Download - Matematica per l’Ingegneria dell’Informazioneweb.math.unifi.it/users/comparin/metodi/sintesibarozzi.pdf · Capitolo 1. elementi di analisi funzionale 3 1. Elementi di analisi

Transcript

Giu

lioC

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aro

zzi

Mat

emat

ica

per

l’Ing

egne

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Cap

ito

li

Zan

ich

elli

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ito

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Cro

nol

ogia

1700

1800

1900

2000

C.S

hann

onR

.W.H

amm

ing

L.S

chw

artz

P.A

.M.D

irac

S.B

anac

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.Fub

ini

E.S

chm

idt

H.L

.Leb

esgu

eB

.Lev

iG

.Vita

liD

.Hilb

ert

G.M

orer

aL

.Ton

elli

J.P.

Gra

mO

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visi

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iH

.A.S

chw

arz

W.J

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bsC

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dan

B.R

iem

ann

C.H

erm

iteP.

A.L

aure

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ois

P.G

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Stur

mN

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bel

G.G

reen

A.L

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chy

F.W

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sel

C.F

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ssJ.

B.J

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rier

M.A

.Par

seva

lA

.M.L

egen

dre

P.S.

deL

apla

ceL

.Eul

er

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

3

1.El

emen

tidi

anal

isif

unzi

onal

e1.

1.S

paz

ivet

tori

ali

Defi

niz

ione

1.1-

1.U

nin

siem

eK

sidi

ceun

cam

pose

ines

soso

node

finit

edu

eop

eraz

ioni

,de

nom

inat

ead

dizi

one

em

olti

plic

azio

ne,

che

asso

cian

oad

ogni

copp

iadi

elem

enti

xe

ydi

Kri

spet

tiva

men

teun

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som

ma

x+

ye

unel

emen

topr

odot

toxy,pe

rcu

iva

lgon

ole

prop

riet

a:

com

mut

ativ

a:x

+y

=y

+x,

xy

=yx

asso

ciat

iva:

x+

(y+

z)

=(x

+y)+

z,

x(y

z)

=(x

y)z

dist

ribu

tiva

:x(y

+z)

=xy

+xz,

qual

ich

esi

ano

gliel

emen

tix,y

,z∈

K.

Esi

ston

odu

eel

emen

titr

alo

rodi

stin

ti,0

e1,

che

sono

elem

enti

neut

ride

lledu

eop

eraz

ioni

:

x+

0=

x,

x·1

=x

per

ogni

x∈

K.

Per

ogni

x∈

Kes

iste

unel

emen

toop

post

oy,

cioe

unel

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tota

lech

ex

+y

=0;

tale

elem

ento

verr

ain

dica

toco

lsi

mbo

lo−

x.

Per

ogni

x�=

0es

iste

unel

emen

tore

cipr

oco

z,ci

oeun

elem

ento

tale

che

xz

=1;

tale

elem

ento

verr

ain

dica

toco

lsi

mbo

lox−

1op

pure

1/x.

Nota.

Una

stru

ttur

ain

cui

valg

ano

tutt

ele

prop

riet

ael

enca

te,

tran

neal

piu

lapr

opri

eta

com

mut

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ade

lpr

odot

to,vi

ene

chia

mat

aco

rpo.

Dun

que

unca

mpo

eun

corp

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mm

utat

ivo,

cioe

unco

rpo

incu

ien

tram

bele

oper

azio

niso

noco

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ive.

Inam

bito

fisic

osi

dail

nom

edi

cam

pove

ttor

iale

adun

’app

licaz

ione

f:D

→R

3,co

nD

⊆R

3

(sipe

nsial

cam

poel

ettr

ico

oal

cam

pom

agne

tico

).

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

4

Defi

niz

ione

1.1-

2.Si

aV

unin

siem

e(n

onvu

oto)

eK

unca

mpo

.Si

ano

defin

ite

lese

guen

tiop

eraz

ioni

:a)

un’a

ddiz

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inV

,ci

oeun

aco

rris

pond

enza

che

adog

nico

ppia

(x,y

)di

elem

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diV

asso

cia

unel

emen

todi

Vst

esso

,de

tto

som

ma

dix

ey

ein

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tox

+y;

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am

olti

plic

azio

nede

glie

lem

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diK

per

glie

lem

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diV

,cio

eun

aco

rris

pond

enza

che

adog

nico

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(a,x

)co

na∈

K,x∈

Vas

soci

aun

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diV

dett

opr

odot

todi

ape

rx

ein

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Supp

onia

mo

che

leop

eraz

ioni

a)e

b)go

dano

delle

segu

enti

prop

riet

a:a.

1)x

+y

=y

+x

(com

mut

ativ

ita)

;a.

2)x

+(y

+z)

=(x

+y)+

z(a

ssoc

iati

vita

);a.

3)es

iste

unel

emen

todi

V,in

dica

to0

(zer

o),ta

lech

ex

+0

=x

per

ogni

x

(esi

sten

zade

ll’el

emen

tone

utro

addi

tivo

);a.

4)pe

rog

nix∈

Ves

iste

unel

emen

toy∈

Vta

lech

ex

+y

=0

(esi

sten

zade

ll’op

post

o);

b.1)

a(x

+y)

=ax

+ay

(dis

trib

utiv

ita

della

mol

tipl

icaz

ione

risp

etto

all’a

ddiz

ione

tra

vett

ori)

;b.

2)(a

+b)

x=

ax

+bx (d

istr

ibut

ivita

della

mol

tipl

icaz

ione

risp

etto

all’a

ddiz

ione

tra

scal

ari)

;b.

3)a(b

x)

=(a

b)x;

b.4)

1x=

x(1

el’e

lem

ento

neut

rom

olti

plic

ativ

odi

K).

Inta

liip

otes

idi

rem

och

eV

,co

nle

oper

azio

nide

finit

e,e

uno

spaz

iove

ttor

iale

sulca

mpo

K.

Gli

elem

enti

diV

sidi

cono

vettor

i,gl

iel

emen

tidi

Ksi

dico

nosc

alar

i.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

5

Use

rem

ol’a

bbre

viaz

ione

s.v.

per

spaz

iove

ttor

iale

.

Defi

niz

ione

1.1-

3.Si

aV

uno

s.v.

suK

,W

unso

ttoi

nsie

me

diV

;di

rem

och

eW

eun

sottos

pazi

odi

Vse

( a,b

∈K

∧x,y

∈W

) =⇒

ax

+by

∈W

.

Un

mod

ose

mpl

ice

per

cost

ruir

eun

sott

ospa

zio

diun

os.

v.V

(non

nece

ssar

iam

ente

dist

into

daV

stes

so)

siot

tien

esc

eglie

ndo

unin

siem

edi

r≥

1ve

ttor

i

A:=

{v1,v

2,.

..,v

r}

eco

nsid

eran

dol’i

nsie

me

ditu

tte

lelo

roco

mbi

nazi

onilin

eari

:

W:=

{x∈

V|x

=a1v

1+

a2v

2+

...+

arv

r,

aj∈

K,∀

j}.

Sive

rific

ach

eW

eeff

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vam

ente

uno

s.v.

;sid

ice

che

esso

ege

nera

toda

A,o

ppur

ech

eA

eun

insi

eme

dige

nera

tori

diW

,e

sisc

rive

W=

〈A〉.

Selo

s.v.

Vam

met

teun

insi

eme

finit

odi

gene

rato

ri,si

dice

che

esso

efin

itam

ente

gene

rato

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

6

Defi

niz

ione

1.1-

4.I

vett

oriv

1,v

2,.

..,v

rde

llos.

v.V

sidi

cono

linea

rmen

tein

dipe

nden

tise

dall’

ugua

glia

nza

0=

c 1v

1+

c 2v

2+

...+

c rv

r

segu

ene

cess

aria

men

tec 1

=c 2

=..

.=

c r=

0.In

caso

cont

rari

oes

sisi

dico

nolin

earm

ente

dipe

nden

ti.

Anz

iche

dire

che

ivet

tori

v1,v

2,.

..,v

rso

nolin

earm

ente

indi

pend

enti

sidi

cean

che

che

l’ins

iem

eda

essi

cost

itui

toe

liber

o.

Defi

niz

ione

1.1-

5.U

nin

siem

e{v

1,v

2,.

..,v

n}

dige

nera

tori

delso

ttos

pazi

oW

dello

s.v.

Vsi

dice

una

base

diW

seive

ttor

ich

elo

cost

itui

scon

oso

nolin

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ente

indi

pend

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.In

talca

so,pe

rog

nix∈

Wla

rapp

rese

ntaz

ione

x=

c 1v

1+

c 2v

2+

...+

c nv

n

eun

ivoc

amen

tede

term

inat

a;gl

isc

alar

ic 1

,c2,.

..,c

nsi

dico

nole

coor

dina

tedi

xri

spet

toai

vett

oride

llaba

se.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

7

Pro

pos

izio

ne

1.1-

1.Se

Ve

uno

s.v.

finit

amen

tege

nera

to,

allo

radu

edi

vers

eba

siso

none

cess

aria

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teco

stit

uite

daun

ugua

lnum

ero

dive

ttor

i;ta

lenu

mer

osi

chia

ma

dim

ensi

one

diV

esi

indi

caco

lsi

mbo

lo

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V.

Sedi

mV

=n,og

niin

siem

elib

ero

cont

iene

alpi

un

elem

enti

.

Pro

pos

izio

ne

1.1-

2.Se

Ve

uno

s.v.

didi

men

sion

efin

ita,

allo

raog

niso

ttos

pazi

oW

edi

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ensi

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finit

a;si

hadi

mW

≤di

mV

,dov

eva

leil

segn

odi

ugua

glia

nza

see

solo

seW

=V

.

Val

eil

teor

ema

dell’

alte

rnat

iva:

Pro

pos

izio

ne

1.1-

3.Si

ano

v1,v

2,.

..,v

n,

nve

ttor

idi

uno

s.v.

Vdi

dim

ensi

one

n;

allo

raso

noeq

uiva

lent

ile

cond

izio

ni:

i)v

1,v

2,.

..,v

nge

nera

noV

;ii)

v1,v

2,.

..,v

nso

nolin

earm

ente

indi

pend

enti

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

8

Sian

oV

1e

V2

due

s.v.

sulca

mpo

K.

Defi

niz

ione

1.1-

6.La

tras

form

azio

nef

:V1→

V2

sidi

celin

eare

se

f(a

x+

by)

=af(x

)+

bf(y

)

per

ogni

a,b

∈K

epe

rog

nix,y

∈V

1.

Sela

tras

form

azio

nelin

eare

fe

una

biie

zion

e,ci

oe

f:V

11−

1→ su

V2,

sidi

cech

ef

eun

isom

orfis

mo

diV

1su

V2.

Inta

leip

otes

ian

che

lafu

nzio

nein

vers

ae

unis

omor

fism

o,ci

oesi

ha

f−

1:V

21−

1→ su

V1.

Sidi

cech

eV

1e

V2

sono

isom

orfi

sees

iste

unis

omor

fism

och

etr

asfo

rma

uno

dies

sine

ll’al

tro.

Pro

pos

izio

ne

1.1-

4.Lo

s.v.

Vsu

lcam

poK

hadi

men

sion

en≥

1se

eso

lose

esso

eis

omor

foa

Kn.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

9

1.2.

Sp

aziv

etto

rial

ino

rmat

i

Defi

niz

ione

1.2-

1.Si

aV

uno

s.v.

real

eo

com

ples

so;si

chia

ma

norm

aun

aco

rris

pond

enza

x�→

‖x‖

daV

aR

tale

che

x�=

0=⇒

‖x‖

>0;

(1)

‖ax‖

=|a|‖

x‖,

∀a∈

K,∀x

∈V

;(2

)‖x

+y‖≤

‖x‖+

‖y‖,

∀x,y

∈V.

(3)

La

copp

ia(V

,‖·‖

)si

dice

spaz

iove

ttor

iale

norm

ato,

abbr

evia

tos.

v.n.

Defi

niz

ione

1.2-

2.Si

aX

insi

eme

(non

vuot

o);

una

funz

ione

d:X

×X

→R

sidi

ceun

adi

stan

za(o

met

rica

)in

Xse

d(x

,y)≥

0,d(x

,y)

=0

⇐⇒

x=

y;

(5)

d(x

,y)

=d(y

,x),

∀x,y

∈X

;(6

)d(x

,y)≤

d(x

,z)+

d(z

,y),

∀x,y

,z∈

X.

(7)

La

copp

ia(X

,d)

sidi

cesp

azio

met

rico

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

10

Sia

Vun

os.

v.n.

Defi

niz

ione

1.2-

3.La

palla

dice

ntro

x∈

Ve

ragg

ior

>0

ede

finit

ada

Br(x

):=

{ y∈

V∣ ∣ ‖x

−y‖

<r} .

La

defin

izio

nepo

sta

sies

tend

ein

mod

ona

tura

lea

qual

unqu

esp

azio

met

rico

(X,d

):

Br(x

):=

{ y∈

X∣ ∣ d(x

,y)

<r} .

Una

volt

ade

finit

ala

nozi

one

dipa

lla,

poss

iam

oes

tend

ere

adun

qual

sivo

glia

s.v.

n.le

usua

lino

zion

ito

polo

gich

e.A

des

empi

o,da

toun

insi

eme

A⊂

V,di

rem

och

eun

elem

ento

x∈

Ve

•in

tern

oad

Ase

esis

teun

into

rno

dix

cont

enut

oin

A:∃r

>0,

Br(x

)⊂

A;

•es

tern

oad

Ase

esso

ein

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oal

com

plem

enta

redi

A.

Ipu

ntich

eno

nso

none

inte

rnine

este

rnisi

dico

nopu

ntidi

fron

tier

adi

A;il

loro

insi

eme

(che

puo

esse

revu

oto)

cost

itui

sce

lafron

tier

a(o

bord

o)di

A.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

11

Ana

loga

men

tepo

ssia

mo

defin

ire

lano

zion

edi

succ

essi

one

conv

erge

nte

inun

os.

v.n.

Dir

emo

che

lasu

cces

sion

e(x

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conv

erge

allim

ite

x∈

Vse

una

qual

sivo

glia

palla

cent

rata

inx

cont

iene

“defi

niti

vam

ente

”i

term

ini

della

stes

sasu

cces

sion

e,ci

oetu

tti

ite

rmin

ia

part

ire

daun

cert

oin

dice

(che

dipe

nder

aov

viam

ente

dalra

ggio

della

palla

cons

ider

ata)

.C

iosi

gnifi

case

mpl

icem

ente

che

limn→

∞‖x

n−

x‖

=0,

(8)

esc

rive

rem

o

lim n→

∞x

n=

x,

in(V

,‖·‖

).

Ilte

orem

adi

unic

ita

del

limit

esu

ssis

tein

ogni

s.v.

n.,

epi

uin

gene

rale

inog

nisp

azio

met

rico

,in

quan

topu

ntidi

stin

tiam

met

tono

into

rnidi

sgiu

nti:

bast

aco

nsid

erar

egl

iin

torn

idi

ragg

ioin

feri

ore

alla

met

ade

lladi

stan

zatr

aidu

epu

nti:

( (x�=

y)∧

(r<

d(x

,y)/

2)) =

⇒B

r(x

)∩

Br(y

)=

∅.A

nche

lapr

opri

eta

dilin

eari

tape

rle

succ

essi

oni

conv

erge

nti

vale

inog

nis.

v.n.

:se

(xn)

conv

erge

ax

e(y

n)

conv

erge

ay,pe

rog

nico

ppia

disc

alar

ia

eb

lasu

cces

sion

e(a

xn

+by

n)

conv

erge

allim

ite

ax

+by

.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

12

Defi

niz

ione

1.2-

4.Si

ano‖·‖

1e‖·‖

2du

eno

rme

sullo

s.v.

V;d

irem

och

e‖·‖

2e

piu

fine

di‖·‖

1se

esis

teun

aco

stan

tepo

siti

vac 2

tale

che

‖x‖ 1

≤c 2

‖x‖ 2

,∀x

∈V.

(9)

Dir

emo

che‖·‖

1e

equi

vale

nte

a‖·‖

2se

cias

cuna

delle

due

norm

ee

piu

fine

dell’

altr

a.

Dun

que‖·‖

1e

equi

vale

nte

a‖·‖

2se

(eso

lose

)es

isto

nodu

eco

stan

tipo

siti

vec 1

,c 2

tali

che

valg

ala

(9)

ela

‖x‖ 2

≤c 1

‖x‖ 1

,(9

′ )

per

ogni

x∈

V.

Pro

pos

izio

ne

1.2-

1.Se

Ve

uno

s.v.

didi

men

sion

efin

ita,

due

norm

equ

alun

que

defin

ite

sudi

esso

sono

equi

vale

nti.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

13

Defi

niz

ione

1.2-

5.La

funz

ione

f:V

1→

V2

sidi

ceco

ntin

uain

x0∈

V1

se( lim

n→

∞x

n=

x0

)=⇒

( limn→

∞f(x

n)

=f(x

0))

cioe

( lim n→

∞‖x

n−

x0‖ 1

=0)

=⇒

( limn→

∞‖f

(xn)−

f(x

0)‖

2=

0) .

Pro

pos

izio

ne

1.2-

2.Se

( V1,‖

·‖ 1

) e( V

2,‖

·‖ 2

) sono

s.v.

n.,

edf

:V

1→

V2

eun

atr

asfo

rmaz

ione

linea

re,so

noeq

uiva

lent

ile

prop

riet

aa)

fe

cont

inua

inV

1;

b)f

eco

ntin

uain

0∈

V1;

c)f

elim

itat

a,ne

lse

nso

che

esis

teun

aco

stan

teC

>0

per

cuisi

ha‖f

(x)‖

2≤

C‖x

‖ 1pe

rog

nix∈

V1.

Pro

pos

izio

ne

1.2-

3.Se

V1

eV

2so

nos.

v.n.

didi

men

sion

efin

ita,

ogni

tras

form

azio

nelin

eare

f:V

1→

V2

eco

ntin

ua.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

14

Defi

niz

ione

1.2-

6.La

succ

essi

one

(xn)

nello

s.v.

n.V

sidi

cesu

cces

sion

edi

Cau

chy

se,p

erog

niε

>0,

esis

teun

indi

cen

εta

lech

e

∀n,m

>n

ε=⇒

‖xn−

xm‖

<ε.

Le

succ

essi

onidi

Cau

chy

veng

ono

anch

ech

iam

ate

succ

essi

onifo

ndam

enta

li.

A.L

.C

auch

y

1789

-1857

Defi

niz

ione

1.2-

7.Lo

s.v.

n.V

sidi

ceco

mpl

eto

sele

succ

essi

onidi

Cau

chy

ines

sode

finit

eso

noco

nver

gent

i.

Gli

s.v.

n.co

mpl

etisi

chia

man

oan

che

spaz

idi

Ban

ach.

S.B

anach

1892

-1945

Pro

pos

izio

ne

1.2-

4.O

gnis

.v.n

.did

imen

sion

efin

ita

suR

oC

eco

mpl

eto,

cioe

uno

spaz

iodi

Ban

ach.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

15

1.3.

Sp

aziv

etto

rial

ico

np

rod

ott

osc

alar

e

Defi

niz

ione

1.3-

1.Si

aV

uno

s.v.

com

ples

so;un

afu

nzio

ne

a:V

×V

→C

sidi

ceun

prod

otto

scal

are

(opr

odot

toin

tern

o)su

Vse

veri

fica

lepr

opri

eta:

a(α

x+

βy,z

)=

αa(x

,z)+

βa(y

,z),

∀α,β

∈C

,∀x

,y,z

∈V

(1)

a(x

,y)

=a(y

,x),

∀x,y

∈V

(2)

x�=

0=⇒

a(x

,x)

>0.

(3)

Nel

segu

ito

indi

cher

emo

sem

plic

emen

teco

nla

nota

zion

e(x

|y)

ilpr

odot

tosc

alar

etr

ax

ey.

Ilpr

odot

tosc

alar

ein

duce

una

norm

apo

nend

o

‖x‖

:=√ (x

|x).

SeV

eco

mpl

eto

risp

etto

alla

norm

aco

nsid

erat

a(d

unqu

ee

uno

spaz

iodi

Ban

ach)

esso

vien

ech

iam

ato

spaz

iodi

Hilb

ert.

D.H

ilbert

1870

-1943

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

16

Val

ela

disu

guag

lianz

adi

Cau

chy-

Schw

arz:

Pro

pos

izio

ne

1.3-

1.Per

ogni

copp

iadi

vett

orix

,y∈

Vsi

ha

|(x|y

)|≤

‖x‖‖y

‖.(6

)

S’in

tend

ech

ela

norm

ae

indo

tta

dalpr

odot

tosc

alar

e.

H.A

.Sch

warz

1843

-1921.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

17

Defi

niz

ione

1.3-

2.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are;

ivet

tori

xe

ysi

dico

noor

togo

nali

seil

loro

prod

otto

scal

are

enu

llo:

x⊥

y⇐⇒

(x|y

)=

0.

Val

eil

teor

ema

diPitag

ora:

Pro

pos

izio

ne

1.3-

2.Si

ha

(x|y

)=

0=⇒

‖x+

y‖2

=‖x

‖2+‖y

‖2.

(10)

Defi

niz

ione

1.3-

3.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are.

Una

fam

iglia

dive

ttor

ino

nnu

lli{x

1,x

2,.

..,x

n}

sidi

ceor

togo

nale

seiv

etto

rich

ela

com

pong

ono

sono

adu

ea

due

orto

gona

li:

(h�=

k)

=⇒

(xh|x

k)

=0.

(11)

Piu

inpa

rtic

olar

e,ta

lefa

mig

liasi

dice

orto

norm

ale

se

(xh|x

k)

=δ h

k=

{ 1,se

h=

k,

0,al

trim

enti

.(1

1′)

Pro

pos

izio

ne

1.3-

3.O

gnifa

mig

liaor

togo

nale

dive

ttor

ie

liber

a,ci

oefo

rmat

ada

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

ti.

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

18

Pro

pos

izio

ne

1.3-

4.Se

{x1,x

2,.

..,x

n}

eun

afa

mig

liaor

togo

nale

(ris

pett

ivam

ente

orto

-no

rmal

e),es

sage

nera

unso

ttos

pazi

odi

Vdi

dim

ensi

one

n:

Vn

:=〈{

x1,x

2,.

..,x

n}〉

,di

mV

n=

n.

Sidi

rach

e(x

1,x

2,.

..,x

n)

eun

aba

seor

togo

nale

(ris

p.or

tono

rmal

e)di

Vn.

Sex

=∑ n k

=1c k

xk

eun

vett

ore

diV

nsi

avra

‖x‖2

=n ∑ k=

1

|c k|2‖x

k‖2

,(1

2)

eri

spet

tiva

men

te

‖x‖2

=n ∑ k=

1

|c k|2 .

(12′

)

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

19

1.4.

Pro

iezi

on

iort

og

on

ali

Defi

niz

ione

1.4-

1.Si

aV

uno

s.v.

con

prod

otto

scal

are,

Sun

sott

oins

iem

e(n

onne

ces-

sari

amen

teun

sott

ospa

zio)

diV

;chi

amer

emo

com

plem

ento

orto

gona

ledi

Sl’i

nsie

me

S⊥

dei

vett

oridi

Vor

togo

nali

adog

niel

emen

todi

S:

S⊥

:={ x

∈V

∣ ∣ (x|y

)=

0,∀y

∈S

} .

Sidi

mos

tra

che

S⊥

eun

sott

ospa

zio

diV

.

Pro

pos

izio

ne

1.4-

1.Si

aV

s.v.

con

prod

otto

scal

are,

{x1,x

2,.

..,x

n}

unin

siem

edi

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

ti,V

nil

sott

ospa

zio

daes

sige

nera

to:

Vn

:=〈{

x1,x

2,.

..,x

n}〉

.Per

ogni

x∈

Ves

iste

uny∈

Vn

(ed

uno

solo

)ta

lech

e

x=

y+

z,

con

z∈

V⊥ n

,(1

)

cioe

z:=

x−

ye

orto

gona

lea

tutt

iive

ttor

idi

Vn.

Dir

emo

che

ye

lapr

oiez

ione

orto

gona

ledi

xsu

Vn;pe

rta

leve

ttor

esi

ha

∀y′∈

Vn

( ‖x−

y‖≤

‖x−

y′ ‖

) .(2

)

Se{x

1,x

2,.

..,x

n}

eun

afa

mig

liaor

togo

nale

(dun

que

una

base

orto

gona

ledi

Vn),

allo

ray

eda

toda y=

n ∑ k=

1

(x|x

k)

‖xk‖2

xk.

(3)

Capit

olo

1.

elementidianalis

ifunzio

nale

20

Pro

pos

izio

ne

1.4-

2.Se

{x1,x

2,.

..,x

n}

eun

insi

eme

dive

ttor

ilin

earm

ente

indi

pend

enti

,al

lora

lam

atri

ce

G:=

[(x

j|x

i)],

i,j

=1,

2,..

.,n,

( cioe

lam

atri

ceav

ente

com

ete

rmin

edi

indi

ci(i

,j)

ilpr

odot

tosc

alar

e(x

j|x

i)) e

defin

ita

posi

tiva

,du

nque

ein

vert

ibile

.

Pro

pos

izio

ne

1.4-

3.Si

a{x

1,x

2,.

..,x

n}

unin

siem

edi

vett

ori

linea

rmen

tein

dipe

nden

tine

llos.

v.V

con

prod

otto

scal

are

(·|·

);e

poss

ibile

cost

ruir

eun

afa

mig

liaor

tono

rmal

e

{e1,e

2,.

..,e

n}

inm

odo

tale

che,

per

ogni

indi

cek

com

pres

otr

a1

en,i

lvet

tore

ek

sia

com

bina

zion

elin

eare

deive

ttor

i{x

1,x

2,.

..,x

k}.

Ilpr

oced

imen

todi

Gra

m-S

chm

idtre

aliz

zaqu

anto

sopr

ade

scri

tto:

1.e

1:=

x1/‖

x1‖

2.pe

rk

=2,

3,..

.,n,ri

pete

re:

2.1

zk

=x

k−

∑ k−1

h=

1(x

k|e

h)e

h

2.2

ek

:=z

k/‖

zk‖

Appendic

e1-A

.campifin

iti

21

Ap

pen

dic

e1-

A.

Cam

pifi

nit

i

Dat

ii

num

eri

inte

rix

ey

edun

inte

rom

>1

dett

om

odul

o,di

rem

och

ex

ey

sono

cong

rui

mod

ulo

m,e

scri

vere

mo

x≡

y(m

odm

),se

x−

ye

mul

tipl

odi

m:

x≡

y(m

odm

)⇐⇒

∃q∈

Z,

x−

y=

qm.

La

cong

ruen

zam

odul

om

eun

are

lazi

one

d’eq

uiva

lenz

a;le

clas

sidi

equi

vale

nzas

ono

pre-

cisa

men

tem

,eso

noid

enti

ficab

ilico

nir

esti

0,1,

2,..

.,m

−1

che

siot

teng

ono

divi

dend

ope

rm

unqu

alsi

vogl

iain

tero

.La

clas

sedi

equi

vale

nza

dix

siin

dica

[x].

Lo

spaz

ioqu

ozie

nte

(cio

el’i

nsie

me

delle

clas

sid’

equi

vale

nza)

vien

ein

dica

toin

lett

erat

ura

colsi

mbo

loZ

/mZ

,ch

ene

lse

guit

ove

rra

abbr

evia

toin

Zm

.Le

oper

azio

nisu

Zpo

sson

oes

sere

tras

port

ate

suZ

mpo

nend

o

[x]+

[y]:

=[x

+y],

[x]·

[y]:

=[x

·y].

Appendic

e1-A

.campifin

iti

22

Mos

tria

mo

leta

belle

diad

dizi

one

em

olti

plic

azio

nein

Z3

eZ

4:

m=

3+

01

2

00

12

11

20

22

01

×0

12

00

00

10

12

20

21

m=

4+

01

23

00

12

31

12

30

22

30

13

30

12

×0

12

3

00

00

01

01

23

20

20

23

03

21

Per

ogni

mod

ulo

m,l’a

pplic

azio

nen�→

[n]e

unom

omor

fism

o(=

tras

form

azio

nech

eco

n-se

rva

last

rutt

ura)

dell’

anel

loZ

sull’

anel

loZ

m.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

23

Gli

anel

lico

mm

utat

ivii

ncu

itut

tigl

iele

men

tidi

vers

ida

zero

,cio

edi

vers

idal

neut

road

diti

vo,

sono

dota

tidi

reci

proc

oso

noca

mpi

.

Teo

rem

a.Z

me

unca

mpo

see

solo

sem

epr

imo.

Ica

mpi

finit

ive

ngon

ode

ttica

mpi

diG

aloi

s.Se

ilca

mpo

cont

iene

nel

emen

ti,

esso

vien

ein

dica

toco

lsi

mbo

loG

F(n

).D

unqu

epe

rog

nipr

imo

p,

esis

teun

cam

pode

lti

poG

F(p

),e

prec

isam

ente

Zp. E

.G

alo

is

1811

-1832

La

card

inal

ita

diun

cam

pofin

ito

ela

pote

nza

diun

prim

o,p

nco

np

prim

oe

n≥

1.U

nca

mpo

aven

teun

ata

leca

rdin

alita

vien

ein

dica

toco

lsi

mbo

loG

F(p

n).

Per

mos

trar

eco

me

sipo

ssa

cost

ruir

eun

cam

podi

card

inal

ita

pn

ees

senz

iale

laco

nosc

enza

delca

mpo

GF(p

)=

Zp.

Infa

tti

GF(p

n)

vien

eco

stru

ito

com

eil

cam

poch

eha

com

eel

emen

tii

polin

omidi

grad

o≤

n−

1co

nco

effici

enti

prel

evat

iin

GF(p

).A

des

empi

o,su

ppon

iam

odi

vole

rco

stru

ire

unca

mpo

con

24=

16el

emen

ti.

Gli

elem

enti

dita

leca

mpo

sara

nno

polin

omid

iter

zogr

ado

con

coeffi

cien

tipr

elev

atii

nG

F(2

),du

nque

polin

omi

delti

poa3x

3+

a2x

2+

a1x

+a0,do

veico

effici

enti

ak

valg

ono

0op

pure

1.C

iasc

unpo

linom

ioe

iden

tific

ato

dalla

quat

erna

(a3,a

2,a

1,a

0)∈

Z4 2,

eta

lequ

ater

napu

oan

che

esse

rein

terp

reta

taco

me

lasc

ritt

ura

inba

sedu

ede

inat

ural

ida

zero

aqu

indi

ci.

La

tabe

llase

guen

tem

ostr

aise

dici

polin

omich

esi

poss

ono

otte

nere

proc

eden

done

lm

odo

indi

cato

.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

24

coeff

.in

dice

polin

omio

coeff

.in

dice

polin

omio

0000

0p0(x

)=

010

008

p8(x

)=

x3

0001

1p1(x

)=

110

019

p9(x

)=

x3

+1

0010

2p2(x

)=

x10

1010

p10(x

)=

x3

+x

0011

3p3(x

)=

x+

110

1111

p11(x

)=

x3

+x

+1

0100

4p4(x

)=

x2

1100

12p12(x

)=

x3

+x

2

0101

5p5(x

)=

x2

+1

1101

13p13(x

)=

x3

+x

2+

101

106

p5(x

)=

x2

+x

1110

14p14(x

)=

x3

+x

2+

x01

117

p5(x

)=

x2

+x

+1

1111

15p15(x

)=

x3

+x

2+

x+

1

Nel

l’ins

iem

ein

dica

tol’a

ddiz

ione

non

pone

alcu

npr

oble

ma:

siso

mm

ano

due

polin

omie

sieff

ettu

ala

ridu

zion

em

odul

o2

deico

effici

enti

delpo

linom

ioso

mm

a.A

des

empi

o

p5(x

)+

p3(x

)=

(x2

+1)

+(x

+1)

=x

2+

x=

p6(x

).

Per

defin

ire

una

mol

tipl

icaz

ione

,oc

corr

esc

eglie

reun

polin

omio

digr

ado

4,a

coeffi

cien

tiin

GF(2

),ch

esi

air

ridu

cibi

le,ci

eno

nsi

afa

ttor

izza

bile

nelpr

odot

todi

due

polin

omidi

grad

opo

siti

vo.

Un

tale

polin

omio

,nel

caso

indi

cato

,eh(x

)=

x4+

x+

1.La

nozi

one

dipo

linom

ioir

ridu

cibi

legi

oca,

nell’

anel

lode

ipol

inom

i,un

ruol

osi

mile

aqu

ello

della

nozi

one

dinu

mer

opr

imo

nell’

anel

lode

gliin

teri

.

Appendic

e1-A

.campifin

iti

25

Per

defin

ire

ilpr

odot

todi

due

polin

omidi

GF(2

4),

sies

egue

illo

ropr

odot

tone

lse

nso

usua

le(s

empr

em

odul

o2)

esi

pren

deil

quoz

ient

ede

lladi

visi

one

dita

lepr

odot

tope

ril

polin

omio

h(x

).A

des

empi

o,si

vogl

iaes

egui

reil

prod

otto

p9(x

)·p

11(x

)=

(x3

+1)

(x3

+x

+1)

.

Ilpr

odot

tode

idu

epo

linom

iin

dica

ti(m

odul

o2)

vale

x6

+x

4+

x+

1.M

ala

divi

sion

edi

tale

polin

omio

per

h(x

)fo

rnis

ce

x6

+x

4+

x+

1=

(x2

+1)

h(x

)+

x3

+x

2,

dove

x3

+x

2e

ilpo

linom

iore

sto

(digr

ado

<4)

.D

unqu

ein

GF(2

4)

siha

(x3

+1)

(x3

+x

+1)

=x

3+

x2,

cioe

p9·p

11

=p12.

L’ir

ridu

cibi

lita

dih(x

)ga

rant

isce

che

last

rutt

ura

che

cosı

est

ata

intr

odot

tasu

GF(2

4)

lore

nde

unca

mpo

eno

nso

ltan

toun

anel

loco

mm

utat

ivo

con

unita.

Inal

tri

term

ini,

ogni

polin

omio

dive

rso

dap0

amm

ette

reci

proc

o,ci

oepe

rog

niin

dice

ico

mpr

eso

tra

1e

15es

iste

unin

dice

jco

mpr

eso

tra

im

edes

imies

trem

ita

lech

e

pi(

x)·p

j(x

)=

1=

p1(x

).

Appendic

e1-B

.il

problema

lin

eare

deimin

imiquadrati

26

Ap

pen

dic

e1-

B.

Ilp

rob

lem

alin

eare

dei

min

imiq

uad

rati

Sia

Aun

am

atri

cem

×n

ate

rmin

ire

ali,

con

m>

n,e

bsi

aun

vett

ore

diR

m.

Con

side

riam

oil

sist

ema

dim

equa

zion

ilin

eari

inn

inco

gnit

e

Ax

=b,

(1)

con

x∈

Rn.

Supp

onia

mo

che

leco

lonn

edi

A,c

hein

dich

erem

oco

nis

imbo

lia

j,j

=1,

2,..

.,n,

sian

olin

earm

ente

indi

pend

enti

equ

indi

ilra

ngo

diA

sia

n,c

ioe

ugua

leal

num

ero

delle

colo

nne.

Sees

iste

una

solu

zion

ex

=(x

1,x

2,.

..,x

n)

delsi

stem

a(1

),ci

osi

gnifi

cach

e

x1a

1+

x2a

2+

...+

xn

an

=b,

dunq

ueb

appa

rtie

neal

sott

ospa

zio

Vn

:=〈{

a1,a

2,.

..,a

n}〉

gene

rato

dalle

colo

nne

diA

.Se

be

unar

bitr

ario

vett

ore

diR

mno

nv’

eal

cuna

ragi

one

perc

hees

soap

part

enga

allo

spaz

ioV

n,e

dunq

ue,i

nge

nera

le,i

lsis

tem

aco

nsid

erat

oe

priv

odi

solu

zion

i.In

altr

iter

min

i,no

nes

iste

alcu

nx∈

Rn

per

cuiire

sidu

i

b i−

n ∑ j=

1

aij

xj,

i=

1,2,

...,

m

sian

otu

ttinu

lli.

Appendic

e1-B

.il

problema

lin

eare

deimin

imiquadrati

27

Pos

siam

oal

lora

cerc

are

dim

inim

izza

rela

som

ma

deiq

uadr

atid

eire

sidu

i,ci

oela

funz

ione

dix

m ∑ i=1

( b i−

n ∑ j=

1

aij

xj

) 2 =∥ ∥ b−

(x1a

1+

x2a

2+

...+

xn

an

∥ ∥2 2.

Cio

equi

vale

alla

rice

rca

dell’

elem

ento

diV

nav

ente

dist

anza

min

ima

dab:

eil

prob

lem

adi

cuici

siam

ooc

cupa

tine

llaP

ropo

sizi

one

1.4-

1,sa

lvo

unca

mbi

amen

todi

nota

zion

i.La

mat

rice

diG

ram

G(↑

Pro

p.1.

4-2)

eda

tada

ATA

(dov

eA

Tin

dica

latr

aspo

sta

diA

):in

fatt

igl

iel

emen

tidi

tale

mat

rice

prod

otto

sono

ai·a

j=

aj·a

i.Il

vett

ore

deite

rmin

ino

ti,

aven

doco

me

com

pone

ntib

·aj

=a

T jb

(pro

dott

odi

una

mat

rice

nco

nun

am

atri

cen×

1),

sisc

rive

ATb.

Ilsi

stem

a(4

)de

lpa

ragr

afo

1.4

sisc

rive

dunq

ue

ATA

x=

ATb,

(2)

(sis

tem

ade

lleeq

uazi

onino

rmal

i),la

cuiso

luzi

one

eda

tafo

rmal

men

teda

x=

( ATA

) −1 ATb.

(3)

La

mat

rice

m

A+

:=( A

TA

) −1 AT,

che

rapp

rese

nta

latr

asfo

rmaz

ione

linea

rech

ead

ogni

vett

ore

b∈

Rm

asso

cia

la“s

oluz

ione

nelse

nso

deim

inim

iqu

adra

ti”

delsi

stem

ain

izia

le,si

chia

ma

inve

rsa

gene

raliz

zata

(ops

eudo

-in

vers

a)de

llam

atri

ceA

.Se

Ae

quad

rata

ein

vert

ibile

,al

lora

A+

=A

−1.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

28

2.El

emen

tidi

teor

iade

ll’int

egra

zion

e2.

1.R

ich

iam

isu

ll’in

teg

rale

diR

iem

ann

Con

side

riam

ofu

nzio

nia

valo

rire

ali

non

nega

tivi

,de

finit

esu

unin

terv

allo

com

patt

o[a

,b],

f:

[a,b

]→

R+

=[0

,+∞

);og

nifu

nzio

nea

valo

rire

ali

sipu

osc

rive

reco

me

diffe

renz

atr

adu

efu

nzio

nia

valo

rino

nne

gati

vi.

Dir

ech

ef

ein

tegr

abile

nelse

nso

diR

iem

ann

(abb

revi

ato:

R-int

egra

bile

)si

gnifi

cach

ee

poss

ibile

insc

rive

ree

circ

oscr

iver

eil

trap

ezio

ide

(oso

ttog

rafic

o)di

f:

trap

(f)

:={ (x

,y)∈

R2

∣ ∣( x∈

[a,b

]) ∧( 0

≤y≤

f(x

))}m

edia

nte

plur

i-re

ttan

goli,

unio

nedi

unnu

mer

ofin

ito

dire

ttan

goli

con

ila

tipa

ralle

liag

lias

sico

ordi

nati

,in

mod

och

ela

diffe

renz

atr

ale

aree

dei

plur

i-re

ttan

goli

insc

ritt

ie

circ

oscr

itti

sipo

ssa

rend

ere

picc

ola

adar

bitr

io.

G.F

.B.R

iem

ann

1826

-1866

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

29

Piu

prec

isam

ente

:ad

ogni

scom

posi

zion

ede

ll’in

terv

allo

base

[a,b

]in

unnu

mer

ofin

ito

dipa

rti

med

iant

eipu

nti

x0

=a,

x1,

x2,

...,

xn

=b,

dove

x0

<x

1<

x2

<..

.<

xn,po

ssia

mo

asso

ciar

edu

efu

nzio

nico

stan

tia

trat

ti:

f 1(x

):=

{ e k:=

inf{

f(x

)|x

k−

1<

x<

xk},

sex

k−

1<

x<

xk,k

=1,

...,

n;

f(x

),se

x=

xk,k

=0,

1,..

.,n

f 2(x

):=

{ Ek

:=su

p{f(x

)|x

k−

1<

x<

xk},

sex

k−

1<

x<

xk,

k=

1,..

.,n;

f(x

),se

x=

xk,k

=0,

1,..

.,n

che

sono

risp

etti

vam

ente

min

oran

tee

mag

gior

ante

dif:

f 1(x

)≤

f(x

)≤

f 2(x

),∀x

∈[a

,b].

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

30

Gli

inte

gral

idi

f 1e

f 2so

nori

spet

tiva

men

tela

som

ma

infe

rior

ee

laso

mm

asu

peri

ore

rela

tive

alla

funz

ione

fe

alla

scom

posi

zion

eco

nsid

erat

a:se

indi

chia

mo

con

lale

tter

lasc

ompo

sizi

one

(1),

poss

iam

ous

are

isi

mbo

li:

s(f;σ

):=

∫ b a

f 1(x

)dx

=n ∑ k=

1

e k(x

k−

xk−

1),

S(f

;σ)

:=∫ b a

f 2(x

)dx

=n ∑ k=

1

Ek(x

k−

xk−

1).

La

funz

ione

fe

R-int

egra

bile

segl

iins

iem

inum

eric

icos

titu

itid

alle

som

me

infe

rior

ieda

lleso

mm

esu

peri

oriso

noco

ntig

ui,ci

oepe

rog

niε

>0

epo

ssib

iletr

ovar

eun

aso

mm

asu

peri

ore

edun

aso

mm

ain

feri

ore

lacu

idi

ffere

nza

em

inor

edi

ε.In

tal

caso

l’int

egra

ledi

fe

l’ele

men

todi

sepa

razi

one

tra

idu

ein

siem

ico

nsid

erat

i,ci

oel’u

nico

num

ero

per

cui

valg

ala

dopp

iadi

s-eg

uagl

ianz

a

s(f;σ

)≤

∫ b a

f(x

)dx≤

S(f

;σ)

qual

ech

esi

ala

scom

posi

zion

eσ.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

31

2.2.

La

mis

ura

diL

ebes

gu

e

Chi

amia

mo

inte

rval

lo(o

iper

-int

erva

llo)

inR

nil

prod

otto

cart

esia

nodi

nin

terv

alli

cont

enut

iin

R:

I=

[a1,b

1]×

[a2,b

2]×

...×

[an,b

n];

lam

isur

adi

Ie

defin

ita

com

eil

prod

otto

delle

lung

hezz

ede

isi

ngol

iin

terv

alli

[ai,

b i],

i=

=1,

2,..

.,n:

m(I

):=

n ∏ i=1

(bi−

ai)

.

Un

plur

i-in

terv

allo

el’u

nion

edi

una

fam

iglia

finita

onu

mer

abile

diin

terv

alli

P=

⋃ k

I k,

I kin

terv

allo

⊂R

n.

Nel

lafo

rmul

asc

ritt

as’

inte

nde

che

l’ind

ice

kde

scri

vaun

ain

siem

efin

ito

onu

mer

abile

diin

dici

.O

gnip

luri

-int

erva

llosi

puo

scri

vere

com

eun

ione

diin

terv

alli

adu

ea

due

priv

idip

unti

inte

rni

inco

mun

e;in

tale

ipot

esila

mis

ura

diP

ede

finit

aco

me

m(P

):=

∑ k

m(I

k).

(1)

H.L

.Lebesg

ue

1875

-1941

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

32

La

som

ma

ase

cond

om

embr

odi

(1)e

conv

erge

nte

adun

valo

repo

siti

voop

pure

posi

tiva

men

tedi

verg

ente

:

m(P

)∈

R+

:=[0

,+∞

)∪{+

∞};

inog

nica

sota

leso

mm

ano

ndi

pend

eda

ll’or

dine

con

cui

gli

adde

ndi

veng

ono

cons

ider

ati,

inqu

anto

lese

rie

ate

rmin

ipo

siti

viso

no“i

ncon

dizi

onat

amen

tere

gola

ri”,

nel

sens

och

ela

loro

som

ma

(fini

tao

infin

ita)

ein

vari

ante

risp

etto

ape

rmut

azio

nide

ite

rmin

i.Se

Ee

unqu

alsi

vogl

iain

siem

eco

nten

uto

inR

npo

ssia

mo

defin

ire

lasu

am

isur

aes

tern

aco

me

l’est

rem

oin

feri

ore

(fini

too

infin

ito)

delle

mis

ure

deipl

uri-in

terv

alli

che

cont

engo

noE

:

m∗ (

E)

:=in

fP

m(P

),(2

)

dove

s’in

tend

ech

el’e

stre

mo

infe

rior

ee

cons

ider

ato

alva

riar

ede

lplu

ri-int

erva

lloP

nell’

insi

eme

deipl

uri-in

terv

alli

che

cont

engo

noE

:E

⊆P

.Se

Ee

unpl

uri-in

terv

allo

,la

sua

mis

ura

este

rna

coin

cide

con

lam

isur

a:m

∗ (P

)=

m(P

).

Pro

pos

izio

ne

2.2-

1.La

mis

ura

este

rna

dell’

insi

eme

vuot

ova

le0:

m∗ (∅)

=0;

(3)

lam

isur

aes

tern

ae

mon

oton

ane

lse

nso

che

E1⊆

E2

=⇒

m∗ (

E1)≤

m∗ (

E2);

(4)

lam

isur

aes

tern

ae

sub-

addi

tiva

,ci

oe

m∗ (

E1∪

E2)≤

m∗ (

E1)+

m∗ (

E2).

(5)

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

33

Defi

niz

ione

2.2-

1.U

nin

siem

eE

diR

nsi

dice

mis

urab

ilese

,pe

rog

niin

terv

allo

I,si

ha

m(I

)=

m∗ (

I∩

E)+

m∗ (

I\E

).(6

)

Pro

pos

izio

ne

2.2-

2.La

fam

iglia

Mde

glii

nsie

mim

isur

abili

diR

ne

una

σ-a

lgeb

radi

part

idi

Rn

cont

enen

tel’i

nsie

me

vuot

o,va

lea

dire

i)se

E1,E

2,.

..so

noel

emen

tidi

M,in

quan

tita

finit

ao

num

erab

ile,ta

liso

noan

che

lalo

roun

ione

ela

loro

inte

rsez

ione

;ii

)se

Mco

ntie

neun

insi

eme

E,co

ntie

nean

che

ilsu

oco

mpl

emen

tare

risp

etto

aR

n.

iii)

La

mis

ura

me

σ-a

ddit

iva

suM

(=nu

mer

abilm

ente

addi

tiva

),ci

oepe

rog

nifa

mig

liafin

ita

onu

mer

abile

E1,E

2,.

..di

part

idi

M,a

due

adu

edi

sgiu

nte,

siha

m(∪

iEi)

=∑ i

m(E

i).

Defi

niz

ione

2.2-

2.Si

af

:E

→R

una

funz

ione

defin

ita

sull’

insi

eme

mis

urab

ileE

⊆R

n;

dire

mo

che

essa

em

isur

abile

se,pe

rog

nia∈

R;e

mis

urab

ilel’i

nsie

me

deipu

ntidi

Esu

cui

fva

lem

eno

dia:{x

∈E

|f(x

)<

a}.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

34

Defi

niz

ione

2.2-

3.Si

chia

ma

funz

ione

sem

plic

eun

afu

nzio

nem

isur

abile

che

assu

me

solt

anto

unnu

mer

ofin

ito

diva

lori

.

Pro

pos

izio

ne

2.2-

3.O

gnifu

nzio

nef

:Rn→

R+

mis

urab

ileno

nne

gati

vae

limit

edi

una

succ

essi

one

cres

cent

edi

funz

ioni

sem

plic

ino

nne

gati

vef j

(x):

f(x

)=

lim j→

∞f j

(x).

(7)

Defi

niz

ione

2.2-

4.Si

ag

:R

n→

R+

una

funz

ione

sem

plic

e,no

nne

gati

va,

che

assu

me

iva

lori

c 1,c

2,.

..,

c Nsu

gli

insi

emi

mis

urab

iliE

1,E

2,.

..,E

N.

Seµ

ke

lam

isur

adi

Ek,

µk

:=m

(Ek),

defin

iam

ol’i

nteg

rale

diLeb

esgu

edi

gpo

nend

o∫ R

n

g(x

)dx

:=N ∑ k=

1

c kµ

k,

(8)

con

leco

nven

zion

i:0·∞

:=0,

c·∞

:=∞

sec

>0,

c+∞

=∞

+∞

:=∞

.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

35

Sia

ora

fun

afu

nzio

nem

isur

abile

non

nega

tiva

;ap

pros

sim

iam

ola

(↑P

ropo

sizi

one

2.2-

3)m

e-di

ante

una

succ

essi

one

cres

cent

edi

funz

ioni

sem

plic

ie

non

nega

tive

f j,

per

lequ

ali

est

ato

appe

nade

finit

ol’i

nteg

rale

.Si

pone

∫ Rn

f(x

)dx

:=lim j→

∫ Rn

f j(x

)dx.

(9)

Illim

ite

ase

cond

om

embr

o,in

quan

tolim

ite

diun

asu

cces

sion

ecr

esce

nte

inR

+=

[0,+

∞)∪

{+∞},

esis

tefin

ito

oin

finit

o.Si

puo

dim

ostr

are

che,

sef

vien

eap

pros

sim

ata

inm

odidi

vers

ida

succ

essi

onicr

esce

ntidi

funz

ioni

sem

plic

i,il

limit

ein

ques

tion

ee

indi

pend

ente

dalla

scel

tade

llasu

cces

sion

eap

pros

sim

ante

.

Defi

niz

ione

2.2-

5.D

irem

och

ef

:R

n→

R+

eso

mm

abile

(=Leb

esgu

e-in

tegr

abile

,ab

-br

evia

toL-int

egra

bile

)se

illim

ite

(9)

suss

iste

finit

o.Se

poi

fno

ne

dise

gno

cost

ante

,si

ha

f=

f+−

f−

;

sidi

cein

talca

soch

ef

eso

mm

abile

seta

liso

nof

+e

f−

esi

pone

∫ Rn

f(x

)dx

:=∫ R

n

f+(x

)dx−

∫ Rn

f−

(x)d

x.

(10)

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

36

2.3.

L’in

teg

rale

diL

ebes

gu

e

Teo

rem

adi

Lebe

sgue

(con

verg

enza

dom

inat

a):

Pro

pos

izio

ne

2.3-

1.Se

lasu

cces

sion

edi

funz

ioni

som

mab

ilif n

:E→

R,E

⊆R

n,c

onve

rge

q.o.

vers

ola

funz

ione

limit

ef,e

des

iste

una

funz

ione

som

mab

ileg

:E→

Rta

lech

esi

abbi

a

∀n,|f

n(x

)|≤

g(x

)q.

o.su

E,

allo

ra:

a)la

funz

ione

limit

ef

eso

mm

abile

;

b)si

ha

lim n→

∫ E

f n(x

)dx

=∫ E

f(x

)dx.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

37

Teo

rem

adi

B.Le

vi(c

onve

rgen

zam

onot

ona)

:

Pro

pos

izio

ne

2.3-

2.Si

af n

:E

→R

,E

⊆R

n,

una

succ

essi

one

cres

cent

edi

funz

ioni

som

mab

ili.

Sees

iste

unnu

mer

oA

tale

che

sia

∫ E

f n(x

)dx≤

A,

∀n,

allo

ra

a)f n

tend

eq.

o.ve

rso

una

funz

ione

som

mab

ilef;

b)si

ha

lim n→

∫ E

f n(x

)dx

=∫ E

f(x

)dx.

B.Levi

1875

-1961

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

38

Teo

rem

adi

Fubi

ni:

Pro

pos

izio

ne

2.3-

3.Si

a(x

,y)�→

f(x

,y),

x∈

R,

y∈

Run

afu

nzio

neso

mm

abile

suR

2=

R.

Allo

rai)

per

quas

iog

niy

lafu

nzio

nex�→

f(x

,y)

eso

mm

abile

suR

;ii

)la

funz

ione

y�→

∫ Rf(x

,y)d

xe

som

mab

ilesu

R;

iii)

siha ∫ R

×R

f(x

,y)d

xdy

=∫ R

(∫ R

f(x

,y)d

x) d

y.

G.Fubin

i

1879

-1943

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

39

Teo

rem

adi

Ton

elli:

Pro

pos

izio

ne

2.3-

4.Si

a(x

,y)�→

f(x

,y),

x∈

R,

y∈

Run

afu

nzio

nem

isur

abile

suR

2

eno

nne

gati

va:

f(x

,y)≥

0q.

o.su

R2.

Seva

lgon

ole

cond

izio

nii)

eii

)de

llapr

opos

izio

nepr

eced

ente

,al

lora

fe

som

mab

ilesu

R2.

L.Tonelli

1855

-1946

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

40

Teo

rem

adi

Lebe

sgue

-Vital

i:

Pro

pos

izio

ne

2.3-

5.La

funz

ione

limit

ata

f:[

a,b

]→R

eR

-int

egra

bile

see

solo

sel’i

nsie

me

deisu

oipu

ntidi

disc

onti

nuita

edi

mis

ura

nulla

.

Defi

niz

ione

2.3-

1.La

funz

ione

g:

[a,b

]→

Rsi

dice

asso

luta

men

teco

ntin

uasu

[a,b

]se

per

ogni

ε>

0es

iste

unδ

>0

tale

che,

per

ogni

insi

eme

finit

odi

sott

oint

erva

lliap

erti

(αk,β

k)⊂

[a,b

],k

=1,

2,..

.,p,a

due

adu

edi

sgiu

nti,

siab

bia

p ∑ k=

1

|βk−

αk|<

δ=⇒

p ∑ k=

1

|g(β

k)−

g(α

k)|

<ε.

Pro

pos

izio

ne

2.3-

6.Se

f:[

a,b

]→R

eso

mm

abile

,allo

rala

sua

funz

ione

inte

gral

eF

(x)

:==

∫ x x0f(t

)dt

eas

solu

tam

ente

cont

inua

esi

ha

F′ (

x)

=f(x

)q.

o.su

[a,b

].

Inve

rsam

ente

,se

F:[

a,b

]→R

eun

afu

nzio

neas

solu

tam

ente

cont

inua

su[a

,b],

allo

raes

sae

deri

vabi

leq.

o.su

tale

inte

rval

loe,

post

of(x

):=

F′ (

x),

siha

∀x1,x

2∈

[a,b

],F

(x2)−

F(x

1)

=∫ x 2 x

1

f(x

)dx.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

41

2.4.

Sp

azid

ifu

nzi

on

iso

mm

abili

Sia

Eun

insi

eme

mis

urab

iledi

Rn,

f:

E→

Cun

afu

nzio

nea

valo

rico

mpl

essi

.Se

f 1(x

)e

f 2(x

)so

nola

part

ere

ale

eil

coeffi

cien

tede

llapa

rte

imm

agin

aria

dif(x

),du

nque

f(x

)=

=f 1

(x)+

if2(x

),co

nf 1

,f2

:E→

R,d

irem

och

ef

eso

mm

abile

seta

liso

nof 1

ef 2

epo

rrem

o∫ E

f(x

)dx

:=∫ E

f 1(x

)dx

+i

∫ E

f 2(x

)dx.

(1)

La

funz

ione

fe

som

mab

ilese

eso

lose

eso

mm

abile

|f|.

L’in

siem

ede

llefu

nzio

niso

mm

abili

f:E

→C

,m

unit

ode

lleco

nsue

teop

eraz

ioni

diad

dizi

one

tra

funz

ioni

em

olti

plic

azio

nedi

una

funz

ione

per

una

cost

ante

,eun

os.

v.co

mpl

esso

che

vien

ein

dica

toco

lsi

mbo

loL

1(E

).La

quan

tita

‖f‖ 1

:=∫ E

|f(x

)|dx

(2)

eun

ano

rma

apa

tto

diid

enti

ficar

efu

nzio

niqu

asiov

unqu

eug

uali

tra

loro

.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

42

Piu

inge

nera

le,po

ssia

mo

cons

ider

are

per

ogni

p≥

1lo

spaz

ioL

p(E

)co

stit

uito

dalle

funz

ioni

fpe

rcu

ie

som

mab

ilela

funz

ione

|f|p ;

Lp(E

)e

uno

s.v.

n.co

nno

rma

‖f‖ p

:=(∫ E

|f(x

)|pdx) 1/p

.(3

)

Inpa

rtic

olar

eci

inte

ress

ail

caso

p=

2,ci

oelo

spaz

iode

llefu

nzio

nidi

quad

rato

som

mab

ileL

2(E

);la

sua

norm

ae

gene

rata

dalpr

odot

tosc

alar

e

(f|g

):=

∫ E

f(x

)g(x

)∗dx.

(4)

Abb

iam

ous

ato

l’ast

eris

cope

rin

dica

reil

coni

ugat

o.G

lisp

azi

Lp

sono

com

plet

i,du

nque

spaz

idi

Ban

ach;

inpa

rtic

olar

eL

2e

uno

spaz

iodi

Hilb

ert.

Qua

nto

alla

poss

ibili

tadi

defin

ire

una

norm

ade

lti

po‖

·‖ ∞

,do

bbia

mo

rito

ccar

ela

defin

izio

nedi

mag

gior

ante

diun

afu

nzio

ne,

nelse

nso

che

dire

mo

che

ilnu

mer

oM

eun

mag

-gi

oran

tedi

|f(x

)|se

lare

lazi

one|f

(x)|≤

Me

veri

ficat

aq.

o.in

E.

Cio

post

o,po

ssia

mo

defin

ire

L∞

(E)

com

elo

spaz

iode

llefu

nzio

nif

:E

→C

che

sono

limitat

e,ne

lse

nso

che

‖f‖ ∞

:=su

px

|f(x

)|<

∞.

Capit

olo

2.

elementiditeoria

dell’

integrazio

ne

43

SeE

eun

insi

eme

dim

isur

afin

ita,

m(E

)<

∞,e

faci

lest

abili

rele

incl

usio

ni

L∞

(E)⊂

L2(E

)⊂

L1(E

).(5

)

Sia

f∈

L2(E

);sf

rutt

ando

ladi

segu

aglia

nza

diC

auch

y-Sc

hwar

zab

biam

o

‖f‖ 1

=∫ E

|f(x

)|dx

=∫ E

1·|

f(x

)|dx≤

‖1‖ 2

‖f‖ 2

=√ m

(E)‖f

‖ 2.

(6)

Supp

onia

mo

ora

f∈

L∞

(E);

abbi

amo

‖f‖2 2

=∫ E

|f(x

)|2dx≤

∫ E

‖f‖2 ∞

dx

=m

(E)‖

f‖2 ∞

,

dacu

i ‖f‖ 2

≤√ m

(E)‖

f‖ ∞

.(7

)

Com

bina

ndo

la(6

)co

nla

(7)

siot

tien

e

‖f‖ 1

≤m

(E)‖

f‖ ∞

.(8

)

SeE

eun

insi

eme

dim

isur

ain

finit

a,m

(E)

=∞

,le

incl

usio

ni(5

)no

nsu

ssis

tono

.Se

Ee

unin

siem

em

isur

abile

qual

sivo

glia

cilim

itia

mo

ados

serv

are

l’inc

lusi

one

( L1(E

)∩

L∞

(E)) ⊂

L2(E

).(9

)

Infa

ttisi

ha

‖f‖2 2

=∫ E

|f(x

)||f

(x)|

dx≤

‖f‖ ∞

∫ E

|f(x

)|dx

=‖f

‖ ∞‖f

‖ 1.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r44

3.Se

riedi

Four

ier

3.1.

Po

lino

mid

iFo

uri

er

La

fam

iglia

difu

nzio

nies

pone

nzia

lix�→

ein

x,n

∈Z

,eor

togo

nale

nello

spaz

ioL

2( [−

π,π

]) ,cos

ıco

me

inun

qual

unqu

esp

azio

L2( [a

,a+

2π]) .

Per

cias

cuna

delle

funz

ioni

ines

ame

siha

‖ein

x‖2

=2π

.(1

)

S’in

tend

ech

ela

norm

ae

quel

ladi

L2.

Le

2n+

1fu

nzio

nix�→

eikx,k

=0,±

1,±

2,..

.,±

n,

forn

isco

noun

aba

seor

togo

nale

dels

otto

spaz

ioF n

diL

2co

stit

uito

daip

olin

omit

rigo

nom

etri

cidi

ordi

ne≤

n:

pn(x

)=

n ∑k=−

n

c keik

x,

c k∈

C.

(2)

J.B

.J.Fouri

er

1768

-1830

Capit

olo

3.

serie

difourie

r45

Un’

altr

aba

sedi

F ne

cost

itui

tada

lle2n

+1

funz

ioni

real

i

1/2,

cosx

,si

nx,

cos2

x,

sin

2x,

............

cosn

x,

sin

nx.

Sitr

atta

anco

radi

una

base

orto

gona

le;le

funz

ioni

che

laco

stit

uisc

ono

hann

otu

tte

com

equ

adra

tode

llano

rma

π,ad

ecce

zion

ede

llaco

stan

tex�→

1/2,

per

cuiil

quad

rato

della

norm

ava

leπ/2

.O

gnip

n∈F n

edu

nque

espr

imib

ilene

llafo

rma

pn(x

)=

a0 2

+n ∑ k=

1

[akco

skx

+b k

sin

kx

],

con

cert

ico

effici

enti

real

ia

k,k

=0,

1,..

.,n,e

b k,k

=1,

2,..

.,n.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r46

Le

form

ule

dipa

ssag

gio

daico

effici

enti

dip

nri

spet

toal

lapr

ima

base

agli

anal

oghi

coeffi

cien

tiri

spet

toal

lase

cond

aba

seso

nole

(17)

e(1

7′)

delpa

ragr

afo

1.3:

ak

=c k

+c −

k,

k=

0,1,

...,

n,

b k=

i(c k

−c −

k),

k=

1,2

...,

n;

ein

vers

amen

tec 0

=a0/2

,

c k=

1 2(a

k−

ibk),

c −k

=1 2

(ak

+ib

k),

k=

1,2

...,

n.

Ilte

orem

adi

Pit

agor

aco

nsen

tedi

calc

olar

ela

norm

adi

pn:

‖pn‖2

=∫ π −

π

|pn(x

)|2dx

=

=2π

n ∑k=−

n

|c k|2

( |a 0|2 2

+n ∑ k=

1

[ |ak|2

+|b k

|2]) .

(2)

Capit

olo

3.

serie

difourie

r47

Sef

∈L

2po

ssia

mo

calc

olar

ela

sua

proi

ezio

neor

togo

nale

sul

sott

ospa

zioF n

,in

base

alla

Pro

posi

zion

e1.

4-1:

tale

proi

ezio

neam

met

teun

’esp

ress

ione

delt

ipo

(2),

con

icoe

ffici

enti

calc

o-la

tise

cond

ola

form

ula

(3)

dello

stes

sopa

ragr

afo

1.4:

essi

sono

dati

daipr

odot

tisc

alar

itr

ala

funz

ione

fe

isi

ngol

ive

ttor

ide

llaba

se,di

visi

per

ilqu

adra

tode

llano

rma

degl

ist

essi

vett

ori,

dunq

ue c k=

1 2π

∫ π −π

f(t

)e−

iktdt,

k=

0,±

1,±

2,..

.,±

n.

(3)

Ilpo

linom

ioot

tenu

tosi

chia

ma

polin

omio

diFo

urie

rdi

ordi

nen

della

funz

ione

f;pe

res

sout

ilizz

erem

oil

sim

bolo

s n[f

](x),

opi

use

mpl

icem

ente

s n(x

).D

unqu

e

s n(x

)=

1 2π

n ∑k=−

n

(∫ π −π

f(t

)e−

iktdt) eik

x.

Anc

hepe

ric

oeffi

cien

tidi

Four

ier

sare

bbe

piu

appr

opri

ata

una

nota

zion

ede

ltip

oc k

[f],

per

porr

ein

evid

enza

ladi

pend

enza

dalla

funz

ione

f;si

osse

rvich

eta

ledi

pend

enza

elin

eare

,ci

oe

c k[λ

1f 1

2f 2

]=λ

1c k

[f1]+

λ2c k

[f2].

Capit

olo

3.

serie

difourie

r48

Alt

erna

tiva

men

tepo

ssia

mo

utili

zzar

ela

base

real

e,co

stit

uita

dase

nie

cose

ni;

avre

mo

inta

lca

soun

aes

pres

sion

edi

s nde

lti

po

s n(x

)=

a0 2

+n ∑ k=

1

( akco

skx

+b k

sin

kx) ,

dove

ico

effici

enti

sono

dati

,se

mpr

ein

base

alla

(3)

delpa

ragr

afo

1.4,

dalle

form

ule

a0

=2 π

∫ π −π

f(t

)1 2

dt=

1 π

∫ π −π

f(t

)dt,

(4)

ak

=1 π

∫ π −π

f(t

)cos

ktdt,

k=

1,2,

...,

n,

(5)

b k=

1 π

∫ π −π

f(t

)sin

ktdt,

k=

1,2,

...,

n.

(6)

Siri

cono

sce

che

la(4

)ri

entr

ane

llafo

rmul

a(5

)po

nend

oin

essa

k=

0(i

nci

oco

nsis

tela

ragi

one

della

scel

tade

llafu

nzio

neco

stan

te1/

2in

luog

ode

llaco

stan

te1

com

epr

imo

elem

ento

della

base

diF n

).

Capit

olo

3.

serie

difourie

r49

Ilpa

ssag

gio

das n

as n

+1

rich

iede

l’agg

iunt

ade

llaqu

anti

ta

an+

1co

s( (n+

1)x) +

b n+

1si

n( (n

+1)

x) ;

lasu

cces

sion

e(s

n)

deipo

linom

idi

Four

ier

dif

sipr

esen

tadu

nque

com

eun

ase

rie

a0 2

+∞ ∑ k=

1

[akco

skx

+b k

sin

kx

],

che

verr

ach

iam

ata

seri

edi

Four

ier

dif.

Scri

vere

mo

f(x

)∼

a0 2

+∞ ∑ k=

1

[akco

skx

+b k

sin

kx

],(7

)

inte

nden

dose

mpr

ech

eico

effici

enti

ak

eb k

sian

oda

tida

lle(5

)-(6

).Se

siut

ilizz

ala

succ

essi

one

orto

gona

le( ei

nx) ,

lase

rie

diFo

urie

rsi

scri

ve

f(x

)∼

∞ ∑k=−∞

c keik

x(7

′ )

dove

ico

effici

enti

c kso

noda

tida

llafo

rmul

a(3

).

Capit

olo

3.

serie

difourie

r50

La

disu

guag

lianz

adi

Bes

sel(↑

form

ule

(7)-

(7′ )

delpa

ragr

afo

1.4)

sisc

rive

,in

base

alla

(3),

‖sn‖2

=2π

n ∑k=−

n

|c k|2

≤‖f

‖2,

(8)

o,in

form

aeq

uiva

lent

en ∑

k=−

n

|c k|2

≤1 2π

‖f‖2

.(8

′ )

Pas

sand

oal

limit

epe

rn→

+∞

siot

tien

e∞ ∑

k=−∞

|c k|2

≤1 2π

‖f‖2

.(9

)

Ana

loga

men

te,se

siut

ilizz

ala

form

are

ale,

siot

tien

ela

disu

guag

lianz

a

|a0|2 2

+∞ ∑ k=

1

[ |ak|2

+|b k

|2] ≤1 π‖f

‖2.

(9′ )

F.W

.B

ess

el

1784

-1846

Capit

olo

3.

serie

difourie

r51

Poi

che‖s

n−

f‖2

=‖f

‖2−

‖sn‖2

(siri

veda

lafo

rmul

a(6

)de

lpa

ragr

afo

1.4)

,si

ha

lim n→

∞‖s

n−

f‖

=0

⇐⇒

lim n→

∞‖s

n‖

=‖f

‖.(1

0)

D’a

ltra

part

el’u

ltim

aug

uagl

ianz

asu

ssis

tese

eso

lose

nella

dise

guag

lianz

adi

Bes

sel(

9)-(

9′)

siha

ilse

gno

diug

uagl

ianz

a;in

defin

itiv

a

limn→

∞‖s

n−

f‖

=0

⇐⇒

∞ ∑k=−∞

|c k|2

=1 2π

‖f‖2

(11)

o,in

form

aeq

uiva

lent

e

lim n→

∞‖s

n−

f‖

=0

⇐⇒

|a0|2 2

+∞ ∑ k=

1

[ |ak|2

+|b k

|2] =1 π‖f

‖2.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r52

3.2.

Ser

ied

iFo

uri

er:

conv

erg

enza

pu

ntu

ale

Lem

ma

diRie

man

n-Le

besg

ue:

Pro

pos

izio

ne

3.2-

1.Per

ogni

f∈

L1( [a

,b]) si

ha

lim|λ

|→+∞

∫ b a

f(x

)eiλ

xdx

=0

(λre

ale)

.

Teo

rem

adi

loca

lizza

zion

e:

Pro

pos

izio

ne

3.2-

2.Il

com

port

amen

tone

lpu

nto

xde

llase

rie

diFo

urie

rde

llafu

nzio

nef

dipe

nde

escl

usiv

amen

teda

ival

oria

ssun

tida

llafu

nzio

nest

essa

nell’

into

rno

(x−

δ,x

+δ)

,con

δ>

0ad

arbi

trio

.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r53

Ilcr

iter

iodi

Din

i:

Pro

pos

izio

ne

3.2-

3.Se

lafu

nzio

ne

t�→

f(x

+t)

+f(x

−t)−

2s(x

)t

eso

mm

abile

sull’

inte

rval

lo[0

,δ],

con

δ>

0ad

arbi

trio

,allo

rasu

ssis

tela

(6),

vale

adi

resi

ha

a0 2

++∞ ∑ n=

1

[an

cosn

x+

b nsi

nnx]=

∞ ∑k=−∞

c nein

x=

s(x).

(6′ )

U.D

ini

1845

-1918

Capit

olo

3.

serie

difourie

r54

Pro

pos

izio

ne

3.2-

4.Se

esis

tono

finit

iilim

itia

sini

stra

ea

dest

rade

llafu

nzio

nef

nelp

unto

x:

f(x

+)

:=lim t→

0+

f(x

+t)

,f(x

−)

:=lim t→

0+

f(x

−t)

,

ese

,per

due

cost

anti

posi

tive

Le

αso

nove

rific

ate

(per

t>

0ab

bast

anza

picc

olo)

leco

ndiz

ioni

|f(x

+t)−

f(x

+)|≤

Ltα

,|f

(x−

t)−

f(x

−)|≤

Ltα

,(7

)

lase

rie

diFo

urie

rdi

fco

nver

gein

xal

laso

mm

a

s(x)

=f(x

+)+

f(x

−)

2.

(8)

Cri

teri

odiD

iric

hle

t.Se

fe

una

funz

ione

peri

odic

adi

peri

odo

2πe

seog

niin

terv

allo

dipe

riod

icit

asi

puo

scom

porr

ein

unnu

mer

ofin

ito

diso

ttoi

nter

valli

,in

mod

ota

lech

eal

l’int

erno

dici

ascu

nodi

essi

lafu

nzio

nef

sia

cont

inua

em

onot

ona,

men

tre

neip

unti

disc

ompo

sizi

one

essa

amm

ette

alpi

udi

scon

tinu

ita

dipr

ima

spec

ie,al

lora

la(8

)su

ssis

tepe

rog

nix∈

R.

P.G

.D

iric

hle

t

1805

-1859

Capit

olo

3.

serie

difourie

r55

3.3.

Ser

ied

iFo

uri

er:

conv

erg

enza

un

iform

e

Defi

niz

ione

3.3-

1.Si

au

k:[a

,b]→

Cun

asu

cces

sion

edi

funz

ioni

cont

inue

sull’

inte

rval

lo[a

,b];

dire

mo

che

lase

rie

∑ k≥

1u

k(x

),ci

oequ

ella

aven

teco

me

som

me

parz

iali

lefu

nzio

ni

s n(x

):=

n ∑ k=

1

uk(x

),

eto

talm

ente

conv

erge

nte

see

conv

erge

nte

lase

rie

ate

rmin

ipo

siti

vi∑ k

≥1‖u

k‖ ∞

.

Dir

emo

che

f∈

C2π(R

)se

essa

eco

ntin

uasu

(R)

epe

riod

ica

dipe

riod

o2π

.In

part

icol

are

cio

impl

ica

che

f(π

)=

f(−

π).

Pro

pos

izio

ne

3.3-

1.Se

f∈

C2π(R

)e

deri

vabi

leq.

o.co

nde

riva

tapr

ima

cont

inua

atr

atti

,al

lora

lasu

ase

rie

diFo

urie

rco

nver

geto

talm

ente

,du

nque

unifo

rmem

ente

,al

lafu

nzio

nef.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r56

Pon

iam

o

σn(x

):=

s 0(x

)+

s 1(x

)+

...+

s n(x

)n

+1

;(5

)

dire

mo

che

σn(x

)e

ilpo

linom

iodi

Feje

rdi

fdi

ordi

nen.

Sitr

atta

diun

polin

omio

trig

onom

e-tr

ico

dior

dine

n.

Sost

itue

ndo

alpo

sto

dici

ascu

nas k

,k=

0,1,

...,

n,l

are

lati

vaes

pres

sion

e,si

trov

a

σn(x

)=

a0 2

+n

n+

1[a

1co

sx+

b 1si

nx]+

n−

1n

+1

[ a2co

s2x

+b 2

sin

2x] +

...+

+1

n+

1[a

nco

snx

+b n

sin

nx].

Pro

pos

izio

ne

3.3-

2.Per

ogni

f∈

C2π(R

)la

succ

essi

one

deir

elat

ivip

olin

omid

iFej

er(σ

n)

conv

erge

unifo

rmem

ente

alla

funz

ione

f.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r57

3.4.

Ser

ied

iFo

uri

er:

conv

erg

enza

inm

edia

qu

adra

tica

IlTeo

rem

adi

Rie

sze

Fis

cher

:

Pro

pos

izio

ne

3.4-

1.Si

a(e

n)

una

succ

essi

one

orto

norm

ale

nello

spaz

iodi

Hilb

ert

V,(c

n)

una

succ

essi

one

di�

2,ci

oeta

lech

e+∞ ∑ n=

1

|cn|2

<+∞

.

Esi

ste

allo

raun

elem

ento

x∈

Vta

lech

e,pe

rog

nin,c n

=(x

|en)

e+∞ ∑ n=

1

|cn|2

=‖x

‖2.

Ric

ordi

amo

che

�2

eun

osp

azio

diH

ilber

t;v.

esem

pio

1.3-

5.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r58

Pro

pos

izio

ne

3.4-

2.Si

aV

uno

spaz

iove

ttor

iale

con

prod

otto

scal

are,

(en)

una

succ

essi

one

orto

norm

ale

ines

so;pe

rog

nifis

sato

x∈

Vso

noeq

uiva

lent

ile

prop

osiz

ioni

i)∞ ∑ k=

1

c ke

k:=

limn→

+∞

n ∑ k=

1

c ke

k=

x,do

vec k

:=(x

|ek);

ii)

+∞ ∑ k=

1

|c k|2

=‖x

‖2.

Sei)

eii

)so

nove

rific

ate

per

ogni

x∈

V,al

lora

siha

iii)

( ∀n,

(x|e

n)

=0

) =⇒

(x=

0).

SeV

eco

mpl

eto

(dun

que

uno

spaz

iodi

Hilb

ert)

,al

lora

iii)

impl

ica

i)e

ii)

per

ogni

x∈

V.

La

iii)

espr

ime

ilfa

tto

che

l’uni

coel

emen

toor

togo

nale

atu

tti

gli

elem

enti

della

succ

essi

one

(en)

el’e

lem

ento

nullo

:

〈(e

n)〉

⊥=

{0}.

Sies

prim

eta

lepr

opri

eta

dice

ndo

che

lasu

cces

sion

e(e

n)

eto

tale

(om

assi

mal

e)in

V.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r59

Lem

ma.

La

succ

essi

one

1/2,

cosx

,si

nx,

...,

cosn

x,

sin

nx,

...,

(1)

eto

tale

inC

2π(R

),m

unit

ode

lpr

odot

tosc

alar

edi

L2[−

π,π

].

Pro

pos

izio

ne

3.4-

3.La

succ

essi

one

(1)e

tota

lene

llosp

azio

L2[−

π,π

],e

dunq

uee

una

base

dello

stes

sosp

azio

.

Cor

olla

rio.

Per

ogni

fdi

L2[−

π,π

]va

lel’i

dent

ita

diPar

seva

l

2π(∞ ∑ k

=−∞

|c k|2) =

π( |a 0

|2 2+

∞ ∑ k=

1

[ |ak|2

+|b k

|2])=

‖f‖2

.(2

)

Capit

olo

3.

serie

difourie

r60

3.5.

Ser

ied

iFo

uri

er:

ult

erio

riri

sult

ati

Pro

pos

izio

ne

3.5-

1.Si

af∈

L2[−

π,π

]e

sia

f(x

)∼

a0 2

+∞ ∑ k=

1

(akco

skx

+b k

sin

kx).

(1)

Per

ogni

copp

iadi

punt

ix0,x

∈[−

π,π

],si

ha∫ x x

0

f(t

)dt=

∫ x x0

a0 2

dt+

∞ ∑ k=

1

( ak

∫ x x0

cosk

tdt+

b k

∫ x x0

sin

ktdt) ,

(2)

dove

,pe

rog

nifis

sato

x0,la

seri

ea

seco

ndo

mem

bro

conv

erge

unifo

rmem

ente

alva

riar

edi

xne

ll’in

terv

allo

[−π,π

].

Tut

tiiri

sult

atipr

eced

enti

sies

tend

ono

afu

nzio

nipe

riod

iche

dipe

riod

oT

>0

arbi

trar

io.

Spes

sola

vari

abile

indi

pend

ente

vien

ein

terp

reta

taco

me

unte

mpo

epe

rqu

esta

ragi

one

vien

ein

dica

taco

nla

lett

era

t.Lo

spaz

ioL

2[0

,T],

oppu

reL

2[−

T/2,

T/2]

,am

met

teco

me

base

orto

-go

nale

lafa

mig

liadi

funz

ioni

ava

lori

com

ples

si

(ein

ωt) n

∈Z,

dove

ω:=

2π/T

;

tali

funz

ioni

amm

etto

noT

com

equ

adra

tode

llano

rma.

La

quan

tita

ωe

laco

sidd

etta

pulsaz

ione

(ofreq

uenz

aan

gola

re)

della

funz

ione

ines

ame.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r61

Alt

erna

tiva

men

te,si

puo

utili

zzar

ela

base

1/2

cosω

t,si

nωt,

cos2

ωt,

sin

2ωt,

..............................

cosn

ωt,

sin

nωt,

..............................

Ilqu

adra

tode

llano

rma

dici

ascu

nadi

tali

funz

ioni

(ad

ecce

zion

ede

llapr

ima)

eT

/2.

Sios

serv

ich

ela

tras

form

azio

nelin

eare

t=

ωτ

=(2

π/T

)τm

uta

l’int

erva

llo[0

,T]ne

ll’in

terv

allo

[0,2

π].

Capit

olo

3.

serie

difourie

r62

La

seri

edi

Four

ier

diun

’ass

egna

tafu

nzio

nef

som

mab

ilesu

[0,T

],ch

esu

ppon

iam

opr

olun

gata

con

peri

odo

Ta

tutt

ala

rett

are

ale,

sisc

rive

inun

ade

lledu

efo

rme

f(t

)∼

a0 2

+∞ ∑ k=

1

(akco

skωt+

b ksi

nkωt)

,(3

)

f(t

)∼

∞ ∑k=−∞

c keik

ωt,

(3′ )

dove

ak

:=2 T

∫ T/2

−T

/2

f(τ

)cos

kωτ

dτ,

b k:=

2 T

∫ T/2

−T

/2

f(τ

)sin

kωτ

dτ,

(4)

eri

spet

tiva

men

te

c k:=

1 T

∫ T/2

−T

/2

f(τ

)e−

ikω

τdτ.

(4′ )

Capit

olo

3.

serie

difourie

r63

Siha

nno

leug

uagl

ianz

e

c k+

c −k

=a

k,

c k−

c −k

=−

ibk

(5)

o,in

form

aeq

uiva

lent

e,1 2

(ak−

ibk)

=c k

,1 2

(ak

+ib

k)

=c −

k.

(5′ )

Le

form

ule

scri

tte

sono

valid

epe

rog

nina

tura

lek

sesi

conv

iene

dipo

rre

b 0=

0.In

cert

esi

tuaz

ioni

epr

efer

ibile

fare

com

pari

real

post

odi

ω(p

ulsa

zion

e),l

afr

eque

nza

1/T

.Se

indi

chia

mo

colsi

mbo

lo

f 0:=

1 T

lafreq

uenz

afo

ndam

enta

le,al

lora

ilpr

odot

tokωt

sisc

rive

kωt=

k2π T

t=

2πkf 0

t.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r64

Sein

dich

iam

oco

lsi

mbo

lot�→

x(t

)la

funz

ione

dasv

ilupp

are

(per

evit

are

conf

usio

nitr

ail

sim

bolo

che

indi

cala

funz

ione

equ

ello

che

indi

cala

freq

uenz

afo

ndam

enta

le),

abbi

amo,

alpo

sto

della

(3)

ede

lla(3

′ ),le

form

ule

x(t

)∼

a0 2

+∞ ∑ k=

1

( akco

s(2π

kf 0

t)+

b ksi

n(2π

kf 0

t)) ,

(3′′ )

x(t

)∼

∞ ∑k=−∞

c kei

kf0

t.

(3′′′

)

Sela

funz

ione

xe

diqu

adra

toso

mm

abile

,va

lel’i

dent

ita

diPer

seva

lch

esi

scri

ve

|a0|2 2

+∞ ∑

k=−∞

( |ak|2

+|b k

|2) =2 T‖x

‖2,

oppu

re∞ ∑

k=−∞|c k

|2=

1 T‖x

‖2.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r65

Supp

onia

mo

che

lafu

nzio

nex

sia

ava

lori

real

i,du

nque

anch

eico

effici

enti

ak

eb k

sono

real

i.O

sser

viam

och

ese

,pe

run

asse

gnat

ok,ico

effici

enti

ak

eb k

non

sono

entr

ambi

nulli

,po

nend

o

Ak

:=√ a

2 k+

b2 k(6

)

sipu

osc

rive

reil

k-e

sim

oad

dend

oa

seco

ndo

mem

bro

della

(3)

nella

form

a

akco

skωx

+b k

sin

kωt=

Ak

( a k Ak

cosk

ωt+

b k Ak

sin

kωt) ,

dove

(ak/A

k)2

+(b

k/A

k)2

=1.

Sios

serv

ich

eA

k=

|ak±

ibk|=

2|c ∓

k|(↑

form

ula

(5′ )

;se

dunq

uesi

pone

φk

:=A

rg(a

k+

ibk)∈

(−π,π

],(7

)

siha

ak/A

k=

cosφ

k,b k

/Ak

=si

k.

Ne

segu

e

akco

skωt+

b ksi

nkωt=

Ak(c

oskωtco

sφk

+si

nkωtsi

k)

==

Akco

s(kωt−

φk).

Capit

olo

3.

serie

difourie

r66

Sesi

pone

A0

:=a0/2

,si

puo

scri

vere

lase

rie

diFo

urie

rne

llafo

rma

x(t

)∼

A0

+∞ ∑ k=

1

Akco

s(kωt−

φk)

=A

0+

∞ ∑ k=

1

Akco

s(2π

kf 0

t−

φk),

(8)

inte

nden

doch

esi

aA

k=

0(e

φk

arbi

trar

io)

per

iva

lori

dik

per

cuiri

sult

aa

k=

b k=

0.La

succ

essi

one

(Ak),

cost

itui

tada

num

eri≥

0(a

dec

cezi

one

alpi

udi

A0),

vien

ech

iam

ata

spet

tro

diam

piez

zade

llafu

nzio

nef,m

entr

ela

succ

essi

one

(φk)

vien

ech

iam

ata

spet

tro

difa

sede

llast

essa

funz

ione

.Si

osse

rvi

che

sex

ere

ale

epa

ri(d

unqu

eb k

=0

per

ogni

k),

siha

φk

=0

sea

k>

0,φ

k=

πse

ak

<0;

sex

ere

ale

edi

spar

i(d

unqu

ea

k=

0pe

rog

nik),

siha

φk

=π/2

seb k

>0,

φk

=−

π/2

seb k

<0.

Per

lafu

nzio

nex(t

)−A

0,p

erio

dica

dipe

riod

oT

con

med

iain

tegr

ale

nulla

suog

niin

terv

allo

dilu

nghe

zza

T,ab

biam

o

x(t

)−

A0∼

∞ ∑ k=

1

Akco

s(kωt−

φk)

=∞ ∑ k=

1

Akco

s(2π

kf 0

t−

φk).

(8′ )

La

sost

ituz

ione

dix

con

x−

A0

equi

vale

inte

rmin

igeo

met

rici

alla

tras

lazi

one

delg

rafic

odi

x,pa

ralle

lam

ente

all’a

sse

delle

ordi

nate

,de

llaqu

anti

ta−

A0.

Capit

olo

3.

serie

difourie

r67

Sex

esv

ilupp

abile

inse

rie

diFo

urie

r,la

form

ula

scri

tta

pres

enta

last

essa

xco

me

som

ma

diun

aar

mon

ica

fond

amen

tale

A1co

s(ωt−

φ1)

=A

1co

s(2π

f 0t−

φ1),

funz

ione

dipe

riod

oT

efr

eque

nza

f 0al

pari

dif,pi

uun

ase

rie

diar

mon

iche

supe

rior

i

Akco

s(kωt−

φk)

=A

kco

s(2π

kf 0

t−

φk),

k≥

2,

con

freq

uenz

em

ulti

ple

della

freq

uenz

ade

ll’ar

mon

ica

fond

amen

tale

,ed

ampi

ezze

Ak

che

tend

ono

a0

alte

nder

edi

kal

l’infi

nito

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a68

4.Fu

nzio

nidi

una

varia

bile

com

ples

sa4.

1.Il

cam

po

com

ple

sso

L’in

siem

eC

deinu

mer

ico

mpl

essi

el’i

nsie

me

R2

delle

copp

ieor

dina

tedi

num

erire

ali,

mun

ito

delle

oper

azio

nidi

addi

zion

ee

mol

tipl

icaz

ione

segu

enti

:

(x1,y

1)+

(x2,y

2)

:=(x

1+

x2,y

1+

y 2),

(1)

(x1,y

1)(

x2,y

2)

:=(x

1x

2−

y 1y 2

,x1y 2

+y 1

x2).

(2)

Efa

cile

veri

ficar

ech

eC

eun

cam

po(↑

Defi

nizi

one

1.1-

1).

Sez

=(x

,y)

eun

num

ero

com

ples

so,s

idic

ech

ex

ela

part

ere

ale

diz

ey

ilco

effici

ente

della

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eim

mag

inar

ia;s

iscr

ive

x=

Re(

z),

y=

Im(z

).

Ilco

niug

ato

diz

e

z∗

=z

:=(x

,−y);

sitr

ova ∀z

1,z

2∈

C,

(z1

+z 2

)∗=

z∗ 1

+z∗ 2,

(z1z 2

)∗=

z∗ 1z∗ 2.

L’in

siem

ede

inu

mer

ico

mpl

essi

delti

po(x

,0)

eun

sott

ocam

podi

C,is

omor

foa

Rtr

amit

el’i

som

orfis

mo

(x,0

)�→

x;in

dent

ifich

erem

o(x

,0)

con

xe

pert

anto

scri

vere

mo

sem

plic

emen

tex

inlu

ogo

di(x

,0).

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a69

Inu

mer

ide

lti

po(0

,y)

sidi

cono

imm

agin

arı.

Ilnu

mer

oim

mag

inar

io(0

,1),

dett

oun

ita

im-

mag

inar

ia,ha

lapr

opri

eta

(0,1

)(0,

1)=

−1;

sesi

pone

i:=

(0,1

),(3

)

allo

ra

i2=

−1.

(4)

Poi

che

z=

(x,y

)=

(x,0

)+

(0,y

)=

(x,0

)+

(0,1

)(y,0

),la

(3)

forn

isce

lafo

rmul

a

z=

x+

iy.

(5)

Usa

ndo

ques

t’ul

tim

a,le

(1)

e(2

)di

vent

ano

(x1

+iy

1)+

(x2

+iy

2)

=x

1+

x2

+i(

y 1+

y 2),

(x1

+iy

1)(

x2

+iy

2)

=x

1x

2−

y 1y 2

+i(

x1y 2

+x

2y 1

).

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a70

Adi

ffere

nza

diR

,ilc

ampo

Cno

ne

ordi

nato

,nel

sens

och

eno

nes

iste

alcu

nor

dina

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toto

tale

com

pati

bile

con

leop

eraz

ioni

.Il

cam

poco

mpl

esso

Ce

alge

bric

amen

tech

iuso

,cio

eog

nipo

linom

io(n

onco

stan

te)

aco

effi-

cien

tico

mpl

essi

sian

nulla

inun

punt

o(a

lmen

o)di

C(↓

Pro

posi

zion

e4.

6-4)

.

C.F

.G

auss

1777

-1855

Poi

che

inum

eric

ompl

essi

sono

copp

ieor

dina

tedi

num

erir

eali,

essi

amm

etto

noun

ara

ppre

-se

ntaz

ione

com

epu

ntid

elpi

ano

R2.

Inum

erir

eali

corr

ispo

ndon

oai

punt

idel

l’ass

ex

(ass

ere

ale)

,m

entr

ein

umer

iim

mag

inar

icor

risp

ondo

noai

punt

idel

l’ass

ey

(ass

eim

mag

inar

io).

L’a

ddiz

ione

tra

num

erico

mpl

essi

corr

ispo

nde

all’a

ddiz

ione

inR

2co

me

spaz

iove

ttor

iale

real

e.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a71

Alle

coor

dina

tepo

lari

nelp

iano

corr

ispo

ndon

oil

mod

ulo

el’a

rgom

ento

per

inum

eric

ompl

essi

.Il

mod

ulo

(=va

lore

asso

luto

)di

z=

x+

iye

|z|:

=√

zz∗

=√ x

2+

y2.

Sive

rific

ano

lepr

opri

eta:

|z|≥

0,|z|=

0⇐⇒

z=

0,|z|=

|z∗ |,

|z 1z 2|=

|z 1||z

2|,

|z 1+

z 2|≤

|z 1|+

|z 2|,

|x|

|y|} ≤

|z|≤

|x|+

|y|,

dove

s’in

tend

ech

esi

az

=x

+iy

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a72

Sez�=

0,es

iste

θ∈

Rta

lech

e

z=

|z|(c

osθ

+isi

nθ)

⇐⇒

z |z|=

cosθ

+isi

(6)

inqu

anto

z/|

z|e

unnu

mer

odi

mod

ulo

unit

ario

.D

unqu

e

cosθ

=x |z|,

sin

θ=

y |z|.

Sidi

cech

eun

argo

men

todi

z;s

eun

argo

men

todi

z,l

oso

noan

che

tutt

i(e

solt

anto

)inu

mer

+2k

π,co

nk∈

Z.

L’in

siem

ede

gliar

gom

enti

diz

verr

ain

dica

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lsi

mbo

lo

arg(

z);

unqu

alun

que

elem

ento

diar

g(z)

sidi

raun

ade

term

inaz

ione

dell’

argo

men

todi

z.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a73

Inog

niin

terv

allo

sem

i-ap

erto

della

rett

are

ale,

dilu

nghe

zza

2π,

cioe

ogni

inte

rval

lode

lti

po[a

,a+

2π)

oppu

re(a

,a+

2π],

esis

teun

aed

una

sola

dete

rmin

azio

nede

ll’ar

gom

ento

diz.

Sesi

sceg

liel’i

nter

vallo

(−π,π

]si

otti

ene

l’arg

omen

topr

inci

pale

diz;

per

tale

dete

rmin

azio

neus

erem

oil

sim

bolo

Arg

(z).

Tut

tii

num

eri

real

ipo

siti

viha

nno

argo

men

topr

inci

pale

ugua

lea

0,tu

tti

inu

mer

ire

ali

nega

tivi

hann

oar

gom

ento

prin

cipa

leug

uale

aπ.

Da

z k=

|z k|(c

osθ k

+isi

nθ k

),k

=1,

2,se

gue

z 1z 2

=|z 1

||z2|[c

osθ 1

cosθ

2−

sin

θ 1si

nθ 2

+i(

sin

θ 1co

sθ2

+co

sθ1si

nθ 2

)]=

=|z 1

||z2|[c

os(θ

1+

θ 2)+

isi

n(θ 1

+θ 2

)].

(7)

Apa

role

:pe

rm

olti

plic

are

due

num

erico

mpl

essi

sim

olti

plic

ano

im

odul

i,si

som

man

ogl

iar

gom

enti

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a74

Sez 1

=z 2

=z

siha

z2

=|z|2 (

cos2

θ+

isi

n2θ

);pr

oced

endo

per

indu

zion

esi

otti

ene

lafo

rmul

adi

De

Moi

vre

(→P

CA

Mpa

r.2.

5,fo

rmul

a(1

7)):

zn

=|z|n

(cos

+isi

nnθ)

,∀n

∈N

.(8

)

Sez�=

0da

1 z=

z∗

zz∗

=|z|

|z|2

(cos

θ−

isi

nθ)

=|z|−

1[c

os(−

θ)+

isi

n(−

θ)],

segu

ela

valid

ita

della

(8)

per

ogni

n∈

Z.

A.D

eM

oiv

re

1667

-1754

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a75

La

stru

ttur

adi

spaz

iom

etri

codi

cuie

mun

ito

R2

con

ladi

stan

zaeu

clid

ea(↑

Ese

mpi

o1.

2-3)

sitr

aspo

rta

inm

odo

natu

rale

inC

.C

onisi

mbo

lich

egi

aco

nosc

iam

o,la

dist

anza

tra

z 1e

z 2e

d(z

1,z

2)

:=|z 1

−z 2|,

(10)

l’int

orno

circ

olar

e(=

palla

)di

cent

roz 0

era

ggio

r>

0e

Br(z

0)

:={ z

∈C

∣ ∣ |z−z 0|<

r} .

Ric

ordi

amo

che,

dato

unin

siem

eA

⊂C

,un

punt

oz

sidi

cein

tern

oad

Ase

esis

teun

into

rno

diz

cont

enut

oin

A,s

idic

ees

tern

ose

ein

tern

oal

com

plem

enta

reA

c=

C\A

,sid

ice

punt

odi

fron

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ase

non

ene

inte

rno

nees

tern

o.In

sim

boli:

ze

punt

oin

tern

oad

A⇐⇒

∃r>

0:

Br(z

)⊆

A,

ze

punt

oes

tern

oad

A⇐⇒

∃r>

0:

Br(z

)⊆

Ac,

ze

punt

odi

fron

tier

adi

A⇐⇒

∀r>

0:

( Br(z

)∩

A�=

∅) ∧( B

r(z

)∩

Ac�=

∅) .

Ric

ordi

amo

che

unin

siem

eA

sidi

ceap

erto

seog

nisu

opu

nto

epu

nto

inte

rno

all’i

nsie

me

stes

so,si

dice

chiu

sose

ilsu

oco

mpl

emen

tare

eap

erto

.R

icor

diam

oan

cora

che

zsi

dice

punt

odi

accu

mul

azio

nedi

Ase

,∀r

>0,

l’int

erse

zion

eB

r(z

)∩

Aco

ntie

nein

finit

iel

emen

ti.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a76

4.2.

Fu

nzi

on

idiu

na

vari

abile

com

ple

ssa

Sia

f:A

→C

,do

veA

eun

aper

toco

nnes

sodi

C.

L’a

pert

oA

eco

nnes

sose

,pe

rog

nico

ppia

dipu

ntiz

1,z

2∈

A,es

iste

una

polig

onal

ech

eli

cong

iung

e,in

tera

men

teco

nten

uta

inA

stes

so.

Sidi

cech

ela

funz

ione

fte

nde

(oco

nver

ge)

∈C

per

zch

ete

nde

az 0

(pun

todi

accu

mul

azio

nedi

A),

sepe

rog

niε

>0

esis

teδ

>0

(dip

ende

nte

daε)

,ta

le

(z∈

A)∧

(0<

|z−

z 0|<

δ)=⇒

|f(z

)−

λ|<

ε.

Inpa

rtic

olar

e,la

funz

ione

fsi

dice

cont

inua

inz 0

∈A

sepe

rog

niε

>0

esis

teδ

>0

(dip

ende

nte

daε)

,ta

le

(z∈

A)∧

(|z−

z 0|<

δ)=⇒

|f(z

)−

f(z

0)|

<ε.

Apa

role

:fis

sato

adar

bitr

ioun

into

rno

( f(z

0)) (i

ntor

no“b

ersa

glio

”),es

iste

unin

torn

oB

δ(z

0)(i

ntor

no“c

ontr

ollo

”)la

cuii

mm

agin

etr

amit

ef

eco

nten

uta

nell’

into

rno

prec

eden

tem

ente

fissa

to.

Sef

eco

ntin

uain

tutt

iipu

ntid

elpr

opri

odo

min

ioA

,sid

ira

brev

emen

tech

ees

saeco

ntin

uain

A.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a77

Sia

z=

x+

iy,w

=f(z

)=

u+

iv,du

nque

f(z

)=

u(x

,y)+

iv(x

,y);

dalle

dise

guag

lianz

e

|u(x

,y)−

u(x

0,y

0)|

|v(x

,y)−

v(x

0,y

0)|

} ≤|f

(z)−

f(z

0)|≤

≤|u

(x,y

)−

u(x

0,y

0)|

+|v

(x,y

)−

v(x

0,y

0)|,

dove

s’in

tend

ech

esi

az 0

=x

0+

y 0,

segu

esu

bito

che

laco

ntin

uita

dif

inz 0

equi

vale

alla

cont

inui

tain

(x0,y

0)

delle

due

funz

ioni

(rea

lidi

due

vari

abili

real

i)u

=R

e(f

),v

=Im

(f).

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a78

Sia

f:A

→C

una

funz

ione

non

inie

ttiv

a;di

rem

och

eA

0⊂

Ae

una

regi

one

fond

amen

tale

per

fse

:

i)la

rest

rizi

one

dif

adA

0e

inie

ttiv

a;ii

)l’i

mm

agin

ede

llast

essa

rest

rizi

one,

cioe

f(A

0),

coin

cide

con

f(A

).

Inal

trit

erm

ini:

A0

eun

are

gion

efo

ndam

enta

lepe

rf

see

unin

siem

eab

bast

anza

“pic

colo

”affi

nche

lare

stri

zion

ead

esso

dif

sia

inie

ttiv

a,m

aal

tem

post

esso

sia

abba

stan

za“g

rand

e”pe

rche

fas

sum

asu

dies

so(u

naso

lavo

lta)

tutt

iiva

lori

assu

ntisu

A.

Ric

ordi

amo

che

una

funz

ione

ein

iett

iva

(=un

oa

uno)

setr

asfo

rma

elem

enti

dist

inti

del

dom

inio

inel

emen

tidi

stin

tide

ll’im

mag

ine.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a79

4.3.

Fu

nzi

on

iolo

mo

rfe

Pro

pos

izio

ne

4.3-

1.La

funz

ione

f:A

→C

,co

nA

aper

to⊆

C,e

diffe

renz

iabi

lein

z∈

Ase

eso

lose

essa

eiv

ide

riva

bile

;in

talca

soil

diffe

renz

iale

sisc

rive

df:∆

z�→

f′ (

z)·∆

z.

Pro

pos

izio

ne

4.3-

2.Si

afu

nzio

nef

:A

→C

,co

nA

aper

to⊆

C,

diffe

renz

iabi

lein

zco

me

funz

ione

(com

ples

sa)

delle

due

vari

abili

real

ixe

y;a

llora

fe

diffe

renz

iabi

lein

zco

me

funz

ione

diun

ava

riab

ileco

mpl

essa

see

solo

seiv

iri

sult

a∂f

∂x

=1 i

∂f

∂y

.(3

)

Sela

(3)

eso

ddis

fatt

a,si

ha

f′ (

z)

=∂f

∂x

=1 i

∂f

∂y

.

Sesi

pone

f(x

+iy

)=

u(x

,y)+

iv(x

,y),

allo

rala

(3)

equi

vale

alla

copp

iadi

ugua

glia

nze

∂u

∂x

=∂v

∂y,

∂u

∂y

=−

∂v

∂x

,

note

com

eco

ndiz

ioni

diC

auch

y-Rie

man

n.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a80

Pro

pos

izio

ne

4.3-

3.Si

ano

z�=

0e

adu

enu

mer

ico

mpl

essi

.A

llora

:1)

sea

ein

tero

,a

=m

∈Z

,z

a=

zm

assu

me

unso

lova

lore

;2)

sea

era

zion

ale

/∈Z

,a

=m

/n,co

nn≥

2,m

edn

prim

itr

alo

ro,z

aas

sum

en

valo

ri,e

prec

isam

ente

lera

dici

n-e

sim

edi

zm

;3)

sea

eir

razi

onal

e,z

aas

sum

eun

’infin

ita

num

erab

iledi

valo

ri,c

hedi

fferi

scon

oa

due

adu

epe

run

fatt

ore

delti

poex

p(2k

πai)

,k∈

Z.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a81

4.4.

Ser

ied

ipo

ten

ze

Lem

ma

diA

bel

.Se

lase

rie

∑ n≥

0a

nz

nco

nver

gein

unpu

nto

z�=

0,al

lora

essa

conv

erge

asso

luta

men

tein

ogni

zco

n|z|<

|z|.

N.H

.A

bel

1802

-1829

Segu

eda

lLem

ma

diA

bel

che

adog

nise

rie

dipo

tenz

ere

sta

asso

ciat

aun

aqu

anti

tano

nne

gati

vaR

(eve

ntua

men

teR

=+∞

)de

tta

ragg

iodi

conv

erge

nza

della

seri

est

essa

,ta

lech

e:

1)se

R=

0,la

seri

eco

nver

geso

ltan

tope

rz

=0;

2)se

0<

R<

+∞

,la

seri

eco

nver

ge(a

ssol

utam

ente

)pe

r|z|<

R,no

nco

nver

gepe

r|z|>

R;

3)se

R=

+∞

,la

seri

eco

nver

ge(a

ssol

utam

ente

)pe

rog

niz∈

C.

SeR

>0,

l’int

orno

circ

olar

e(p

alla

)B

R(0

)vi

ene

dett

oce

rchi

odi

conv

erge

nza

della

seri

eda

ta;s’

inte

nde

che

esso

coin

cida

con

Cse

R=

+∞

.Se

R>

0,pe

rog

nir

<R

laco

nver

genz

ade

llase

rie

ines

ame

eto

tale

neldi

sco

com

patt

o|z|≤

r.C

iosi

gnifi

ca(↑

Defi

nizi

one

3.3-

1)ch

eco

nver

gela

seri

e∑ n≥

0

sup

|z|≤

r

|anz

n|=

∑ n≥

0

|an|r

n.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a82

Teo

rem

adi

Cau

chy-

Had

amar

d(p

eril

calc

olo

delra

ggio

dico

nver

genz

a):

Pro

pos

izio

ne

4.4-

1.Pos

toλ

:=lim

sup n

→∞

n√ |an|,

siha

R=

{ 0,se

λ=

+∞

1/λ,

se0

<+∞

+∞

,se

λ=

0.

J.H

adam

ard

1865

-1963

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a83

Pro

pos

izio

ne

4.4-

2.Si

a∑ n

≥0a

nz

nun

ase

rie

dipo

tenz

eco

nra

ggio

dico

nver

genz

aR

>0;

post

o

s(z)

:=∑ n≥

0

anz

n,

|z|<

R,

(2)

lase

rie

delle

deri

vate

∑ n≥

1

na

nz

n−

1,

haan

cora

ragg

iodi

conv

erge

nza

Re

siha

s′(z

)=

∑ n≥

1na

nz

n−

1.

Cor

olla

rio.

Ses(

z)

=∑ n

≥0a

nz

n,pe

r|z|<

R,a

llora

se

una

funz

ione

dicl

asse

C(∞

)(c

ioe

infin

itam

ente

deri

vabi

le)

nelce

rchi

o|z|<

R,e

per

ogni

k>

0si

ha

s(k)(z

)=

∑ n≥

0

(n+

1)(n

+2)

...(

n+

k)a

n+

kz

n,

(4)

dacu

i,∀k

∈N

,

ak

=s(

k)(0

)k!

.(5

)

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a84

4.5.

Inte

gra

zio

ne

inca

mp

oco

mp

less

o

Defi

niz

ione

4.5-

1.Si

af

:A→

Cun

afu

nzio

neco

ntin

ua,γ

:[a,b

]→C

una

curv

are

gola

rea

trat

tila

cuit

racc

iae

cont

enut

ain

A:

γ( [a

,b]) ⊂

A.

Defi

nire

mo

l’int

egra

ledi

fsu

γpo

nend

o∫ γ

f=

∫ γ

f(z

)dz

:=∫ b a

f( γ

(t)) γ

′ (t)

dt.

(1)

Pro

pos

izio

ne

4.5-

1.Si

af n

:A

→C

,un

asu

cces

sion

edi

funz

ioni

cont

inue

sull’

aper

toA

una

curv

are

gola

rea

trat

tila

cuitr

acci

ae

cont

enut

ain

A;se

lasu

cces

sion

e(f

n)

conv

erge

unifo

rmem

ente

adf

suγ,al

lora

∫ γ

f(z

)dz

=∫ γ

lim n→

∞f n

(z)d

z=

lim n→

∫ γ

f n(z

)dz.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a85

Defi

niz

ione

4.5-

2.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

cont

inua

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

;di

rem

och

eun

afu

nzio

neF

:A→

Ce

una

prim

itiv

adi

fse

∀z∈

A,

F′ (

z)

=f(z

).

Pro

pos

izio

ne

4.5-

2.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

cont

inua

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

,F

:A→

Cun

apr

imit

iva

dif,γ

:[a,b

]→A

unca

mm

ino

rego

lare

atr

atti

;al

lora

∫ γ

f(z

)dz

=F

( γ(b

)) −F

( γ(a

)) .(6

)

Pro

pos

izio

ne

4.5-

3.Si

af

una

funz

ione

cont

inua

sull’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

.So

noeq

uiva

lent

ile

prop

osiz

ioni

:1)

fam

met

tepr

imit

iva

inA

;2)

l’int

egra

ledi

fsu

ogni

cam

min

rego

lare

atr

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,con

trac

cia

cont

enut

ain

A,d

ipen

deso

ltan

toda

glies

trem

idi

γ;

3)l’i

nteg

rale

dif

enu

llosu

ogni

curv

aγ,ch

iusa

ere

gola

rea

trat

ti,co

ntr

acci

aco

nten

uta

inA

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a86

Teo

rem

adiJo

rdan

.Se

γ:[

a,b

]→C

eun

acu

rva

cont

inua

,se

mpl

ice

ech

iusa

,il

com

ple-

men

tare

della

sua

trac

cia,

C\γ

([a,b

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l’uni

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didu

eap

erti

conn

essi

edi

sgiu

nti.

Con

venzi

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sull’o

rien

tam

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dei

circ

uit

i.D

’ora

inpo

isu

ppor

rem

oco

stan

tem

ente

che

ogni

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uito

γsi

aor

ient

ato

posi

tiva

men

teri

spet

toal

l’ape

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Din

tern

oad

esso

.

Inqu

esta

sint

esiut

ilizz

erem

oil

sim

bolo

∮ γ

f(z

)dz

per

indi

care

l’int

egra

ledi

fsu

lci

rcui

toγ.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a87

Teo

rem

adi

Cau

chy

(pri

ma

vers

ione

):

Pro

pos

izio

ne

4.5-

4.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

olom

orfa

nell’

aper

toco

nnes

soA

.Per

ogni

circ

uito

rego

lare

atr

atti

γco

nten

uto

inA

assi

eme

alpr

opri

oin

tern

oD

,si

ha∮ γ

f(z

)dz

=0.

Teo

rem

adi

Cau

chy

(sec

onda

vers

ione

):

Pro

pos

izio

ne

4.5-

5.Si

af

:A→

Cun

afu

nzio

neol

omor

fane

ll’ap

erto

conn

esso

A,γ1

eγ2

due

circ

uiti

rego

lari

atr

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cont

enut

iin

A,c

onγ2

inte

rno

aγ1.

Sian

opo

iD1

eD

2gl

iape

rti

inte

rnia

γ1

eγ2

risp

etti

vam

ente

;se

D1\D

2⊂

A,al

lora

∮ γ1

f(z

)dz

=∮ γ

2

f(z

)dz.

(8)

Form

ula

inte

gral

edi

Cau

chy:

Pro

pos

izio

ne

4.5-

6.Si

af

:A→

Cun

afu

nzio

neol

omor

fane

ll’ap

erto

conn

esso

Ae

sia

γun

circ

uito

cont

enut

oin

Aas

siem

eal

prop

rio

inte

rno

D;pe

rog

niz 0

∈D

siha

f(z

0)

=1 2πi∮ γ

f(z

)z−

z 0dz.

(9)

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a88

Defi

niz

ione

4.5-

3.Si

af

:A→

Cun

afu

nzio

nede

finit

ane

ll’ap

erto

conn

esso

A⊆

C;d

irem

och

ees

sae

anal

itic

ain

Ase

,pe

rog

niz 0

∈A

,es

sae

svilu

ppab

ilein

seri

edi

Tay

lor

inog

niin

torn

oB

r(z

0)⊆

A:

f(z

)=

∑ n≥

0

c n(z

−z 0

)n,

dove

c n=

f(n

)(z

0)/

n!.

Ana

litic

ita

delle

funz

ioni

olom

orfe

:

Pro

pos

izio

ne

4.5-

7.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

olom

orfa

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

,z 0

unpu

nto

qual

sivo

glia

diA

;po

sto

r:=

dist

anza

(z0,∂

A)

(con

l’int

esa

che

sia

r=

∞se

A=

C,du

nque

∂A

=∅)

,ne

ll’in

torn

o|z

−z 0|<

rsi

ha

f(z

)=

∑ n≥

0

c n(z

−z 0

)n,

(11)

dove

c n=

f(n

)(z

0)

n!

=1 2πi∮ γ

f(s

)(s

−z 0

)n+

1ds,

(12)

γes

send

oun

aci

rcon

fere

nza

dice

ntro

z 0e

ragg

iom

inor

edi

r.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a89

Teo

rem

adi

Mor

era:

Pro

pos

izio

ne

4.5-

8.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

cont

inua

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

;se

per

ogni

polig

onal

ese

mpl

ice

ech

iusa

γco

nten

uta

inA

siha

∮ γf(z

)dz

=0,

allo

raf

ean

alit

ica

inA

.

Pro

pos

izio

ne

4.5-

8’.

Sia

f:A

→C

una

funz

ione

cont

inua

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

;se

per

ogni

tern

adi

punt

iz 1

,z2,z

3co

nten

uta

inA

assi

eme

altr

iang

olo

T=

T(z

1,z

2,z

3)

siha

∮ ∂T

f(z

)dz

=0,

allo

raf

ean

alit

ica

inA

.

Teo

rem

adi

Gou

rsat

:

Pro

pos

izio

ne

4.5-

9.Se

f:A

→C

eun

afu

nzio

nede

riva

bile

intu

tti

ipu

nti

dell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

,es

sae

anal

itic

ain

A.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a90

4.6.

Pro

pri

eta

del

lefu

nzi

on

ian

alit

ich

e

Pro

pos

izio

ne

4.6-

1.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

anal

itic

ane

ll’ap

erto

conn

esso

A⊆

C;

sono

equi

vale

ntile

prop

osiz

ioni

:1)

∃a∈

A,∀n

∈N

,f

(n)(a

)=

0;2)

fe

nulla

inun

into

rno

dia;

3)f

enu

llain

A.

Pro

pos

izio

ne

4.6-

2.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

(non

iden

tica

men

tenu

lla)

anal

itic

ane

ll’ap

erto

conn

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A⊆

C;

l’ins

iem

ede

glize

ridi

f(s

eno

ne

vuot

o)e

cost

itui

toda

punt

iis

olat

ied

epr

ivo

dipu

ntidi

accu

mul

azio

neap

part

enen

tiad

A.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a91

Teo

rem

adi

Lio

uville

:

Pro

pos

izio

ne

4.6-

3.Se

fe

una

funz

ione

inte

ra,c

ioe

anal

itic

asu

C,e

de

limit

ata

inva

lore

asso

luto

,|f

(z)|≤

M,al

lora

essa

eco

stan

te.

J.Lio

uville

1809

-1882

Teo

rem

adi

fond

amen

tale

dell’

alge

bra:

Pro

pos

izio

ne

4.6-

4.O

gnip

olin

omio

aco

effici

enti

com

ples

si,n

onco

stan

te,a

mm

ette

alm

eno

uno

zero

.

Una

cond

izio

nesu

ffici

ente

per

l’ana

litic

ita

della

funz

ione

limit

edi

una

succ

essi

one

difu

nzio

nian

alit

iche

:

Pro

pos

izio

ne

4.6-

5.Si

af n

:A

→C

una

succ

essi

one

difu

nzio

nian

alit

iche

nell’

aper

toco

nnes

soA

⊆C

;se

f nco

nver

geun

iform

emen

tesu

ogni

insi

eme

com

patt

oco

nten

uto

inA

,po

sto

f(z

):=

limn→

∞f n

(z),

siha

che

fe

anal

itic

ain

Ae,

per

ogni

k∈

Ne

per

ogni

z∈

A,

limn→

∞f

(k)

n(z

)=

f(k

)(z

).

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a92

4.7.

Pu

nti

sin

go

lari

.S

erie

bila

tere

Defi

niz

ione

4.7-

1.Il

punt

oz 0

sidi

cepu

nto

sing

olar

eis

olat

o(=

sing

olar

ita

isol

ata)

per

lafu

nzio

nean

alit

ica

f:A

→C

,se

z 0/∈

A,m

aes

iste

unin

torn

ofo

rato

B∗ r(z

0)⊆

A.

Defi

niz

ione

4.7-

2.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

anal

itic

a,e

z 0un

suo

punt

osi

ngol

are

isol

ato;

dire

mo

che

esso

eel

imin

abile

sees

iste

unpr

olun

gam

ento

anal

itic

odi

fin

unin

torn

odi

z 0.

Defi

niz

ione

4.7-

3.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

anal

itic

a,e

z 0un

suo

punt

osi

ngol

are

isol

ato;

dire

mo

che

esso

eun

polo

dior

dine

n∈

N∗ ,

sela

funz

ione

(z−

z 0)n

f(z

)te

nde

allim

ite

λ�=

0pe

rz→

z 0.

Un

punt

osi

ngol

are

isol

ato

ceno

nsi

ane

elim

inab

ile,n

eun

polo

sidi

cepu

nto

sing

olar

ees

senz

iale

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a93

Defi

niz

ione

4.7-

4.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

anal

itic

a,e

z 0un

suo

punt

osi

ngol

are

isol

ato;

sich

iam

are

sidu

odi

fne

lpu

nto

z 0il

num

ero

res(

f,z

0)

:=1 2πi∮ γ

f(z

)dz,

(2)

dove

γe

unci

rcui

toco

nten

ente

z 0e

non

(eve

ntua

li)al

tripu

ntisi

ngol

aridi

f.

Pro

pos

izio

ne

4.7-

1.Si

af

:A→

Cun

afu

nzio

nean

alit

ica,

ez 0

unpo

lodi

ordi

nen;a

llora

res(

f,z

0)

=1

(n−

1)!

lim z→

z0

dn−

1

dz

n−

1

( (z−

z 0)n

f(z

)) .(3

)

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a94

Teo

rem

adi

Laur

ent:

Pro

pos

izio

ne

4.7-

2.Si

af

:A→

Can

alit

ica

nella

coro

na

A:=

{ z∈

C∣ ∣ 0≤

R1

<|z

−z 0|<

R2≤

∞} ;

per

ogni

z∈

Asi

ha

f(z

)=

∑−∞

<n

<∞

c n(z

−z 0

)n,

(6)

dove

ico

effici

enti

c n,pe

rog

nin∈

Z,so

noda

tida

llafo

rmul

a

c n=

1 2πi∮ γ

f(z

)(z

−z 0

)n+

1dz,

(7)

dove

γe

una

qual

unqu

eci

rcon

fere

nza

dice

ntro

z 0e

ragg

ior

con

R1

<r

<R

2.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a95

Pro

pos

izio

ne

4.7-

3.Si

af

:A

→C

una

funz

ione

anal

itic

a,z 0

unsu

opu

nto

sing

olar

eis

olat

o,f(z

)=

∑ n∈

Zc n

(z−

z 0)n

ilsu

osv

ilupp

odi

Lau

rent

inun

into

rno

fora

todi

z 0.

Allo

ra:

1)z 0

eel

imin

abile

see

solo

sela

part

eca

ratt

eris

tica

enu

lla:∀n

<0,

c n=

0;

2)z 0

eun

polo

dior

dine

nse

eso

lose

(c−

n�=

0)∧

(∀k

>n,c −

k=

0);

3)z 0

eun

punt

osi

ngol

are

esse

nzia

lese

eso

lose

,pe

rin

finit

in∈

N∗ ,

siha

c −n�=

0.

Pro

pos

izio

ne

4.7-

4.Si

af

=p/q

,un

afu

nzio

nera

zion

ale

frat

tapr

opri

a,ci

oesi

an

=gr

ado

(p)

<m

=gr

ado

(q);

allo

raes

saco

inci

deco

nla

som

ma

delle

part

icar

atte

rist

iche

degl

isv

ilupp

idi

Lau

rent

rela

tivi

agli

zeri

delpo

linom

ioq

ade

nom

inat

ore:

f(z

)=

∑ r j=

j(z

).

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a96

4.8.

Ilte

ore

ma

dei

resi

du

i

Pro

pos

izio

ne

4.8-

1.Si

af

:A

→C

anal

itic

ane

ll’ap

erto

conn

esso

A⊂

C,

γun

circ

uito

cont

enut

oin

A.

Sez 1

,z2,.

..,z

rso

noipu

ntisi

ngol

ariis

olat

idi

fap

part

enen

tial

l’ape

rto

Din

tern

oa

γe

D\{

z 1,z

2,.

..,z

r}⊂

A,al

lora

∮ γ

f(z

)dz

=2π

i

r ∑ k=

1

res(

f,z

k).

(1)

Cor

olla

rio.

Nel

leip

otes

ide

llaP

ropo

sizi

one

prec

eden

te,co

nle

cond

izio

niag

giun

tive

che

fno

ns’

annu

llasu

γe

poss

iede

solt

anto

poli

inD

,allo

ra,d

etti

z 1,z

1,.

..,z

pgl

izer

idif

inD

eζ 1

,ζ 2

,..

.,ζ q

ipo

lidi

fin

D,si

ha

1 2πi∮ f

′ (z)

f(z

)dz

=(m

1+

m2

+..

.+m

p)−

(n1

+n

2+

...+

nq),

dove

mj

el’o

rdin

ede

lloze

roz j

en

je

l’ord

ine

delpo

loζ j

.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a97

Lem

ma

4.8-

1(d

elgr

ande

cerc

hio

).Si

af

una

funz

ione

defin

ita

eco

ntin

uane

lse

ttor

eθ 1

≤ar

g(z)≤

θ 2,al

men

ope

r|z|a

bbas

tanz

agr

ande

.Se

limz→

∞z

f(z

)=

0,al

lora

limR→

∫ γR

f(z

)dz

=0,

dove

γR

el’i

nter

sezi

one

della

circ

onfe

renz

adi

cent

rol’o

rigi

nee

ragg

ioR

con

ilse

ttor

ean

gola

reco

nsid

erat

o.

Lem

ma

4.8-

2(d

elpic

colo

cerc

hio

).Si

af

una

funz

ione

defin

ita

eco

ntin

uane

lse

ttor

eθ 1

≤ar

g(z)≤

θ 2,al

men

ope

r|z|a

bbas

tanz

api

ccol

o.Se

limz→

0z

f(z

)=

0al

lora

lim r→

0

∫ γr

f(z

)dz

=0,

dove

γr

el’i

nter

sezi

one

della

circ

onfe

renz

adi

cent

rol’o

rigi

nee

ragg

ior

con

ilse

ttor

ean

gola

reco

nsid

erat

o.

Capit

olo

4.

funzio

nidiuna

varia

bil

ecompless

a98

Lem

ma

4.8-

3(d

iC

.Jo

rdan

).Si

af

una

funz

ione

defin

ita

eco

ntin

uain

unse

ttor

eS

del

sem

ipia

noIm

(z)≥

0:

S:=

{z∈

C|0

≤θ 1

≤ar

g≤

θ 2≤

π}.

Selim

z→

∞f(z

)=

0al

lora

limR→

∫ γR

f(z

)eiz

dz

=0,

dove

γR

el’i

nter

sezi

one

della

circ

onfe

renz

adi

cent

rol’o

rigi

nee

ragg

ioR

con

ilse

ttor

ean

gola

reco

nsid

erat

o.

C.Jord

an

1838

-1922

Lem

ma

4.8-

4.Si

af

anal

itic

ain

unin

torn

ofo

rato

dell’

orig

ine

edab

bia

inta

lepu

nto

unpo

lose

mpl

ice;

allo

ra

lim r→

0

∫ γr

f(z

)dz

=iπ

res(

f,0

),

dove

γr

ela

sem

icir

conf

eren

zadi

equa

zion

ez

=re

it,0≤

t≤

π.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

99

5.La

trasf

orm

ata

diLa

plac

e5.

1.In

tro

du

zio

ne

alla

tras

form

ata

diL

apla

ce

P.S

.Lapla

ce

1749

-1827

Defi

niz

ione

5.1-

1.D

irem

och

ef

etr

asfo

rmab

ilese

cond

oLap

lace

(bre

vem

ente

:L

-tra

sfor

-m

abile

)se

esis

teun

s∈

Cta

lech

ela

funz

ione

t�→

e−stf(t

)si

aso

mm

abile

suR

+;i

nta

lcas

och

iam

erem

oin

tegr

ale

diLa

plac

edi

fl’i

nteg

rale

∫ +∞ 0

e−stf(t

)dt.

(1)

Defi

niz

ione

5.1-

2.Si

af

:I

→C

(dov

eR

+⊆

I)

una

funz

ione

tras

form

abile

seco

ndo

Lap

lace

;po

sto

σ[f

]:=

inf

{ Re(

s)∣ ∣ e−s

tf(t

)∈

L1(R

+)} ,

per

ogni

sco

nR

e(s)

>σ[f

]ch

iam

erem

otras

form

ata

diLa

plac

edi

fla

funz

ione

F(s

):=

∫ +∞ 0

e−stf(t

)dt.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

100

Pro

pos

izio

ne

5.1-

1.Se

f 1e

f 2so

nofu

nzio

niLap

lace

-tra

sfor

mab

ilico

nas

ciss

edi

con-

verg

enza

σ[f

1]

eσ[f

2]

risp

etti

vam

ente

,pe

rog

nico

ppia

dico

stan

tic 1

,c2

lafu

nzio

net�→

c 1f 1

(t)+

c 2f 2

(t)

eLap

lace

-tra

sfor

mab

ilene

lsem

ipia

noR

e(s)

>m

ax{σ

[f1],

σ[f

2]}

epe

rgl

isdi

tale

insi

eme

siha

L[c 1

f 1+

c 2f 2

](s)

=c 1L[

f 1](

s)+

c 2L[

f 2](

s).

Con

venzi

one

sui

sim

bol

i.Si

af

:I→

Cun

afu

nzio

nede

finit

asu

unin

terv

allo

I,

con

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I;in

dich

erem

oco

lsi

mbo

lof +

lafu

nzio

ne

f +(t

):=

{ f(t

),pe

rt≥

00,

altr

imen

ti.

(1)

Defi

niz

ione

5.1-

3.U

nafu

nzio

nef

:R→

Cnu

llape

rva

lori

nega

tivi

delsu

oar

gom

ento

etr

asfo

rmab

ilese

cond

oLap

lace

,vi

ene

dett

aun

segn

ale.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

101

Pro

pos

izio

ne

5.1-

2.Si

af

una

funz

ione

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ileco

nas

ciss

adi

conv

erge

nza

σ[f

];al

lora

per

ogni

σ0

>σ[f

],la

funz

ione

F(s

)=

L[f](

s)e

limit

ata

nelse

mip

iano

chiu

soR

e(s)

≥σ

0e

limR

e(s

)→+∞

F(s

)=

0.

Pro

pos

izio

ne

5.1-

3.Si

af

una

funz

ione

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ileco

nas

ciss

adi

conv

erge

nza

σ[f

];al

lora

lafu

nzio

neF

(s)

=L[

f](

s)e

olom

orfa

nelse

mip

iano

Re(

s)>

σ[f

].La

funz

ione

t�→

tf(t

)e

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ile,an

cora

con

asci

ssa

dico

nver

genz

aσ[f

],e

siha

d ds

∫ ∞ 0

e−stf(t

)dt=

∫ ∞ 0

e−st( −

tf(t

)) dt,

cioe

F′ (

s)=

d dsL[

f](

s)=

L[−

tf(t

)](s

).(2

)

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

102

Lem

ma

1.La

funz

ione

iden

tita

t�→

te

dior

dine

espo

nenz

iale

δpe

rog

niδ

>0,

cioe

esis

teun

aco

stan

tepo

siti

vaC

δta

lech

e

t≤

Cδeδ

t⇐⇒

te−

δt≤

Cδ,∀t

≥0.

Lem

ma

2.Per

ogni

z�=

0si

ha∣ ∣ ∣ez

−1

z

∣ ∣ ∣≤e|z| .

(3)

Cor

olla

rio.

Sef

eun

afu

nzio

neLap

lace

-tra

sfor

mab

ileco

nas

ciss

adi

conv

erge

nza

σ[f

],al

lora

per

latr

asfo

rmat

aF

(s)

=L[

f(t

)](s

)si

ha

F(n

)(s

)=

L[(−

t)nf(t

)](s

)=

(−1)

nL[

tnf(t

)](s

)(2

′ )

per

ogni

natu

rale

n≥

1e

per

ogni

sco

nR

e(s)

>σ[f

].

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

103

5.2.

Pro

pri

eta

del

latr

asfo

rmat

ad

iLap

lace

Pro

pos

izio

ne

5.2-

1.Si

af

una

funz

ione

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ile,n

ulla

per

t<

0,co

nas

ciss

adi

conv

erge

nza

σ[f

];al

lora

siha

i)L[

f(c

t)](

s)=

1 cL[

f(t

)]( s c

) ,∀c

>0,

Re(

s)>

cσ[f

];

ii)L[

f(t−

t 0)]

(s)

=e−

t 0sL[

f(t

)](s

),∀t

0>

0,R

e(s)

>σ[f

];

iii)

L[ea

tf(t

)](s

)=

L[f(t

)](s

−a),

∀a∈

C,

Re(

s)>

σ[f

]+R

e(a).

Pro

pos

izio

ne

5.2-

2.Si

af

unse

gnal

epe

riod

ico

per

t≥

0,co

n(m

inim

o)pe

riod

oT

:f(t

+T

)=

f(t

),∀t

≥0;

sef

eso

mm

abile

sull’

inte

rval

lo[0

,T],

allo

rape

rR

e(s)

>0

siha

L[f(t

)](s

)=

11−

e−T

s

∫ T 0

e−stf(t

)dt.

(1)

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

104

Pro

pos

izio

ne

5.2-

3.Si

af

unse

gnal

eco

ntin

uope

rt≥

0,de

riva

bile

con

deri

vata

prim

aco

ntin

uaa

trat

tie

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ile.

Allo

rape

rog

nis

con

Re(

s)>

max

{σ[f

],σ[f

′ ]}si

ha

L[f′ ](

s)=

sF(s

)−

f(0

),(2

)

dove

Fe

latr

asfo

rmat

adi

f.

Cor

olla

rio.

Sees

iste

finit

oil

limit

edi

fpe

rt→

+∞

,es

iste

edha

lost

esso

valo

reil

limit

edi

sF(s

)pe

rs→

0.

Pro

pos

izio

ne

5.2-

4.Se

fe

gso

nodu

ese

gnal

iLap

lace

-tra

sfor

mab

ilico

nas

ciss

edi

con-

verg

enza

σ[f

]e

σ[g

]ri

spet

tiva

men

te,

allo

raf∗

ge

Lap

lace

-tra

sfor

mab

ilene

lse

mip

iano

Re(

s)>

max

{σ[f

],σ[g

]},e

siha

L[f∗g

](s)

=F

(s)G

(s),

dove

Fe

Gso

nole

tras

form

ate

dif

eg

risp

etti

vam

ente

.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

105

Tab

ella

5.2-

1.Proprie

ta

della

trasf

ormata

diLaplace

L[c 1

f 1+

c 2f 2

](s)

=c 1L[

f 1](

s)+

c 2L[

f 2](

s)R

e(s)

>m

ax{σ

[f1],

σ[f

2]}

L[f(c

t)](

s)=

1 cL[

f(t

)]( s c

)∀c

>0,

Re(

s)>

cσ[f

]

L[f(t−

t 0)]

(s)

=e−

t 0sL[

f(t

)](s

)∀t

0>

0,R

e(s)

>σ[f

]

L[ea

tf(t

)](s

)=

L[f(t

)](s

−a)

∀a∈

C,

Re(

s)>

σ[f

]+R

e(a)

d dsL[

f](

s)=

L[−

tf(t

)](s

)R

e(s)

>σ[f

]

L[f 1

∗f2](

s)=

L[f 1

](s)

·L[f

2](

s)R

e(s)

>m

ax{σ

[f1],

σ[f

2]}

L[f′ ](

s)=

sF(s

)−

f(0

)R

e(s)

>m

ax{σ

[f],

σ[f

′ ]}

L[H

∗f](

s)=

L[∫ t 0

f(τ

)dτ](

s)=

L[f(t

)](s

)s

Re(

s)>

max

{0,σ

[f]}

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

106

5.3.

Le

fun

zio

nib

eta

eg

amm

ad

iEu

lero

L.Eule

r

1709

-1783

La

funz

ione

gam

ma

diE

uler

oe

defin

ita,

per

ogni

num

ero

com

ples

soz

con

part

ere

ale

>0,

med

iant

ela

form

ula:

Γ(z

):=

∫ ∞ 0

e−ttz

−1dt,

x=

Re(

z)

>0.

(1′ )

Le

due

prop

riet

apr

inci

pali

della

funz

ione

gam

ma

sono

Γ(n

+1)

=n!,

(2)

Γ(z

+1)

=z

Γ(z

),R

e(z)

>0.

(3)

Pos

siam

out

ilizz

are

la(3

),sc

ritt

ane

llafo

rma

Γ(z

)=

Γ(z

+1)

z,

(3′ )

per

prol

unga

rela

Γne

lse

mip

iano

x<

0:si

puo

defin

ire

laΓ

intu

tti

ipu

nti

del

sem

ipia

nox

<0

ecce

ttua

tigl

iop

post

ide

inu

mer

ina

tura

li.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

107

Inde

finit

iva

ildo

min

iode

llafu

nzio

neΓ

eC

priv

ato

deip

unti

0,−

1,−

2,..

..

Sipu

odi

mos

trar

ech

ean

alit

ica

nelp

ropr

iodo

min

io;n

eipu

ntiz

=−

n,n∈

Nes

saam

met

tede

ipol

isem

plic

i.La

funz

ione

beta

diE

uler

oe

defin

ita,

per

α,β

>0,

dalla

form

ula

B(α

,β)

:=∫ 1 0

tα−

1(1

−t)

β−

1dt.

(4)

La

funz

ione

Be

sim

met

rica

risp

etto

alle

vari

abili

indi

pend

enti

:

B(α

,β)

=B

(β,α

).(5

)

Que

sto

risu

ltat

ose

gue

anch

eda

ll’id

enti

ta

B(α

,β)

=Γ(α

)Γ(β

)Γ(α

+β)

,(6

)

che

mos

tra

com

eil

calc

olo

della

funz

ione

Bsi

ari

cond

ucib

ileal

laΓ.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

108

5.4.

Inve

rsio

ne

del

latr

asfo

rmat

ad

iLap

lace

Defi

niz

ione

5.4-

1.U

nafu

nzio

nef

:R

→C

sidi

cedi

clas

seC

(1)

atr

atti

(bre

vem

ente

:re

gola

rea

trat

ti)

sein

ogni

inte

rval

lo[a

,b]⊂

Rta

nto

fqu

anto

f′

amm

etto

noal

piu

unnu

mer

ofin

ito

dipu

ntidi

disc

onti

nuita

dipr

ima

spec

ie.

Pro

pos

izio

ne

5.4-

1.Se

fe

unse

gnal

ere

gola

rea

trat

ti,co

ntr

asfo

rmat

aF

(s)

eas

ciss

adi

conv

erge

nza

σ[f

],pe

rog

niα

>σ[f

]si

ha

1 2πiv.

p.∫ α+

i∞

α−

i∞es

tF

(s)d

s=

1 2[f

(t−

)+

f(t

+)]

.(6

)

Pro

pos

izio

ne

5.4-

2.Si

as�→

F(s

)un

afu

nzio

nean

alit

ica

nels

emip

iano

σ=

=R

e(s)

0

eta

lech

esi

abbi

a

|F(s

)|=

O(1

/sk),

s→

∞(7

)

con

k>

1.A

llora

,pe

rog

niα

0,la

form

ula

f(t

):=

1 2πi

∫ α+i∞

α−

i∞es

tF

(s)d

s(8

)

defin

isce

unse

gnal

eco

ntin

uosu

R,in

dipe

nden

teda

α,av

ente

Fco

me

tras

form

ata.

Capit

olo

5.

la

trasf

ormata

dilaplace

109

5.5.

Eq

uaz

ion

idif

fere

nzi

alio

rdin

arie

Un

prob

lem

adi

valo

riin

izia

lipe

run

’equ

azio

nedi

ffere

nzia

lelin

eare

aco

effici

enti

cost

anti

,vie

nri

cond

otto

,m

edia

nte

laL

-tra

sfor

mat

a,in

unpr

oble

ma

alge

bric

o,ne

lse

nso

che

latr

asfo

rmat

ade

llaso

luzi

one,

sia

Y(s

),e

data

sott

ofo

rma

difu

nzio

nera

zion

ale

frat

tapr

opri

a

Y(s

)=

A(s

)P

(s),

dove

Pe

ilpo

linom

ioca

ratt

eris

tico

dell’

equa

zion

edi

ffere

nzia

lee

Adi

pend

eda

lleco

ndiz

ioni

iniz

iali.

Dec

ompo

sta

Yin

frat

tise

mpl

ici:

Y(s

)=

A(s

)B

(s)

=r ∑ k=

1

nk ∑ j

=1

a(k

)−

j

(s−

s k)j

.(3

)

laso

luzi

one

eda

tada

y(t

)=

r ∑ k=

1

nk ∑ j

=1

a(k

)−

j

(j−

1)!tj

−1

+es

kt.

(4)

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

0

6.La

trasf

orm

ata

diFo

urie

r6.

1.In

tro

du

zio

ne

alla

tras

form

ata

diF

ou

rier

Defi

niz

ione

6.1-

1.Si

af

∈L

1(R

);ch

iam

erem

otras

form

ata

diFo

urie

r(i

nbr

eve:

F-

tras

form

ata)

dif

lafu

nzio

ne

f(ω

):=

∫ ∞ −∞

e−iω

xf(x

)dx.

Defi

nizi

one

alte

rnat

iva

(in

term

inidi

freq

uenz

ail

luog

ode

llapu

lsaz

ione

):

Defi

niz

ione

6.1-

1’.

Sia

x∈

L1(R

);ch

iam

erem

otras

form

ata

diFo

urie

rdi

xla

funz

ione

X(f

):=

∫ ∞ −∞

e−i2

πf

tx(t

)dt.

(1′ )

Pro

pos

izio

ne

6.1-

1.Se

f∈

L1(R

),al

lora

fe

cont

inua

ein

finit

esim

aal

l’infi

nito

:

lim|ω

|→∞

f(ω

)=

0.

Pro

pos

izio

ne

6.1-

2.Se

f∈

L1(R

)e

real

ee

pari

,al

lora

fe

real

ee

pari

,se

f∈

L1(R

)e

real

ee

disp

ari,

allo

raf

epu

ram

ente

imm

agin

aria

edi

spar

i.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

1

Form

ula

d’in

vers

ione

:

Pro

pos

izio

ne

6.1-

3.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ilesu

R,

rego

lare

atr

atti

(cio

eC

(1)

atr

atti

),no

rmal

izza

tain

mod

oda

aver

si

f(x

)=

f(x

+)+

f(x

−)

2,

∀x.

Siha

f(x

)=

1 2πv.

p.∫ +∞ −

∞f(ω

)eiω

xdω

:=

=1 2π

limλ→

+∞

∫ λ −λ

( ∫ +∞

−∞

f(t

)e−

iωtdt) eiω

xdω.

Cor

olla

rio.

Sia

fun

afu

nzio

neso

mm

abile

suR

,di

clas

seC

(1)

atr

atti

,co

ntr

asfo

rmat

adi

Four

ier

f;al

lora

,po

sto

f(ω

)=

[f(ω

+)+

f(ω

−)]

/2,si

ha

F[f

](ω)

=2π

f(−

ω),

(4)

apa

tto

diin

tend

ere

l’int

egra

lech

ede

finis

cela

tras

form

ata

diFo

urie

rco

me

valo

repr

inci

pale

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

2

Tab

ella

6.2-

1.A

lcune

trasf

ormate

diFourie

r

f(x

)f(ω

)

1a2

+x

2

π ae−

a|ω

|a

>0

e−a|x|

2aa2

2a

>0

sign

(x)e

−a|x|

−2i

ω

a2

2a

>0

χ[−

a,a

](x)

2si

n(aω)

ωa

>0

sin(

ax)

πx

χ[−

a,a

](ω)

a>

0

e−ax2

√ π ae−

ω2/(4

a)

a>

0

(a−

|x|)+

4si

n2(a

ω/2

2a

>0

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

3

6.2.

Alc

un

ep

rop

riet

ad

ella

tras

form

ata

diF

ou

rier

Pro

pos

izio

ne

6.2-

1.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ilesu

Rco

ntr

asfo

rmat

af;

allo

ra,

per

ogni

c�=

0la

funz

ione

f(c

x)

haco

me

tras

form

ata

(1/|

c|)f(ω

/c).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

2.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ileco

ntr

asfo

rmat

af;al

lora

,pe

rog

nix

0

real

e,la

funz

ione

f(x

−x

0)

haco

me

tras

form

ata

e−ix

0ωf(ω

).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

3.Si

af

una

funz

ione

som

mab

ileco

ntr

asfo

rmat

af;al

lora

,pe

rog

niω

0

real

e,la

funz

ione

eiω

0x

f(x

)ha

com

etr

asfo

rmat

af(ω

−ω

0).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

4.Se

fe

una

funz

ione

cont

inua

eso

mm

abile

suR

,con

deri

vata

cont

inua

atr

atti

eso

mm

abile

,al

lora

f′ha

com

etr

asfo

rmat

aiω

f(ω

):

F[f

′ (x)]

(ω)

=iω

f(ω

).(1

)

Cor

olla

rio

1.Se

f,f

′ ,..

.,f

(n−

1)so

nofu

nzio

nico

ntin

uee

som

mab

ilisu

R,e

f(n

)e

cont

inua

atr

atti

eso

mm

abile

,al

lora

ques

t’ul

tim

afu

nzio

neha

com

etr

asfo

rmat

a(i

ω)n

f(ω

):

F[f

(n)(x

)](ω

)=

(iω)n

f(ω

).(1

′ )

Cor

olla

rio

2.N

elle

stes

seip

otes

ide

lC

orol

lari

opr

eced

ente

siha

f(ω

)=

o( 1 ωn

) ,|ω|→

∞.

Inpa

rtic

olar

e,pe

rn≥

2si

hach

ef

eso

mm

abile

suR

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

4

Pro

pos

izio

ne

6.2-

5.Se

f(x

)e

xf(x

)so

nofu

nzio

niso

mm

abili

suR

,al

lora

f′ (

ω)

ela

tras

form

ata

di(−

ix)f

(x):

f′ (

ω)

=F

[(−

ix)f

(x)]

(ω).

(2)

Info

rma

equi

vale

nte:

xf(x

)ha

com

etr

asfo

rmat

aif

′ (ω).

Cor

olla

rio.

Sela

funz

ione

xn

f(x

)e

som

mab

ilesu

R,al

lora

f(n

)(ω

)=

F[(−

ix)n

f(x

)](ω

).(2

′ )

Sepe

rog

nina

tura

len

lafu

nzio

nex

nf(x

)e

som

mab

ilesu

R,

allo

rala

sua

tras

form

ata

diFo

urie

re

dicl

asse

C(∞

).

Pro

pos

izio

ne

6.2-

6.Se

f 1e

f 2so

nofu

nzio

niso

mm

abili

suR

,la

loro

conv

oluz

ione

(f1∗

f 2)(

x)

:=∫ ∞ −

∞f 1

(ξ)f

2(x

−ξ)

haco

me

tras

form

ata

f 1(ω

)f2(ω

).

Defi

niz

ione

6.2-

1.La

funz

ione

f:R

→C

appa

rtie

neal

losp

azio

Sse

,pe

rog

nico

ppia

dinu

mer

ina

tura

lip

eq

esis

teun

aco

stan

teC

p,q

(dip

ende

nte

daf

oltr

ech

eda

pe

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lech

e

|xpf

(q)(x

)|≤

Cp,q

,∀x

∈R

.(6

)

Pro

pos

izio

ne

6.2-

7.La

tras

form

azio

nedi

Four

ier

f�→

fe

una

biie

zion

ede

llosp

azio

Ssu

sest

esso

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

5

6.3.

Tras

form

ata

diF

ou

rier

del

lefu

nzi

on

idiq

uad

rato

som

mab

ile

Lem

ma.

Per

ogni

copp

iaf 1

,f2

difu

nzio

nide

llosp

azio

Ssi

ha∫ ∞ −

∞f 1

(x)f

2(x

)dx

=1 2π

∫ ∞ −∞

f 1(ω

) f2(ω

)dω,

(1)

cioe

(f1|f

2)

=2π

(f1|f

2)

(1′ )

dove

ipr

odot

tisc

alar

is’

inte

ndon

oin

L2(R

).In

part

icol

are,

per

ogni

funz

ione

f∈S

siha

‖f‖2 2

=2π

‖f‖2 2

.(2

)

Pro

pos

izio

ne

6.3-

1.Per

ogni

funz

ione

f∈

L2(R

)la

funz

ione

g n(ω

):=

∫ n −n

e−iω

xf(x

)dx

=F

[χ[−

n,n

](x)f

(x)]

(ω)

appa

rtie

nea

L2(R

)pe

rog

nina

tura

len;

lasu

cces

sion

en�→

g nco

nver

gein

L2(R

)ad

una

funz

ione

gch

evi

ene

chia

mat

atr

asfo

rmat

adi

Four

ierdi

f:

g(ω

):=

limn→

∞g n

(ω)

=F

[f](

ω),

dove

illim

ite

indi

cato

s’in

tend

ene

lse

nso

della

norm

adi

L2(R

).Per

tale

funz

ione

siha

l’ugu

aglia

nza

‖g‖2 2

=2π

‖f‖2 2

.(2

′ )

Sepo

if

appa

rtie

nean

che

aL

1(R

),g

coin

cide

con

latr

asfo

rmat

adi

Four

ier

dif

nelse

nso

ordi

nari

o:g(ω

)=

f(ω

).

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

6

6.4.

Ilte

ore

ma

diS

han

no

n

C.Shannon

1916-2

001

Sia

x(t

)un

segn

ale

lacu

iF

-tra

sfor

mat

ae

nulla

fuor

ide

ll’in

terv

allo

[−a,a

]:

|f|>

a=⇒

X(f

)=

0,

esi

adi

quad

rato

som

mab

ilesu

llost

esso

inte

rval

lo.

Allo

ra

x(t

)=

∑ n∈

Z

x( n 2a

) sinc

(2at−

n).

Ric

ordi

amo

che

lafu

nzio

nesi

nce

defin

ita

pone

ndo

sinc

(t)

:=si

n(πt)

/(πt)

.

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

7

Tab

ella

6.3-

1.Proprie

ta

della

trasf

ormata

diFourie

r

(con

isi

mbo

lide

llaD

efini

zion

e6.

1-1)

Defi

nizi

one:

F[f

(x)]

(ω)

=f(ω

):=

∫ ∞ −∞

e−iω

xf(x

)dx

Form

ula

d’in

vers

ione

:f(x

)=

1 2π

∫ ∞ −∞

eiω

xf(ω

)dω.

F[c

1f 1

(x)+

c 2f 2

(x)]

(ω)

=c 1F

[f1(x

)](ω

)+

c 2F

[f2(x

)](ω

)

F[f

(cx)]

(ω)

=1 |c|

F[f

(x)]

( ω c

)∀c

�=0

F[f

(x−

x0)]

(ω)

=e−

ix0ωF

[f(x

)](ω

)

F[e

iω0xf(x

)](ω

)=

F[f

(x)]

(ω−

ω0)

F[f

′ (x)]

(ω)

=iω

F[f

(x)]

(ω)

d dωF

[f(x

)](ω

)=

F[−

ixf(x

)](ω

)

F[(

f 1∗f

2)(

x)]

(ω)

=F

[f1(x

)](ω

)·F

[f2(x

)](ω

)

(f1|f

2)

=2π

(f1|f

2)

=⇒

‖f‖2

=2π

‖f‖2

Capit

olo

6.

la

trasf

ormata

difourie

r11

8

Tab

ella

6.3-

1’.

Proprie

ta

della

trasf

ormata

diFourie

r

(con

isi

mbo

lide

llaD

efini

zion

e6.

1-1′

)

Defi

nizi

one:

F[x

(t)]

(f)

=X

(f)

=∫ ∞ −

∞e−

i2π

ftx(t

)dt

Form

ula

d’in

vers

ione

:x(t

)=

∫ ∞ −∞

ei2π

ftX

(f)d

f

F[c

1x

1(t

)+

c 2x

2(t

)](f

)=

c 1X

1(f

)+

c 2X

2(f

)

F[x

(ct)

](f)

=1 |c|

X( f c

) ,∀c

�=0

F[x

(t−

t 0)]

(f)

=e−

it0f

X(f

)

F[e

i2π

f0tx(t

)](ω

)=

X(f

−f 0

)

F[x

′ (t)

](f)

=i2

πf

X(f

)

X′ (

f)

=F

[−i2

πtx(t

)](f

)

F[(

x1∗x

2)(

t)](

f)

=X

1(f

)·X

2(f

)

(X1|X

2)

=(x

1|x

2)

=⇒

‖X‖2

=‖x

‖2

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

119

7.D

istri

buzi

oni

7.1.

Ilco

nce

tto

did

istr

ibu

zio

ne

Defi

niz

ione

7.1-

1.La

funz

ione

v:

R→

Cap

part

iene

allo

spaz

ioD

(R)

sees

sae

dicl

asse

C(∞

)(R

)e

ilsu

osu

ppor

to:

supp

v:=

{x∈

R|v

(x)�=

0}e

com

patt

o,du

nque

cont

enut

oin

unin

terv

allo

limit

ato

della

rett

are

ale.

Defi

niz

ione

7.1-

2.D

irem

och

ela

succ

essi

one

v k(x

)di

funz

ioni

dello

spaz

ioD

(R)

conv

erge

alla

funz

ione

nulla

se:

i)es

iste

unin

terv

allo

[a,b

]che

cont

iene

isup

port

idit

utte

lefu

nzio

niv k

:∀k

,sup

pv k

⊆[a

,b];

ii)

per

ogni

natu

rale

pla

succ

essi

one

delle

deri

vate

k�→

v(p

)k

(x)

conv

erge

unifo

rmem

ente

alla

funz

ione

nulla

:lim

k→

∞‖v

(p)

k‖ ∞

=0.

Dir

emo

poic

hev k

(x)

tend

ea

v∈D

(R)

sev k

−v

tend

eal

lafu

nzio

nenu

llane

lsen

soap

pena

spec

ifica

to.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

120

Defi

niz

ione

7.1-

3.Si

chia

ma

dist

ribu

zion

esu

Rog

nifu

nzio

nale

T:D

(R)→

Clin

eare

eco

ntin

uo,ne

lse

nso

che

( v k→

v(i

nD

(R)) =

⇒( T

(vk)→

T(v

)) .

Pro

pos

izio

ne

7.1-

1.La

corr

ispo

nden

zach

ead

f∈

L1 lo

c(R

)as

soci

ala

dist

ribu

zion

ev�→

∫ Rf(x

)v(x

)dx

ein

iett

iva.

Defi

niz

ione

7.1-

4.D

ata

lasu

cces

sion

edi

dist

ribu

zion

i(f

k),

dire

mo

che

f kco

nver

gea

f∈D

′ (R

)se

lim k→

∞〈f

k,v〉=

〈f,v〉,

∀v∈D

(R).

(3)

Pro

pos

izio

ne

7.1-

2.Si

af k

(x)

una

succ

essi

one

difu

nzio

niso

mm

abili

suR

tali

che

1)f k

(x)≥

0,∀k

,∀x;

2)∫ R

f k(x

)dx

=1,

∀k

3)∀δ

>0,

limk→

∞∫ δ −

δf k

(x)d

x=

1.

Allo

raf k

(x)→

δ(x)

inD

′ (R

)pe

rk→

∞.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

121

Tab

ella

7.1-

1.A

lcune

famig

lie

difunzio

niche

tendono

alla

delt

adiD

irac

f(x

f(λ

x)

χ[−

1/2,1

/2](x)

λχ

[−1/2λ

,1/2λ](x)

χ[0

,1](x)

λχ

[0,1

/λ](x)

1 π

11

+x

2

λ π

11

2x

2

1 √π

e−x2

λ √π

e−λ

2x2

(1−

|x|)+

λ(1

−λ|x|)+

1 2e−

|x|

λ 2e−

λ|x|

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

122

7.2.

Op

eraz

ion

isu

lled

istr

ibu

zio

ni

Com

bina

zion

elin

eare

:

〈c1f 1

+c 2

f 2,v〉:

=c 1〈f

1,v〉+

c 2〈f

2,v〉,

∀v∈D

(R).

(1)

Com

posi

zion

eco

nun

afu

nzio

neaffi

ne:

〈f(a

x+

b),v

(x)〉

:=1 |a|⟨ f

(x),

v( (x

−b)

/a)⟩ .

(2)

Der

ivat

adi

una

dist

ribu

zion

e:

〈f′ (

x),

v(x

)〉:=

−〈f

(x),

v′ (

x)〉

.(5

)

Sef(x

)e

cont

inua

suR

tran

nein

unpu

nto

x0

incu

ipre

sent

aun

adi

scon

tinu

ita

dipr

ima

spec

ieco

nsa

lto

s:=

f(x

+ 0)−

f(x

− 0),

ese

per

x�=

x0

lafu

nzio

nef

ede

riva

bile

con

deri

vata

(in

sens

oor

dina

rio)

Df(x

)co

ntin

ua,al

lora

inD

′ (R

)si

ha

f′ (

x)

=D

f(x

)+

sδ(

x−

x0).

Pro

pos

izio

ne

7.2-

1.Se

per

ladi

stri

buzi

one

fsi

haf′=

0,al

lora

fe

cost

ante

.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

123

7.3.

Dis

trib

uzi

on

item

per

ate

Defi

niz

ione

7.3-

1.D

irem

och

ela

succ

essi

one

v k(x

)di

funz

ioni

dello

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ioS(

R)

conv

erge

alla

funz

ione

nulla

se,

per

ogni

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eri

natu

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pe

q,la

succ

essi

one

difu

nzio

nik�→

xpD

qv k

(x)

tend

eun

iform

emen

tea

0su

R:

lim k→

∞‖x

pD

qv k

(x)‖

∞=

lim k→

( sup

x∈

R

|xpD

qv k

(x)|

) =0.

Dir

emo

poich

ev k

(x)

tend

ea

v∈S(

R)

sev k

−v

tend

eal

lafu

nzio

nenu

llane

lse

nso

appe

nasp

ecifi

cato

.

Defi

niz

ione

7.3-

2.C

hiam

erem

odi

stri

buzi

one

tem

pera

tasu

Rog

nifu

nzio

nale

f:S

(R)→

C

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ree

cont

inuo

,ne

lse

nso

che

( v k→

v(i

nS(

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⇒( 〈f

,vk〉→

〈f,v〉) .

(1)

Pro

pos

izio

ne

7.3-

1.La

corr

ispo

nden

zav�→

ve

linea

ree

cont

inua

dallo

spaz

ioS(

R)

inse

:( v k

→0) =

⇒( v k

→0) ,

dove

laco

nver

genz

as’

inte

nde

nelse

nso

della

Defi

nizi

one

7.3-

1.

Pro

pos

izio

ne

7.3-

2.Per

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copp

iadi

funz

ioni

f,g

∈L

1(R

)si

ha∫ R

f(ξ

)g(ξ

)dξ

=∫ R

f(ξ

)g(ξ

)dξ.

(4)

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

124

Defi

niz

ione

7.3-

3.Per

ogni

f∈S′

(R)

sipo

ne

〈f,v

〉:=

〈f,v

〉,(5

)

per

ogni

v∈S(

R).

L.Sch

wart

z

1915

-2002

Tab

ella

7.3-

1.A

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)(S

imbo

lico

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tico

nla

Defi

nizi

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1)

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:x,v

aria

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indi

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della

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zion

e);

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)dx

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indi

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[La

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uene

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]

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olo

7.

dis

trib

uzio

ni

125

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)f(ω

)

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1

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λ)

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R

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k∈

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2πik

δ(k)(ω

)k∈

N∗

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)=

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(ω)

sign

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1 iω

δ(ω)−

i ω

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−1)

−δ(

ω+

1)]=

iπ[δ

(ω+

1)−

δ(ω−

1)]

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π[δ

(ω−

1)+

δ(ω

+1)

]

sin

λx

π i[δ

(ω−

λ)−

δ(ω

+λ)]

=iπ

[δ(ω

+λ)−

δ(ω−

λ)]

λ∈

R

cosλ

[δ(ω

−λ)+

δ(ω

+λ)]

λ∈

R

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

126

Tab

ella

7.3-

1’.

Alcune

trasf

ormate

diFourie

rin

S′(R

)(S

imbo

lico

eren

tico

nla

Defi

nizi

one

6.1-

1′)

Var

iabi

lein

dipe

nden

tede

lse

gnal

e:t,

vari

abile

indi

pend

ente

della

tras

form

ata:

f(f

requ

enza

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nque

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(f)

=∫ ∞ −

∞e−

j2π

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)dt.

Ilgr

adin

oun

itar

io(=

funz

ione

diH

eavi

side

)e

indi

cato

u(t

),la

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ribu

zion

ev.

p.(1

/t)e

indi

cata

sem

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emen

te1/

t;l’u

nita

imm

agin

aria

vien

ein

dica

taj.

[La

tabe

llapr

oseg

uene

llapa

gina

segu

ente

]

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

127

x(t

)X

(f)

δ(t)

1

1δ(

f)

δ(t−

t 0)

e−j2π

t 0f

ej2π

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δ(f−

f 0)

λ∈

R

δ(k)(t

)(j

2πf)k

k∈

N∗

(2π

t)k

jkδ(

k)(f

)k∈

N∗

1 t

π jsi

gn(f

)=

−jπ

sign

(f)

sign

(t)

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f=

−j

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u(t

)δ(

f)

2+

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δ(f)

2−

j

2πf

sin(

2πf 0

t)1 2j

[δ(f

−f 0

)−

δ(f

+f 0

)]=

=j 2

[δ(f

+f 0

)−

δ(f−

f 0)]

λ∈

R

cos(

2πf 0

t)1 2

[δ(ω

−λ)+

δ(ω

+λ)]

λ∈

R

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

128

7.4.

Dis

trib

uzi

on

iper

iod

ich

e

Sia

t�→

x(t

)un

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nzio

neso

mm

abile

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;se

x(t

)=

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/|t|α

)co

>1

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,pos

siam

ode

finir

ela

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tizi

one

peri

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dix

dipe

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oT

:

xT(t

):=

∞ ∑k=−∞

x(t−

kT

).(1

)

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diFo

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xT

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no

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1 T

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)e−

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aven

dopo

sto

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1/T

(fre

quen

zafo

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le).

Sitr

ova

c n=

1 T

∞ ∑k=−∞

∫ T/2+

kT

−T

/2−

kT

x(τ

)e−

in2π

f0τ

dτ.

Capit

olo

7.

dis

trib

uzio

ni

129

Sein

dich

iam

oco

nX

(f)

latr

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adi

Four

ier

dix,ab

biam

oal

lora

c n=

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(nf 0

).(2

)

Lo

svilu

ppo

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nzio

nefu

nzio

nepe

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ica

xT

sisc

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ula

(3′′′

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3.5)

xT(t

)=

∞ ∑k=−∞

x(t−

kT

)=

∞ ∑n=−∞

c nei2

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f0t=

f 0

∞ ∑n=−∞

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f 0)e

i2π

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(3)

Abb

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Poi

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k)

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:∞ ∑

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T)

=f 0

∞ ∑n=−∞

X(n

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(4)