Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo
V. Lorenzi
Dipartimento di Progettazione e Tecnologie
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
Esempi di sistemi multibody
Cos’è un sistema multicorpo:
È un insieme di due o più corpi collegati tra loro in modo che sia conservata la possibilità di moto relativo
F
M
Schema della presentazione
•Struttura, vincoli e gradi di libertà nei sistemi multibody•Tipi di coordinate•Classi di problemi •Cenni sull’ integrazione tra FEM e multibody
Un sistema multicorpo può essere a catena aperta
… o a catena chiusa
Struttura di un sistema multicorpo
Giunti e gradi di libertàI corpi sono collegati tra loro tramite giunti…
I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate indipendenti che definiscono la posizione del sistema.Formula di Gruebler:
dof=6*n_corpi-nv
Giunti e gradi di libertà …si scambiano azioni tramite elementi elastici, viscosi…
Alcuni vincoli legano tra loro solo le velocità (o le variazioni dellecoordinate)
Vincoli anolonomi
La ruota ha 4 gdl: 2 gdl per il centro e due rotazioni.Le 2 eq. di vincolo legano le velocità, ma non riducono i gradi di libertà.
Tipi di coordinatePer definire la posizione si puo’ usare un set di coordinate indipendenti o un set esteso di coordinate dipendenti legate da equazioni di vincolo
Un programma “general purpose” utilizza il medesimo set: •coordinate relative•coordinate cartesiane•coordinate naturali
Un programma dedicato può utilizzare formulazioni miste
Coordinate relativeVediamo un esempio di uso di coordinate relative per unquadrilatero articolato
3 coordinate, 1 gdl, perciò 2 equazioni di vincolo
Coordinate cartesianeEd ora cartesiane..
9 coordinate, 1 gdl, perciò 8 equazioni di vincolo…
Coordinate relative in 3DMolto usata la notazione di Denavit e Hartenberg, conmatrici omogenee 4x4
Matrici omogenee
A [3x3] definisce l’orientamento del corpoR[3x1] la posizione dell’origine della ternaSi hanno a disposizione 9+3 equazioni tra loro dipendenti
1 11
( ,.., ) ( ,.., ) 0( ,.., )
0 1 0 1n n
n
A R IT
Coordinate cartesiane in 3D
Nel caso 3D si usano le coordinate di un punto e l’orientamento.Per definire l’orientamento vengono usati gli angoli di Eulero, di Cardano (3 parametri indipendenti) o set di 4 coordinate dipendenti (parametri di Rodriguez-Hamilton, quaternioni, asse di rotazione finita)
Le equazioni di vincolo sono in generale del tipo:
( , ) o ( , ,t)=t Φ q 0 Φ q q 0
Coordinate relative
Vantaggi :•ridotto numero di coordinate•adatte a catena aperte•facilità nell’imporre moti relativi nei giunti
Svantaggi:•la posizione di un elemento dipende da tutti quelli precedenti•equazioni di vincolo e matrice di massa “piene”•devono essere individuati anelli indipendenti
Coordinate cartesiane
Vantaggi:•la posizione di ciascun corpo è determinata direttamente•equazioni di vincolo e matrice di massa “sparse”•uniformità nel trattare catene aperte o chiuse
Svantaggi:•numero elevato (dipende dal problema)•“difficoltà” nell’imporre moti relativi ai giunti
Classi di problemiAnalisi cinematicaStudio del movimento di un sistema multicorpo a prescinderedalle forze agenti
Analisi dinamicaStudio del movimento di un sistema multicorpo in relazione alle forze agenti
Sintesi cinematica e dinamicaProgetto di un sistema multicorpo che soddisfa “criteri” cinematici o dinamici
Approccio numerico-simbolico
I programmi per l’analisi di sistemi multicorpo possono formulare le equazioni in forma:
•SimbolicaVantaggi: rapidità, possibilità di costruire applicazioni stand- alone. Difficoltà nel gestire “eventi”
•NumericaVantaggi: generalità
Cinematica-Assemblaggio
Con n coordinate q e m equazioni di vincolo si possono imporre n-m valori iniziali
Cinematica
Analisi di posizione e simulazione cinematica
Consente di esaminare il posizionamento del meccanismo, individuare collisioni, determinare gli angoli di pressione etc.
Cinematica
Accelerazione: nota l’accelerazione dei moventi determinare l’accelerazione del sistema
Velocità: nota la velocità dei moventi determinare la velocità
del sistema:
Sono problemi lineari nelle velocità e accelerazioni. Se il sistema ha n coord q, m eq. di vincolo devono essere assegnate n-m=f posizioni, velocità ed accelerazioni
Cinematica
Nel piano il quadrilatero ha 3x3-4x2=1gdl
In 3D il quadrilatero ha 3x6-4x5=-2gdl !
Si eliminano i vincoli sovrabbondanti o si risolve il problema nel senso dei minimi quadrati
Vincoli sovrabbondanti:
Dinamica
L=T-V=LagrangianaT=Energia cinetica del sistema, V=energia potenziale, Qex=carico generalizzato=moltiplicatori di Lagrange reazioni vincolari
Equazioni di moto: approccio Lagrangiano per un sistema vincolato con coordinate dipendenti
n+m equazioni in n+m incognite
Equazioni di moto
y
x q
2 2 2
0 01 1 1 1
( ) 0 02 2 2 2
0 0
0
0 1 0 ; 1
0
TG
G
m x
T mx my J x y m y
J
xV
V mgy mg y mg
q Mq
Equazioni di moto
1
2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 0 / 2cos 1 0 / 2cos 0( )
0 1 / 2sin 0 1 / 2sin 0
1 0 / 2sin 1 0 / 2sin
0 1 / 2cos 0 1 / 2cos
T
x y L x y L
x y L x y L
L L
L L
1 1 1q
2 2 2
q
M 0 q QΦ
0 M q Q
Φ q 0
Φ
1 2
x
y
Ad es. la prima equazione risulta semplicemente:
1 1 1 0m x
l1
l2
Equazioni di moto
In generale le equazioni di moto sono nella forma:
( ) ( , , ) ( , , )
( , , ) o
T
t
t t
t
q
q q
M q q Φ q q λ F q q
Φ q q 0 Φ q Φ q -Φ
Dinamica diretta:noti i carichi le equazioni forniscono i valori di accelerazione e i moltiplicatori di Lagrange.
1
cioè ( , )( , , )
Note le condizioni iniziali si integra (ad es. con Eulero...)
( , )n n n n
tt
t t
q = uy g y
u = G q u
y y g y
( ) ( , , ) ( , , )
( , , ) o
T
t
t t
t
q
q
M q q Φ q q λ F q q
Φ q q 0 Φ q Φq -Φ
Equazioni di moto
Dinamica inversanoto il movimento le equazioni
forniscono i valori delle reazioni vincolari e le “coppie”ai giunti.
I carichi possono poi essere utilizzati per il dimensionamento o la verifica dei membri
Equazioni di motoLa … posizione di equilibrio statico si trova risolvendo il sistemanonlineare in q e , ottenuto ponendo q’ e q”=0
( , ) ( , )
( , )
Tt t
t
qΦ q λ F q
Φ q 0
Le equazioni di moto possono essere poi linearizzate attorno alla posizione di equilibrio. Il sistema linearizzato fornisce le frequenze proprie, i modi di vibrare del sistema. Ne risulta anche un “blocco” lineare che può essere utilizzato nella sintesi di un controllore o nell’analisi di stabilità.
Sintesi
Mecc. generatore di funzione Mecc. generatore di traiettorie
Equazioni di vincolo
Relazioni funzionali
Elementi flessibili
Elementi flessibili vengono modellati a EF
Gli spostamenti u dei nodi, dovuti alla flessibilità, vengono definiti tramite un set ridotto di coordinate qf e di “modi”, ottenuti dai modi “statici” e da una analisi modale
u=Nqf
Elementi flessibili
R
u0+uf
r
( )
1
2T
p p pT m
0 f
f f
r R A u u
r R Au Au
r r
… e con approccio Lagrangiano si ottengono le equazioni di moto…
FEM MBS Stress
Elementi flessibili
Conclusioni
I modelli, per quanto raffinati, rimangono sempre tali: deve essere sempre verificata la corrispondenza tra modello e realtà.Fattori trascurati nel modello possono essere invece importanti.Bisogna mantenere il senso fisico del fenomeno.La parte sperimentale di verifica dei risultati non va trascurata.
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