STUDIO DELL'OSCILLATORE LINEARE

Equazione differenziale dell'oscillatore lineare

x ''[t] + 2 x'[t] +2x[t] = F[t]

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Calcolo analitico della soluzione(*Risolve analiticamente l'equazione dell'oscillatore armonicoforzato e smorzato, calcolando separatamente le soluzionirisonanti senza smorzamento e quella corrispondente allosmorzamento critico. La forza eccitatrice F[t] sinusoidale*)

sol = DSolveA''[t] + 2 A'[t] + 2 A[t] F Sin[ t],A[0] A0, A'[0] Ap0, A[t], t;(*Soluzione risonante senza smorzamento*)

sol0 = DSolveA''[t] + 2 A[t] F Sin[ t], A[0] A0, A'[0] Ap0, A[t], t;(*Soluzione con smorzamento critico =*)solsame = DSolveA''[t] + 2 A'[t] + 2 A[t] F Sin[ t], A[0] A0, A'[0] Ap0, A[t], t;Xnr[t_] = FullSimplify[A[t] /. sol1];(*Derivata temporale*)DtXnr[t_] = FullSimplify[tXnr[t]];(*Soluzione risonante =0, =*)Xr[t_] = FullSimplify[A[t] /. sol01];(*Derivata temporale*)DtXr[t_] = FullSimplify[tXr[t]];(*Soluzione corrispondente allo smorzamento critico =*)Xcrit[t_] = FullSimplify[A[t] /. solsame1];(*Derivata temporale*)DtXcrit[t_] = FullSimplify[tXcrit[t]];(*X posizione e V velocit*)X[t_, _, _, _, F_, A0_, Ap0_] = Xr[t] Abs[] < 10-9 Abs[ - ] < 10-9Xcrit[t] Abs[ - ] < 10-9

Xnr[t] True ;V[t_, _, _, _, F_, A0_, Ap0_] = DtXr[t] Abs[] < 10-9 Abs[ - ] < 10-9DtXcrit[t] Abs[ - ] < 10-9

DtXnr[t] True ;grpoint[t_, _, _, _, F_, A0_, Ap0_, img_] :=Show[Plot[0, {x, -5, 5}, Axes {True, False}, AxesLabel {"x", None}],Graphics[{Red, Disk[{X[t, , , , F, A0, Ap0], 0}, .25]},PlotRange {{-5, 5}, All}], AspectRatio .25, ImageSize img]

2 oscillatorelin.nb

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Visualizzazione della soluzione tramite ManipulateIn[1]:= ManipulateGraphicsGridAnimategrpoint[t, , , , F, A0, Ap0, img], t, tiniz, tfin, 2 60. ,

AnimationRunning False, AnimationRate 2.,AppearanceElements "ResetButton", ImageMargins 30, SpanFromLeft,

SpanFromAbove, Plot[X[t, , , , F, A0, Ap0], {t, tiniz, tfin},PlotRange All, AxesLabel {"t", "X[t]"}, ImageSize img],

Plot 12 V[t, , , , F, A0, Ap0]2 + 12 2 X[t, , , , F, A0, Ap0]2,{t, tiniz, tfin}, PlotRange {0, All},AxesLabel {"t", "Energia"}, PlotStyle Red, ImageSize img,{ParametricPlot[{X[t, , , , F, A0, Ap0], V[t, , , , F, A0, Ap0]},{t, tiniz, tfin}, PlotRange All, PlotLabel "Piano delle Fasi",AxesLabel {"X[t]", "X'[t]"}, ImageSize img, AspectRatio Full]},{{, 1, "Pulsazione naturale "}, 1, 9.},{{, 0.5, "Pulsazione forzante "}, 0., 9.},{{, 0, "Coeff.te di smorzamento "}, 0., 6., .1},{{F, 0, "Ampiezza forzante F"}, 0, 20.},

Delimiter,{{A0, 0, "Posizione iniziale"}, 0, 2., 1.},{{Ap0, 0, "Velocit iniziale"}, 0, 20.},{{tiniz, 0, "Tempo iniziale"}, 0, 200 2 , 8. },tfin, 10-6., "Tempo finale", 10-6., 200 2 , 10 ,{{img, 250, "Dimensione grafici"}, 100, 600, 50},ControlPlacement Left,SaveDefinitions True

oscillatorelin.nb 3

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Out[1]=

Pulsazione naturale 2.03

Pulsazione forzante Coeff.te di smorzamento

Ampiezza forzante F

Posizione iniziale

Velocit iniziale

Tempo iniziale

Tempo finale

Dimensione grafici

t

-1.0 -0.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

X[t]

-1.0 -0.5

-1.0-0.5

0.5

1.0

X'[t]Piano delle Fasi

4 oscillatorelin.nb

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