Formulari di Fisica

Raccolta dei più importanti formulari di fisica trovati su internet

FORMULARIO DI FISICA

1 Unita di misura e statistica

Lunghezza x: metri (m).Tempo t: secondi (s).Massa M : chilogrammi (kg).Temperatura T : gradi Kelvin (oK).Corrente elettrica I: Ampere (A).Valor medio: 〈x〉 =

∑N1=1

xi.Scarto quadratico medio: σ2 = 1

N−1

∑Ni=1

(〈x〉 − xi)2.

2 Cinematica

Moto rettilineo uniforme: x = x0 + v0t, v = v0, a = 0.Moto uniformemente accelerato: x = x0 + v0 t + 1

2a0 t2, v = v0 + a0 t, a = a0.

Moto circolare uniforme: θ = θ0 +ω0 t, ω = ω0, v = Rω, a = v2

R; periodo T = 1

f= 2π

ω,

con f frequenza lineare.Moto armonico: x = xM sin (ω t + θ0), con θ0 fase (angolo) iniziale.

3 Dinamica

Legge di Newton: ~F = M ~a.Forza peso: ~F = M ~g.Forza elastica: ~F = −k ~x.Forza di attrito in piano orizzontale: F = −µ M g.Forza di attrito viscoso ~F = −c~v; per sfera: c = 6π R η.Quantita di moto: ~p = M ~v.

Frequenza di oscillazione di un corpo soggetto a forza elastica: ω =√

kM

4 Energetica

Lavoro per forza costante: L = ~F · ∆~x = F ∆x cos (θ).Energia cinetica: T = 1

2M v2.

Energia potenziale della forza peso: U = M g z.Energia potenziale della forza elastica: U = 1

2k x2.

Potenza: P = L∆t

.

5 Fluidodinamica

Densita di un materiale omogeneo: ρ = MV

.Legge di Leonardo: v1 S1 = v2 S2.Pressione: P = F

S.

Legge di Stevino: PB = PA + ρ g (zA − zB).Legge di Poiseuille: v = R2

8ηL∆P , con η viscosita.

6 Termodinamica

Calore assorbito: Q = csM∆T , con cs calore specifico.Legge di Fourier: Q = K S

L∆T ∆t.

Legge dei gas perfetti: P V = n R T .Lavoro a pressione costante: L = P ∆V .1mo principio della termodinamica: ∆E = Q − L, con E energia interna.

7 Elettrologia

Forza di Coulomb: F = keQqr2 = q E, con E campo elettrico.

Potenziale elettrico: V = Uq, con U energia potenziale eletrica.

Corrente elettrica: I = ∆q∆t

.1ma legge di Ohm: V = R I.2nda legge di Ohm: R = ρL

S.

Formulario di Fisica Generale I

CinematicaVelocita: ~v = d~r

dt

Accelerazione: ~a = d~vdt = d2~r

dt2

Moto uniformemente acceleratov − v0 = a · tx− x0 = v0 · t+ 1

2at2

x− x0 = 12 (v0 + vx)t

v2x − v2

0 = 2a(x− x0)Corpo in caduta da fermo:v =√

2ght =

√2h/g

Moto del Proiettiley = x · tan θ − g

2v20 cos2 θ

x2

hmax =v2

0 sin2 θ

2g

xmax =v2

0 sin(2θ)

gMoto CircolareVelocita angolare: ω = dθ

dt

Accel. angolare: α = dωdt = d2θ

dt2

Moto Circolare Uniformeω = 2π/Tvtangenziale = ωracentripeta = v2/r = ω2rMoto Circolare Unif. Accel.ω − ω0 = α · tθ − θ0 = ω0 · t+ 1

2αt2

Moto curvilineo

~a = aT θ + aRr =d |~v|dt

θ − v2

rr

Sistemi a piu corpiMassa totale: mT =

∑mi =

∫dm

Centro di massa:~rCM = (

∑mi~ri)/mT = (

∫~ridm)/mT

~vCM = d~rCM/dt =∑mi~vi/mT

~aCM = d~vCM/dt = d2~rCM/dt2

Momento di inerzia:Iasse =

∑mir

2i =

∫r2dm

Teorema assi paralleli:Iasse = ICM +mD2

Forze, Lavoro ed EnergiaLegge di Newton: ~F = m~aMomento della forza: ~τ = ~r × ~FForze FondamentaliForza peso: Fg = mgForza elastica: Fel = −k(x− l0)

Gravita: ~Fg = −GMm

r2r

Elettrostatica: ~FE =1

4πε0

q1q2

r2r

Forze di AttritoStatico: |~FS | ≤ µS | ~N |Dinamico: ~FD = −µD| ~N |vViscoso: ~FV = −β~vLavoroL =

∫ xf

xi

~F · d~l =∫ θfθiτdω

Forza costante: L = ~F ·~l

Forza elastica:

L = − 12k (xf − l0)

2+ 1

2k (xi − l0)2

Forza peso: L = −mgh

Gravita: L = Gm1m2 ·(

1

rf− 1

ri

)Elettrostatica: L =

q1q2

4πε0·(

1

ri− 1

rf

)Potenza: P =

dL

dt= ~F · ~v = τω

Energia

Cinetica: K = 12mv

2

Rotazione: K =

12mT v

2CM + 1

2ICMω2

12IAsseFissoω

2

Forze vive: Kf −Ki = LTOT

Potenziale: U = −L = −∫ xf

xi

~F · d~lMeccanica: E = K + U = 1

2mv2 + U

Conservazione: Ef − Ei = LNON CONS

En. potenziale forze fondamentali:

Forza peso: U(h) = mgh

Forza elastica: U(x) = 12k(x− l0)2

Gravita: U(r) = −Gm1m2

r

Elettrostatica: U(r) =1

4πε0· q1q2

r

Impulso e Momento AngolareQuantita di moto: ~p = m~v

Impulso: ~I = ~pf − ~pi =∫ t2t1~Fdt

Momento angolare: ~L = ~r × ~pIntorno ad un asse fisso: |~L| = Iasse · ωEquazioni cardinali

~pT =∑~pi = mT · ~vCM

~LT =∑ ~Li = Iasse · ~ω

I card:∑ ~Fext = d~pT /dt = mT · aCM

II card:∑~τext = d~LT /dt

Asse fisso: |∑~τext| = Iasse · αasse

Leggi di conservazione~pT = costante⇔

∑ ~Fext = 0~LT = costante⇔

∑~τext = 0

E = costante⇔ LNONCONS = 0

UrtiPer due masse isolate ~pT = costante:

Anelastico: vf = m1v1+m2v2m1+m2

Elastico (conservazione energia):m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f

m1(v21i − v2

1f ) = m2(v22f − v2

2i)v1f = m1−m2

m1+m2v1i + 2m2

m1+m2v2i

v2f = m2−m1

m1+m2v2i + 2m1

m1+m2v1i

Moto Armonicox(t) = A cos

(ωt+ φ0

)v(t) = −ωA sin

(ωt+ φ0

)a(t) = −ω2A cos

(ωt+ φ0

)= −ω2x(t)

A =

√x2

0 +(v0

ω

)2

φ0 = arctan

(− v0

ωx0

)f = ω/2π, T = 2π/ω

Molla: ω =√k/m

Pendolo: ω =√g/L

Momenti di inerzia notevoliAnello intorno asse: I = mr2

Cilindro pieno intorno asse: I = 12mr

2

Sbarretta sottile, asse CM: I = 112mL

2

Sfera piena, asse CM: I = 25mr

2

Lastra quadrata, asse ⊥: I = 16mL

2

Gravitazione3a legge di Keplero: T 2 =

(4π2

GMS

)R3

Vel. di fuga: v =√

2GMT

RT

ElasticitaModulo di Young: F/A = Y ·∆L/LCompressibilita: ∆p = −B ·∆V/VModulo a taglio: F/A = Mt ·∆x/h

FluidiSpinta di Archimede BA = ρLV g

Continuita: A · v = costante

Bernoulli: p+ 12ρv

2 + ρgy = costante

OndeVelocita v, pulsazione ω, lunghez-

za d’onda λ, periodo T , frequenza f ,numero d’onda k.

v = ω/k = λ/T = λf

ω = 2π/T, k = 2π/λ

Onde su una corda

Velocita: v =√T/µ

Spostamento: y = ymax sin(kx− ωt)Potenza: P = 1

2µv(ωymax)2

Onde sonore

Velocita: v =√B/ρ =

√γp/ρ

v(T ) = v(T0)√T/T0

Spostamento: s = smax cos(kx− ωt)Pressione: ∆P = ∆Pmax sin(kx− ωt)∆Pmax = ρvωsmax

Intensita: I = 12ρv(ωsmax)2 =

∆P 2max

2ρv

Intensita(dB): β = 10 log10II0

Soglia udibile I0 = 1.0× 10−12 W/m2

Effetto Doppler

f ′ =

(v + vO cos θOv − vS cos θS

)f

1

TermodinamicaPrimo principioCalore e cap. termica: Q = C ·∆TCalore latente di trasf.: Lt = Q/mLavoro sul sistema: dW = −pdV

En. interna: ∆U =

Q+Wsulsistema

Q−Wdelsistema

Entropia: ∆SAB =

∫ B

A

dQREVT

Calore specificoPer unita di massa: c = C/mPer mole: cm = C/nPer i solidi: cm ≈ 3RGas perfetto: cp − cV = R

cV cp γ = cp/cV

monoatom. 32R

52R

53

biatomico 52R

72R

75

Gas perfettiEq. stato: pV = nRT = NkbTEnergia interna: ∆U = ncV ∆TEntropia: ∆S = ncV ln

Tf

Ti+ nR ln

Vf

Vi

Isocora (∆V = 0):W = 0 ; Q = ncv∆TIsobara (∆p = 0):W = −p∆V ; Q = ncp∆TIsoterma (∆T = 0):

W = −Q = −nRT lnVf

Vi

Adiabatica (Q = 0): pV γ = cost.TV γ−1 = cost. ; p1−γT γ = cost.W = ∆U = 1

γ−1 (PfVf − PiVi)

Macchine termicheEfficienza: η = W

QH= 1− QC

QH

C.O.P. frigorifero = QC

W

C.O.P. pompa di calore= QH

W

Eff. di Carnot: ηREV = 1− TC

TH

Teorema di Carnot: η ≤ ηREV

Espansione termica dei solidiEsp. lineare: ∆L/Li = α∆TEsp. volumica: ∆V/Vi = β∆TCoefficienti: β = 3αβ gas perfetto, p costante: β = 1/T

Conduzione e irraggiamentoCorrente termica:P = ∆Q

∆t = ∆TR = kA

∆x∆T

Resistenza termica: R = ∆xkA

Resistenza serie: Req = R1 +R2

Resistenza parallelo: 1Req

= 1R1

+ 1R2

Legge Stefan-Boltzmann: P = eσAT 4

L. onda emissione: λmax = 2.898 mmKT

Gas realiEq. Van Der Waals:(p+ a( nV )2)(V − nb) = nRT

Calcolo vettorialeProdotto scalare:~A · ~B = | ~A|| ~B| cos θ~A · ~B = AxBx +AyBy +AzBz

| ~A| =√~A · ~A =

√A2x +A2

y +A2z

versore: A = ~A/| ~A|Prodotto vettoriale:

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣~A× ~B = (AyBz −AzBy )i

+ (AzBx −AxBz)j+ (AxBy −AyBx)k

Costanti fisicheCostanti fondamentaliGrav.: G = 6.67× 10−11 m3/(s2 · kg)Vel. luce nel vuoto: c = 3.00× 108 m/sCarica elementare: e = 1.60× 10−19 CMassa elettrone: me = 9.11× 10−31 kgMassa protone: mp = 1.67× 10−27 kgCost. dielettrica: ε0 = 8.85× 10−12 F/mPerm. magnetica: µ0 = 4π × 10−7 H/mCost. Boltzmann: kb = 1.38×10−23 J/KN. Avogadro: NA = 6.022× 1023 mol−1

C. dei gas: R =

8.314 J/(mol ·K)

0.082 L · atm/(mol ·K)C. Stefan-Boltzmann:

σ = 5.6× 10−8 W/(m2 ·K4)

Altre costantiAccel gravita sulla terra: g = 9.81 m/s2

Raggio terra: RT = 6.37× 106 mMassa terra: MT = 5.98× 1024 kgMassa sole: MS = 1.99× 1030 kgMassa luna: ML = 7.36× 1022 kgVol. 1 mole di gas STP: VSTP = 22.4 LTemp 0 assoluto θ0 = −273.15 C

Trigonometriasin2(α) + cos2(α) = 1, tan(α) = sin(α)

cos(α)

sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α)sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β)cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sin(α) sin(β)sin(α) = ± cos(π/2∓ α) = ± sin(π ∓ α)cos(α) = sin(π/2± α) = − cos(π ± α)

sin2(α) = 1−cos(2α)2 , cos2(α) = 1+cos(2α)

2

sin(α) + sin(β) = 2 cos α−β2 sin α+β2

cos(α) + cos(β) = 2 cos α−β2 cos α+β2

Derivateddxf(x) = f ′(x)ddx (a · x) = af ′(a · x)ddxf(g(x)) = f ′(g(x)) · g′(x)ddxx

n = nxn−1

ddx

1xn = −n 1

xn+1

ddxe

x = ex

ddx lnx = 1

xddx sin(x) = cos(x)ddx cos(x) = − sin(x)

Integrali∫f(x)dx = I(x)∫f(x− a)dx = I(x− a)∫f(a · x)dx =

I(a · x)

a∫xndx =

xn+1

n+ 1, n 6= −1∫

1

xn= − 1

(n− 1)· 1

xn−1, n 6= 1∫

1

xdx = lnx∫

exdx = ex∫sin(x)dx = cos(x)∫cos(x)dx = − sin(x)∫ x1

x0

f(x)dx = I(x1)− I(x0)

Approssimazioni (x0 = 0)sinx = x+O(x2)(1 + x)α = 1 + αx+O(x2)ln(1 + x) = x+O(x2)

Francesco.Forti@pi.infn.it et al. Versione 2, 13 giugno 2011.

2

FISICA GENERALE IIFORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO

1) Elettrostatica

ε = εoεr = costante dielettrica assoluta ; εr = costante dielettrica relativaNel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)εr 1

Legge di Coulomb nel vuoto :−→F =

1

4πεo

q1q2

r2r

Campo elettrostatico :−→E =

−→F

qo−→E =

d−→F

dq

Potenziale : forma integrale :V (P1) − V (P2) =∫ P2

P1

−→E · −→dl

forma differenziale :−→E = −−−→

grad V = −−→∇V

Conservativita del campo elettrostaticoForma integrale :

∮ −→E · −→dl = 0

Forma differenziale :−→∇ ×−→

E = 0

Campo elettrostatico e potenziale generati da :

-carica isolata puntiforme :−→E =

1

4πε

q

r2r V =

1

4πε

q

r

-distribuzione discreta di carica :−→E =

1

4πε

∑

i

qi

r2i

ri V =1

4πε

∑ qi

ri

-distribuzione continua di carica :−→E =

1

4πε

∫

Ω

ρdτ

r2r V =

1

4πε

∫

Ω

ρdτ

r

Dipolo elettrico

Potenziale : V =1

4πε

−→p · −→rr3

= − 1

4πε−→p · −→∇ (

1

r)

Campo :−→E =

1

4πε[3(−→p · −→r )

r5−→r −

−→pr3

]

Energia del dipolo in un campo esterno : U = −−→p · −→EForza agente su un dipolo costante:

−→F = −−→∇U =

−→∇ (−→p · −→E )Momento meccanico agente : −→τ = −→p ×−→

E

MultipoliIl potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche,puo venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono :

V =1

4πε

Q

r+

1

4πε

−→p · −→rr3

+ .....

(Q carica totale e −→p momento di dipolo della distribuzione)distribuzione discreta : −→p = (

∑

i qixi ,∑

i qiyi ,∑

i qizi)

1

distribuzione continua : −→p = (∫

ρ x dτ ,∫

ρ y dτ ,∫

ρ z dτ)

Legge di Gauss

Forma integrale :∫

Σ

−→E · n dS =

Qint

εo

(Σ superficie chiusa)

Forma differenziale :−→∇ · −→E =

ρ

εo

Conduttori•−→E int = 0•conduttore e sempre equipotenziale

•campo in vicinanza di un conduttore(Teorema di Coulomb):−→E =

σ

εo

n

•forza per unita di superficie su un conduttore :dF

dS=

σ2

2εo

Equazione del potenziale elettrostatico

Equazione di Poisson : ∇2V = − ρ

εo

Equazione di Laplace : ∇2V = 0 (dove ρ = 0)

Condensatori

Definizione di capacita : C =Q

∆V

Capacita cond. piano : C = εS

d

Capacita cond. cilindrico : C = 2πεL

log(rest/rint)

Capacita cond. sferico : C = 4πεrintrest

rest − rint

Condensatori in parallelo : C = C1 + C2 + ... + CN

Condensatori in serie :1

C=

1

C1+

1

C2+ ... +

1

CN

Energia del condensatore : U =1

2Q ∆V =

1

2C ∆V 2 =

1

2

Q2

C

Forza tra armature : F =Q2

2εS(cond.piano)

Dielettrici

Vettore polarizzazione :−→P = lim∆τ→0

∆−→p∆τ

(momento dip. per unita volume)

mezzo isotropo e lineare :−→P = εoχ

−→E

Suscettivita dielettrica : χe = N [αdef + αorien] N [4πR3at +

1

3εo

p2o

kT]

(N = no. molecole per unita di volume)Costante dielettrica relativa: εr = χ + 1

Vettore spostamento elettrico :−→D = εo

−→E +

−→P = εoεr

−→E

Cariche di polarizzazione : σpol =−→P · n

: ρpol = −−→∇ · −→P

2

Equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici

−→∇ ×−→E = 0 ;

∮ −→E · −→dl = 0−→∇ · −→D = ρ ;

∫

Σ

−→D · ndS = Qlib

Condizioni di continuita all’interfaccia fra due mezziEt1 = Et2 ; Dn1 = Dn2

Dielettrici densi

Campo di Lorentz :−→E m =

−→E +

−→P

3εo

Formula Clausius-Mossotti :εr − 1

εr + 2=

Nα

3εo

Energia elettrostatica

Energia distribuzione discreta : U =1

2

1

4πε

∑

i,ji=j

qiqj

rij=

1

2

∑

i

qiVi

(Vi potenziale di tutte le cariche = i)

Energia distribuzione continua : U =1

2

∫

ρV dτ

Energia sistema conduttori : U =1

2

∑

i

QiVi

(Vi potenziale conduttore i con carica Qi)

Densita energia del campo : u =1

2

−→E · −→D =

1

2εoεrE

2

Densita energia interazione di un dielettrico in un campo esterno:

u =1

2

−→E · −→D =

1

2εoεrE

2

2) Correnti stazionarie

Densita di corrente :−→j = nq−→v = ρ −→v

Equazione di continuita :−→∇ · −→j = −∂ρ

∂t(ρ=densita di carica)

Intensita di corrente : i =dq

dt=

∫

Σ

−→j · n dS

Legge di Ohm (forma locale) :−→j = σ

−→E (σ=conducibilita)

per elemento finito : V = R i

Resistenza conduttore di sezione costante : R =1

σ

l

S= ρs

l

SN resistenze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN

N resistenze in parallelo :1

R=

1

R1+

1

R2+ ... +

1

RNLeggi di Kirchhoff - legge dei nodi :

∑

k ik = 0legge delle maglie :

∑

k ikRk =∑

k Vk

Effetto Joule(potenza P = dW/dt,W=energia):in forma locale : dP =

−→j · −→E dτ

conduttore finito : P = V i = i2 R

3

3) Magnetismo

Magnetostatica nel vuoto

Campo generato da una carica in moto :−→B =

µo

4πq−→v ×−→r

r3

Campo generato da una corrente :−→B =

µo

4πi

∫ −→dl ×−→r

r3

-filo rettilineo indefinito :−→B =

µo

2π

i

rτ

-spira circolare ( sull’asse !) :−→B =

µo

2i

R2

√

(R2 + z2)3k

-interno solenoide indefinito : B = µo i n [n =Nspire

L]

Forza agente su una corrente :−→F =

∫

i−→dl ×−→

B

Forza su carica in moto(Forza Lorentz) :−→F = q −→v ×−→

B

Equazioni della magnetostatica nel vuoto:

−→∇ · −→B = 0 ;∫

Σchiusa

−→B · ndS = 0−→∇ ×−→

B = µo−→j ;

∮ −→B · −→dl = µo

∑

iconc

Dipolo magnetico

Momento dipolo distrib. correnti: −→m =1

2

∫

−→r ×−→j dτ

Per una spira piana: −→m = i S n

Potenziale Vettore :−→A =

µo

4π

−→m ×−→rr3

Campo :−→B =

µo

4π[3(−→m · −→r )

r5−→r −

−→mr3

]

Energia dipolo in campo esterno : U = −−→m · −→BMomento agente su dipolo in campo esterno :

−→M = −→m ×−→

BMomento magnetico e momento angolare di una

carica q, massa m, in moto circolare uniforme: −→m =q

2m

−→L

Precessione (di Larmor) in campo esterno:

ωL =qB

m

Potenziale vettoreDefinizione :

−→B =

−→∇ ×−→A

Equazione del potenziale : ∇2−→A = −µo−→j

Potenziale generato da un dipolo :−→A =

µo

4π

−→m ×−→rr3

Proprieta magnetiche della materia

Vettore magnetizzazione :−→M = lim∆τ→0

∆−→m∆τ

(momento dipolo per unita di volume)

mezzo isotropo e lineare :−→M =

1

µo

χ

1 + χ

−→B = χ

−→H

4

Suscettivita magnetica: χm = χdia + χpar −µoNZe2 < r2 >

6me+ µo

N

3

m2o

kT

Vettore campo magnetico−→H :

−→H =

1

χ

−→M

Relazione fra−→B e

−→H :

−→B = µo

−→H + µo

−→M = µoµr

−→H

: µr = χ + 1Correnti di magnetizzazione : jsup =

−→M × n

: jvol =−→∇ ×−→

M

Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali

−→∇ ×−→H =

−→j libere ;

∮ −→H · −→dl =

∑

iconc−→∇ · −→B = 0 ;∫

Σchiusa

−→B · ndS = 0

Condizioni di continuita all’interfaccia fra due mezziHt1 = Ht2 ; Bn1 = Bn2

Circuiti magneticiLegge di Hopkinson : F = RΦ

F = Ni (forza magnetomotrice)

R =1

µ

l

S(Riluttanza)

Riluttanze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN

Riluttanze in parallelo :1

R=

1

R1+

1

R2+ ... +

1

RN

4) Campi variabili

Campi quasi-staticiLegge di Faraday-Neumann

Forma integrale :∮ −→

E · −→dl = −dΦ

dt= − d

dt

∫

Σ

−→B · ndS

Forma locale :−→∇ ×−→

E = −∂−→B

∂t

Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti :Φ2 = M12i1 ; Φ1 = M21i2 ; M12 = M21

Coefficiente di autoinduzione :Φ = LiInduttanza solenoide : L = µon

2 l S

Energia magnetica

Energia sistema circuiti : U =1

2

∑

k

Φkik

Densita energia del campo : u =1

2

−→H · −→B =

1

2µoµrH

2 =1

2

B2

µoµr

Energia induttore : U =1

2L i2

5

5) Circuiti elettrici

Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori :i = io cos(ωt + φ) ≡ [io exp (iφ) exp (iωt)] = [I]

I = Ioe(iωt) ; Io = ioe

iφ

Circuito RC : Rdq

dt+

q

C= V

Carica C : q = CV (1 − exp (−t/τ) ; τ = RCScarica C : q = qo exp (−t/τ)

Circuito RL : Ldi

dt+ R i = V

Extracorrente chiusura : i =V

R(1 − exp (−t/τ) ; τ = L/R

Extracorrente apertura : i =V

Rexp (−t/τ)

Circuito RLC serie : Ld2i

dt2+ R

di

dt+

1

Ci = V

Frequenza di risonanza : ωr = 2πνr =1√LC

Impedenze complesse :resistenza : Z = R

capacita : Z =1

iωCinduttanza : Z = iωL

6) Onde elettromagnetiche

Equazioni di Maxwell

Forma differenziale Forma integrale

−→∇ · −→D = ρ∫

Σ

−→D · ndS = Qint−→∇ · −→B = 0

∫

Σ

−→B · ndS = 0

−→∇ ×−→E = −∂

−→B

∂t

∮

Γ

−→E · dl = − ∂

∂t

∫

Σ

−→B · n dS

−→∇ ×−→H =

−→j +

∂−→D

∂t

∮

Γ

−→H · dl =

∫

Σ

−→j · n dS +

∂

∂t

∫

Σ

−→D · n dS

Densita corrente di spostamento :−→j =

∂−→D

∂tLegge di Ohm(per conduttori) :

−→j = σ

−→E

Caratteristiche generali propagazione per onde

Equazione delle onde (3D) : ∇2φ − 1

v2

∂2φ

∂t2= 0

Equazione delle onde (1D) :∂2φ

∂z2− 1

v2

∂2φ

∂t2= 0

6

parametri dell’onda sinusoidale :

numero d’onda : k =2π

λ=

ω

vvettore d’onda :

−→k = k

−−−−−−−−−−−−→(versore propag.)

lunghezza d’onda : λ =v

νpulsazione : ω = 2πν

onda piana sinusoidale progressiva(1D) :φ = φ0 sin(kz − ωt) ≡ φ0e

i(kz−ωt)

onda sferica sinusoidale progressiva(1D) :

φ =φ0

rsin(

−→k · −→r − ωt) = φ0e

i(−→k ·−→r −ωt)

Caratteristiche delle onde elettromagnetiche

Velocita di propagazione(fase) : v =c√εrµr

; c =1√εoµo

Trasversalita onde e.m. :−→E = −→v ×−→

BOnda piana (polarizzata ‖ asse-x) :

E = Ex = Eo sin(kz − ωt)B = By = Bo sin(kz − ωt)

Eo = vBo = ZoHo ; Zo =

√

µo

εo 377Ω

Velocita di gruppo : vg =dω

dk=

c

n(ω) + ωdn

dωEffetto Doppler (c=velocita onda e.m.):

ν ′ = ν1 − (voss/c) cos θ

√

1 − v2sor/c

2

Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocita onda):

ν ′ =v − voss

v − vsorν

Energia e impulso dell’onda

Densita di energia : u =1

2εE2 +

1

2µH2 = εE2 =

B2

µ(energia per unita di volume)

Vettore di Poynting :−→P =

−→E ×−→

H

Intensita (istantanea)dell’onda : I =∣

∣

∣

−→P∣

∣

∣= vεE2 = vu

(potenza per unita di superficie)

Intensita (media) dell’onda(sinusoidale) : < I >= vεE2

2

Quantita di moto dell’onda : −→p = uonk =

−→Pv

(per unita di superficie e unita di tempo)

7

Dipolo elettrico oscillante

p(t) = po sin ωtCampo a grandi distanze(vuoto) :

Eθ =1

4πεo

po

rsin θ(

ω

c)2

sin(kr − ωt) ; Bφ =1

4πεo

po

crsin θ(

ω

c)2

sin(kr − ωt)

Intensita(media) irraggiata dal dipolo : < I >=p2

oω4

32π2εoc3r2sin2 θ

(energia per unita superficie e unita di tempo)

Potenza(media) totale irraggiata dal dipolo : P =<dE

dt>=

p2oω

4

12πεoc3

Carica accelerata

Potenza(media) totale irraggiata (carica q oscillante sinusoid. z = zo sin ωt:

P =<dE

dt>=

q2z2oω

4

12πεoc3

Intensita irraggiata da carica accelerata nella direzione θ(rispetto all’accelerazione):

I(θ) =dP

dθ=

q2a2

16π2εoc3sin2 θ

Potenza istantanea irraggiata da una carica accelerata : P =dE

dt=

q2a2

6πεoc3

7) Ottica

Ottica geometrica

Indice di rifrazione : n =√

εr ; εr = εr(ω) cost. dielettrica

velocita della luce in un mezzo : v =c

ncammino ottico : d =

∑

i nili

Leggi di Snell : θinc = θrifl ;sin θ1

sin θ2=

n2

n1=

v1

v2

angolo limite : sin θlim =n2

n1; se n2 < n1

angolo di Brewster : tan θBre =n2

n1Formule di Fresnel (µ1 = µ2 µo):

(Erifl

Einc)‖ =

n2 cos θ1 − n1 cos θ2

n2 cos θ1 + n1 cos θ2=

tan(θ1 − θ2)

tan(θ1 + θ2)

(Erifl

Einc

)⊥ =n1 cos θ1 − n2 cos θ2

n1 cos θ1 + n2 cos θ2

= −sin(θ1 − θ2)

sin(θ1 + θ2)

(Etra

Einc

)‖ =2n1 cos θ1

n2 cos θ1 + n1 cos θ2

=2 cos θ1 sin θ2

sin(θ1 + θ2) cos(θ1 − θ2)

(Etra

Einc

)⊥ =2n1 cos θ1

n1 cos θ1 + n2 cos θ2

=2 cos θ1 sin θ2

sin(θ1 + θ2)

trasmittivita : t = (Etra

Einc)2

riflettivita : r = (Erifl

Einc)2

8

Caso di incidenza normale di onda non polarizzata:

t = (2√

n1n2

n1 + n2

)2

r = (n1 − n2

n1 + n2

)2

Formula lenti sottili:1

p+

1

q=

1

f;

1

f= (n − 1)(

1

r2− 1

r1)

Interferenza

Interferenza fra onde piane,sinusoidali, lin. polarizzate:E1 = A1 sin[(kz − ωt) + φ1]E2 = A2 sin[(kz − ωt) + φ2]I = I1 + I2 + 2

√I1I2 cos(φ1 − φ2)

Due sorgenti coerenti(alla Young) : I = Io cos2 β

β =πd

λsin θ (d = distanza fra sorgenti)

N sorgenti coerenti : I = Io[sin2(Nδ/2)

sin2(δ/2)]

δ =2π

λd sin θ (b = larghezza fenditura)

Diffrazione

Diffrazione(di Fraunhofer) da fenditura rettangolare :

I = Io(sin2 α

α2)

α =πb

λsin θ (b = larghezza fenditura)

condizione per i minimi ; sin θ = nλ

b[n = 0]

Diffrazione(di Fraunhofer) da foro circolare :

I = Io[2J1(2πR sin θ/λ)

2πR sin θ/λ]2

condizione per il 1o minimo ; sin θ = 1.22λ

2R

Diffrazione(di Fraunhofer) da reticolo di N fenditure :

I = Io(sin2 α

α2)(

sin2 Nβ

sin2 β)

α =πb

λsin θ (b = larghezza fenditura)

β =πp

λsin θ (p = distanza fra fenditure)

massimi di intensita ; p sin θ = nλ [ p= passo]

Potere dispersivo del reticolo ;dθ

dλ=

n

p cos θ

Potere risolutivo del reticolo ;λ

∆λ= nN

9

8) Operatori vettoriali e trasformazioni di coordinate

Coordinate cartesianeElemento di volume : dτ = dx dy dz

grad f ≡ −→∇ f =∂f

∂xix +

∂f

∂yiy +

∂f

∂ziz

div −→v ≡ −→∇ · −→v =∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z

rot−→v ≡ −→∇ ×−→v = [∂vy

∂z− ∂vz

∂y]ix + [

∂vz

∂x− ∂vx

∂z]iy + [

∂vx

∂y− ∂vy

∂x]iz

Laplaciano : ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Coordinate cilindricheTrasformazione da (x, y, z) ⇔ (ρ, θ, z) :

x = ρ cos θ ; y = ρ sin θElemento di volume : dτ = ρ dρ dθ dz

grad f ≡ −→∇ f =∂f

∂ρiρ +

1

ρ

∂f

∂θiθ +

∂f

∂ziz

div −→v ≡ −→∇ · −→v =1

ρ

∂

∂ρ(ρvρ) +

1

ρ

∂

∂θvθ +

∂

∂zvz

rot−→v ≡ −→∇ ×−→v = [1

ρ

∂vz

∂θ− ∂vθ

∂z]iρ + [

∂vρ

∂z− ∂vz

∂ρ]iθ +

1

ρ[∂(ρvθ)

∂ρ− ∂vρ

∂θ]iz

Laplaciano : ∇2 =1

ρ

∂

∂ρ(ρ

∂

∂ρ) +

1

ρ2

∂2

∂θ2+

∂2

∂z2

Coordinate sfericheTrasformazione da (x, y, z) ⇔ (ρ, θ, φ) :

x = ρ sin θ cos φ ; y = ρ sin θ sin φ ; z = ρ cos θElemento di volume : dτ = ρ2 sin θ dρ dθ dφ

grad f ≡ −→∇ f =∂f

∂ρiρ +

1

ρ

∂f

∂θiθ +

1

ρ sin θ

∂f

∂φiφ

div −→v ≡ −→∇ · −→v =1

ρ2

∂

∂ρ(ρ2vρ) +

1

ρ sin θ

∂

∂θ(vθ sin θ) +

1

ρ sin θ

∂vφ

∂φ

rot−→v ≡ −→∇×−→v =1

ρ sin θ[∂(vφ sin θ)

∂θ− ∂vθ

∂φ]iρ+

1

ρ[

1

sin θ

∂vρ

∂φ− ∂(ρvφ)

∂ρ]iθ+

1

ρ[∂(ρvθ)

∂ρ− ∂vρ

∂θ]iφ

Laplaciano : ∇2 =1

ρ2

∂

∂ρ(ρ2 ∂

∂ρ) +

1

ρ2 sin θ[∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ)] +

1

sin θ

∂2

∂φ2

Relazioni vettoriali utili−→a × (

−→b ×−→c ) =

−→b (−→a · −→c ) −−→c (−→a · −→b )

rot grad f ≡ −→∇ ×−→∇f = 0div rot −→v ≡ −→∇ · −→∇ ×−→v = 0rot rot −→v ≡ −→∇ ×−→∇ ×−→v =

−→∇ (−→∇ · −→v ) −∇2−→v

rot(f−→v ) ≡ −→∇ × (f−→v ) = f(−→∇ ×−→v ) −−→∇f ×−→v

div(f−→v ) ≡ −→∇ · (f−→v ) = f(−→∇ · −→v ) +

−→∇f · −→v

10

9) Costanti di uso frequente

Costante dielettrica del vuoto : εo = 8.85 10−12 F/mPermeabilita magnetica del vuoto : µo = 4π 10−7 H/mCarica dell’elettrone : e = 1.60 10−19 CMassa dell’elettrone : me = 9.1 10−31 kgRapporto e/m dell’elettrone : e/m = 1.76 1011 C/kgMassa del protone : mp = 1.67 10−27 kgVelocita delle onde e.m. nel vuoto : c = 3.0 108 m/sImpedenza del vuoto : Zo = 376.7 ΩCostante di Planck : h = 6.626 10−34 J · sMagnetone di Bohr : µB = 9.42 10−24 A m2

Costante gravitazionale : G = 6.672 10−11m3 kg−1 s−2

Numero di Avogadro : NA = 6.02252 1023 mol−1

Costante di Boltzmann : k = 1.38054 10−23 J K−1

Costante dei gas : R = 8.314 J/(mol K)= 1.986 cal/(mol K)

Volume di una mole(STP gas ideale) : k = 22.414 10−3 m3mol−1

Unita astronomica : AU = 1.49598 1011 mRaggio(equatoriale)della terra : R⊕ = 6.378 106 mMassa della terra : M⊕ = 5.973 1024 kgMassa del sole : M⊙ = 1.989 1030 kg

11

Formulario Fisica 1 25 luglio 2003 1

Nome Grandezza, Simbolo, Unita equivalenti1

radiante al secondo Velocita angolare, rad/s

radiante al secondo2 Accelerazione angolare, rad/s2

newton Forza, N, Kg·m/s2

pascal Pressione, Pa, N/m2

joule Energia, lavoro, calore, J, N·mwatt Potenza, flusso radiante, W, J/s

coulomb Quantita di elettricita, carica elettrica, po-tenziale elettrico, differenza di potenziale, C, A·sh

C

A B

b a

c

volt Forza elettromotrice, V, N·m/C

volt al metro Campo elettrico, V/m, N/C

farad Capacita elettrica, F, A·s/V

ohm Resistenza elettrica, Ω, V/A

weber Flusso magnetico, Wb, V·stesla Induzione magnetica, T, Wb/m2, N/A·mhenry Induttanza, H, V·s/A

joule al kelvin Entropia, J/K

joule al Kg per kelvin Calore specifico, J/Kg·Kwatt al metro per kelvin Conducibilita termica,

W/m·Kwatt allo steradiante Intensita radiante, W/sr

α α sin α cos α tan α0 0 0 1 0

30 π/6 1/2√

3/2√

3/3

45 π/4√

2/2√

2/2 1

60 π/3√

3/2 1/2√

390 π/2 1 0 ∞

y

A

x

θ

1. y = A sinΘ, x = A cosΘ, A =p

x2 + y2

2. Θ = tan−1(x/y), sinΘ = y/A, cosΘ = x/A,tan Θ = y/x

3. c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

4. Area= 12hc = 1

2ab sin C = c2 sin A sin B

2 sin C

Prodotto scalare−→A · −→B = |A||B| cos α =

AxBx +AyBy +AzBz; A ⊥ B nullo, A ‖ Bmax

Prodotto vettoriale−→A ×−→B = |A||B| sin α =−→ı (AyBz − AzBy) + −→ (AzBx − AxBz) +−→

k (AxBy − AyBx); A ⊥ B max, A ‖ Bnullo

Conversione da m/s a km/h si moltiplica per3,6; da km/h a m/s si divide per 3,6

Conversione rad←→gradi

180/π = x/y rad

1 Questo formulario non ha la pretesa di es-sere completo. Puo contenere errori e imprecisio-ni, se ne trovate scrivetemi: Vincenzo Corcionevincenzo.c79@inwind.it

1. v = ∆x/∆t ≡ pendenza della retta

2. lim∆t→0 ∆x/∆t ≡ pendenza della tg ≡derivata di x = x(t) rispetto a t

3. a = ∆v/∆t ≡ der. della vel. rispetto a t

Moto uniformemente accelerato :

1. v = v0 + at

2. x = x0 + v0t + (1/2)at2

3. v = (v0 + v)/2

4. a = (v − v0)/t

Caduta libera :

1. vy = gt

2. h = (1/2)gt2

Lancio verso l’alto :

1. h = v0yt− (1/2)gt2

2. hmax = (v20)/(2g)

Lancio dall’alto :

1. t =p

(2h)/g

2. h = (1/2)gt2

3. R = v0

p(2h)/g

4. v0 = Rp

g/(2h)

5. vy =√

2gh

6. ax = 0

7. ay = −g h

R

Formule utili :

1. x − x0 = ((v + v0)/2)t spostamento infunzione del tempo

2. x − x0 = vt − (1/2)at2 spostamentoeliminando v0

3. v2 = v20 + 2a(x− x0)

4. x − x0 = (v2 − v20)/(2a) spostamento in

funzione di v0, v, a

θ R

h

P

Lancio 2d :

1. x(t) = v0xt

2. y(t) = v0yt− (1/2)gt2

3. v =p

v2x + v2

y

4. vx = v cos Θ

5. vy = v sin Θ

6. Θ = tan−1(v0x/v0y)

7. tP = v0y/g

8. tR = 2th

9. hmax = v20y/2g

Formulario Fisica 1 25 luglio 2003 2

10. 2Θ = sin−1(gR/v20) angolo di lancio

11. sin 2Θ = (Rg/v20) max gittata per π/2

12. R = (v20 sin 2Θ)/g = (2v0xv0y)/g gittata

Moto circolare :

1. f = 1/T

2. v = (2πR)/T = 2πRf = ωR

3. ω = Θ/T = 2π/T = 2πf = v/R

4. ac = (2πv)/T = v2/R = ω2R =(4π2R)/T 2

5. T = (2π)/ω

6. Fc = mω2R = m(v2/R)

7. x(t) = R cos ωt

8. y(t) = R sin ωt

9. vx = −ωR sin ωt

10. ax = −ω2R cos ωt = −ω2x

v

Rθ

s

Urti :

1. −→p = m−→v quantita di moto

2. p =p

p2x + p2

y + p2z

3. I =−→F t

4. centro di massa = (m1x1 + m2x2)/(m1 +m2) (2 corpi)

5. vcdm = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2)

6. V1 = v1(m1 −m2)/(m1 + m2)V2 = v1(2m1)/(m1 + m2) velocita dopourto elastico 1 dimensione

7. v21 = V 2

1 + V 22 + 2V1V2 cos α urto elastico

2 dimensioni; se m1 = m2 ⇒ α = 90

8. V1 = (v1(m1 − m2)/(m1 + m2)) +v2(2m2)/(m1 + m2)V2 = (v1(2m1)/(m1 + m2)) + v1(m2 −m1)/(m1 + m2) velocita dopo urto ela-stico 1 dimensione con bersaglio inmoto

9. v = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) velocitadopo urto anelastico

10. µ = (m1m2)/(m1 + m2) massa ridotta

Attrito :

1. µs = (Fa)s/FN coeff. attr. statico

2. µd = (Fa)d/FN coeff. attr. dinamico

3. FN = mg cos Θ forza normale

4. µn = mgµ = Fh

l

P

θ

Piano inclinato :

1. F = Ph/l = P sin Θ

2. P = mg

3. a = gh/l

4. t = lp

2/(gh)

5. v =√

2gh

Molla :

1. ω =p

k/m = 2π/T

2. T = 2π/ω = 2πp

m/k

3. vmax = ωx0 = x0

pk/m

4. x = x0 cos ωt, ∆x = v(m/k)2

5. F = −kx forza elastica

6. (1/2)kx20 energia potenziale elastica; v =

ωp

x20 − x2

7. W = (1/2)kx20 lavoro necessario per

allungare la molla di x0

Pendolo :

1. ω = 2π/T =p

g/l = v/l

2. T = 2π/ω = 2πp

l/g

3. v =√

2gh

4. h = l(1− cosΘ)

5. vp = ((mp + M)/mp)√

2gh vel. delproiettile (pendolo balistico)

6. ω =p

mgd/I pendolo composto

7. T = 2πp

I/mgd pendolo composto

Moto armonico :

1. x = x0 cos ωt = A cos(ωt + φ) con A =ampiezza, φ = fase

2. a(t) = −ω2x(t) caratteristica del motoarmonico

3. velocita = −ωA sin(ωt + φ)

4. accelerazione = −ω2A cos(ωt + φ)

Relazione del moto armonico con il motocircolare uniforme

1. x = R cos(ωt + φ)

2. T = 2π/ω

3. y → φ′ = y − π/2

Moto rotazionale (corpi estesi) :

1. ω ≡ dΘ/dt velocita angolare; v = Rω conΘ in rad

2. α = d2Θ/dt2 accelerazione angolare; a =Rα

3. Θ = Θ0 + ω0t + (1/2)αt2

4. Se e un moto circolare uniforme: f =numero di giri al secondo; v = 2πRf ;ω = 2πf con ω in rad/s

Formulario Fisica 1 25 luglio 2003 3

5.−→L = −→r × −→p momento angolare con−→p = quantita di moto e −→r = vettoredall’origine a −→p

Centro di massa :

1. vcm = (Σmivi)/Σmi

2.−→R cm = Σmi

−→r i)/Σmi baricentro

3.−→T = d

−→L/dt

4. k = (1/2)mv2cm + k′, k′ =energia cinetica

misurata nel sistema del c.d.m.

Momento di inerzia (m.i.) :

1. T = Iα momento delle forze, con αaccelerazione angolare

2. I = Σr2i ∆mi momento di inerzia; Iω

momento angolare

3. k = (1/2)Iω2 energia cinetica

4. I = Icm + Mh2 teorema di Huygens-Steiner

5. mR2 m.i. anello

6. (1/2)R2 m.i. cilindro

7. (ml2)/12 m.i. sbarra

8. (2/5)mR2 m.i. sfera piena

9. (2/3)mR2 m.i. sfera vuota

10. (3/2)mR2 m.i. disco (rispetto ad un asseperiferico)

Oscillazioni smorzate :

1.−→R = −b−→v

2. FTot = ma = −kx− bv

3. x(t) = Ae(−b/2m)t cos(ωt + φ)

4. ω =p

(k/m)− (b/2m)2 =pω2

0 − (b/2m)2, con ω20= pulsazione in

assenza di smorzamento

Varie :

1. P = F∆x

2. W = (1/2)mv2B − (1/2)mv2

A, W =−→FS−→S

lavoro

3.−→FS = F cos α componente del lavoro nelladirezione dello spostamento

Elettricita :

1. ε0 = 8.85 · 10−12C2/Nm2 costantedielettrica nel vuoto

2. k0 = 1/(4πε0) = 8.99 · 109Nm2/C2

3. µ0 = 4π × 107(T ·m)/A = 12.56 · 107

henry/m, permeabilita magnetica nelvuoto

4. F = k0(q1q2)/r2 Legge di Coulomb nelvuoto

5. p ≡ Q · L momento del dipolo

6. F = qk0p/r3 forza del dipolo sullacarica q

7.−→E =

−→F /q campo elettrico

8.−→E = (k0Q/r2)−→r campo elettricogenerato da una carica puntiforme

9.∮ −→

Ed−→A = 4πk0Qint = (1/ε0)Qint Teo-

rema di Gauss, se Qint = 0 allora #linee entranti = # linee uscenti

10. ∆−→φ =

−→E∆−→A flusso

11. φ =∫

S

−→Ed−→A per una superficie S

12.∮ −→

Ed−→A = 4πk0Q per una carica

puntiforme e una superficie chiusaqualunque

13. UB − UA = (qQ/r)k0 potenzialeelettrico per il campo elettrico, Qpuntiforme

14. V ≡ U/q, V = (k0Q)/r Potenzialeelettrostatico = energia potenziale perunita di carica, conduttore sferico concarica superficiale Q

15. ∆V = −Ex0 = ED differenza dipotenziale, D =distanza

16. E = −4πk0σ condensatore 2 strati.σ = Q/A densita superficiale

17. E = σ/(2ε0) = 2πk0σ lamina carica,cond. 1 strato

18. E = k0(Q/r2) carica a simmetria sfe-rica a distanza r > R, se r < RE = 0

19. E = k0(Q/R3)r sfera uniformementecarica

20. U = (1/2)Q20/C energia condensatore

21. U = (k0Qq)/r = (−k0e2)/R energia

potenziale elettrone accelerato

22. C = A/(4πk0x0), ∆V = Q/Ccapacita condensatore

23. C ′/C = k = 1/(1 − (q′/q0)) costantedielettrica, q′ carica indotta

24. C ′ = q0/V = q0/(Ex0) dielettrici

Elettrodinamica :

1. I = Q/t intensita di corrente, caricaper unita di tempo in A = C/S

Formulario Fisica 1 25 luglio 2003 4

2. −→ = ρ · −→v densita di corrente, ρ =densita di carica

3. I = −→ · −→A corrente per unita di su-perficie. Se −→ e variabile allora I =∫ −→ · −→A

4. I = N evdA , vd vel. media di deriva

5. R = V/I resistenza

6. I = qnAlv

7. R = (mvx0)/(N e2LA) = ρx0/A conm =massa elettrone, v =velocita elet-trone, N =num. medio di elettro-ni per unita di volume, L =camminolibero medio, ρ =resistivita

8. ∆qξ energia ricevuta dalla carica, ξforza elettromotrice

9.−→FE = q

−→E campo

−→E esercita forza su

carica q

10. Fmag = q−→v = q−→v × −→B forza magne-tica esercitata da un campo B su unacarica q che si muove con velocita −→v ,−→B campo magnetico

11. P = V I = I2R potenza dissipata

12. R = (mv)/(qB), T = (2πm)/(qB)carica in movimento in un campomagnetico uniforme che percorre unacirconferenza

13. B = |(µ0/2)(I1/R1)− (I2/R2)| campomagnetico al centro di 2 spire circolari

14.−→F = q

−→E + q−→v ×−→B forza totale

15. E/B = −v rapporto E/B affincheforza totale=0

16. forza totale su una corrente = Σ forzenulle sulle cariche

17. F = I∫

d−→s × −→B forza esercitata dalcampo magnetico su un elemento d−→sdel filo

18. d−→B = (µ0/4π)(Id−→s × −→r )/r2 Legge

di Biot e Savart, d−→s =elemento dicorrente, d

−→B = contributo al campo

magnetico di d−→s , µ0 =permeabilitamagnetica nel vuoto

19. B = (µ0I)/(2πr) Biot e Savart per unfilo ∞ rettilineo

20.∮ −→

Bd−→s = µ0I Legge di Ampere: e l’a-nalogo del teorema di Gauss per cal-colare il campo magnetico prodotto dacorrenti

21. φ0 =∫

S

−→E − d

−→A flusso del campo

magnetico; su una superficie chiusa∮ −→Bd−→A = 0 flusso in = flusso out

22. fem = (−dφ)/(dt) Legge di Faraday

23.∫

C

−→Ed−→s = − ∫

S((d−→B )/(dt))d

−→A Leg-

ge di Lenz. S=superficie, C=contorno24. (v1/v2) = −(n1/n2) trasformatore

25.∫ −→

Ed−→A = 4πk0Qint Legge di Gauss2

Termodinamica :

1. PV = nRT equazione dei gas perfetti,PV = costante a T costante

2. n = m/M = num. moli

3. R = 8.31 J/(mole k) costante universale

4. F = (−2mvx)/(∆t) = (−mv2x)/d, ∆t =

(2d)/vx Forza della parete sulla molecola

5. F∆t = −2mvx Teorema dell’impulso

6. F = (N/3)((m/d)v2x) forza totale

7. P = (2/3)(N/V )(1/2)mv2 pressione

8. C = Q/(m∆t) calore specifico

9. Q = Cm∆t quantita di calore trasferita

10. vq =p

(3RT )/M , T = 2/(3kB)(1/2)mv2

velocita quadratica media; M =peso mo-lecolare medio gr/mole; R =costante deigas

11. kB = 1.38 · 10−23J/K costante diBoltzman

12. Cx = (maca(T−Ta))/(mx(Tx−T )) calorespecifico

13. Qnetto = QC −QF

14. e = 1− (QF /QC) rendimento

15. ec = 1− (Tf/Tc) macchina di Carnot

16. ds = d(Qr/T ) variazione di entropia

17. Teq = (c1mT1 + c2mT2)/(c1m + c2m)temperatura di equilibrio

Trasformazioni :

1. Adiabatica: Q = 0, ∆U = −W , il siste-ma si raffredda (o si riscalda). L’espan-sione libera Q = 0, W = 0 nessun lavoro,∆U = 0 T =costante

2. Isobara (pressione costante): P (vf −vi) =lavoro

3. Isocora (volume costante): W = 0, ∆U =Q, tutto il calore assorbito va in aumentodell’energia interna

4. Isoterma (temperatura costante): ener-gia interna solo funzione di T per un gasperfetto, ∆U = 0, PV =costante

2l’integrale e quello col doppio cerchio

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