 + y2)
522y =
Fyx
= GmMy3
2(x2 + y2)
522x
Fxy
=Fyx
e` conservativa
2.
U() = 0
U(P ) = P
~Fd~s =
P
~Fd~s =
P
GMmr2
dr =
[GMm
r
]r
= GMmr
Calcolo della velocita` di fuga
conservazione dellenergia: EA = EB
1
2mv20 +
(GMmr
)=
1
2mv2 + 0 0
Caso limite all arriva fermo v = 01
2mv20
GMm
r= 0
v0 =
2GM
R=2Rg ' 11 103 m/s dalla Terra
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h
A
B
l
mg
v
Applicazione dellenergia a pendoli
Angoli non piccoli, ~T~v ~Td~sL = ~T d~s = 0
U = mgh K =1
2mv2
mgh+1
2mv2 = E = const
A 0 si trova nella posizione A KA = 0
EA = 0 +mgh
In B KB 6= 0 EB = K +mghBh = l l cos
EA = mg (l l cos 0)
EB =1
2mv2 +mg (l l cos )EA = EB
mgl (1 cos 0) = 12mv2 +mgl (1 cos )
v2 = 2gl(cos cos 0)
Esempio 5.5 (arriva in alto?) La ~N non compie lavoro perche ~Nd~s
EA =1
2mv20 EB =
1
2mv2B +mg2R
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mg
Nv0
A
B
EA = EB EA =1
2mv20 =
1
2mv2B +mg2R
V 20 = V2B + 4gR
Quando e` in B
mg +N = mV 2BR
N = mV 2BRmg per non cadere: N 0
mV 2BR mg V 2B gR
V 2Bmin = gR V20min = gR + 4gR V0min =
5gR
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6Gravitazione
6.1 Cenni storici
I sistemi gravitazionali piu` celebri sono:
sistema tolemaico. E` un sistema geocentrico del II sec. d.C. Per ovviaread alcuni errori, senza uscire dal dogma delle orbite circolari, Tolomeosuppose che i pianeti descrivessero degli epicili
sistema copernicano. E` un sistema eliocentrico del 1500 d.C.
sistema ticonico di T.Brahe. E` un sistema misto tra il sistema eliocen-trico e geocentrico
Newton verso il 1665 teorizzo` che le leggi celesti sono uguali a quelleterrestri: e` una delle prime unificazioni di forze ritenute inizialmente diversein ununica forza.
6.1.1 Leggi di Keplero
Le leggi di Keplero sono leggi empiriche, formulate prima delle teorie diNewton:
Legge 6.1 (Prima legge di Keplero) I pianeti descrivono intorno al Soleorbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
45
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Legge 6.2 (Seconda legge di Keplero) Le aree descritte dal raggio vet-tore tracciato dal Sole ai pianeti sono proporzionali al periodo.
Legge 6.3 (Terza legge di Keplero) I quadrati dei tempi impiegati daipianeti a descrivere le proprie orbite sono proporzionali ai cubi dei semiassimaggiori delle ellissi.
6.2 Teorema di Gauss (per la gravita`)
Con il teorema di Gauss si puo` supporre che gli effetti della gravita` di uncorpo su un altro, al suo esterno, siano uguali a quelli che si avrebbero se lemasse fossero concentrate nel centro di massa.
6.2.1 Caso crosta sferica
dA e` larea compresa tra le due sezioni.
P
O
theta
M
R
r
dtheta
x
F = GMm
r2
r = R sin dA = 2pirRd
dm
M=
dA
4piR2=
2pirRd4piR2
=R sin d
2R=
sin d
2
dm =M sin d
2
U = Gmm
rdU = Gdmm
x
x2 = R2 + r2 2rR cos
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Derivando a sinistra in x e a destra in si ha:
2x dx = 2rR sin d sin d
sin d =xdx
rR
U = palla
Gm
xdm =
palla
Gm
x
M sin d
2= Gm
m2
palla
sin
xd
= Gmm
2rR
x
xdx = Gmm
2rR
r+RrR
dx = Gmm
2rR[r +R r + r]
= Gmm
2rR2R = Gmm
r
Possiamo quindi concentrare tutta la massa nel centro della palla (se P stafuori). Se P e` esterno:
U = Gmm
rF = dU
dr=Gmm
r2
Se P e` interno vale il discorso precedente fino alla scelta degli estremi:
U(P ) = Gmm
2rR
r+RRr
dx = Gmm
2rR[r +RR + r]
= Gmm
2rR2r = Gmm
2
R= const
~F = dUd~r
= 0
Quindi un punto allinterno del guscio non risente di alcuna forza, questolo si puo` dimostrare ragionando con in coni, in quanto per ogni cono le forzesono uguali.
6.2.2 Caso sfera piena
Allesterno:
F = GMm
r2
Dentro:
F = GMintm
r2
M int
M tot=
V int
V tot=
43pir2
43piR3
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(a) Ideale (b) Reale
Figura 6.1: Forza in una sfera cava ideale (a) e reale (b)
M int =r3
R3M tot
F = Gr3M totm
r2R3= Gmm
rR3
= krha lespressione di una forza elastica.
Esempio 6.1 (posta pneumatica interterrestre) Immaginiamo di fareun buco che attraversa tutta la terra, passando per il centro. Un paccolanciato al suo interno sarebbe sottoposto ad una forza del tipo:
F = kr k =(GmMTR3T
)
T = 2pi
m
k= 2pi
R3TGMT
= 2pi
RTg' 40 min
6.3 Interpretazione delle leggi di Keplero
6.3.1 Seconda legge
Lunica ipotesi che utilizziamo e` che la forza sia centrale, quindi il risultatoe` estendibile a tutte le forze centrali. Una forza si dice centrale quando e`diretta come la congiungente dei due punti che interagiscono.
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S
P
v
dhr
ds
phi
d~LSdt
= ~S = 0 perche ~F ~r~LS = ~r m~v = constLS = rmv sin = const
dh = ds sin
velocita` areolare =dA
dt=rdh
2dt=r sinds
2dt=
r
2v sin
LS =dA
dt2m
dA
dt=
LS2m
= const
6.3.2 Terza legge
F =GMSm
R2= ma =
mv2
R= 2Rm
GMSR2
= 2R =2pi
T
GMSR2
=4pi2
T 2R T 2 =
4pi2
GMSR3
T 2
R3=
4pi2
GMS= const
6.4 Accelerazione di gravita`
~g =~F
m
Sulla Terra:
g =GMTm
R2T
m=GMTR2T
' 9.836 m/s2
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In realta` questo valore e` variabile, dallequatore ai poli, cioe` circa tra 9.789.86, a causa della forza centrifuga e dallo schiacciamento dei poli. Per quantoriguarda la forza centrifuga questa e` nulla ai poli e massima allequatorequindi:
FC = m2R FN = mgpolo
FCFN
=2R
gpolo=
(2pi)2
T 2R
gpolo
6.5 Misurazione della costante di gravitazio-
ne universale
Cavendish con larticolo Misura della massa terrestre nel 1798 e` il primoa misurare la costante di gravitazione universale o costante di Cavendish.Cavendish si proponeva di misurare la massa terrestre e quindi indirettamenteG.
La bilancia di torsione viene fatta oscillare, il momento e` proporzionaleallangolo di scostamento dalla posizione di equilibrio, si genera un motoarmonico.
= k = I = d2
dt2
k = I T = 2piI
kI = 2mD2
Da qui sperimentalmente si trova k. Avvicinando delle masse piu` grossesi genera un momento dovuto alla forza gravitazionale. Si impone che ilmomento gravitazionale sia uguale al momento dovuto alla forza elastica dirichiamo.
Newton = 2GMm
d2D = torsione = k
G =kd2
2MmD
6.6 Massa gravitazione e massa inerziale
Per massa inerziale si intende quella grandezza usata in dinamica per esempio~F = m~a. Per massa gravitazionale si intende quella usata nella gravitazione
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per esempio F = GMmr2
. Anche se la questione e` aperta mi e` proporzionale amg infatti se B e C sono attratti da A si ha:
FBAFCA
=GmBgmagGmCgmag
=mBgmCg
=mBiabmciac
se aC = aB mBgmCg
=mBimCi
mBg = mCgmCi
mBi
6.7 Principio di equivalenza
Principio 6.1 (equivalenza di Einstein) nessun esperimento puo` rivela-re la differenza tra un sistema di riferimento inerziale immerso in un campogravitazionale ~j e un sistema non inerziale con accelerazione costante ~a = ~j
6.8 Energia associata ad unorbita
E =1
2mv2 GMm
r2= GMm
2a
r() =p
1 + e cos
p =L2
m
= GMm
e = ecentricita` =
1 + 2
EL2
m
e > 1 E > 0 iperbolee = 1 E = 0 parabola0 < e < 1 E < 0 ellissee = 0 E < 0 circonferenza
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7Meccanica dei fluidi
La meccanica dei fluidi applica le leggi della meccanica classica ai fluidi,cioe` ai liquidi e ai gas, descrivendo il tutto in termini di pressione, volume,portata.
7.1 FluidoStatica
7.1.1 Pressione e densita`
La pressione e` la forza sullunita` di superficie: p = d|~F |
dA. E` una grandezza
scalare, infatti la forza agisce sempre perpendicolarmente alla superficie. Seavesse una componente tangenziale il fluido si muoverebbe e non parleremmopiu` di fluidostatica. Unaltro modo analogo usando il vettore normale e`
Definizione 7.1 (pressione)
p =d~F ~ndA
(7.1)
La pressione si misura in: N/m2 = Pa (pascal), che pero` e` usualmente piccola,comuni sono anche: bar = 105 Pa, Atm = 1.013 105 Pa, torr = mmHg =1/760 Atm.
Definizione 7.2 (densita` (locale))
(~r) =dm
dV(7.2)
52
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si misura in kg/m3
7.1.2 Legge di Stevino
F1
F2
dmg
A
dy
y
p
p+dp
p0 0
Il liquido e` in equilibrio quindi ~F1 + ~F2 + dm~g = 0. ~F1 e` la forza dovutaalla parte superiore del fluido, ~F2 a quella inferiore.
dmg (p+ dp)A+ pA = 0 dmg dpA = 0dm = dV = Ady Adyg dpA = 0
dp = gdyp0 = pressione atmosferica
Integrando:
pp0
dp = h0
g dy = g h0
dy
p = p0 ghTutto cio` e` valido considerando la densita` costante, come per esempio in unliquido, in un gas cio` non e` piu` possibile quindi ipotizziamo che
0=
p
p0 = 0 p
p0
dp = 0 pp0gdy
pp0
dp
p=
y0
0 gp0dy
log p log p0 = log pp0
= 0 gp0y
p = p0e 0g
p0y
p = p0e y =
p00g
e` una lunghezza
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7.1.3 Legge dei vasi comunicanti
Nel tubo a U sono introdotti due liquidi non miscibili 1 e 2. Sotto ad A e Bce` solo il fluido 2. A e B sono alla stessa altezza, quindi:
O
h2
h1
1
2
A B
p0 p0
Figura 7.1: Vasi comunicanti
pA = pB p0 + 1gh1 = p0 + 2gh2
legge dei vasi comunicanti:12
=h2h1
7.1.4 Esperimento di Torricelli 1664
Lesperimento consiste nel riempire fino allorlo un cilindro di mercurio edi rovesciarlo, senza far uscire il liquido, in una bacinella in cui ce` gia` delmercurio. Il livello del mercurio scende fino al livello di 0.76 m.
A
B
h
vuoto
Hg
Figura 7.2: Esperimento di Torricelli
Il punto A e il punto B sono allo stesso livello, quindi: pA = pB
pA = p0 pB = Hggh p0 = Hggh = 1 Atm
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Si misura in questo modo la pressione atmosferica, in mmHg.Lesperimento di Torricelli suscito` clamore perche Torricelli suppose che
nella zona superiore del tubo ci fosse del vuoto.
7.1.5 Esperimento delle due semisfere
In due semisfere attaccate in modo da creare una sfera viene diminuita lapressione, togliendo aria. In questo modo la pressione esterna e` maggiore edesercita una forza sulle pareti delle semisfere, rendendo difficile la separazione.
R
theta
dm
Consideriamo la strisciolina dm
F =
dF
dA = 2piR sin Rd = 2piR2 sin d
dFx = p02piR2 sin d cos
d sin
d= cos d sin = cos d
S
dFx = p02piR2
pi2
0
sin cos d = p02piR2
10
sin d(sin ) = p0piR2
se R = 1 m Fx = 3.14 105 N
7.1.6 Principio di Pascal
Consideriamo un cilindro con un pistone che non esercita pressione.Se applichiamo una forza sul pistone la pressione esterna, al livello del
pistone, salira` da p0 a p0 + p0
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p0
h
p
Prima: p = p0 + gh
Dopo: p = p0 + p0 + gh = p+ p
0
cioe` la variazione di pressione si trasmette in tutti i punti del fluido.
Paradosso di Pascal
Pascal si divertiva a rompere le botti infilandogli un tubo molto lungo, anchedi sezione sottile, in quanto la sezione non conta, pieno dacqua. La pressionefaceva rompere le botti.
7.1.7 Principio di Archimede
Consideriamo un elemento di un fluido. Su di esso agisce la forza peso,perche sia in equilibrio deve agire una forza uguale e contraria: la spintadi Archimede ~S = V ~g. Essa e` dovuta alla differenza di pressione p.Se sostituiamo lelemento di fluido con un solido il contorno non cambia equindi la spinta di Archimede risulta uguale. Il peso pero` e` cambiato, quindiin generale non e` in equilibrio. Se P > S cioe` solido > liquido sprofonda,altrimenti il corpo sale e bisogna considerare che una parte di questo emergera`e allora la spinta di Archimede diminuira`. La condizione di equilibri in questocaso e` Vimmerso = Vt
sl
ecco quello che dico-
no i nostri matematici Esempio 7.1 (Iceberg) Ghiaccio in acqua = si scioglie
Vtotale Vemergente = Vtotaleghiaccioacqua
Vtotale ' 10Vemergente
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dm
dydx
dz
x
z
y
7.1.8 Condizione generale di equilibrio
Forze di volume: proporzionali al volume
~f =~F
m
notare che ~f e` unaccelerazione.
Forze di superficie: dovute al liquido che lo circonda, proporzionali allasuperficie
F = pA
Lungo lasse x:
fxdm+ p(x)dzdy p(x+ dx)dydz = 0
fxdxdydz + p(x)dydz (p(x) + px
dx)dydz = 0
fxdxdydz px
dxdydz = 0
fx =p
xfy =
p
yfz =
p
z
~f = ~p
Stevino
Nelle ipotesi di Stevino ce` solo il peso, quindi ~f = ~g
fz =dpzdz
gdz = dp
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Superfici isobariche
Um =U
m ~(Um) = ~p ~(Um) = ~p
Um = p+ const
Segue che le superficie isobariche coincidono con le superfici equipotenziali.Nel caso agisca solo la forza peso esse sono dei piani orizzontali.
7.1.9 Fluido in rotazione
y
z
0
z
x
Figura 7.3: Elemento di un fluido in rotazione
Per lavorare in un sistema inerziale aggiungiamo la forza fittizia m2r, re` la distanza dal centro generica, nel nostro caso R e` la distanza dellelementodm dallasse.
Nella direzione radiale fr = 2r
fr = 2y =
dp
drdp = 2ydr p
passe
dp =
R0
2ydr
p passe = 2R2
2p = passe +
2
2R2
passe = p0 gz p = p0 gz + 2
2R2
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Su una superficie isobarica p = const, p0 = const
gz = const +2
2R2
z = const +2
2gR2 = const +
2
2gR2 = const +
2
2g(x2 + y2)
E` un paraboloide:
105
0 5
10 105
0 5
10
Figura 7.4: Paraboloide
Archimede per le rotazioni
se s > f il corpo si muove verso lesterno.
7.2 Dinamica dei fluidi
Approccio di Lagrange: si danno le coordinate x di un elemento di flusso infunzione del tempo, e` un metodo di analisi complicato.
Approccio di Eulero: si studiano le caratteristiche del fluido in un deter-minato punto. Ci mettiamo in un punto dello spazio e vediamo come varianole grandezze in funzione del tempo. Per descrivere in modo completo bisognaripetere le misurazioni in modo completo.
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Vengono usate le semplificazioni:
1. fluidi:
incomprimibili ( = const) non viscosi (primi di attrito interno)
2. moto:
stazionari (i fenomeni non dipendono dal tempo) irrotazionali (nessun vortice, non caotici), rot(~v) = 0, ~vd~s = 0
Linee di flusso: tangenti alla ~v della particella. Ha senso se il moto e`stazionario, cioe` se ~v e` costante nel tempo.
Le linee di flusso danno origine al tubo di flusso. Non e` possibile che vi siafuoriuscita di fluido latente per definizione: ~v e` tangente alle linee di flusso.
7.2.1 Equazione di continuita`
La portata volumica e` la quantita` di volume che passa nel tempo: Q = dVdt,
ma essendo in regime stazionario la velocita` non varia, quindi Q = Vt
, laportata di massa e` la quantita` di massa nel tempo.
Aa
V3V2
h
V1
A
Fissiamo t tale che h = v1t
1. fluido che entra in t V = A1v1t
2. fluido che esce in t V = A2v2t
Naturalmente le masse entranti e uscenti sono uguali, quindi (legge di Leo-nardo):
A1v1 = A2v2
Portata volumica: Qv = Av
Portata di massa: Qm = Av
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7.2.2 Equazione di Bernoulli
1
2
h1h2
F1
F2
Il lavoro e` svolto dalla forze: ~F1, ~F2, ~P e` L = K
m = V = A1v1t = A2v2tL1 = F1S = F1v1t = p1A1v1tL2 = F2S = F2v2t = p2A2v2tLP = mg(h2 h1)
K =1
2m(v22 v21)
L1 + L2 + LP = K
p1A1v1t p2A2v2tmg(h2 h1) = 12m(v22 v21)
m
[(gh1 gh2) + p1A1v1t
m p2A2v2t
m
]=m
[(gh1 gh2) + p1A1v1t
A1v1t p2A2v2t
A2v2t
]=m
[gh1 gh2 + p1
p2
]= L
=K =1
2m(v22 v21)
gh1 gh2 + p1 p2
=
1
2(v22 v21)
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gh1 +p1+
1
2v21 = gh2 +
p2+
1
2v22
Teorema di Bernoulli:
gh+ p+1
2v2 = const
Lespressione e` molto simile alla conservazione dellenergia meccanica.
mgh+1
2mv2 = const
Esempio 7.2 (ali di aereo) Laria sotto le ali di un aereo e` piu` lenta diquella che passa sopra, quindi dalla legge di Bernoulli, considerando laltezzauguale:
p+1
2v2 = const
quindi se diminuisce v deve aumentare p e allora si ho una pressione dellariasullala e quindi la forza che tiene in aria laeroplano.
7.3 Viscosita`
Del
ta z
v FA
Figura 7.5: Perdita di pressione a causa della viscosita`
La pressione diminuisce, si ha una perdita di carico per un fluido viscosoa causa degli attriti interni. Siamo a regime laminare (velocita` basse).
F = Adv
dz~F = A~v = coefficiente di viscosita`
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7.3.1 Legge di Poiseuille
F1F3
p+delta p p
L
x
r+drr
F2
F4
La velocita` sara` massima al centro e minima ai bordi. Considero la por-zione di fluido tra r e r + dr. Le forze F3 e F4 sono dovute alle porzioni difluido piu` esterne (piu` lente) e quelle piu` interne (piu` veloci).
F1 = (p+p)2pirdr F2 = p2pirdr
F3 = L2pi(r + dr)dv
dr
r+dr
dv
dr< 0
F4 = L2pir dvdr
r
F = 0 = (p+p)2pirdr p2pirdr + L2pi(r + dr) dvdr
r+dr
L2pir dvdr
r
Taylor nellintorno di r:dv
dr
x
=dv
dr
r
+d2v
dr2
r
(x r) + . . .
0 = prdr + L
{(r + dr)
dv
dr
r+dr
r dvdr
r
}'
' prdr + L{(r + dr)
[dv
dr
r
+d2v
dr2
r
dr
] r dv
dr
r
}=
= prdr + L
{rdv
dr+ r
d2v
dr2dr + dr
dv
dr+
d2v
drdr rdv
dr
}'
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' prdr + L[rd2v
dr2dr +
dv
drdr
]= 0
pr + L
[rd2v
dr2+
dv
dr
]= 0
rp+ Ld
dr
(rdv
dr
)= 0
rp = L ddr
(rdv
dr
)
rpdr = L
d
dr
(rdv
dr
)dr
p1
2r2 = Lrdv
dr+ c c = 0
p1
2r = Lrdv
dr
p
2
rR
rdr = L v0
dv
p
4
[r2 R2] = Lv
v = p4
r2 R2L
=p
4L
(R2 r2)
Qv =
vdA =
R0
2pirdrv(r) =
R0
2pirp
4Ldr(R2 r2)
=1
2pi
R0
rp
L
(R2 r2) dr
=pi
2
p
L
R0
(rR2 r3) dr = pi
2
p
L
(R4
2 R
4
4
)=pip
8LR4 Poiseuille
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8Termodinamica
In meccanica e` utile utilizzare ipotesi nelle quali ci siano pochi gradi di liberta`,per esempio con i fluidi si usa lapproccio di Eulero. In termodinamica siconsiderano piu` gradi di liberta`.
La termodinamica si occupa di scambi di energia e di cambiamento distato di sistemi macroscopici, descritti da un numero piccolo di variabilimacroscopiche come temperatura, volume e pressione. Si tratta sempre disostanza pure e omogenee (una sola fase).
Una variabile di stato e` una variabile stazionaria(costante nel tempo),isotropa (uguale in tutte le direzioni), omogenea (uguale nell