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Radicali e potenze ad esponente frazionario

Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

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L’estrazione di radice quadrata porta a scoprire i numeri irrazionali.Ad esempio, è irrazionale il risultato di , perciò il tascabile ne fornisce solo un risultato approssimato.

E il risultato esatto, mostrato nel video con una costruzione?

Il simbolo per indicare il risultato esatto è il radicale

2

Perciò si scrive:

2 22

2 1, 41

Uguale Circa uguale

2

indica il numero che, elevato al quadrato dà come potenza 2.

Simboli e linguaggio

2

9 3

1, 44 1,2

9 = 32 1,44 = 1,22

2

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Altri esempi di radicaliAltri esempi di radicali quadratici

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I radicali: simboli e linguaggioIn generale, un radicale si scrive nella forma

a pn

4

radicando

n è l’indice del radicale

p è l’esponente del radicando

Esempio: radicale

523

Radicando: 52 Esponente del radicando: 2Indice del radicale: 3

Esempio: radicale

3

Radicando: 3 Esponente del radicando: 1Indice del radicale: 2

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Difficoltà dei radicali

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1. In matematica, il simbolo √ viene usato con due significati diversi da distinguere

9 3 2Operazione da eseguire

Risultato

esatto

Risultato esatto dell’estrazione di radice, quando il numero non è il quadrato di un numero razionale

2. Quando si usa il computer, molti software non utilizzano il simbolo di radicale.

La scrittura dei radicali pone varie difficoltà, come ad esempio:

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Le potenze ad esponente frazionario

Alla fine del 1600 Newton introduce una simbologia alternativaEcco l’idea.

6

Che cosa succede se ripeto l’elevazione al quadrato?

L’esponente raddoppia

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Le potenze ad esponente frazionario Alla fine del 1600 Newton introduce una simbologia alternativaEcco l’idea.

7

Che succede se ‘torno indietro’ con l’estrazione di radice quadrata?

dimezza l’esponente dimezza l’esponente

L’estrazione di radice quadrata ha l’effetto di dimezzare l’esponente

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Le potenze ad esponente frazionario Alla fine del 1600 Newton introduce una simbologia alternativaEcco l’idea.

8

L’estrazione di radice quadrata divide per 2 l’esponente.E così, l’estrazione di radice cubica divide per 3 l’esponente.E si comincia a scrivere.

53 51

3 423 42

3 35 = 35

2 ....

In generale

a pn ap

n

Se nel radicale non compare n, è sottinteso n = 2.Se nel radicale non compare p, è sottinteso p = 1

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Vantaggi degli esponenti frazionari

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a pn ap

n

Conoscete le proprietà delle potenze con esponente intero.Potete applicare le stesse proprietà anche nel caso di esponenti frazionari.Così, ad esempio, potete ritrovare rapidamente le regole di calcolo dei radicali.

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Proprietà delle potenze ad esponente intero

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Potenza di potenza

an p anp

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

an bn ab n

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

an

bn ab

n

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Esponenti frazionari e radicali

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Attenzione alle parentesi!

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Vantaggi degli esponenti frazionariEsponenti frazionari e parentesi rendono le formule facilmente comprensibili

413 5

43 5

4 5 13

4 53

si distingue bene da

Per distinguere le stesse espressioni scritte con i radicali, bisogna osservare attentamente il segno di radice!

Questo spiega perché molti software richiedono di inserire le formule solo con esponenti frazionari e parentesi.