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PAN DI VIA PER I CORSI DI ANALISI MATEMATICA

ANTONIO IANNIZZOTTO

Sommario. In queste brevi note abbiamo raccolto, senza alcuna pretesa di completezza, alcune

nozioni di matematica elementare che ogni studente dovrebbe possedere prima di accingersi a

seguire un corso di Analisi Matematica, corredate da alcuni semplici esercizi.

Indice

1. Polinomi e disequazioni algebriche e razionali 1

1.1. Disequazioni razionali fratte. 6

2. Sistemi di disequazioni e applicazioni 7

2.1. Disequazioni irrazionali 8

2.2. Disequazioni con valori assoluti 10

3. Cenni sulle funzioni e applicazioni 11

3.1. Disequazioni esponenziali 13

3.2. Disequazioni logaritmiche 15

4. Trigonometria 16

4.1. Equazioni trigonometriche 18

4.2. Disequazioni trigonometriche 19

4.3. Coordinate polari 20

5. Matrici e sistemi lineari 20

5.1. Sistemi lineari 24

6. Numeri complessi 26

Riferimenti bibliografici 28

Versione del 20 settembre 2017

1. Polinomi e disequazioni algebriche e razionali

Questa razione basta per un lungo giorno di marcia.Gli Elfi a Sam

Gli insiemi numerici piu adoperati in matematica sono quelli dei numeri naturali, interi relativi,razionali e reali (ved. [2]). Notazioni:

N = {0, 1, 2, . . .}, N0 = {1, 2, . . .}, Z = {. . .− 2,−1, 0, 1, 2, . . .},

Q ={pq

: p ∈ Z, q ∈ N0, MCD(p, q) = 1}

= {a0, a1a2 . . . : a0 ∈ Z, 0 ≤ an ≤ 9 periodici},

R = {a0, a1a2 . . . : a0 ∈ Z, 0 ≤ an ≤ 9}.Un polinomio (a coefficienti reali in una variabile reale) e una funzione f : R→ R del tipo

f(x) = cnxn + . . .+ c1x+ c0 (n ∈ N grado di f , c0, . . . cn ∈ R, cn 6= 0)

1

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2 A. IANNIZZOTTO

(ved. Sezione 3 per il concetto di funzione). Il grafico di f e una curva algebrica in R2 (rette,parabole, cubiche...) di equazione

y = f(x).

Un’equazione algebrica e il problema

(1.1) f(x) = 0,

una disequazione algebrica e il problema

(1.2) f(x) > 0 (≥ 0, < 0, ≤ 0).

E importante saper risolvere problemi dei tipi (1.1) e (1.2).

Esempio 1.1. Quanto e lunga la diagonale di di un rettangolo di lati 6 m, 8 m? Dal teorema diPitagora abbiamo

x2 − 100 = 0,

da cui x = 10 m.

Esempio 1.2. Che temperatura occorre creare in un forno, con termometro in scala Celsius, perfondere del piombo (621, 43◦F )? Usando la formula di conversione, abbiamo

9

5x+ 32 ≥ 621, 43,

da cui x ≥ 327, 46◦C.

Ovviamente, non tutti i fenomeni si riconducono a modelli matematici basati sui polinomi: tuttaviai polinomi approssimano molte funzioni (calcolo numerico), quindi e comunque possibile condurremediante essi uno studio approssimativo.

Un’equazione (algebrica) di primo grado e

(1.3) ax+ b = 0 (a, b ∈ R, a 6= 0).

Essa ha soluzione unica x = − ba . Una disequazione (algebrica) di primo grado e

(1.4) ax+ b > 0 (a, b ∈ R, a 6= 0).

Secondo i casi:

• se a > 0, l’insieme delle soluzioni e l’intervallo]− b

a ,+∞[;

• se a < 0, l’insieme delle soluzioni e l’intervallo]−∞,− b

a

[(intervalli chiusi se in (1.4) c’e il

segno ≥).

Un’equazione (algebrica) di secondo grado e

(1.5) ax2 + bx+ c = 0 (a, b, c ∈ R, a 6= 0).

Per risolverla, calcoliamo il discriminante

∆ = b2 − 4ac

e distinguiamo i casi:

• se ∆ < 0, l’insieme delle soluzioni e ∅ (vuoto);• se ∆ = 0, l’unica soluzione e x = − b

2a ;

• se ∆ > 0, le soluzioni sono x = −b±√

∆2a .

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PAN DI VIA 3

Esempio 1.3. Quanto vale la sezione aurea di un segmento? Cerchiamo x ∈]0, 1[ tale che

1

x=

x

1− x,

la cui unica soluzione in ]0, 1[ e x = −1+√

52 .

Una disequazione (algebrica) di secondo grado e

(1.6) ax2 + bx+ c > 0 (a, b, c,∈ R, a 6= 0).

Per risolverla, ci riconduciamo a (1.4) e (1.5):

• se ∆ < 0 e a > 0, l’insieme delle soluzioni e R;• se ∆ < 0 e a < 0, l’insieme delle soluzioni e ∅;• se ∆ = 0 e a > 0, l’insieme delle soluzioni e R \

{− b

2a

};

• se ∆ = 0 e a < 0, l’insieme delle soluzioni e ∅;• se ∆ > 0 e a > 0, l’insieme delle soluzioni e

]−∞, −b−

√∆

2a

[∪]−b+√∆

2a ,+∞[;

• se ∆ > 0 e a < 0, l’insieme delle soluzioni e]−b+√∆

2a , −b−√

∆2a

[(intervalli chiusi se in (1.6) appare

il segno ≥).

Il metodo di risoluzione di (1.6) e il seguente: risolviamo (1.5), trovando due soluzioni x1, x2 ∈ Rcon x1 ≤ x2, quindi scomponiamo

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)

e applichiamo la regola dei segni:

± · ± = +, ± · ∓ = −.

Esercizio 1.4. Risolvere le disequazioni:

4x2 + 4x+ 1 > 0, x2 − x+1

2≥ 0, 3x2 + 13x− 10 < 0, 7x2 + 4x ≤ 0.

Risolvere la seguente disequazione, al variare del parametro k ∈ R:

x2 − kx+ 9 ≥ 0.

Ogni equazione (o disequazione) algebrica puo essere ricondotta a un certo numero di equazioni (odisequazioni) di primo e secondo grado, in base al seguente teorema:

Teorema 1.5. (di scomposizione) Sia f un polinomio di grado n ≥ 3. Allora esistono k polinomig1, ... gk di gradi d1, . . . dk ∈ {1, 2} tali che d1 + . . .+ dk = n, e

g1(x) . . . gk(x) = f(x) per ogni x ∈ R.

In altre parole, i polinomi irriducibili in R sono tutti quelli di primo grado e quelli di secondogrado con ∆ < 0. E importante saper scomporre un polinomio in fattori di grado minore, mapurtroppo non esiste un unico metodo valido per tutti i polinomi.

In alcuni casi si puo raccogliere un fattore comune (monomio o polinomio), abbassando il gradodel polinomio assegnato:

Esempio 1.6. I seguenti polinomi si scompongono per raccoglimento di un fattore comune:

6x3 + 15x2 − 9x = 3x(2x− 1)(x+ 3),

4x3 − 5x2 + 8x− 10 = (4x− 5)(x2 + 2),

4kx2 + 6k2x− 6x2 − 9kx = (2k − 3)x(2x+ 3k) (k ∈ R).

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4 A. IANNIZZOTTO

Talvolta, invece, si riconosce nel polinomio assegnato uno dei piu noti prodotti notevoli:

(A±B)2 = A2 ± 2AB +B2,

(A±B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ±B3,

(A+B)(A−B) = A2 −B2,

(A±B)(A2 ∓AB +B2) = A3 ±B3.

Esempio 1.7. I seguenti polinomi si scompongono usando i prodotti notevoli:

16x2 − 25 = (4x+ 5)(4x− 5),

x2 + 2x− 15 = (x+ 5)(x− 3),

x3 − 3x2 + 3x+ 7 = (x+ 1)(x2 − 4x+ 7),

k2x4 − 16 = (kx2 + 4)(√kx+ 2)(

√kx− 2) (k > 0).

Un metodo piu generale (ma non universale) e basato sui seguenti risultati teorici:

Teorema 1.8. (della divisione euclidea) Siano f , g due polinomi di gradi rispettivamente n,m ∈ N0,m < n. Esistono altri due polinomi q, r, con r di grado minore di m, tali che

f(x) = g(x)q(x) + r(x) per ogni x ∈ R.

Allora, q e r sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di f per g.

Il Teorema 1.8 non dice nulla su come i polinomi q e r possano essere esplicitamente determinati:nel caso particolare in cui g e un polinomio di primo grado del tipo

g(x) = x− a (a ∈ R),

r ha grado 0, cioe r ∈ R e q ha grado n− 1. Si puo usare la regola di Ruffini. Sia

q(x) = dn−1xn−1 + . . .+ d1x+ d0.

Allora si ha

dn−1 = cn,

dn−2 = cn−1 + dn−1a,

. . .

d0 = c1 + d1a,

r = c0 + d0a,

Consideriamo un polinomio f e supponiamo di conoscere una sua radice a ∈ R, cioe di sapere chef(a) = 0. Possiamo allora dividere f per il polinomio g(x) = x− a (di grado 1), ottenendo q e rcome sopra:

f(x) = (x− a)q(x) + r per ogni x ∈ R,in particolare f(a) = r, da cui r = 0. L’eguaglianza sopra diventa allora

f(x) = (x− a)q(x) per ogni x ∈ R,

che e una scomposizione di f . Dunque, conoscere le (eventuali) radici di un polinomio serve ascomporlo. Non esiste un unico, semplice metodo per trovare le radici di un polinomio, ma neesiste uno per le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi:

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PAN DI VIA 5

Teorema 1.9. (del resto) Sia f un polinomio a coefficienti interi, cioe

f(x) = cnxn + . . .+ c1x+ c0 (c0, . . . cn−1 ∈ Z, cn ∈ N0).

Sia a ∈ Q una radice di f . Allora a = pq , con p ∈ Z divisore di c0 e q ∈ N0 divisore di cn.

Il Teorema 1.9 riduce l’insieme delle possibili radici razionali di f a un ristretto novero di frazioni,fra le quali si puo procedere per tentativi: si troveranno cosı tutte le radici razionali a1, ... ak di f .Poi applichiamo il Teorema 1.8 ragionando come sopra: deve esistere un polinomio q1, di gradon− 1, tale che

f(x) = (x− a1)q1(x) per ogni x ∈ R.Per determinare esplicitamente q1, si puo usare la regola di Ruffini (il resto e ovviamente 0). Quindiprocediamo analogamente dividendo q1 per (x− a2), e cosı via fino a ottenere la scomposizione

f(x) = (x− a1) · · · (x− ak)q(x),

dove il polinomio q ha grado n − k ed e privo di radici razionali (potrebbe avere radici reali oessere irriducibile).

Esempio 1.10. Sia

f(x) = 2x3 + 3x2 − 11x− 6.

Le sue radici razionali sono da cercare fra i numeri ±1, ±2, ±3, ±6, ±12 , ±3

2 e sono in effetti 2,

−3, −12 (siamo fortunati). Dividendo, si ottiene q(x) = 2, quindi

f(x) = (x− 2)(x+ 3)(2x+ 1).

Esercizio 1.11. Scomporre il polinomio

f(x) = 3x3 − 2x2 − 2x− 5.

Per risolvere la disequazione

(1.7) f(x) > 0 (≥ 0, < 0,≤ 0),

dove f e un polinomio di grado maggiore di 2, si procede cosı: si effettua la scomposizione di f infattori g1, ... gk di grado 1 o 2 (Teorema 1.5), quindi si risolvono le disequazioni

gi(x) > 0 (i = 1, . . . k)

e si applica la regola dei segni.

Esempio 1.12. Risolviamo la seguente disequazione:

x3 + 8 > 0.

Usando un prodotto notevole, otteniamo la scomposizione

x3 + 8 = (x+ 2)(x2 − 2x+ 4),

e con la regola dei segni ricaviamo l’insieme delle soluzioni, che e ]− 2,+∞[.

Esempio 1.13. Risolviamo la seguente disequazione:

x4 + 3x3 − 6x2 − 6x+ 8 ≥ 0.

Usando il Teorema del resto, la regola di Ruffini e un prodotto notevole, otteniamo la scomposizione

x4 + 3x3 − 6x2 − 6x+ 8 = (x− 1)(x+ 4)(x−√

2)(x+√

2),

da cui l’insieme delle soluzioni ]−∞,−4] ∪ [−√

2, 1] ∪ [√

2,+∞[.

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6 A. IANNIZZOTTO

Figura 1. Si rappresentano su rette parallele i segni di numeratore e denominatore,quindi si contano le linee: se sono in numero pari, la frazione ha segno positivo, sein numero dispari la frazione ha segno negativo.

Esercizio 1.14. Risolvere le seguenti disequazioni:

4x4 − 4x2 + 1 ≥ 0, x6 + 2x3 − 3 > 0, 3x4 − 7x3 + 5x2 − 7x+ 2 < 0.

1.1. Disequazioni razionali fratte. Una disequazione razionale fratta e un problema del tipo

(1.8)f(x)

g(x)> 0 (≥ 0, < 0,≤ 0),

dove f e g sono due polinomi. La regola dei segni per il rapporto e simile a quella per il prodotto:

±±

= +,±∓

= −.

Ma occorre tenere presente che non si puo dividere per 0!

Esempio 1.15. La disequazione2x− 5

x2 − 2x≥ 0

ha l’insieme delle soluzioni ]0, 2[∪[

52 ,+∞

[, come si puo vedere mediante il procedimento grafico

illustrato dalla fig. 1.

Lo schema da seguire, per risolvere la disequazione (1.8), e questo:

(a) scomporre i polinomi f e g;(b) escludere tutte le radici di g;(c) semplificare eventuali fattori comuni;(d) applicare la regola dei segni.

Esempio 1.16. Risolviamo la disequazione

4x3 − 2x2 − 6x

9x2 + 14x+ 5≥ 0.

Scomponiamo numeratore e denominatore, ottenendo

(2x)(x+ 1)(2x− 3)

(x+ 1)(9x+ 5)≥ 0.

I valori x = −1,−59 sono da escludere a priori, poi si semplifica ottenendo

(2x)(2x− 3)

9x+ 5≥ 0.

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PAN DI VIA 7

Infine, l’insieme delle soluzioni e ]− 59 , 0] ∪ [3

2 ,+∞[.

Esempio 1.17. Risolviamo la disequazione

x4 − 16

4x3 + 4x2 − 7x+ 2≤ 0.

La scomposizione da(x− 2)(x+ 2)(x2 + 4)

(x+ 2)(2x− 1)2≤ 0.

Escludiamo i valori x = −2, 12 , semplifichiamo ottenendo

(x− 2)(x2 + 4)

(2x− 1)2≤ 0.

L’insieme delle soluzioni e ]−∞,−2[∪]− 2, 12 [∪]1

2 , 2].

Esercizio 1.18. Risolvere le seguenti disequazioni:

8x3 − 12x2 + 6x− 1

4x2 − 4x+ 1< 0,

x3 − 8

x3 − 4x2 + x+ 6≥ 0,

3x− 5

x4 − 2x2 + 1> 0.

2. Sistemi di disequazioni e applicazioni

Un sistema di disequazioni algebriche e un problema del tipo

(2.1)

f1(x) > 0 (> 0)

. . .

fk(x) > 0 (> 0)

.

dove f1, ... fk sono polinomi (k ∈ N, k ≥ 2). Per risolverlo, il procedimento di base consiste neltrattare separatamente le disequazioni

fi(x) > 0 (i = 1, . . . k)

trovando per ciascuna di esse l’insieme delle soluzioni Si ⊆ R. L’insieme delle soluzioni di (2.1)sara allora

S =k⋂i=1

Si.

Esempio 2.1. Risolviamo il sistema{x2 − 5x+ 4 > 0

4x3 − 4x2 − x+ 1 ≥ 0.

La prima disequazione si riscrive, scomponendo il polinomio, come

(x− 1)(x− 4) > 0,

sicche S1 =]−∞, 1[∪]4,+∞[. La seconda diventa

(x− 1)(2x− 1)(2x+ 1) ≥ 0,

da cui S2 = [−12 ,

12 ] ∪ [1,+∞[. Intersecando (fig. 2), si ottiene

S =[− 1

2,1

2

]∪]4,+∞[.

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8 A. IANNIZZOTTO

Figura 2. Questa volta bisogna selezionare gli intervalli in cui tutte le linee sono presenti.

Esempio 2.2. Risolviamo il sistema x2 − 1 > 0

x3 − 1 ≥ 0

−x2 + x > 0

.

Si ottiene facilmente

S1 =]−∞,−1[∪]1,+∞[,

S2 = [−1,+∞[,

S3 =]− 1, 0[,

da cui S = ∅.

Esercizio 2.3. Risolvere i seguenti sistemi:{x4 − 1 > 0

x− 1 ≥ 0,

{2x2 − x− 3 ≥ 0

4x2 − 12x+ 9 > 0.

2.1. Disequazioni irrazionali. Una disequazione irrazionale e una disequazione in cui compaionodei radicali. Per semplicita, tratteremo solo disequazioni dei tipi

(2.2) n√f(x) > g(x) (≥)

e

(2.3) n√f(x) < g(x) (≤),

dove n ∈ N, n ≥ 2 e f , g sono polinomi. Per risolvere (2.2) o (2.3), e utile ricordare che la funzionex 7→ xn e crescente e suriettiva per n dispari (vedi la Sezione 9), mentre per n pari essa assumesolo valori non negativi, ognuno in due punti opposti. Per questo vanno distinti due casi:

Primo caso: n dispari. Allora (2.2) e equivalente alla disequazione algebrica

f(x) > [g(x)]n (≥)

e (2.3) a

f(x) < [g(x)]n (≤),

che si risolvono alla solita maniera.

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PAN DI VIA 9

Esempio 2.4. Risolviamo la disequazione

3√

2x2 − 1 > x.

Razionalizzando, otteniamo

x3 − 2x2 + 1 < 0,

il cui insieme delle soluzioni e ]−∞, 1−√

52 [∪]1, 1+

√5

2 [.

Secondo caso: n pari. Qui occorre precisare che n√x indica l’unico numero reale y ≥ 0 tale che

yn = x, e che tale numero esiste solo se x ≥ 0. Dunque, le eventuali soluzioni di (2.2) vanno cercatefra i numeri reali x soddisfacenti

f(x) ≥ 0.

Poi si distingue: se

g(x) < 0,

allora (2.2) e banalmente vera. Se invece

g(x) ≥ 0,

allora (2.2) equivale a

f(x) > [g(x)]n (≥).

Insomma, l’insieme delle soluzioni di (2.2) e dato dall’unione degli insiemi delle soluzioni dei sistemi{f(x) ≥ 0

g(x) < 0,

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) > [g(x)]n (≥)

,

che si risolvono come visto all’inizio di questa Sezione.

Esempio 2.5. Risolviamo la disequazione√1− 9x2 > 2x+ 1.

Ricaviamo i due sistemi: {1− 9x2 ≥ 0

2x+ 1 < 0,

1− 9x2 ≥ 0

2x+ 1 ≥ 0

1− 9x2 > [2x+ 1]2.

Il primo non ha soluzioni, e le soluzioni del secondo formano]− 4

13 , 0[. Questo e anche l’insieme

delle soluzioni della disequazione data.

Per quanto riguarda (2.3), essa equivale al solo sistemaf(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) < [g(x)]n (≤)

.

Esempio 2.6. Risolviamo la disequazione√x2 − 5x+ 6 < x− 3.

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10 A. IANNIZZOTTO

Il sistema corrispondente e x2 − 5x+ 6 ≥ 0

x− 3 ≥ 0

x2 − 5x+ 6 < [x− 3]2,

che non ha soluzioni.

Esercizio 2.7. Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali:

3√x3 − 8 > x− 2,

√x+ 1 < x− 1,

√10 + 3x− x2 > x+ 2.

2.2. Disequazioni con valori assoluti. Il valore assoluto di un numero reale x e

|x| =

{x se x ≥ 0

−x se x < 0

Quando esso appare in una disequazione, la sdoppia in due sistemi. Per esempio,

(2.4) |f(x)| > g(x),

dove f , g sono polinomi, si risolve considerando i sistemi{f(x) ≥ 0

f(x) > g(x),

{f(x) < 0

−f(x) > g(x).

L’unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi fornisce l’insieme delle soluzioni di (2.4).

Esempio 2.8. Risolviamo la disequazione

|3x2 − 5x− 2| > 3x2.

Il primo sistema, {3x2 − 5x− 2 ≥ 03x2 − 5x− 2 > 3x2 ,

ha soluzioni in ]−∞,−25 [, mentre il secondo,{

3x2 − 5x− 2 < 0−3x2 + 5x+ 2 > 3x2 ,

ha soluzioni in ] − 13 ,

5+√

7312 [. Dunque l’insieme delle soluzioni della disequazione data e pari a

]−∞,−25 [∪]− 1

3 ,5+√

7312 [.

Altre e piu complesse disequazioni si affrontano applicando, tutte le volte che sia necessario, lastessa logica.

Esempio 2.9. Risolviamo la disequazione

|x2 − 1| ≥ |x− 2|.

Questa si scinde in quattro sistemi, secondo i segni dei due polinomi racchiusi nei valori assoluti:

infine si trova l’insieme delle soluzioni ]−∞, −1−√

132 ] ∪ [−1+

√13

2 ,+∞[.

Esercizio 2.10. Risolvere le seguenti disequazioni:

|x3 − 8| > x− 2, |x2 − 9| ≤ |4x− 5|, |x4 − 1| < x4 − 1.

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PAN DI VIA 11

3. Cenni sulle funzioni e applicazioni

Siano X, Y insiemi non vuoti, x ∈ X, y ∈ Y : la coppia ordinata (x, y) e l’insieme formato da x ey, tenendo conto dell’ordine. Il prodotto cartesiano di X e Y e l’insieme delle coppie ordinate

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.Una relazione tra X e Y e un sottoinsieme R ⊆ X × Y .

Esempio 3.1. Siano X = Y = Z e

R = {(x, y) ∈ Z× Z : x− y e pari}.R e la relazione che associa numeri interi con la stessa parita.

Esempio 3.2. Siano X = Y = R e

R = {(x, y) ∈ R× R : x < y}.R e la relazione d’ordine su R (rappresentazione grafica).

Se per ogni x ∈ X esiste un unico y ∈ Y tale che (x, y) ∈ R, allora R e una funzione e si denotaf : X → Y , mentre (x, y) ∈ R si scrive f(x) = y. L’insieme X e il dominio di f , Y il codominio e

Im(f) = {f(x) : x ∈ X}e l’immagine.

Esempio 3.3. Sia f : N→ N definita da

f(x) = 2x.

Qual e l’immagine di f?

Una funzione f : X → Y e detta suriettiva se Im(f) = Y , iniettiva se per ogni x1, x2 ∈ X con

x1 6= x2 si ha anche f(x1) 6= f(x2), biunivoca se e iniettiva e suriettiva. E importante osservare chela suriettvita di una funzione dipende non solo dalla sua legge di definizione, ma anche dall’insiemed’arrivo.

Esempio 3.4. Consideriamo le seguenti funzioni:

• f1 : R→ [0,+∞[ definita da f1(x) = x2;• f2 : N→ N definita da f2(x) = 2x;• f3 : Z→ Z definita da f3(x) = −x.

Si vede che f1 e suriettiva ma non iniettiva, f2 e iniettiva ma non suriettiva, f3 e biunivoca.

Sia f : R→ R: f e detta

• crescente (nondecrescente) se per ogni x1, x2 ∈ R con x1 < x2 si ha anche f(x1) < f(x2)(f(x1) ≤ f(x2));• decrescente (noncrescente) se per ogni x1, x2 ∈ R con x1 < x2 si ha anche f(x1) > f(x2)

(f(x1) ≥ f(x2)),

e monotona in ognuno dei casi precedenti.

Proposizione 3.5. Sia f : R→ R una funzione crescente o decrescente. Allora f e iniettiva.

Se una funzione f : X → Y e biunivoca, se ne puo definire la funzione inversa f−1 : Y → X cheassocia a ogni y ∈ Y l’unico x ∈ X tale che f(x) = y.

Esempio 3.6. Sia f : R→ R definita da f(x) = x+ 1, allora f−1(y) = y − 1.

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12 A. IANNIZZOTTO

Data f : R→ R, il suo grafico e la curva descritta nel piano R2 dall’equazione

y = f(x).

Esempio 3.7. Il grafico di f(x) = 2x− 1 e una retta, quello di g(x) = x− |x| e formato da duesemirette uscenti dall’origine.

Esercizio 3.8. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni f : R→ R:

f(x) = x2 − 1, f(x) = [x] (parte intera di x), f(x) =x

|x|(segno di x, per x 6= 0).

Ci concentriamo ora sulle funzioni esponenziali e logaritmiche. Sia a ∈ R. Le potenze di a conesponente naturale, intero e razionale si definiscono sotto condizioni via via piu restrittive per a:

• an = a · a · . . . a (n volte) per n ∈ N0;• a0 = 1 [a 6= 0];• a−n =

(1a

)nper n ∈ N [a 6= 0];

• amn = n

√am per m

n ∈ Q [a > 0].

La potenza con esponente reale si ottiene, per a > 0, per approssimazione: sia b ∈ R, allora

b = b0, b1b2 . . . (b0 ∈ Z, b1, b2, . . . ∈ {0, . . . 9}).Dapprima si calcolano le potenze con esponenti razionali

ab0 , ab0,b1 , ab0,b1b2 . . .

e queste si stabilizzano su un valore c ∈ R, quindi si pone

ab = c.

La funzione esponenziale di base a > 0 e f : R→]0,+∞[ definita da

f(x) = ax.

Essa ha diverse importanti proprieta di tipo algebrico:

ax+y = ax · ay,

a−x =1

ax,

axy = (ax)y,

axbx = (ab)x.

Ha anche proprieta di monotonia (fig. 3):

• se 0 < a < 1, f e decrescente;• se a = 1, f(x) = 1 per ogni x ∈ R (caso banale);• se a > 1, f e crescente.

Esempio 3.9. La funzione x 7→ 2x e crescente, x 7→(

13

)xe decrescente, x 7→ ex e crescente

(e = 2, 718 . . . e il numero di Nepero).

Dunque, per a 6= 1, la funzione f e biunivoca. Se ne definisce la funzione inversa f−1 :]0,+∞[→ R,che e chiamata funzione logaritmica e si denota

f−1(x) = loga(x).

Proprieta algebriche del logaritmo:

loga(xy) = loga(|x|) + loga(|y|),

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PAN DI VIA 13

Figura 3. y = ax. Figura 4. y = loga(x).

loga

(1

x

)= − loga(x),

loga(xy) = y loga(x),

loga(x) = loga(b) logb(x),

e inoltre, ovviamente,

aloga(x) = x per ogni a > 0, a 6= 1, x > 0,

loga(ax) = x per ogni a > 0, a 6= 1, x ∈ R.

Proprieta di monotonia (fig. 4):

• se 0 < a < 1, f−1 e decrescente;• se a > 1, f−1 e crescente.

Esempio 3.10. Il logaritmo decimale x 7→ log10(x) e il logaritmo naturale x 7→ ln(x) (base e)sono crescenti.

3.1. Disequazioni esponenziali. Una disequazione esponenziale e una disequazione in cuicompaiono delle funzioni esponenziali. Ci limiteremo ai seguenti tipi:

(3.1) af(x) > ag(x) (≥),

(3.2) af(x) > bg(x) (≥),

(3.3) f(ax) > 0 (≥),

dove a > 0, a 6= 1 e f , g sono polinomi. Per risolvere (3.1) si sfrutta la monotonia:

• se 0 < a < 1, (3.1) equivale a f(x) < g(x) (≤);• se a > 1, (3.1) equivale a f(x) > g(x) (≥).

Esempio 3.11. Risolviamo la disequazione

32x < 9.

Essa si riconduce alla disequazione algebrica

2x < 2

e l’insieme delle soluzioni e ]−∞, 1[.

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14 A. IANNIZZOTTO

Esempio 3.12. Risolviamo la disequazione

ex2+1 > e2x.

Essa si riconduce alla disequazione algebrica

x2 + 1 > 2x

e l’insieme delle soluzioni e ]−∞, 1[∪]1,+∞[.

Per risolvere (3.2), si ricorre alle proprieta algebriche dell’esponenziale, quindi si ottiene unadisequazione del tipo (3.1):

Esempio 3.13. Risolviamo la disequazione

2x+1 ≥ 41−x.

Essa si riconduce alla disequazione esponenziale

2x+1 ≥ 22−2x

e l’insieme delle soluzioni e [13 ,+∞[.

Esempio 3.14. Risolviamo la disequazione(1

2

)2x2

> 27x−15.

Essa si riconduce a

2−2x2 > 27x−15

e l’insieme delle soluzioni e ]− 5, 32 [.

Per risolvere (3.3), si studia dapprima la disequazione algebrica

f(y) > 0 (≥),

trovando l’insieme delle soluzioni S′ ⊆ R, quindi si risolve il problema

ax ∈ S′

(sara un sistema di disequazioni esponenziali del tipo (3.1)).

Esempio 3.15. Risolviamo la disequazione

2e3x − 5e2x + 2ex − 5 < 0.

La disequazione algebrica

2y3 − 5y2 + 2y − 5 < 0

ha l’insieme delle soluzioni ]−∞, 52 [. Passiamo a risolvere

ex <5

2

e troviamo]−∞, ln

(52

)[.

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PAN DI VIA 15

3.2. Disequazioni logaritmiche. Una disequazione logaritmica e una disequazione in cui com-paiono funzioni logaritmiche. Ci limiteremo ai seguenti tipi:

(3.4) loga(f(x)) > loga(g(x)) (≥),

(3.5) f(loga(x)) > 0 (≥),

dove a > 0, a 6= 1 e f , g sono polinomi. Per risolvere una disequazione logaritmica, e essenzialeimporre che gli argomenti dei logaritmi siano positivi. Quindi, nel caso (3.4), si applica la monotonia:cosı, se 0 < a < 1, (3.4) equivale al sistema

f(x) > 0

g(x) > 0

f(x) < g(x) (≤)

mentre se a > 1, (3.4) equivale al sistemaf(x) > 0

g(x) > 0

f(x) > g(x) (≥)

.

Esempio 3.16. Risolviamo la disequazione

log2(x2 + x) > log2(2x).

Essa equivale al sistema x2 + x > 0

2x > 0

x2 + x > 2x

,

il cui insieme delle soluzioni e ]1,+∞[.

Esempio 3.17. Risolviamo la disequazione

log2(2x+ 4) < 2 log2(x).

La riscriviamo nella forma (3.4):

log2(2x+ 4) < log2(x2).

Essa equivale al sistema 2x+ 4 > 0

x > 0

2x+ 4 < x2

,

il cui insieme delle soluzioni e ]1 +√

5,+∞[.

Per le disequazioni di tipo (3.5), si comincia studiando la disequazione algebrica

f(y) > 0 (≥),

il cui insieme delle soluzioni sara S′ ⊆ R. Poi si risolve il sistema{x > 0

loga(x) ∈ S′.

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16 A. IANNIZZOTTO

Figura 5. La circonferenza goniometrica.

Esempio 3.18. Risolviamo la disequazione

[ln(x)]2 − 4 < 0.

La disequazione

y2 − 4 < 0

ha insieme delle soluzioni ]− 2, 2[, quindi il sistema da risolvere ex > 0ln(x) > −2ln(x) < 2

.

Infine, l’insieme delle soluzioni e ]e−2, e2[.

Esercizio 3.19. Risolvere le seguenti disequazioni:

3x2+2x ≥ 1, 23x−2 < 4x

2, e3x − 27 < 0,

log10(x2 + 1) < log10(x), 2(ln(x))2 − ln(x) ≥ 0.

4. Trigonometria

La misura di angoli si puo fare in diversi modi: il piu utile nella matematica superiore consiste nelmisurare un angolo al centro di una circonferenza di raggio unitario attraverso la lunghezza dell’arcocorrispondente. Per questo si introduce, nel piano cartesiano, la circonferenza goniometrica (dicentro (0, 0) e raggio 1) e su di essa si fissano un’origine degli archi (il punto (1, 0)) e un senso dipercorrenza (quello antiorario); l’unita di misura, invece, rimane quella delle lunghezze, e si diceche un radiante e l’ampiezza di un angolo che individua sulla circonferenza goniometrica un arcodi lunghezza 1 (positivo!). Cosı un angolo giro misura 2π radianti.Detto P l’estremo dell’angolo α (fig. 5), l’ascissa di P e indicata con cos(α) e l’ordinata con sin(α).Applicando il teorema di Pitagora, si ottiene subito la relazione fondamentale della trigonometria:

(4.1) cos(α)2 + sin(α)2 = 1 per ogni α ∈ R,

da cui

−1 ≤ cos(α), sin(α) ≤ 1 per ogni α ∈ R,.

Si definiscono inoltre

tan(α) =sin(α)

cos(α)(cos(α) 6= 0), cot(α) =

cos(α)

sin(α)(sin(α) 6= 0),

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PAN DI VIA 17

Figura 6. y = sin(x). Figura 7. y = cos(x).

Figura 8. y = tan(x). Figura 9. y = cot(x).

che invece sono illimitate. Le funzioni coseno, seno, tangente e cotangente appena definite sonodette funzioni trigonometriche. Esse sono tutte periodiche (fig. 6, 7, 8, 9):

cos(α+ 2kπ) = cos(α), cos(α+ 2kπ) = cos(α),

tan(α+ kπ) = tan(α), cot(α+ kπ) = cot(α) per ogni α ∈ R, k ∈ ZValgono inoltre le seguenti proprieta, di tipo geometrico:

cos(−α) = cos(α), sin(−α) = − sin(α),

cos(π − α) = − cos(α), sin(π − α) = sin(α),

cos(π

2− α

)= sin(α), sin

(π2− α

)= cos(α).

Le formule di addizione:

cos(α± β) = cos(α) cos(β)∓ sin(α) sin(β),

sin(α± β) = sin(α) cos(β)± cos(α) sin(β),

da cui le formule di duplicazione

cos(2α) = cos(α)2 − sin(α)2,

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).

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18 A. IANNIZZOTTO

Figura 10. Metodo grafico per le equazioni trigonometriche.

Queste sono le piu usate (anche se non le uniche) formule della trigonometria. Spesso agiscono mo-

dificate secondo (4.1). E anche utile conoscere alcuni valori notevoli delle funzioni trigonometriche(ved. [1]).

4.1. Equazioni trigonometriche. Un’equazione trigonometrica e un’equazione in cui compaionofunzioni trigonometriche. Ci limiteremo alle piu semplici:

(4.2) sin(x) = c (c ∈ [−1, 1]),

per esempio, si risolve per via grafica, facendo attenzione alla periodicita.

Esempio 4.1. Risolviamo l’equazione

sin(x) =1

2.

Tracciando la retta di equazione y = 12 , le cui intersezioni con la circonferenza goniometrica

corrispondono agli angoli π6 e 5π

6 (fig. 10), e ricordando che la funzione seno e 2π–periodica, siricava l’insieme delle soluzioni {π

6+ 2kπ,

6+ 2kπ : k ∈ Z

}.

Esempio 4.2. Risolviamo l’equazione

tan(x) = 1.

Tracciando la retta di equazione y = x, le cui intersezioni con la circonferenza goniometricacorrispondono agli angoli π

4 e 5π4 , e ricordando che la funzione tangente e π–periodica, si ricava

l’insieme delle soluzioni {π4

+ kπ : k ∈ Z}.

Esempio 4.3. Risolviamo l’equazione

4 sin(x)2 + 4 cos(x)− 5 = 0.

Posto y = cos(x), grazie a (4.1) l’equazione data diventa

4y2 − 4y + 1 = 0,

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PAN DI VIA 19

la cui unica soluzione e 12 . Tornando alla variabile originaria, l’insieme delle soluzioni e{

± π

3+ 2kπ : k ∈ Z

}.

Esempio 4.4. Risolviamo l’equazione

cos(2x) + sin(x)2 = 1.

Usando la formula di duplicazione per il coseno, otteniamo

cos(x)2 = 1,

sicche l’insieme delle soluzioni e

{kπ : k ∈ Z}.

Esercizio 4.5. Risolvere le seguenti equazioni:

cos(2x) + cos(x)2 = 0, 2 cos(x)2 − 1 = 0.

4.2. Disequazioni trigonometriche. Una disequazione trigonometrica e una disequazione in cuicompaiono funzioni trigonometriche. Per esempio

(4.3) cos(x) > c (c ∈ [−1, 1]),

che si risolve per via grafica (facendo attenzione alla periodicita).

Esempio 4.6. Risolviamo la disequazione

tan(x) >√

3.

Tracciando la retta di equazione y =√

3x, che interseca la semicirconferenza goniometricacorrispondente all’intervallo [0, π] in un unico punto corrispondente all’angolo π

3 , troviamo l’insiemedelle soluzioni ⋃

k∈Z

]π3

+ kπ,π

2+ kπ

[.

Esempio 4.7. Risolviamo la disequazione

sin(x) + cos(x) > 0.

Tracciando la retta di equazione y = −x, che interseca la circonferenza goniometrica nei punticorrispondenti agli angoli 3π

4 e 7π4 , troviamo l’insieme delle soluzioni⋃

k∈Z

(]2kπ,

4+ 2kπ

[∪]7π

4+ 2kπ, 2π + 2kπ

[).

Esercizio 4.8. Risolvere le seguenti disequazioni:

sin(x) + cos(x) < 1, sin(x) > cos(x), sin(2x)− cos(x) > 0,

2 cos(x)3 − cos(x)2 + 2 cos(x) + 1 > 0.

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20 A. IANNIZZOTTO

4.3. Coordinate polari. Mediante la trigonometria, possiamo fornire rappresentazioni alternativedei punti del piano o dello spazio, basate su diversi sistemi di coordinate polari. Nel piano, unpunto P di coordinate cartesiane (x, y) si puo rappresentare mediante le coordinate polari circolari(ρ, θ) ∈ [0,+∞[×[0, 2π[, legate alle prime dalle trasfomazioni

(4.4)

{x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ).

Nello spazio, un punto P di coordinate cartesiane (x, y, z) si puo rappresentare mediante le coor-dinate polari cilindriche (ρ, θ, ζ) ∈ [0,+∞[×[0, 2π[×R o sferiche (ρ, θ, φ) ∈ [0,+∞[×[0, 2π[×[0, π],legate alle prime dalle trasfomazioni

(4.5)

x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ)

z = ζ

,

(4.6)

x = ρ cos(θ) sin(φ)

y = ρ sin(θ) sin(φ)

z = ρ cos(φ)

(per approfondimenti ved. [2]).

5. Matrici e sistemi lineari

In questa sezione richiamiamo alcuni elementi di algebra lineare, rimandando per i dettagli a [3].Una matrice (reale) e una tabella rettangolare in cui sono inseriti dei numeri reali:

A =

a11 . . . a1n

. . . . . .am1 . . . amn

,dove m,n ∈ N0. Nella matrice A si individuano i termini aij , le righe

Ri = [ai1 . . . ain]

e le colonne

Cj =

a1j

. . .amj

,per ogni 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Si usa anche la scrittura sintetica A = [aij ] e l’insieme delle matricicon m righe e n colonne si denota Rmn . Le matrici quadrate di ordine n sono gli elementi di Rnn.Inoltre, le sottomatrici di A sono le matrici ottenute intersecando alcune righe con alcune colonnedi A (anche non consecutive).

La somma delle matrici A e B = [bij ], entrambe in Rmn , e la matrice

A+B = [aij + bij ] ∈ Rmn ,

il prodotto di uno scalare λ ∈ R per la matrice A e la matrice

λA = [λaij ] ∈ Rmn .

L’insieme Rmn , con le operazioni ora introdotte, e uno spazio vettoriale di dimensione mn (ved. [3]).

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PAN DI VIA 21

Il prodotto righe per colonne e un’operazione che associa a due matrici A = [aij ] ∈ Rmn , B = [bij ] ∈Rnp la matrice

AB =

[n∑h=1

aihbhj

]∈ Rmp

(il termine di posto (i, j) si ottiene moltiplicando i termini della i–ma riga di A per quelli dellaj–ma colonna di B e sommando). Il prodotto righe per colonne si puo effettuare fra due matricisolo se il numero delle colonne della prima e uguale al numero delle righe della seconda. Esso eassociativo ma non commutativo, nemmeno nel caso speciale delle matrici quadrate.

Esempio 5.1. Si ha: [1 12 0

] [2 10 0

]=

[2 14 2

],[

2 10 0

] [1 12 0

]=

[4 20 0

].

Ristretto all’insieme Rnn, il prodotto righe per colonne ammette un elemento neutro

I = [δij ],

dove δij e l’indice di Kronecker definito da

δij =

{1 se i = j

0 se i 6= j.

La matrice I e detta matrice identita. Si pone dunque il problema di individuare le matriciinvertibili in Rnn, ovvero quelle matrici A per le quali esiste la matrice inversa A−1 ∈ Rnn tale che

AA−1 = A−1A = I.

Esempio 5.2. La matrice [1 21 0

]e invertibile, in quanto [

1 21 0

] [0 112 −1

2

]=

[1 00 1

].

Esempio 5.3. La matrice [1 10 0

]non e invertibile, in quanto per ogni b11, . . . b22 ∈ R si ha[

1 10 0

] [b11 b12

b21 b22

]=

[b11 + b21 b12 + b22

0 0

].

Per caratterizzare le matrici invertibili si introducono i determinanti, che si definiscono medianteun procedimento induttivo. Dapprima, sia A = [aij ] ∈ R2

2, il suo determinante e il numero reale

det(A) = a11a22 − a12a21.

Siano ora n ∈ N, n ≥ 3 e A ∈ Rnn una matrice, e supponiamo di saper calcolare i determinanti dellematrici quadrate di ordine n− 1. Per ogni 1 ≤ i, j ≤ n definiamo la sottomatrice complementare

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22 A. IANNIZZOTTO

del termine aij come la sottomatrice Aij di A ottenuta escludendo la riga Ri e la colonna Cj .Poniamo

d =

n∑j=1

a1j(−1)1+jdet(A1j).

Il seguente risultato prova che la scelta della prima riga nel calcolo di d non influenza il risultato:

Teorema 5.4. (di Laplace). Per ogni i, j ∈ {1, . . . n} si ha

(i)

n∑j=1

aij(−1)i+jdet(Aij) = d;

(ii)

n∑i=1

aij(−1)i+jdet(Aij) = d.

Il determinante di A e allora definito come

det(A) = d.

La scrittura (i) rappresenta lo sviluppo del determinante secondo la riga Ri, la (ii) lo svilupposecondo la colonna Cj . Un’altra notazione per il determinante e∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n

. . . . . .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣ .Esempio 5.5. Calcoliamo i seguenti determinanti:∣∣∣∣∣∣

1 2 10 1 01 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 1

∣∣∣∣1 11 2

∣∣∣∣ = 2− 1 = 1;

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 10 1 2 03 0 1 01 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣0 1 23 0 11 2 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣1 0 10 1 23 0 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣3 11 0

∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣3 01 2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣1 20 1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣0 13 0

∣∣∣∣ = −15

(suggerimento pratico: conviene sviluppare il determinante rispetto alla riga, o alla colonna, checontiene piu termini nulli).

Segue un elenco delle piu utili proprieta dei determinanti (λ ∈ R, A,B ∈ Rnn):

• se A′ e ottenuta da A scambiando due righe o due colonne, det(A′) = −det(A);• se A′ e ottenuta da A moltiplicando per λ una riga o una colonne, det(A′) = λdet(A);• det(λA) = λndet(A);• se A ha una riga (colonna) nulla, det(A) = 0;• se A ha due righe (colonne) uguali, det(A) = 0;• se A ha due righe (colonne) proporzionali, det(A) = 0;• det(AB) = det(A)det(B);

Attraverso il determinante, otteniamo un criterio di invertibilita per le matrici, e insieme unaformula per la matrice inversa:

Teorema 5.6. Una matrice A ∈ Rnn e invertibile se e solo se det(A) 6= 0 e in tal caso

A−1 =

[(−1)i+jdet(Aji)

det(A)

].

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PAN DI VIA 23

Esempio 5.7. Determinare (se esiste) l’inversa della matrice

A =

1 0 1−1 0 10 2 0

.Si ha det(A) = −4, dunque l’inversa esiste ed e

A−1 =

12 −1

2 00 0 1

212

12 0

.Per le matrici rettangolari, la nozione di determinante e generalizzata da quella di rango. Sia

A = [aij ] ∈ Rmn (m,n ∈ N).

Il rango (o caratteristica) di A e il massimo ordine di una sottomatrice quadrata invertibile di A esi denota ρ(A).

Esempio 5.8. Sia

A =

2 1 −10 1 11 0 −1

.Si ha ρ(A) = 2 in quanto A non e invertibile, mentre la sottomatrice[

2 10 1

]lo e.

Il calcolo del rango di una matrice (fortunatamente) non richiede di studiare tutte le sue sottomatrici.

Teorema 5.9. (di Kronecker). Siano A ∈ Rmn , 1 ≤ p ≤ min{m,n} tali che

(i) esiste una sottomatrice quadrata invertibile B di A, di ordine p;(ii) tutte le sottomatrici quadrate di A di ordine p+ 1, contenenti B, non sono invertibili.

Allora, ρ(A) = p.

Esempio 5.10. Calcoliamo il rango della matrice

A =

2 1 11 0 10 1 12 1 2

.Si ha ρ(A) = 2, perche la sottomatrice in corsivo e invertibile, mentre quelle di ordine 3 che lacontengono no.

Esercizio 5.11. Calcolare il rango delle matrici−1 0 2 01 1 0 20 −1 −1 −20 −1 1 0

,2 −1 1 3

0 1 1 −11 3 4 −3

.

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24 A. IANNIZZOTTO

Esercizio 5.12. Al variare di k ∈ R, calcolare il rango delle seguenti matrici:1 1 k0 k 01 0 1

,k 1 1

1 k 11 1 k

, k 1 −2

0 3 0−k 0 2

.Esercizio 5.13. Al variare di a, b, c ∈ R, calcolare il rango della matricea 0 0

0 b 00 0 c

,determinando (ove possibile) la matrice inversa.

5.1. Sistemi lineari. Le nozioni introdotte sopra sono la base per un metodo molto generale(non l’unico) per lo studio dei sistemi lineari. Cominciamo prendendo in esame il seguente sistemadi n equazioni lineari in n incognite:

(5.1)

a11x1 + . . .+ a1nxn = b1

. . .

an1x1 + . . .+ annxn = bn

,

dove n ∈ N (n ≥ 2) e aij ∈ R per ogni i, j ∈ {1, . . . n}. Il sistema (5.1) si puo riscrivere nella formasintetica

AX = B,

avendo definito le matrici dei coefficienti A = [aij ] ∈ Rnn, delle incognite X = [xi] ∈ Rn1 e deitermini noti B = [bi] ∈ Rn1 .

Teorema 5.14. (di Cramer). Se det(A) 6= 0, il sistema (5.1) ammette un’unica soluzione.

Una regola pratica, nota come il metodo di Cramer, per determinare la soluzione di (5.1), sottol’ipotesi det(A) 6= 0, e la seguente: per ogni j ∈ {1, . . . n}, definiamo le matrici di sostituzione

Bj =

a11 . . . a1(j−1) b1 a1(j+1) . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . .an1 . . . an(j−1) bn an(j+1) . . . ann

(si sostituisce la j-ma colonna di A con B), quindi poniamo

xj =det(Bj)

det(A).

Esempio 5.15. Risolviamo il sistemax1 − x2 = 2

2x2 + x3 = 0

3x1 + x2 − x3 = 1

.

La matrice dei coefficienti e

A =

1 −1 00 2 13 1 −1

,

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PAN DI VIA 25

con det(A) = −6. L’unica soluzione del sistema ex1 = 7

6

x2 = −56

x3 = 53

.

Il metodo sopra esposto si puo estendere ai sistemi con arbitrari numeri di equazioni e di incognite,perdendo in generale l’unicita della soluzione. Consideriamo il seguente sistema di m equazioni inn incognite:

(5.2)

a11x1 + . . .+ a1nxn = b1

. . .

am1x1 + . . .+ amnxn = bn

,

per m,n ∈ N. Come al solito si definiscono le matrici A ∈ Rmn , X ∈ Rn1 , B ∈ Rm1 e si riformula(5.2) nella forma

AX = B.

Si definisce anche la matrice completa del sistema

A|B =

a11 . . . a1n b1. . . . . . . . .am1 . . . amn bm

Teorema 5.16. (di Rouche–Capelli). Il sistema (5.2) ammette soluzioni se e solo se ρ(A) =ρ(A|B) = p, e in tal caso la soluzione dipende da n− p variabili libere.

Una fantasiosa notazione per esprimere quanto sopra e: il sistema ha ∞n−p soluzioni. Il casodescritto nel Teorema 5.14 corrisponde a ∞0 soluzioni.

Esempio 5.17. Risolviamo il sistema{x1 − x2 − x3 = 0

2x1 + x2 = 2.

La matrice dei coefficienti e quella completa hanno entrambe rango 2, e la soluzione (che si puocalcolare facilmente per via diretta) dipende da una variabile libera:

x1 = t

x2 = 2− 2t

x3 = 3t− 2

(t ∈ R).

Per trovare le soluzioni del sistema (5.2), si puo impiegare il metodo di Cramer generalizzato:

(a) calcoliamo ρ(A), ρ(A|B).

Se ρ(A) < ρ(A|B), (5.2) non ha soluzioni. Se ρ(A) = ρ(A|B) = p, individuiamo una sottomatricequadrata C ∈ Rpp di A invertibile:

(b) trascurando m− p equazioni e portando a secondo membro n− p variabili, otteniamo unsistema di p equazioni in p incognite

(5.3) CX ′ = D,

la cui matrice dei coefficienti C e invertibile;

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26 A. IANNIZZOTTO

(c) risolviamo il sistema ridotto (5.3) secondo il metodo di Cramer, trovando p variabili infunzione delle altre n− p.

Esempio 5.18. Risolviamo il seguente sistema di 3 equazioni in 4 incognite:x2 + 3x3 + 3x4 = 1

−x1 + x3 + x4 = 0

2x1 + x2 + x3 = 1

.

Abbiamo

A =

0 1 3 2-1 0 1 12 1 1 0

, B =

101

.cosı che ρ(A) = ρ(A|B) = 2. Isolando la sottomatrice in corsivo, otteniamo il sistema{

x2 = 1− 3t− 2sx1 = t+ s

(t, s ∈ R),

che ha ∞2 soluzioni.

Esercizio 5.19. Risolvere i seguenti sistemi lineari:2x1 + x3 = 2

x1 + x2 = 0

2x2 + x3 − x4 = −4

x1 − x2 + x4 = 4

,

x1 + 2x2 − x3 = 0

x2 − x3 = 2

x1 + x3 = 0

,

x1 − x3 = 3

2x1 + 2x2 = 1

x1 + 2x2 + x3 = −2

−x2 + 2x3 = 2

,

x1 + x2 + x3 = 1

2x1 + 2x2 + 3x3 = 1

2x2 − 2x4 = 0

,

x1 + x2 − x3 + x4 = 0

x1 + x2 − x4 = 1

2x1 − x2 + x3 + x4 = 2

,

x1 − x2 + x3 = 1

2x1 + x3 + x4 = 4

x1 + x3 = 0

.

Esercizio 5.20. Al variare di k ∈ R, studiare i seguenti sistemi lineari:x1 + 2x3 = 1

−x2 + x3 = 2

x1 + 2x2 + kx3 = 0

,

{kx2 + 2kx3 = 0

x1 + kx2 = 1,

kx1 + x2 − x3 + x4 = 0

x1 + kx2 − x3 = 1

x2 − x3 − x4 = 0

,

{(k − 1)x1 + x2 = k + 1

3x1 + (k + 1)x2 = 9.

6. Numeri complessi

Sull’insieme R× R si possono definire due operazioni:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

Si vede facilmente che R × R con queste operazioni e un campo, che viene denotato C e i cuielementi vengono chiamati numeri complessi. Posto 1 = (1, 0) e i = (0, 1), gli elementi di C sipossono rappresentare in modo unico nella forma z = x + iy (x, y ∈ R). Cosı C appare comeun’estensione di R.

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PAN DI VIA 27

Il motivo per cui conviene passare da R a C e che in quest’ultimo insieme esiste una soluzioneall’equazione z2 = −1, ovvero z = i.

Il coniugato di un numero complesso z = x+ iy e z = x− iy, e valgono le relazioni:

z + z′ = z + z′, zz′ = zz′, 1/z = 1/z.

La parte reale di z e Re(z) = x, la parte immaginaria e Im(z) = y, il modulo e |z| =√x2 + y2. Il

numero complesso z e rappresentato sul piano R2 (detto allora piano di Gauss) dal punto P dicoordinate cartesiane (x, y), e per questo nel piano di Gaußl’asse delle ascisse e detto asse reale equello delle ordinate asse immaginario.

Come visto nella Sezione 4.3, il punto P si puo anche rappresentare mediante le coordinate polari(ρ, θ) con ρ = |z|, legate dalle trasformazioni (4.4). Dunque si ha la rappresentazione di z in formatrigonometrica

(6.1) z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)).

La rappresentazione (6.1) e utile nel calcolo complesso, principalmente per le potenze e le radici.La formula trigonometrica del prodotto in C e

zz′ = ρρ′(cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)),

da cui per ogni n ∈ N

(6.2) zn = ρn(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Esempio 6.1. Calcoliamo (√

3 + i)6. Usando (4.4), riformuliamo

√3 + i = 2

(cos(π

6

)+ i sin

(π6

)),

quindi per (6.1)

(√

3 + i)6 = 26(cos(π) + i sin(π)) = −64.

I problemi affrontati nella Sezione 1 cambiano radicalmente in C, in quanto gli unici polinomiirriducibili a coefficienti complessi sono quelli di grado 1:

Teorema 6.2. (fondamentale dell’algebra) Siano n ∈ N, a0, . . . an ∈ C. Allora l’equazione

anzn + . . .+ a1z + a0 = 0

ammette esattamente n soluzioni z1, . . . zn in C (non necessariamente distinte), e per ogni z ∈ Csi ha

anzn + . . .+ a1z + a0 = an

n∏j=1

(z − zj).

In particolare, l’equazione zn = w, con n ∈ N0, w = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), ha n soluzioni date dalleseguente formula di De Moivre:

(6.3) zj = n√ρ(

cos(θ + 2jπ

n

)+ i sin

(θ + 2jπ

n

)), j = 0, . . . n− 1,

che sul piano complesso sono rappresentate da n punti a eguale distanza sulla circonferenza dicentro 0 e raggio n

√ρ.

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28 A. IANNIZZOTTO

Esempio 6.3. Calcoliamo le radici cubiche di 1 + i. Per prima cosa riscriviamo il numero in formatrigonometrica:

1 + i =√

2(

cos(π

4

)+ i sin

(π4

)).

Quindi applichiamo (6.3), trovando le radici

6√

2(

cos( π

12+ j

3

)+ i sin

( π12

+ j2π

3

)), j = 0, 1, 2.

Le regole per la scomposizione dei polinomi (e quindi la risoluzione di equazioni algebriche) sonosimili a quelle viste nel caso reale, con la differenza che il risultato finale deve essere un prodottodi polinomi di grado 1. Le disequazioni, invece, non hanno senso in quanto C non e un campoordinato. In particolare, se il polinomio assegnato ha coefficienti reali, occorre anche tenere presenteil seguente risultato:

Corollario 6.4. Siano n ∈ N, a0, . . . an ∈ R. Allora le soluzioni in C dell’equazione

anzn + . . .+ a1z + a0 = 0

sono divise in due classi:

(i) radici reali;(ii) coppie di radici complesse coniugate.

Esempio 6.5. Risolviamo in C l’equazione

z3 − z2 − z − 2 = 0.

Il polinomio ha grado 3, quindi per il Teorema 6.2 e il Corollario 6.4 ha 3 radici, di cui almeno unareale: questa e 2 (per sostituzione). Quindi applichiamo la regola di Ruffini per trovare

z3 − z2 − z − 2 = (z − 2)(z2 + z + 1).

Il secondo polinomio, irriducibile in R, ha radici complesse coniugate (−1± i√

3)/2, quindi le radicidell’equazione assegnata sono 2, (−1± i

√3)/2.

Esercizio 6.6. Risolvere le seguenti equazioni algebriche:

z6 − 1 = 0, z2 − 2z + 3 = 0, z2 + iz + 1 = 0,

z3 − (2 + i)z2 + (1 + 2i)z − i, z4 − 1 + i = 0.

Le funzioni esponenziali e trigonometriche ammettono estensioni a C, legate dalla relazione

ex+iy = ex(cos(y) + i sin(y)).

In particolare vale l’identita di Euleroeiπ + 1 = 0,

nella quale appaiono tutti i numeri piu importanti dell’analisi matematica.

Riferimenti bibliografici

[1] G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill (2007). 18

[2] C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli (2015). 1, 20

[3] E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli (2011). 20

Dipartimento di Matematica e Informatica

Universita degli Studi di Cagliari

Viale L. Merello 92, 09123 Cagliari, Italy

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